Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

1. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный - 4 ден. Ед. какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

Условие задачи:

стоимость	3	4
Состав удобрения	Количество удобрений	Необходимый минимум
	обычное	улучшенное
Азотное	3	2	10
Фосфорное	4	6	20
Калийное	1	3	7

1 составим математическую модель:

Обозначим через x_j количество кг удобрения

x₁- количество кг обычного удобрения;

x₂- количество кг улучшенного удобрения.

Цель - наименьшая стоимость удобрения,

F= 3x₁+4x₂ >min

Ограничения:

По азотным удобрениям 3х₁+2х₂?10

По фосфорным удобрениям 4х₁+6х₂?20

По калийным удобрениям 1х₁+3х₂?7

По смыслу х₁?0 х₂?0

Решим графическим способом.

Первое ограничение (по азоту) имеет вид 3х₁+2х₂?10 найдем пересечение с осями координат, т. е. 3х₁+2х₂=10 - l₁

Х1	0	10/3
Х2	5	0

0<10, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Второе ограничение 4х₁+6х₂=20 - l₂

Х1	0	5
Х2	10/3	0

0<20, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Третье ограничение х₁+3х₂=7- l₃

Х1	0	7
Х2	7/3	0

0<7 верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Для определения направления движения к оптиму построим вектор - градиента Їс (с₁;с₂), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (3;4).

Построим линию уровня l_0, приравняем целевую функцию к 0

3х₁+4х₂=0

Х1	0	-4
Х2	0	0

Передвигая линию уровня l0 в направлении обратном направлению вектора - градиента, т. к задача на минимум, достигнем минимальную точку целевой функции. Найдем координаты этой точки, решая систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку минимума:

(.) А = l₁?l₃

3х₁+2х₂=10, *3 «-»

4х₁+6х₂=20

5х₁=10

х₁=2

Подставим в первое уравнение 3*2+2х₂=10,

2х₂=10-6,

2х₂=4,

х₂=2.

Fmin=3*2+4*2=6+8=14 ден. ед.

График:

Ответ: чтобы обеспечить эффективное питание почвы при минимизированной стоимости, которая составила 14 ден ед, необходимо купить 2 набора обычного удобрения и 2 набора улучшенного. Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+?

2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

тип сырья	норма расхода сырья на одно изделие	запасы сырья
	А	Б	В	Г
1	2	1	3	2	200
2	1	2	4	8	160
3	2	4	1	?	170
цена изделия	5	7	3	?

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

§ Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

§ Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья 1 и2 вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья 3 вида;

§ Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

Сформулируем экономико - математическую модель задачи.

Переменные:

х₁- количество единиц продукции А,

х₂- количество единиц продукции Б,

х₃- количество единиц продукции В,

х₄- количество единиц продукции Г.

Целевая функция: F=5х₁+7х₂+3х₃+6х₄ >max,

Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

По 1 типу ресурса: 2х₁+х₂+3х₃+2х₄?200,

По 2 типу ресурса: х₁+2х₂+4х₃+8х₄?160,

По 3 типу ресурса: 2х₁+4х₂+х₃+х₄?170,

По смыслу х₁;х₂;х₃;х₄ ?0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решение означает, что максимальную выручку 460 ден ед, можем получит при выпуски 80 ед продукции А и 10 ед продукции Г. При это ресурсы 2 и 3 типа будут использоваться полностью, а из 200 ед сырья 1 типа будет использоваться 180 ед сырья.

Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи

Переменные:

у1- двойственная оценка ресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценка ресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценка ресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Целевая функция двойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b₁*y₁+b₂*y₂+…>min

G=200у₁+160у₂+170у₃>min

Ограничения:

Вы исходной задачи четыре переменных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.

a_11*y₁+a₁₂*y₂+…?c₁

a₁₂*y₁+a₂₂*y₂+…?c₂

по виду продукции А: 2у₁+у₂+2у₃?5,

по виду продукции Б: у₁+2у₂+4у₃?7,

по виду продукции В: 3у₁+4у₂+у₃?3,

по виду продукции Г: 2у₁+8у₂+у₃?6

по смыслу у₁; у₂; у₃?0

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности:

По 2 теореме- y_i*(?a_ij*x_j-b_i)=0 и x_j(?a_ij*y_i-c_j)=0,

у₁*(2х₁+х₂+3х₃+2х₄-200)=0 > у₁(2*80+0+3*0+2*10-200)=0 180<200, то у₁=0

у_2*(х₁+2х₂+4х₃+8х₄-160)=0 > у₂(80+2*0+4*0+8*10-160)=0 ,

у₃*(2х₁+4х₂+х₃+х₄-170)=0 > у₃*(2*80+4*0+0+10-170)=0.

В нашей задачи х1=800 и х4=100, поэтому первое и четвертое ограничение двойственной задачи обращаются в равенство:

2у₁+у₂+2у₃=5,

2у1+8у₂+у₃=6,

у₁=0,

у₂+2у₃=5,

8у₂+у₃=6,

Выразим через у₂=5-2у_3,

8*(5-2у₃)+у₃=6,

40-16у₃+у₃=6

-15у₃=-34,

у₃=34/15,

у₂=5-2*34/15=7/15,

у₁=0; у₂=7/15; у₃=34/15

G=200*0+160*7/15+170*34/15=460

Проверим выполняемость первой теоремы двойственности:

Fmax=Gmin=460

В нашей задачи в план выпуска не вошла продукция Б и В, потому что затраты по ним превышают цену на 3 ден ед (10-7=3) и 1,133 ден ед (4,1333-3=1,133) соответственно.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения у:

2*0+7/15+2*34/15=5=5,

0+2*7/15+4*34/15=10?7,

3*0+4*7/15+34/15=4,133?3,

2*0+8*7/15+34/15=6=6.

Так как запас ресурсов 1, 2 типа сырья изменяться на 8 и 10 единицы (увеличиться) и 3 типа уменьшаться на 5 единиц. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины b_i приводит к увеличению или уменьшению F.

F=?b_i*y_i

F=8*0+10*7/15+(-5)*34/15=-6,667, следовательно, увеличение запасов ресурсов 1 и 2 типа на 8 и 10 ед. и уменьшение 3 типа на 5 ед приведет к уменьшению значения целевой функции на -6,667 ден ед.

По условию задачи для изготовления изделия Д используется:

Сырье 1 типа а*₁=2,

Сырье 2 типа а*₂=2,

Сырье 3 типа а*₃=2

Ожидаемая прибыль от данного изделия Д с*=10 ден ед.

Для оценки целесообразности продукта Д, рассчитаем чистый доход

е=с*-?а*_i*y_i

е=10-(2*0+2*7/15+2*34/15)=4,533

следовательно, целесообразно включать в план изделие Д, т.к. е=4,5330.

3. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида, третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции У.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

предприятия	коэффициенты прямых затрат	конечный продукт
	1	2	3
1	0,2	0,1	0,2	150
2	0	0,1	0,2	180
3	0,1	0	0,1	100

Решение:

Найдем продуктивность А с помощью достаточного условия ||A||max(0,3;0,2;0,5)=0,5<1

Следовательно матрица А продуктивна

Подготовим таблицу матричного баланса

предприятия				конечный	валов. пр
	1	2	3
1	50,22293	23,08917	27,80255	150	251,1146
2	0	23,08917	27,80255	180	230,8917
3	25,11146	0	13,90127	100	139,0127
усл. ч. пр.	175,7803	184,7134	69,50637	430=430
вал. вып	251,1146	230,8917	139,0127		621,0191=621,0191

Используем соотношение Х=(Е-А)'*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валового выпуска для этого найдем: (Е-А)' - матрицу полных затрат (Е - единичная матрица),

