3. Непрерывность

Непрерывность предполагает, что для любых трех лотерей, из который первая предпочтительнее второй, а вторая предпочтительнее третьей (L₁{L₂{L₃), найдутся такие и , при которых будет выполняться следующее соотношение:

Если выполняются все эти предпосылки, то предпочтения индивида представимы функцией ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна, имеющей вид:

p_i - вероятность состояния мира i,

u (.) - элементарная функция полезности ("Бернуллевская"),

x_i - богатство потребителя в момент времени i.

Таким образом, "из аксиом фон Неймана-Моргенштерна следует существование у каждого индивида количественной функции полезности (НМ-функции) наборов потребительских благ, такой, что в случайной ситуации потребитель стремится к максимизации ее математического ожидания"Алёхин Е.И. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций: учебно-методическое пособие / Е.И. Алехин - Орел: Издательство ОГУ, 2008. - С. 63 .

Рассмотрим функцию полезности дохода от капиталовложений U (I). Существует две возможные ситуации: если капиталовложения не связаны с риском, то индивид, который их осуществил, получит фиксированный доход I, а если капиталовложения связаны с риском, то индивид получит доход I₁, вероятность которого равна U (I₁), с некоторой вероятностью , при этом вероятность получить доход I2>I1, полезность которого составляет U (I₂) равна 1-. Тогда функция ожидаемой полезности будет иметь следующий вид:

Авторы одного из источников, принимая во внимание аксиому ненасыщения, делают следующий вывод: "…более высокий доход способен принести потребителю большую полезность, а значит, U (I₂) >U (I₁). Следовательно, функция ожидаемой полезности будет возрастающей, поскольку с ростом дохода получаемая индивидом полезность будет увеличиваться, а предельная полезность дохода будет больше нуля при любом положительном уровне дохода"Рудакова И.Е. Антипина О.Н. Вощикова Н. К. Экономическая теория. Вводный курс. Микроэкономика: Уч. / И.Е. Рудакова и др; Под ред. И.Е. Рудаковой - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - С. 474-475 . Основная идея теоремы заключается в том, что в ситуации риска рациональный индивид будет стремиться максимизировать не свой ожидаемый доход, а свою функцию ожидаемой полезности.

В одном из источников Там же. выделяются следующие моменты, влияющие на значение функционала Неймана-Моргенштерна:

1. Характер функции распределения возможной прибыли F

2. Вид функции полезности u=u (x), который зависит от предпочтений инвестора

3. Величина ожидаемого выигрыша - случайная величина , которая складывается из двух компонент: случайной составляющей (_profit - ожидаемая прибыль) и неслучайной (А - оборотные средства, быстроликвидные активы предприятия):

Характер распределения возможной прибыли F определяется случайной составляющей. Отношение к риску будет различаться в зависимости от величины А. Таким образом, в одних и тех же рисковых ситуациях предпочтения инвесторов с разным уровнем первоначальных запасов будут различаться.

Рассмотрим функции полезности, которые чаще всего используются в принятии решений:

1. Линейная функция полезности

Линейная функция полезности описывает риск-нейтральное отношение к риску.

2. Экспоненциальная функция полезности:

Экспоненциальная функция полезности описывает отношение к риску индивида-рискофоба. Она имеет постоянное абсолютное неприятие риска, то есть для инвестора, чье предпочтение описывается такой функцией полезности, величина потенциальных потерь не зависит от первоначального капитала, и при увеличении собственных средств инвестор не готов инвестировать больше.

3. Показательная функция полезности:

Показательная функция полезности также описывает отношение к риску индивида-рискофоба. Однако она имеет убывающее абсолютное неприятие риска. Таким образом, сумма, которой инвестор готов рисковать, зависит от его собственного капитала. Чем больше размер первоначальных средств, тем больше готовность инвестировать.

Важным показателем в теории ожидаемой полезности является значение безрискового эквивалента лотереи. Под безрисковым эквивалентом случайного выигрыша понимается "гарантированный выигрыш, приводящий к полезности богатства, равной ожидаемой полезности при случайном выигрыше"Алёхин Е.И. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций: учебно-методическое пособие / Е.И. Алехин - Орел: Издательство ОГУ, 2008. - С. 71 (152 с.) . Безрисковый эквивалент необходим, поскольку "при рассмотрении положений общей теории полезности нам приходится иметь дело с двумя функционалами? безусловной полезностью U (F) и математическим ожиданием (средним) денежной суммы M, которую ЛПР (лицо, принимающее решение) может получить при проведении лотереи"Коровин Д.И. О нахождении функции полезности в теории Неймана-Моргенштерна // Вестник ИГЭУ, 2005. - №4. - С. 2, а сравнивать значения двух этих величин не имеет смысла. Поэтому ту денежную сумму, которая равноценна для инвестора значению U (F) нужно обозначить через безрисковый эквивалент (x_бэ). Тогда это значение будет определять аналог денежной суммы М с учетом отношения инвестора к риску. Таким образом, величина безрискового эквивалента будет равна денежной сумме, размер которой будет определять готовность индивида принять участие в лотерее.

Величина безрискового эквивалента определяется как обратная функция полезности от математического ожидания выигрыша:

x (S) - случайная величина выигрыша,

U (X) - ожидаемая полезность.

Перейдем к описанию разрабатываемой в данном исследовании модели определения кредитных лимитов, которая будет строиться на основе теории ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна.

3.2 Используемые в модели параметры лимитов

Для начала рассмотрим показатели, которые теоретически влияют на величину кредитных лимитов.

1. Масштаб деятельности банка

Масштаб деятельности кредитора является одним из основных факторов, определяющих величину кредитного лимита. Это, в первую очередь, связано с тем, что банки должны соблюдать обязательные нормативы, предписанные ЦБ РФ. Один из таких нормативов - норматив достаточности собственных средств (Н1), который рассчитывается по формуле:

K - капитал банка,

А_i - величина активов,

w_i - веса активов (как правило, вес каждого актива принимается за 100%),

h_min - минимальное пороговое значение коэффициента достаточности капитала, установленное ЦБ РФ на уровне 10%.