1	0	0
Е = 0	1	0
0	0	1
	1	0	0		0,2	0,1	0,2		0,8	-0,1	-0,2
Е-А=	0	1	0	-	0	0,1	0,2	=	0	0,9	-0,2
	0	0	1		0,1	0	0,1		-0,1	0	0,9

Найдем обратную матрицу (Е-А)' используя функцию в Excel (fx/математическая/МоБР),

	1,289809	0,143312	0,318471
(Е-А)'=	0,031847	1,11465	0,254777
	0,143312	0,015924	1,146497

Найдем величины валовой продукции, используя в Excel (fx/математическая/МУМНОЖ)

	1,289809	0,143312	0,318471		150		251,1146
(E-A)'*Y=	0,031847	1,11465	0,254777	*	180	=	230,8917
	0,143312	0,015924	1,146497		100		139,0127

Рассчитаем величины производственных затрат по формуле

X_ij=a_ij*x_j

aij- технологическая матрица

xj-строка валового выпуска,

Х11=0,2*251,1146=50,22293	Х12=0,1*230,8917=23,08917	Х13=0,2*139,0127=27,80255
Х21=0*251,1146=0	Х22=0,1*230,8917=23,08917	Х23=0,2*139,0127=27,80255
Х31=0,1*251,1146=25,11146	Х32=0*230,8917=0	Х33=0,1*139,0127=13,90127

Для расчета величин условно чистой продукции используем соотношение баланса для производства: Z=xj-?xij
xij - по столбцу Z1=251.1146-(50.22293+0+25.11146)=175.7803 Z2=230.8917-(23.08917+23.08917+0)=184.7134 Z3=139.0127-(27.80255+27.80255+13.90127)=69.50637

Проверим баланс конечной и условно чистой продукции

?Y_I=?Z_J , ?X_i=?X_j,

Z=175.7803+184.7134+69.50637=430 =Y=150+180+100=430

Xi=251.1146+230.8917+139.0127=621.0191=Xj=251.1146+230.8917+139.0127=621.0191

Заполняем таблицу, подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.

4. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Недели	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Спрос на кредитные ресурсы	3	7	10	11	15	17	21	25	23

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Y(t)=a₀+a₁t параметры которой оценить МНК (Y(t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R\S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитывать при доверительной вероятности р=70%)

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

Недели	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Спрос на кредитные ресурсы	3	7	10	11	15	17	21	25	23

Построим график:

Проверим на анормальность - 9 неделю, у₉=23

Оставшиеся наблюдения

Недели	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос на кредитные ресурсы	3	7	10	11	15	17	21	25

Для оставшихся рассчитаем: у_ср - среднее значение; S_y - средне квадратичное отклонение, используя функции Excel;

Вычислим статистику Стьюдента - t_наб=| y*-y_ср|/S_y

у_ср= 13,625 (fx/статистические/СРЗНАЧ)

Sy= 6,836254457 (fx/статистическая/СТАНДОТКЛОН)

При L=5%, K=n-2=9-2=7,

t_кр= 2,36462256 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР)

t_наб= |23-13,625|/6,84=1,371364986

t_наб=1,37<t_кр=2,36

Следовательно, наблюдаемое у₉ не является аномальной и не требует замены.

С помощью программы РЕГРЕССИИ (в Excel сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ) рассчитаем и получим:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,983716989
R-квадрат	0,967699115
Нормированный R-квадрат	0,963084703
Стандартная ошибка	1,444200224
Наблюдения	9

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	437,4	437,4	209,7123	1,78531E-06
Остаток	7	14,6	2,085714286
Итого	8	452

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	1,166667	1,049187	1,111971949	0,302876	-1,31426491	3,648	-1,3143	3,6475982
Переменная X 1	2,7	0,186445	14,48144774	1,79E-06	2,259126889	3,141	2,25913	3,1408731