Другой норматив - норматив максимального размера риска на одного заемщика или группу связанных заемщиков (Н6), который рассчитывается по формуле:

S - величина кредитных требований банка,

K - Капитал банка.

Максимально допустимое значение норматива Н6 определено ЦБ РФ на уровне 25%.

Таким образом, величина выданных кредитов напрямую зависит от капитала банка. В данной работе масштаб деятельности банка будет оцениваться через объем собственных средств банка.

2. Масштаб деятельности заемщика

Масштаб деятельности заемщика также влияет на величину кредитного лимита, поскольку банк при принятии решения о величине выдаваемого кредита, в первую очередь, смотрит на доходы контрагента, чтобы определить, сможет ли заемщик возвратить денежные средства с учетом процентов. Как правило, масштаб деятельности контрагента определяется на основе его активов, выручки и т.д. В случае если заемщик не выплатит задолженность, она будет выплачена из оставшейся части собственных средств контрагента.

3. Кредитоспособность заемщика

Кредитоспособность заемщика является одним из важнейших параметров, влияющих на величину возможного кредита. Как правило, кредитоспособность оценивается с помощью вероятности наступления дефолта (probabilityofdefault). Вероятность наступления дефолта - это вероятность того, что задолженность не будет возмещена. Вероятность дефолта определяется для каждого отдельного заемщика. Существует большое количество моделей, позволяющих оценить вероятность наступления дефолта. В литературеПетров А.А., Помазанов М.В. Кредитный риск менеджмент, как инструмент борьбы с возникновением проблемной задолженности. // Банковское кредитование, 2008. № 6. - С. 2 выделяется 3 основных класса таких моделей:

· Структурные модели

Основоположниками структурных моделей считаются Блэк, Шоулз и Мертон. Суть этих моделей заключается в том, что "предоставление кредита трактуется как покупка активов компании у акционеров и передача им опциона call на данные активы с ценой исполнения, равной стоимости кредита, и временем исполнения, равным сроку погашения кредита"Тотьмянина К.М. Обзор моделей вероятности дефолта // Управление финансовыми рисками, 2011. - №1 (25) - С. 13. В таком случае максимальный выигрыш покупателей опциона (владельцев компании) не ограничен, поскольку он равен разности между рыночной стоимостью активов и суммой обязательств. А максимальный проигрыш при этом будет равен рыночной стоимости акций, которые им принадлежат, то есть как раз опциону call.

· Модели сокращенной формы

Определение вероятности дефолта в моделях сокращенной формы осуществляется на основе информации о текущей стоимости долговых обязательств заемщика и спрэдах доходности этих долговых обязательств по сравнению с безрисковой ставкой. Модели сокращенной формы могут лишь оценить вероятность дефолта, но при этом не позволяют выяснить причину возникновения дефолта.

· Кредит-скоринговые модели

Скоринговые модели ориентированы на вычисление индекса кредитоспособности, связанного с вероятностью дефолта, пользуясь для этого статистическими методами, такими, как линейные дискриминантный анализ, нейронные сети, деревья классификации и другими.

В данном исследовании при построении модели определения кредитных лимитов вероятность дефолта будет определяться с помощью актуарных оценок, которые рассчитываются рейтинговыми агентствами на основе статистических данных. Рейтинговые агентства классифицируют предприятия по вероятности дефолта, присваивая им кредитные рейтинги. "Кредитный рейтинг (credit rating) представляет собой интегральную оценку финансовой устойчивости и платежеспособности страны, заемщика или отдельного кредитного продукта" Энциклопедия финансового риск-менеджмента // Под ред. канд. экон. наук А.А. Лобанова и А.В. Чугунова. - М: Альпина Бизнес Букс, 2009. - С. 385 . С помощью рейтинга агентства выражают свое мнение относительно способности и желания контрагента погасить кредитную задолженность.

Кредитные рейтинги рассчитываются и публикуются рейтинговыми агентствами, среди которых наиболее известными являются Fitch, Moody's и Standard&Poor's. Рейтинговые агентства оценивают вероятность дефолта компании на основе определенных финансовых показателей, таких, как совокупные обязательства, долгосрочные обязательства, прибыль до уплаты процентов, налогов и амортизационных отчислений и т.д.

В настоящем исследовании вероятность дефолта будет оцениваться на основе кредитного рейтинга Fitch, поскольку данные этого рейтингового агентства находятся в свободном доступе, и рейтинг включает большинство крупных российских компаний.

4. Срок кредитования (Т)

Срок кредита также влияет на кредитные лимиты, поскольку от него зависит величина кредитного риска банка. Так, например, в случае долгосрочных кредитов банк подвержен большему риску, чем в случае краткосрочных, поскольку определение вероятности наступления дефолта контрагента представляется затруднительным на длительном горизонте времени. Как правило, при расчете величины кредитных лимитов вместо срока кредитования учитывается период получаемой отчетности, поскольку именно на основе отчетности банк может спрогнозировать вероятность наступления дефолта заемщика в следующем периоде. Таким образом, показатель Т будет равен , если контрагент предоставляет отчетность ежемесячно, , если ежеквартально и 1, если ежегодно.

5. Обеспечение кредита

Обеспечение кредита позволяет банку застраховаться на случай наступления дефолта заемщика. Согласно ст.329 п.1 Гражданского кодекса РФ, "исполнение обязательств может обеспечиваться неустойкой, залогом, удержанием имущества должника, поручительством, банковской гарантией, задатком и другими способами, предусмотренными законом или договором". Таким образом, при неисполнении обязательств контрагентом, банк может реализовать обеспечение кредита в счет уплаты долга.

Как правило, обеспечение кредита оценивается с помощью потерь в случае дефолта (lossgivendefault - LGD). Показатель LGD отражает "уровень безвозвратных потерь с учетом их частичного возмещения, например путем реализации залога, исполнения гарантий и т.п. " Энциклопедия финансового риск-менеджмента // Под ред. канд. экон. наук А.А. Лобанова и А.В. Чугунова. - М: Альпина Бизнес Букс, 2009. - С. 385 (487 с.) . Так, например, если уровень возмещения составляет 40% от величины займа, то потери в случае дефолта составят 60% от величины подверженности кредитному риску.

6. Риск-аппетит банка

Риск-аппетит банка характеризует отношение банка к риску и определяет его кредитную стратегию, в том числе, величину кредитных лимитов. Если банк не склонен к риску, то он будет устанавливать низкий уровень лимитов, чтобы обезопасить себя от потенциальных потерь в случае дефолта контрагента.

Согласно Информационно-аналитическому документу Банка России о полноте и степени реализации крупнейшими российскими кредитными организациями современных рекомендаций международных институтов, устанавливающих стандарты финансовой деятельности в области корпоративного управления и систем управления рисками Информационно-аналитический документ Банка России о полноте и степени реализации крупнейшими российскими кредитными организациями современных рекомендаций международных институтов, устанавливающих стандарты финансовой деятельности в области корпоративного управления и систем управления рисками, 2013. [http: //www.cbr.ru/analytics/bank_system/ssurkub. pdf] ,риск-аппетит является важным элементом, характеризующим деятельность банков, поэтому он должен быть четко определен в стратегию развития любого банка. В документе Банка России аппетит к риску понимается как "совокупный уровень рисков, который готов принять банк с учетом вероятности возникновения возможных убытков, ведущих к потере финансовой устойчивости банка и принимая во внимание потенциальные затраты на устранение финансовых проблем в деятельности банка" Там же. . На основе риск-аппетита банк должен разрабатывать стратегии управления рисками, устанавливать соответствующие лимиты на риски, осуществлять мониторинг и контроль существующих рисков. На данном этапе большинство банков следует рекомендациям Базельского комитета по банковскому надзору при определении параметров риск-аппетита. В Документе Банка России выделяется несколько этапов, осуществляемых для установления аппетита к риску: оценка всех существенных рисков в деятельности банка на основе различных количественных и качественных показателей, учет профиля каждого такого риска, проведение стресс-тестирования, сценарного анализа и анализа чувствительности и в итоге получениеагрегированной оценки величины индивидуально оцененных существенных рисков, причем эта оценка должна получаться не посредством элементарного суммирования, а с учетом влияния стадий бизнес цикла, прогнозной оценки состояния и развития сегментов рынка и корреляции между рисками. Таким образом, аппетит к риску является четко сформулированным формальным показателем, характеризующим степень готовности банка к тем или иным рискам.

В данной работе отношение к риску со стороны банка будет определяться на основе функции ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна, которая позволяет оценить, насколько банк готов рисковать для получения максимальной выгоды.

7. Процентные ставки

Процентные ставки влияют на величину ожидаемой прибыли, которую банк планирует получить при выдаче кредита. Так, например, на размер кредитного лимита могут влиять ставки кредитования. Чем они выше, тем меньше будет величина лимита. Также на величину кредитного лимита могут влиять ставки дисконтирования.

В одном из источников Энциклопедия финансового риск-менеджмента // Под ред. канд. экон. наук А.А. Лобанова и А.В. Чугунова. - М: Альпина Бизнес Букс, 2009. - С. 468 (487 с.) , помимо уже рассмотренных факторов, определяющих величину кредитных лимитов, выделяются следующие:

· отраслевая принадлежность заемщика;

· качество управления потенциального заемщика;

· перспективы развития заемщика;

· взаимоотношения финансового института с данным заемщиком;

· общее состояние экономики.

Таким образом, на величину кредитных лимитов влияет большое количество факторов. Однако для упрощения модели в данном исследовании были отобраны лишь четыре наиболее важных фактора:

1. Масштаб деятельности банка (измеряется как величина собственных средств)

2. Кредитоспособность заемщика (измеряется как вероятность дефолта на основе кредитного рейтинга рейтинговых агентств)

3. Срок кредитования (в данной работе срок кредитования принимается равным одному году)

4. Отношение к риску со стороны банка (определяется рассмотренными выше функциями полезности фон Неймана-Моргенштерна).

3.3 Построение модели

Для начала определим, как будет выглядеть лотерея, в которой банк либо принимает участие, либо нет. Она содержит в себе два исхода: с вероятностью PD_t (вероятность дефолта) заемщик не вернет кредит и с вероятностью (1-PD_t) дефолт не наступит, и задолженность будет погашена. Тогда мы можем представить величину выигрыша банка следующим образом:

где X - случайная величина, характеризующая выигрыш банка;

S - величина кредита,

PD_T - вероятность наступления дефолта в периоде T, в нашем случае ,

Тогда математического ожидание случайной величины L равно:

R - резервы на покрытие возможных убытков.

Предположим, что k - это часть капитала, выделяемого банком на покрытие риска одного заемщика, тогда может быть получено следующее ограничение:

h_min - функция от кредитного рейтинга банка, характеризующая его отношение к риску.

Согласно нормативу Н6, максимальная величина кредита на одного заемщика не должна превышать 25% от капитала банка, поэтому положимS=0,25K.

Для вывода формулы рассмотрим очень надежного заемщика, вероятность дефолта которого равна 0. Подставим PD_T=0 в формулу (*) и получим:

Отсюда найдем и подставим в формулу (*), откуда получим первый возможныйспособ определения кредитных лимитов:

h - коэффициент достаточности капитала банка, оцененный с помощью регрессии на основе банковских кредитных рейтингов.

Теперь необходимо ввести один из основных факторов, влияющих на величину кредитных лимитов, - отношение банка к риску. Этот фактор вводится в модель посредством выбора функции полезности фон Неймана-Моргенштерна, определяющей "риск-аппетит" банка. Выше мы рассмотрели три возможных функции полезности. Первая из них - линейная, для нее величина кредитного лимита будет рассчитываться по формуле (1). Однако линейная функция ожидаемой полезности не представляет для нас особого интереса, поскольку описывает риск-нейтральное отношение банка к риску и не позволяет, таким образом, учитывать кредитный риск.

Вторая рассмотренная нами функция ожидаемой полезности - экспоненциальная. Она имеет вид . В первую очередь, необходимо рассчитать величину безрискового эквивалента x (S). Для этого возьмем обратную функцию полезности от математического ожидания выигрыша .

Величина кредитного лимита рассчитывается из следующей формулы:

R - величина резервов,

Таким образом, получаем следующую формулу для нахождения величины кредитного лимита:

Подставим в эту формулу значение и величину безрискового эквивалента. Получим:

после преобразования которой выразим величину кредитного лимита:

Сделаем то же самое для показательной функции ожидаемой полезности, имеющей вид

Проводя те же вычисления, мы получили следующий безрисковый эквивалент:

Подставив найденный безрисковый эквивалент в формулу (**), мы получили следующую величину кредитного лимита:

В результате построения этих моделей мы получили лимиты, значительно отличающиеся от выданных кредитов. Это можно объяснить тем, что в этих моделях мы исходили из того, что кредит либо полностью выплачивается, и потери равны нулю, либо происходит дефолт заемщика, тогда потери равны величине выданного кредита. То есть мы учитывали лишь ожидаемые потери, но не рассматривали ситуации, когда кредит может быть выплачен не полностью. Однако неожидаемые потери могут также нанести серьезный ущерб финансовому состоянию банка. В связи с этим, было принято решение усложнить модель, построив её не на основе бинарной случайной величины, а с использованием нескольких градаций возможных потерь.

3.4 Усовершенствование модели

Для того чтобы получить более точную оценку лимитов, рассмотрим ситуацию, в которой будут учитываться не только потери банка при дефолте заемщика, но и изменение стоимости кредита в результате возможногоизменения кредитных рейтингов контрагентов. Обратимся для этого к моделям кредитной миграции, учитывающим, что банк может понести убытки как при дефолте заемщика, так и при понижении рейтинга.

В данной работе мы использовали подход CreditMetrics, предложенный J.P. Morgan, который основан на анализе кредитной миграции. "Модель CreditMetrics представляет собой методологию расчета границы потерь для финансовых инструментов, которые не котируются на финансовых рынках (например, банковские ссуды и корпоративные займы)"Фантаццини Д. Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском. Часть 4: Управлениекредитнымриском // Прикладнаяэконометрика, 2009. - № 1 (13). - С. 106. . Она позволяет рассчитать стоимость кредита для каждого значения шкалы кредитных рейтингов. Уровни рейтингов берутся из классификации рейтинговых агентств Standard&Poor's или Moody's, поэтому получаемая модель является дискретной. Одним из главных преимуществ CreditMetrics является то, что она основана на исторических данных и полученные оценки являются безусловными.

Рейтинговые агентства с определенной периодичностью публикуют статистические исследования, в которых приводятся данные по частоте дефолтов для каждой рейтинговой группы и частоте миграций из одной рейтинговой группы в другую.

Частоты миграций образуют матрицу переходных вероятностей. "Матрица перехода (матрица вероятностей миграции кредитных рейтингов) - это таблица, в которой представлены вероятности того, что текущий рейтинг заемщика через определенный промежуток времени (например, через год) будет повышен, понижен или что заемщик окажется неплатежеспособным"Фантаццини Д. Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском. Часть 4: Управлениекредитнымриском // Прикладнаяэконометрика, 2009. - № 1 (13). - С. 107. . Вероятности, как правило, представляют собой среднее значение частот перехода заемщиков из одной рейтинговой группы в другую в течение заданного периода.

Помимо переходных вероятностей для построения модели необходимы также форвардные ставки для определения стоимости кредита через определенный промежуток времени для каждого рейтингового класса.

Расчет этих ставок осуществляется компанией J. P. Morgan на основе кривых доходностей для займов. В Техническом документе CreditMetricsCreditMetrics^TM - TechnicalDocument. - RiskMetricsGroup, Inc., 2007. - p. 20 приводится следующая матрица миграции кредитных рейтингов, которая была опубликована рейтинговым агентством Standard&Poor's:

Таблица 1

Матрица вероятностей миграции рейтингов в течение 1 года, %

Рейтинг на начало года	Рейтинг на конец года (%)
	AAA	AA	A	BBB	BB	B	CCC	Дефолт
AAA	90.81	8.33	0.68	0.06	0.12	0	0	0
AA	0.70	90.65	7.79	0.64	0.06	0.14	0.02	0
A	0.09	2.27	91.05	5.52	0.74	0.26	0.01	0.06
BBB	0.02	0.33	5.95	86.93	5.30	1.17	0.12	0.18
BB	0.03	0.14	0.67	7.73	80.53	8.84	1.00	1.06
B	0	0.11	0.24	0.43	6.48	83.46	4.07	5.20
CCC	0.22	0	0.22	1.30	2.38	11.24	64.86	19.79

Также для определения величины лимита нам потребуются форвардные ставки, которые также приведены в документации CreditMetricsCreditMetrics^TM - Technical Document. - RiskMetrics Group, Inc., 2007. - p. 27:

Таблица 2. Значения доходностей для форвардной кривой через 1 год, %

Рейтинг	Год 1
AAA	3.60
AA	3.65
A	3.72
BBB	4.10
BB	5.55
B	6.05
CCC	15.05

На основе имеющейся информации можно рассчитать величину возможных убытков банка при переходе заемщика из одного рейтингового класса в другой. Рассмотрим, как будет выглядеть теоретическая модель.

Предположим, нам известно, что банк выдал кредит заемщику с кредитным рейтингом BB. Пусть текущая стоимость кредита равна 1 рубль. Для начала необходимо рассчитать новый безрисковый эквивалент, который будет отражать величину непредвиденных потерь, которые находятся из разности между стоимостью кредита через год и его текущей стоимостью. Для этого найдем возможную стоимость кредита, выданного заемщику с рейтингом ВВ, через год для каждой категории рейтинга на основе приведенных выше форвардных ставок. Получим:

Таблица 3. Стоимость кредита, выданного заемщику с рейтингом BBВ, через год, руб.

Рейтинг	Стоимость кредита через год, руб.
AAA	0.965
AA	0.964
A	0.963
BBB	0.96
BB	0.946
B	0.941
CCC	0.86
Дефолт	0

Далее рассчитаем величину потерь и получим вероятностное распределение изменения стоимости кредита при переходе заемщика из одного рейтинга в другой. На рисунке 2 можно увидеть полученное распределение. По оси абсцисс отображено изменение стоимости кредита, а по оси ординат - вероятность смены рейтинга.

Рис. 2. Вероятностное распределение изменения стоимости кредита за 1 год при миграции кредитного рейтинга заемщика

Далее необходимо рассчитать безрисковый эквивалент для величины, отражающей изменение стоимости кредита при миграции кредитного рейтинга, на основе функции ожидаемой полезности. Для дальнейшего исследования была выбрана показательная функция полезности, поскольку она, в отличие от экспоненциальной, имеет убывающее абсолютное неприятие риска, то есть величина кредитного лимита будет зависеть от капитала банка. В действительности, предполагается, что показательная функция должна лучше описывать риск-аппетит банка, так как нормативы ЦБ устанавливают ограничения на кредитные лимиты, основываясь на величине капитала банка.

Итак, безрисковый эквивалент будет рассчитываться по формуле, которая уже была рассмотрена выше. Сначала найдем математическое ожидание величины потерь по формуле:

, где

з - величина потерь при смене рейтинга;

p - вероятность перехода из текущего рейтинга в указанный.

С помощью этой формулы будет получено математического ожидание величины потерь при миграции кредитного рейтинга. Далее мы возьмем обратную функцию от этого математического ожидания и получим безрисковый эквивалент, при этом неизвестен будет лишь параметр в. Формула для безрискового эквивалента будет выглядеть следующим образом:

Далее мы оценим коэффициент в и сможем рассчитать величину безрискового эквивалента в численном виде. Таким образом, величина максимального кредитного лимита будет находиться по формуле:

S_max - максимальная величина кредитного лимита;

k - капитал, необходимый для покрытия риска:

PD - вероятность дефолта заемщика;

l (з) - величина безрискового эквивалента для конкретной категории рейтинга.

Таким образом, с помощью этой формулы банк сможет моментально определить лимит кредитования для конкретного заемщика, зная лишь его кредитный рейтинг.

Перейдем к следующем главе, в которой попробуем реализовать рассмотренные модели на реальных данных.

Глава 4. Применение модели на реальных данных

В данной главе мы попытаемся определить оптимальную величину кредитных лимитов на основе статистических данных и выясним, насколько реалистичные лимиты будут получены на основе предложенных моделей.

4.1 Информационная база исследования

Поскольку информация о выданных банками кредитах, размерах кредитов и заемщиках является засекреченной, для получения данных было решено использовать новостные ленты, на которых публикуются сведения о сделках банков с крупными компаниями. Таким образом, данные были собраны из таких новостных источников, как www.lenta.ru, www.interfaks.ru, www.forbes.ru и www.banki.ru. С этих порталов бралась информация о кредиторе, заемщике, сумме кредита и дате выдачи кредита. Кредиты в иностранной валюте переводились в рубли в соответствии с обменным курсом на дату выдачи кредиты.

Кредитные рейтинги кредиторов и заемщиков на момент выдачи кредита были взяты с сайта www.rusbonds.ru, а также с официальных сайтов рейтинговых агентств Moody's и S&P. Эти рейтинги были переведены в числовую форму на основе международной шкалы оценки вероятности дефолта, приведенной в одном из источниковResti A., Sironi A. Risk Management and Shareholders' Value in Banking: From Risk Measurement Models to Capital Allocation Policies. - John Wiley & Sons Ltd, 2007. - p. 123.

Размер собственных средств банков-кредиторов и коэффициент достаточности капитала были взяты с сайта www.cbr.ru.

В результате была сформирована таблица, на основе которой проводился дальнейший анализ (см. Приложение 1).

4.2 Оценка параметров модели

В первую очередь производилась оценка параметра h - коэффициента достаточности капитала банка. Для этого с помощью регрессии была рассчитана зависимость коэффициента достаточности капитала банка от его кредитного рейтинга. В результате был получен значимый коэффициент, на основе которого для каждого банка был оценен показатель h, который содержится в Приложении 1.

Далее с помощью метода наименьших квадратов были оценены коэффициенты для двух первоначальных моделей, основанных на показательной и экспоненциальной функциях ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна (подробный расчет находится в файле Mathcad). В результате, были получены следующие коэффициенты: в = 0,996 для модели на основе показательной функции полезности и =0.0000017 для модели на основе экспоненциальной функции полезности.

Таким образом, исходная формула для модели на основе экспоненциальной функции полезности (2) может быть записана следующим образом:

Для модели, основанной на показательной функции полезности, исходная формула (3) может быть записана следующим образом:

При попытке применить полученные формулы для расчета кредитных лимитов выяснилось, что расхождения между теоретическим лимитов и величиной выданного в итоге кредита достаточно велики. Поэтому именно на данном этапе исследования решено было построить модель не на основе бинарной случайной величины (кредит либо возвращается полностью, либо не возвращается вообще), а учесть и промежуточные состояния, такие, как миграция кредитных рейтингов.

Для начала, была рассчитана возможная стоимость кредита, выданного заемщику из каждой категории рейтинга, при смене рейтингового класса (пример в Таблице 3). Далее были найдены возможный ущерб и его вероятность. Например, при текущей стоимости кредита, равной 1 рубль, для заемщика с рейтингом ВВВ была получена следующая таблица:

Таблица 4. Стоимость кредита, выданного заемщику с рейтингом BBВ, через год, руб.

Рейтинг	Непредвиденные потери через год, руб. (	Вероятность смены рейтинга, %
AAA	0.035	0.02%
AA	0.036	0.33%
A	0.037	5.95%
BBB	0.04	86.93%
BB	0.054	5.30%
B	0.059	1.17%
CCC	0,14	0.12%
Дефолт	1	0.18%

Затем был рассчитан безрисковый эквивалент потерь для заемщиков из каждой рейтинговой категории. К примеру, для заемщиков с рейтингом BBB безрисковый эквивалент выглядит следующим образом:

После этого на основе метода наименьших квадратов был оценен коэффициент в, полученный путем минимизации следующей функции:

k_i - это часть капитала банка, выделяемая на покрытие рисков (рассчитывается на основе норматива ЦБ по формуле k = 0.25*K*h);

EL - ожидаемые потери (рассчитываются как математическое ожидание потерь);

S - величина выданного кредита;

l (з) - безрисковый эквивалент для конкретной категории рейтинга.

В результате мы получили в = - 4,474 и безрисковый эквивалент l (з) = 0,315 для заемщиков из категории рейтинга BBB. Подставив найденные значения в формулу (3), мы получим максимальную величину кредитного лимита.

Рассмотрим на примере конкретного кредита, чему будет равен максимальный лимит. Из приложения 1 возьмем кредит, выданный ОАО "РЖД" банком ВТБ в декабре 2012 года. Капитал банка (К) составлял 557 521 846 тыс. рублей, часть средств, на покрытие кредита, показывающая отношение банка к риску (h) была равна 0,0675, вероятность дефолта заемщика (PD), относящегося к категории рейтинга ВВВ, равнялась 0,0016. Также мы знаем, что безрисковый эквивалент (l (з)) для заемщика из данной категории рейтинга равен 0,315. Найдем максимальный лимит:

В действительности банк ВТБ выдал кредит ОАО "РЖД" в размере 30 миллиардов рублей. Таким образом, полученный лимит достаточно близок в реальной величине выданного кредита.

Мы проделали все описанные шаги для каждого рейтингового класса и выяснили, что не для всех категорий рейтинга и не для всех заемщиков предложенная модель одинаково хорошо работает. Однако несовпадение в некоторых случая величины рассчитанного лимита и величины реально выданного кредита можно объяснить несколькими способами:

1. Модель позволяет рассчитать максимальную величину кредитного лимита, однако необходимый заемщику кредит может быть гораздо меньше этой величины;

2. Модель основана на показательной функции полезности, которая описывает определенный риск-аппетит банка, в связи с чем, она может плохо описывать поведение банков с отличным от рассматриваемого аппетитом к риску;

3. Поскольку данные по кредитам засекречены, в выборку попали лишь крупные кредиты известным компаниям, а более мелкие займы учесть не удалось.

Таким образом, модель необходимо дорабатывать и тестировать на большем количестве наблюдений. Кроме того, существуют и другие способы усовершенствования модели. Например, при наличии доступа к банковским данным, в модель могут быть включены такие показатели, как срок кредитования, который позволит рассчитать будущий поток платежей на несколько лет вперед, процентная ставка по кредиту, с помощью которой можно проанализировать соотношение ожидаемого выигрыша с риском, финансовые показатели заемщика (активы, выручка), которые дадут более точное представление о его кредитоспособности, а также обеспечение кредита, которое ограничит риски.

Заключение

Кредитные риски являются одной из главных причин банковских банкротств, поэтому проблеме оценки и минимизации этих рисков в последнее время уделяется достаточно много внимания. Однако лимитированию кредитов - основному механизму минимизации рисков - посвящено лишь небольшое количество исследований в области риск-менеджмента.

В данной работе была предпринята попытка разработать методику определения оптимального кредитного лимита. Для этого были проанализированы уже существующие методики, а также отобраны показатели, которые непосредственно влияют на величину лимита кредитования.

В ходе анализа литературы было выявлено, что, действительно, практически отсутствуют работы, предлагающие конкретные методики вычисления кредитных лимитов. Также было выяснено, что одной из возможных методик определения лимитов является модель ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенщтерна, которая позволяет учесть отношение кредитора к риску.

На основе двух разновидностей функции ожидаемой полезности были предложены две модели, включающие ряд основных показателей, которые должны влиять на величину кредитных лимитов. Однако модели не прошли проверку на статистических данных. Поэтому было предложено усовершенствование модели, основанной на показательной функции ожидаемой полезности, которая должна лучше описывать поведение банка в условиях риска. В результате, итоговая модель, действительно, позволяет определять величину максимального лимита кредитовая. Однако не во всех случаях эта величина близка к размеру выданного банком кредита. Это говорит о необходимости более глубокого изучения, тестирования и усовершенствования модели.

Список использованной литературы

1. Bazzi M., Hasna C. Rating models and its Applications: Setting Credit Limits // Journal of Applied Finance & Banking. - Vol.5, no.5, 2015. - p. 201-216

2. Bouteille S., Coogan-Pushner D. The Handbook of Credit Risk Management: Originating, Assessing, and Managing Credit Exposures. - Willey Finance, 2013. - 352 p.

3. CreditMetrics^TM - TechnicalDocument. - RiskMetricsGroup, Inc., 2007. - 193 p.

4. Ghosh A. Managing Risks in Commercial and Retail Banking. - Willey Finance, 2012. - 480 p.

5. Horcher K. A. Essentials of Financial Risk Management - Willey Finance, 2005. - 257 p.

6. Laycock M. Risk Management at the Top: A Guide to Risk and Its Governance in Financial Institutions. - Willey Finance, 2014. - 336 p.

7. Principles for the Management of Credit Risk // Consultative paper issued by the Basel Committee on Banking Supervision, 1999.

8. Resti A., Sironi A. Risk Management and Shareholders' Value in Banking: From Risk Measurement Models to Capital Allocation Policies. - John Wiley & Sons Ltd, 2007. - 782 p.

9. Taylor J. A Unified Approach to Credit Limit Setting // The RMA Journal, 2002. - July/August [http://service. tabf.org. tw/tw/user/RiskMt/RMA/3956. pdf]

10. Thomas L. C. Credit Scoring and its Applications / L. C. Thomas, D. B. Edelman, J. N. Crook. - The Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002. - 248 p.

11. Алёхин Е.И. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций: учебно-методическое пособие / Е.И. Алехин - Орел: Издательство ОГУ, 2008. - 152 с.

12. Андрианова Е.П. Современные подходы к управлению кредитным риском в коммерческом банке // Научный журнал КубГАУ, 20013. - №87 (03). - 26 с.

13. Вестник Банка России, 2007. - №14 (1030) от 28 марта2008 года. - 36 с.

14. Вишневер В.Я., Соколов А.А. Управление кредитным риском как инструмент борьбы с возникновением проблемных активов // Вестник СГЭУ, 2013. - №3 (101). - С. 20-24.

15. Волошина О.Б. Подходы к определению лимита кредитования // Вестник ПГУ, 2013. - №4. - С.42-45.

16. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход: Учебник для вузов/Пер, с англ, под ред. НЛ. Фроловой. - М.: ЮНИТИ, 1997. - 767 с.

17. Гражданский кодекс Российской Федерации ст.329 п.1

18. Инструкция ЦБ PФ от 13.12.2012 г. №139-И "Об обязательных нормативах банков" [http://www.cbr.ru/PSystem/P-sys/139-I. pdf]

19. Информационно-аналитический документ Банка России о полноте и степени реализации крупнейшими российскими кредитными организациями современных рекомендаций международных институтов, устанавливающих стандарты финансовой деятельности в области корпоративного управления и систем управления рисками, 2013. [http://www.cbr.ru/analytics/bank_system/ssurkub. pdf]

20. Кабушкин С.Н. Управление банковским кредитным риском: учеб. пособие /С.Н. Кабушкин. - 4-е изд., стер. - Минск: Новое знание, 2007. - 336 с.

21. Ковалев П.П. Лимитирование корпоративного кредитования юридических лиц и некредитных организаций // Управление корпоративными финансами, 2006. - №02 (14). - С.38-51

22. Коровин Д.И. О нахождении функции полезности в теории Неймана-Моргенштерна // Вестник ИГЭУ, 2005. - №4. - С.1-5

23. Костюченко Н.С. Анализ кредитных рисков / Н.С. Костюченко. - СПб.: ИТД "Скифия", 2010. - 440 с.

24. Медведев Г.А. Теория принятия финансовых решений (оптимальные портфели): учеб. пособие / Г.А. Медведев, - Минск: БГУ, 2014. - 221 с.

25. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970. - 708 с.

26. Петров А.А., Помазанов М.В. Кредитный риск менеджмент, как инструмент борьбы с возникновением проблемной задолженности. // Банковское кредитование. 2008. № 6.

27. Положение ЦБ РФ от 26 марта 2004 г. №254-П "О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам, по судной и приравненной к ней задолженности" [http://www.cbr.ru/PSystem/P-sys/254-P. pdf]

28. Рудакова И.Е. Антипина О.Н. Вощикова Н. К. Экономическая теория. Вводный курс. Микроэкономика: Уч. / И.Е. Рудакова и др; Под ред. И.Е. Рудаковой - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 576 с.

29. Серенков П.С. , Гуревич В.Л. , Романчак В.М. , Янушкевич А.В. Методы менеджмента качества. Методология управления риском стандартизации / П.С. Серенков и др. - М.: НИЦ ИНФРА-М; Мн.: Нов. знание, 2014. - 256 с.

30. Тотьмянина К.М. Обзор моделей вероятности дефолта // Управление финансовыми рисками, 2011. - №1 (25) - С.12-24

31. Фантаццини Д. Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском. Часть 4: Управлениекредитнымриском // Прикладнаяэконометрика, 2009. - № 1 (13). - С.105 - 138

32. Фаррахов И.Т. Расчет лимитов межбанковского кредитования: новый подход // Оперативное управление и стратегический менеджмент в коммерческом банке, 2001. - №4. - С.8-14

33. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций. - М.: 2005. - 880 с.

34. Энциклопедия финансового риск-менеджмента // Под ред. канд. экон. наук А.А. Лобанова и А.В. Чугунова. - М: Альпина Бизнес Букс, 2009. - 487 с.

Приложения

Приложение 1. Данные по кредитам

№	Кредитор	Рейтинг вер-ти дефолта кредитора	1-Year Probability of Insolvency	Капитал банка. тыс. руб	Коэф. дост-ти капитала	Заемщик	Рейтинг вер-ти дефолта заемщика	1-Year Probability of Insolvency (заемщик)	Дата выдачи кредита	Сумма кредита, тыс. руб
1	Газпромбанк	BBB-	0,007	363 020 779	11,1	Роснефть	BBB	0,007	мар.13	184 400 000
2	Газпромбанк	BBB	0,0016	138 084 610	9,2	ОАО "Мобильные Телесистемы" (МТС)	ВВ+	0,0125	янв.09	12 543 960
3	ВТБ	BBB	0,0016	557 521 846	13,98	ОАО "Российские железные дороги"	BBB	0,0016	дек.12	30 000 000
4	ВТБ	BBB-	0,007	718 154 725	10,24	ОАО "МегаФон"	BB+	0,0125	дек.14	15 000 000
5	Райффайзен банк	BBB+	0,0013	84 645 735	14,15	Банк Русский Стандарт	B+	0,0614	дек.12	4 000 000
6	Сбербанк	BBB	0,0016	1 507 470 496	12,83	Вымпелком	ВВ+	0,0125	дек.11	15 000 000
7	Сбербанк	BBB	0,0016	750 119 000	20,2	Транснефть	BBB	0,0016	июн.09	1 431 000
8	Сбербанк	BBB	0,0016	750 119 000	20,2	"Акрон"	B+	0,0614	апр.09	719 000
9	Сбербанк	BBB	0,0016	770 245 000	20,2	ОАО "Кокс"	B	0,0831	ноя.09	3 000 000
10	Газпромбанк	BBB	0,0016	138 084 610	9,2	Лукойл	BBB-	0,007	фев.09	45 612 300
11	Промсвязьбанк	BB-	0,0396	87 798 972	11,01	Сибур	BB+	0,0125	сен.14	9 473 825
12	Сбербанк	BBB	0,0016	1 225 738 323	23,2	Новатэк	BBB	0,0016	дек.10	15 000 000
13	Сбербанк	BBB	0,0016	750 119 000	20,2	Северсталь	B+	0,0614	июн.09	9 287 520
14	ВТБ	BBB-	0,007	687 828 960	10,06	ТД "ТМК"	B+	0,0614	ноя.14	6 000 000
15	Промсвязьбанк	BB-	0,0396	90 934 388	11,13	ОАО"Уралкалий"	BBB-	0,007	авг.14	9 023 925
16	ВТБ	BBB	0,0016	469 344 155	12,37	Алроса	BB-	0,0396	май.12	4 593 735
17	Сбербанк	BBB	0,0016	1 464 455 082	16,76	"ЕвроХим"	BB	0,0179	окт.11	20 000 000
18	ВТБ	BBB	0,0016	524 100 000	14,4	Башнефть	BB	0,0179	май.10	16 500 000
19	Россельхозбанк	BBB-	0,007	272 252 244	16,26	Группа ЛСР	B	0,0831	июн.14	6 000 000
20	МДМ Банк	B+	0,0831	34 100 069	11,6	"Гражданские самолеты Сухого" ("ГСС")	BB-	0,0396	мар.15	3 011 690
21	Альфа Банк	BBB-	0,007	220 143 728	12,05	"Московская объединенная электросетевая компания" (МОЭСК)	BB	0,0179	авг.14	10 000 000
22	ВТБ	BBB-	0,007	379 664 250	10,52	"Московская объединенная электросетевая компания" (МОЭСК)	BB	0,0179	сен.14	8 000 000
23	Юникредит банк	BBB+	0,0013	76 276 769	15,87	Окей	B+	0,0614	ноя.10	1 500 000
24	Сбербанк	BBB	0,0016	750 119 000	20,2	ОАО "Российские железные дороги"	BBB	0,0016	июн.09	10 800 000
25	Связь-Банк	BB	0,0179	267 568 051	12,55	ООО "ТрансСервис"			авг.15	100 000 000
26	Альфа-Банк	BBB-	0,007	212 181 978	12,16	ОАО Назаровская ГРЭС	B	0,0831	июн.14	8 000 000 000
27	Абсолют банк	B+	0,0614	24 612 824	12,63	"Славнефть"			окт.14	3 000 000 000
28	ВТБ	Ba2	0,0179	1 105 036 829	16,2	Х5 Retail Group	BB	0,0179	сен.15	24 000 000
29	ВТБ	Ba2	0,0179	994 396 448	12,33	"Московская объединенная электросетевая компания" (МОЭСК)	BB+	0,0125	фев.16	5 500 000
30	ВТБ	Ba2	0,0179	1 105 036 829	16,2	Tele2	B+	0,0614	сен.15	15 000 000
31	Совкомбанк	B+	0,0614			Росатом	BBB-	0,007	сен.15	8 000 000 000
32	Газпромбанк	BB+	0,0125	636 239 694	12,36	Роснефть	BB+	0,0125	фев.16	37 300 000
33	Газпромбанк	BBB-	0,007	417 234 866	11,01	Башнефть	BB	0,0179	ноя.14	10 000 000
34	Сбербанк	BBB-	0,007	2 204 344 965	10,67	Федеральная пассажирская компания	BB+	0,0125	фев.15	10 000 000
35	ВТБ	BBB	0,0016	646 849 646	13,2	Мосэнерго	BB+	0,0125	ноя.13	3 750 000
36	ВТБ	BB+	0,0125	539 478 974	10,24	Транстелеком	B+	0,0614	дек.14	3 000 000
37	Сбербанк	BBB-	0,007	2 520 815 372	12,67	Мираторг	B+	0,0614	июл.15	7 600 000
38	Юникредит банк	BBB	0,0016	137 548 110	10,78	ООО "Лента"	BB-	0,0396	дек.14	11 500 000
39	Росэксимбанк	BB	0,0179	13 989 393	58,72	ФосАгро	BB+	0,0125	янв.16	3 000 000
40	Росбанк	BBB+	0,0013	86 738 746	12,91	О'кей	B+	0,0614	апр.13	3 000 000
41	Газпромбанк	BB+	0,0125	643 826 514	12,36	Энел Россия	BB+	0,0125	мар.16	10 000 000
42	Сбербанк	BBB-	0,007	2 678 956 688	11,89	Группа ЛСР	B	0,0831	янв.16	3 800 000
43	ВТБ	BB+	0,0125	994 396 448	12,33	Атомэнергопром	BBB-	0,007	фев.16	30 000 000
44	Сбербанк	BBB	0,0016	2 170 132 505	11,73	ГК "Пионер"	B-	0,1508	ноя.14	8 300 000
45	Альфа-Банк	BB+	0,0125	359 641 482	15,57	Магнит	BB+	0,0125	янв.16	4 000 000
46	ВТБ	BBB+	0,0013	486 671 455	19,35	Мосводоканал	BBB-	0,007	июн.11	1 500 000

Размещено на Allbest.ru