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	3,866667	-0,866666667
2	6,566667	0,433333333
3	9,266667	0,733333333
4	11,96667	-0,966666667
5	14,66667	0,333333333
6	17,36667	-0,366666667
7	20,06667	0,933333333
8	22,76667	2,233333333
9	25,46667	-2,466666667

Модель построена, ее уравнение у_t=a+b*t, t-момент времени, у_t- теоретическое моделирование значения У, а,b- коэффициенты модели

a=1.166666667, b=2.7, следовательно у_t=1,166666667+2,7t

коэффициент регрессии b=2,7, т. е. с каждым годом спрос на кредитные ресурсы финансовой компании в среднем возрастают на 2,7 млн. руб.

Рассмотрим столбец Остатки и построим с помощью «мастер диаграмм» в Excel график остатков:

1 подсчитаем количество поворотных точек р для рядов остатков - р=5

2 критическое количество определим формулой - р_кр=[2*(n-2)/3-1,96*v16*n-29/90]

[ ] - целая часть; n- количество исходных данных

р_кр=[2*(9-2)/3-1,96*v16*9-29/90]=2,451106=2

3 сравним фактическое р с р_кр

р=5 р_кр=2 следовательно, свойство случайности выполняется.

Для проверки независимости уровней ряда остатков:

1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина - Уотсона)

2 вычислить первый коэффициент автокорреляции r(1)

для расчетов подготовим -

?e²(t) = 14,6 - используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

?(e(t)-e(t-1))² = 32,32 - используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) - 1 массив кроме 1-го, 2 массив кроме последнего.

d=?(e(t)-e(t-1))² / ?e²(t) = 32,32/14,6=2,213699

По таблице Значения d-критерия Дарбина - Уотсона определим, что d₁= 1,08 и d₂= 1,36

Т.е. наше d=2,213699 € (1.08;1,36), следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d'=4-d=4-2,213699=1,786301, т.е d' € (1,36;2)

не выпол-ся доп. Прове-ка выпол-ся d'=4-d

0 d₁ d₂ 2 4 d

следовательно, свойство независимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормального распределения остатков вычислим R/S - статистику

R/S=e_max-e_{min /} S_e

е_max- максимальный уровень ряда остатков,

е_min- минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

е_max=2,2333333 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

е_min=-2,466666667 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,2333333 - (-2,466666667)/ 1,444200224=3,254396

Критический интервал (2,7;3,7), т.е R/S=3,254396 € (2,7;3,7), свойство нормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверки можно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениям определить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)

относит. погр-ти
28,88888889
6,19047619
7,333333333
8,787878788
2,222222222
2,156862745
4,444444444
8,933333333
10,72463768

E_{отн ср} =8,853564 - хороший уровень точности модели

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:

у₁₀=1,166666667+2,7*10=28,16666667

у₁₁=1,166666667+2,7*11= 30,86666667,

Ожидаемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около 28,16666667 млн. руб., а на 11 неделю около 30,86666667 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7, равен

t_кр(30%;7)=1,119159 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),

S_e=1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»,

t'_ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ) - средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

?(t-t'_ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

U₁=t*Se*v1+1/n+(t*-t')²/?(t-t'_ср)= 1,119159*1,444200224*v1+1/9+(10-5)²/60=1,997788

U₂=t*Se*v1+1/n+(t*-t')²/?(t-t'_ср)=1,119159*1,444200224*v1+1/9+(11-5)²/60= 2,11426

Далее вычислим верхнюю и нижнюю границы прогноза u_ниж=y₁₀-u₁; u_верх=у₁₀+u₁; u_ниж=y₁₁-u₁; u_верх=у₁₀+u₁

u_ниж=28,16666667-1,997788=26,16888

u_верх=28,16666667+1,997788=30,16445

u_ниж=30,86666667-2,11426=28,75241

u_ниж=30,86666667+2,11426= 32,98093

Спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 26,16888 млн. руб. до 30,16445 млн. руб., а на 11 неделю от 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.

Строим график: