Экономико-математическая модель зависимости цены М2 жилья на первичном рынке от полной себестоимости М2 строительства домов массового спроса в Приволжском федеральном округе

Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии, порядок проведения дисперсионного анализа. Оценка тесноты связи между ценами первичного рынка и себестоимостью с помощью показателей корреляции и детерминации, ошибки аппроксимации.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 07.08.2013
Размер файла 923,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

«Экономико-математическая модель зависимости цены жилья на первичном рынке от полной себестоимости строительства домов массового спроса в приволжском федеральном округе»

Исходные данные

Для разработки математической модели используются опытные данные, представленные в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Номер п/п

Области (республики)

Рыночные цены 1 жилья на первичном рынке y, тыс. руб.

Полная себестоимость 1 домов массового спроса x, тыс. руб.

1

Татарстан

42,97

30,3

2

Удмуртия

43,408

32,425

3

Чувашская

35,742

31,182

4

Кировская

43,806

32,646

5

Нижегородская

51,474

34,409

6

Оренбургская

39,044

29,098

7

Пензенская

39,3

29,289

8

Пермская

58,653

34,857

9

Самарская

61,194

35,108

10

Саратовская

35,39

29,305

11

Ульяновская

33,887

25,254

12

Мордовия

42,865

31,945

Введение

Анализ рынка жилья в Приволжском федеральном округе

В настоящее время для решения большого числа практических задач разработаны и широко применяются экономико-математические модели, в основу которых положены уравнения регрессии.

В настоящей курсовой работе стоит задача обосновать математическую модель цены жилья на первичном рынке в зависимости от полной себестоимости строительства домов массового спроса в Приволжском федеральном округе. Исходными данными для ее расчета являются реальные значения цен на первичном рынке в общих ценах и себестоимости строительства (всего 12 областей и республик). Для обоснования модели в курсовой работе рассматриваются линейные и нелинейные парные функции регрессии. В работе на основе полученных функций регрессии выполнен выбор математической модели, позволяющей прогнозировать цену жилья на первичном рынке.

В 2008 г. в Приволжском федеральном округе введено в эксплуатацию жилья общей площадью 13,55 млн. кв. метров, что составило 110,2% к предыдущему году (в 2007 г. было введено 12,29 млн. кв. метров, 122,7% к 2006 г.). На рис. 1 - рис. 4 приведены основные сведения по строительству жилья в Приволжском федеральном округе.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

На первичном рынке в ПФО в среднем цена на метр держится на уровне 33 500 рублей. Самые высокие показатели цены в среднем за метр на первичном рынке - в Нижегородской области, где кв. метр стоит 52 300 рублей, в Удмуртской Республике (38 900 рублей) и в Республике Башкортостан (35 900 рублей). Самые низкие показатели на сегодняшний день в пяти регионах: Республике Мордовия, Оренбургской, Пензенской и Саратовской областях. Здесь цены в среднем за квадратный метр балансируют на уровне между 20 тыс. и 24 тыс. рублей за квадратный метр. На вторичном рынке самая высокая цена в Удмуртской Республике - 47 000 рублей, в республике Башкортостан (46 100 рублей), в Пермском крае и Нижегородской области (по 39 000 тыс. рублей).

В качестве информации для анализа причин образования таких трендов в регионах можно привести цифры прошедшего года. В Приволжье в прошлом году эти показатели были следующими: в числе лидеров - Республика Башкортостан (0,42 кв. м на душу населения), Республика Татарстан (0,47), Чувашская Республика (0,6). В числе отстающих - Кировская область (0,2), Самарская область (также 0,2), Нижегородская область (0,24). За первое полугодие текущего года было введено в общей сложности 3,9 млн. кв. метров. Это, по сравнению с предыдущим годом, больше на 48%. Наибольшие объемы ввода жилья были продемонстрированы в Республике Татарстан (почти 1 млн.), в Республике Башкортостан (700 тыс.), Нижегородской области (400 тыс.). Наименьший объем ввода жилья был зафиксирован в Республике Мордовия, в Республике Марий Эл и в Кировской области - менее 10 тыс. кв. метров. Нужно отметить, что из 3,9 млн. построенных кв. метров 2,3 млн. построено индивидуальными застройщиками. Этот показатель на 44% больше, чем за аналогичный период прошлого года.

В среднем стоимость 1 кв. метра жилья по итогом второго квартала на первичном рынке увеличилась на 3%, на вторичном снизилась на 3%. В среднем на первичном рынке она составляет 32 тыс. рублей, на вторичном - 32 300 рублей. Основными показателями и факторами, которые влияют на рост стоимости жилья, оказались, помимо названных, увеличение стоимости строительных материалов и монтажных работ на 10%, а также спрос на жилье, рост доходов населения и увеличение объема выданных ипотечных кредитов на 40%. На сегодняшний день плановый показатель по предоставлению ипотечного кредита в среднем по регионам Приволжья выполнен на 60%, т.е. идет с опережением графика.

В качестве позитивных тенденций, которые в обозримом будущем должны повлиять на цену кв. метра, на обеспеченность людей жильем, можно назвать проекты комплексной застройки, которые сегодня взяли старт и уже реализуются в Пензенской, Кировской, Нижегородской, Саратовской, Самарской, Ульяновской областях, в Республике Татарстан и Чувашской Республике, а также проекты возведения новых, мощных современных производств в строительной индустрии. В частности, такие строительства начаты в Республике Мордовия, Чувашской Республике, Кировской, Оренбургской, Саратовской, Ульяновской областях, Удмуртской Республике и Республике Башкортостан. Главная составляющая - это обеспечение строительной деятельности нормативным материалом, и здесь можно сказать о том, что в целом ряде субъектов Приволжья проводится серьезная работа по разработке региональных планов градостроительного развития, схем территориального планирования муниципальных районов, городских округов. Тем не менее, приходится озвучивать такую цифру: субъектам России, входящим в Приволжский округ, необходимо утвердить 7 776 планов поселений, однако на 1 июля текущего года принято всего 1364, что составляет 18% от общего количества. Наиболее благополучная ситуация в Республике Башкортостан, Республике Татарстан, Чувашской Республике, Кировской и Нижегородской областях. Поэтому работа предстоит весьма большая.

1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

1.1 Расчет параметров линейной парной регрессии

уравнение линейный регрессия аппроксимация

Парная линейная регрессия имеет вид:

yx = a + b · x,

где yx - результативный признак, характеризующий теоретические цены жилья на первичном рынке; x - фактор (себестоимость строительства);

a, b - параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (цены жилья на первичном рынке) y от теоретических yx будет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

На основании исходных данных выполнены расчеты, которые при = 12 представлены в табл. 2.1

Таблица 2.1

Номер п. п.

%

1

30,3

42,97

918,09

1846,421

1301,991

41,292

1,678

3,905

2

32,425

43,408

1051,381

1884,255

1407,504

46,900

3,492

8,045

3

31,182

35,742

972,317

1277,491

1114,507

43,619

7,877

22,039

4

32,646

43,806

1065,761

1918,966

1430,091

47,483

3,677

8,394

5

34,409

51,474

1183,979

2649,573

1771,169

52,135

0,661

0,013

6

29,098

39,044

846,694

1524,434

1136,102

38,120

0,924

2,367

7

29,289

39,3

857,846

1544,49

1151,058

38,624

0,676

1,720

8

34,857

58,653

1215,011

3440,174

2044,468

53,318

5,335

9,096

9

35,108

61,194

1232,572

3744,706

2148,399

53,980

7,214

11,789

10

29,305

35,39

858,783

1252,452

1037,104

38,666

3,276

9,257

11

25,254

33,887

637,765

1148,329

855,782

27,975

5,912

17,446

12

31,945

42,865

1020,483

1837,408

1369,322

45,633

2,768

6,458

Сумма

375,818

527,733

11860,682

24068,699

16767,497

-

-

-

Среднее значение

31,318

43,978

988,390

2005,725

1397,3291

-

-

-

С учетом обозначений при n = 12

= (y1 + y2 + + y12)/12; = (x1 + x2 + + x12)/12;

= (y1x1 + y2x2 + … + y12 x12)/12;

= (x12 + x22 + … + x12)/12; Sx2 = 2.

Значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b = ()/( 2) = (1397,291 - 43,978 31,318) / (988,390 - 31,318 31,318) = 2,643;

a = - b = 43,978 - 2,643 31,318 = - 38,795.

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью цен жилья на первичном рынке в зависимости от себестоимости строительства, примет вид:

yx = 2,643 · x - 38,795.

На Рис. 5 представлены опытные значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке и его себестоимости, а также теоретические значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке в Приволжском федеральном округе. На Рис. 6 выполнено построение линейной функции регрессии.

Рис. 5

Рис. 6

1.2 Расчет параметров степенной парной регрессии

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут вычислены по алгоритму, изложенному в 2.1.1.

для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg y = lg a + b lg x.

Обозначим через Y = lg y; X = lg x; A = lg a. Тогда уравнение примет вид:

Y = A + b X.

Как отмечалось, для расчета параметров А и b используются соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично линейной сведен в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Номер п/п

1

3,411

3,761

11,635

14,145

12,829

43,053

0,083

0,193

2

3,479

3,771

12,103

14,220

13,119

48,567

5,159

11,885

3

3,440

3,576

11,834

12,788

12,301

45,307

9,565

26,761

4

3,486

3,780

12,152

14,288

13,177

49,158

5,352

12,218

5

3,538

3,941

12,517

15,532

13,943

53,976

2,502

4,861

6

3,371

3,665

11,364

13,432

12,355

40,064

1,02

2,612

7

3,377

3,671

11,404

13,476

12,397

40,554

1,254

3,191

8

3,551

4,072

12,610

16,581

14,460

55,232

3,421

5,833

9

3,558

4,114

12,659

16,925

14,638

55,941

5,253

8,584

10

3,378

3,566

14,411

12,716

12,046

40,572

5,182

14,643

11

3,229

3,523

10,426

12,412

11,376

31,142

2,745

8,101

12

3,464

3,758

11,999

14,123

13,018

42,296

0,569

1,327

Сумма

41,282

45,198

142,114

170,638

155,659

-

-

-

Среднее значение

3,440

3,767

11,843

14,220

12,972

-

-

-

Тогда

b = (-)/Sx2 = (12,972 - 3,44·3,767)/(11,843 - 3,44·3,44) = 1,729;

A = - b · = 3,766 - 1,729 ·3,440 = -2,184.

Таким образом, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

Y = -2,184 + 1,729·X.

Выполнив его потенцирование, получим:

y x = 0,113 x 1,729

Подставляя в последнее уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение yx. Эти значения приведены в табл. 2.2.

На Рис. 7 представлены опытные значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке и его себестоимости, а также теоретические значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке в Приволжском федеральном округе. На Рис. 8 выполнено построение степенной функции регрессии.

Рис. 7

Рис.

1.3 Расчет параметров показательной парной регрессии

Поскольку показательная функция относится к классу нелинейных по оцениваемым параметрам, то построению функции парной показательной регрессии

yx = a·bx

предшествует, как и в случае степенной функции регрессии, процедура линеаризации переменных с помощью логарифмирования обеих частей функции регрессии. После логарифмирования получим следующее выражение:

lg yх =lg a + x lg b.

Введя обозначения переменных и констант

Y = lg yх, A = lg a, B = lg b,

получим линейное уравнение регрессии в новых переменных:

Y = A + B x.

Для определения параметров все вычисления сведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Номер п/п

x

Y

x Y

x2

Y2

1

30,3

3,761

113,958

918,09

14,145

41,321

1,649

3,838

2

32,425

3,771

122,275

1051,38

14,220

46,580

3,172

7,307

3

31,182

3,576

111,507

972,317

12,788

43,427

7,685

21,501

4

32,646

3,780

123,402

1065,76

14,288

47,164

3,358

7,666

5

34,409

3,941

135,606

1183,97

15,532

52,093

0,619

1,203

6

29,098

3,665

106,644

846,694

13,432

38,613

0,431

1,104

7

29,289

3,671

107,520

857,846

13,476

39,031

0,269

0,685

8

34,857

4,072

141,938

1215,01

16,581

53,425

5,228

8,913

9

35,108

4,114

144,434

1232,57

16,925

54,187

7,007

11,451

10

29,305

3,566

104,502

858,783

12,716

39,066

3,676

10,387

11

25,254

3,523

88,970

637,765

12,412

31,089

2,798

8,257

12

31,945

3,758

120,049

1020,48

14,123

45,336

2,471

5,765

Сумма

375,81

45,198

1420,805

11860,6

170,63

-

-

-

Среднее значение

31,318

3,767

118,400

988,390

14,220

-

-

-

C учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:

B = / Sx2 = (118,400 - 3,76731,318)/(988,390 - 980,817) = 0,056;

A = - B = 3,767 - 0,05631,318 = 2,013.

Таким образом, получено уравнение

Y = 2,013 + 0,056x,

или после потенцирования

yx = 7,486 (1,058) x.

На Рис. 9 представлены опытные значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке и его себестоимости, а также теоретические значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке в Приволжском федеральном округе. На Рис. 10 выполнено построение показательной функции регрессии.

Рис. 9

Рис. 10

На Рис. 11 и Рис. 12 представлены все построенные функции регрессии

Рис. 11

Рис. 12

2. Дисперсионный анализ линейной функции регрессии

Центральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения на две части, а именно на объясненную (факторную) и остаточную:

, (*)

где - общая сумма квадратов отклонений;

- объясненная (факторная) сумма квадратов;

- остаточная сумма квадратов.

Результаты расчетов сведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Номер п/п

yi

| yi - |

(yi - )2

yxi

| yxi -|

(yxi -)2

| yi - yxi |

(yi - yxi)2

1

42,97

1,008

1,016

41,292

2,686

7,215

1,678

2,816

2

43,408

0,57

0,325

46,900

2,922

8,538

3,492

12,194

3

35,742

8,236

67,832

43,619

0,359

0,129

7,887

62,205

4

43,806

0,172

0,030

47,483

3,505

12,285

3,677

13,520

5

51,474

7,496

56,190

52,135

8,157

66,537

0,661

0,437

6

39,044

4,934

24,344

38,120

5,858

34,316

0,924

0,854

7

39,3

4,678

21,884

38,624

5,354

28,665

0,676

0,457

8

58,653

14,675

215,356

53,318

9,340

87,236

5,335

28,462

9

61,194

17,216

296,391

53,980

10,002

100,040

7,214

52,042

10

35,39

8,588

73,754

38,666

5,312

27,217

3,276

10,732

11

33,887

10,091

101,828

27,975

16,003

256,096

5,912

34,952

12

42,865

1,113

1,239

45,633

1,655

2,739

2,768

7,662

Сумма

527,733

78,777

860,189

527,745

-

632,013

-

226,333

Среднее значение

43,978

6,565

71,682

43,978

-

52,668

-

18,861

На основании выполненных расчетов имеем: 860,189 = 632,013 + 226,333. Погрешность равенства 0,2% следует отнести к вычислительной, а следовательно, равенство (*) выполняется.

Если коэффициент b изменить в 1,1 раза, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: yx = -46,938 + 2,903·x и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет, что следует из расчетов (табл. 2.5).

Таблица 2.5

Номер п/п

yi

| yi - |

(yi - )2

yxi

| yxi -|

(yxi -)2

| yi - yxi |

(yi - yxi)2

1

42,97

1,008

1,016

49,291

5,313

28,228

6,321

39,955

2

43,408

0,57

0,325

55,460

11,482

131,836

12,052

145,251

3

35,742

8,236

67,832

51,851

7,873

61,984

16,109

259,500

4

43,806

0,172

0,030

56,101

12,123

146,967

12,295

151,167

5

51,474

7,496

56,190

61,219

17,241

297,252

9,745

94,965

6

39,044

4,934

24,344

45,802

1,824

3,327

6,758

45,671

7

39,3

4,678

21,884

46,356

2,378

5,655

7,056

49,787

8

58,653

14,675

215,356

62,520

18,542

343,806

3,867

14,954

9

61,194

17,216

296,391

63,249

19,271

371,371

2,055

4,223

10

35,39

8,588

73,754

46,402

2,424

5,876

11,012

121,264

11

33,887

10,091

101,828

34,642

9,336

87,161

0,755

0,570

12

42,865

1,113

1,239

54,066

10,088

101,768

11,201

125,462

Сумма

527,733

78,777

860,189

629,95

-

1585,231

-

1052,76

Средн.зн.

43,978

6,565

71,682

52,247

-

132,103

-

87,731

Из таблицы следует:

860,189 ? 1585,231 + 1052,769,

т.е. .

На Рис. 13 результаты дисперсионного анализа для линейной функции регрессии представлены графически.

Рис. 13

3. Оценка тесноты связи цен на жилье на первичном рынке и себестоимости строительства с помощью показателей корреляции и детерминации

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:

rxy = b (Sx / Sy) = Mxy /(Sx / Sy) = ( - )/ SxSy.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах -1 ? rxy ? 1. Если коэффициент регрессии b > 0, то 0 ? rxy ? 1, и наоборот, при b < 0 -1 ? rxy ? 0.

Используя первое выражение для rxy, рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

rxy = b (Sx/Sy) = 2,639 (2,752/8,465) = 0,858.

Значение коэффициента корреляции показывает, что связь прямая, то есть с увеличением себестоимости строительства цены жилья на первичном рынке в общих ценах увеличиваются.

Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента rxy2, который называется коэффициентом детерминации линейной функции регрессии. Он характеризует долю дисперсии (разброса) цен на жилье на первичном рынке yx, объясняемую зависимостью от себестоимости строительства x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов, не учтенных функцией регрессии.

Соответственно величина 1 - rxy2 характеризует долю дисперсии цен на жилье на первичном рынке y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.

Определим коэффициент детерминации:

ryx2 = (0,858)2 = 0,736.

Следовательно, изменение стоимости цен квадратного метра жилья на первичном рынке на 73,6% объясняется изменением себестоимости строительства.

4. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии

Из графиков и приведенных в таблицах расчетных данных следует, что фактическое значение цен на жилье на первичном рынке y отличается от теоретического значения yx, рассчитанных по одному из уравнений регрессии. Очевидно, чем меньше это отличие, тем ближе опытные данные к теоретическим значениям и тем лучше качество модели.

Величина, представляющая собой разность опытного и теоретического результативного признака (y - yx) для каждого опыта представляет собой ошибку аппроксимации функции, связывающей цены на жилье на первичном рынке и себестоимость строительства. В данном случае число таких опытов равно двенадцати. Для оценки каждого опыта используются не сами разности, а абсолютные значения разностей опытного и теоретического результативных признаков, отнесенные к опытному признаку и выраженные в процентах, то есть:

Аi = | (yi - yxi) / yi |100%.

Таблица 2.6

№ п/п

Линейная регрессия

Степенная регрессия

Показательная регрессия

|yi - yxi|2

|yi - yxi|2

|yi - yxi|2

1

1,678

3,905

0,083

0,193

1,649

3,838

2

3,492

8,045

5,159

11,885

3,172

7,307

3

7,877

22,039

9,565

26,761

7,685

21,501

4

3,677

8,394

5,352

12,218

3,358

7,666

5

0,661

0,013

2,502

4,861

0,619

1,203

6

0,924

2,367

1,02

2,612

0,431

1,104

7

0,676

1,720

1,254

3,191

0,269

0,685

8

5,335

9,096

3,421

5,833

5,228

8,913

9

7,214

11,789

5,253

8,584

7,007

11,451

10

3,276

9,257

5,182

14,643

3,676

10,387

11

5,912

17,446

2,745

8,101

2,798

8,257

12

2,768

6,458

0,0569

1,327

2,471

5,765

Ср. зн.

3,624

8,377

3,466

8,351

3,197

7,340

Оценка качества всей функции регрессии может быть осуществлена как средняя ошибка аппроксимации - средняя арифметическая Аi:

А = (А1 + А2 + … + А12) / 12.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации линейной функции связи между ценами на жилье на первичном рынке и себестоимостью строительства:

А = 100,529· 100% / 12 = 8,377%.

Аналогично получим среднюю ошибку аппроксимации для степенной:

А = 100,209/12 = 8,351% и для показательной функции: А = 88,077/12 = 7,340%.

Их анализ показывает, что ошибка аппроксимации находится в допустимых для практического использования пределах, однако с теоретической точки зрения может быть продолжен поиск более качественной функции регрессии. Ниже приводятся графики ошибки аппроксимации линейной, степенной и показательной регрессий.

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

5. Сравнительная оценка силы связи себестоимости строительства с ценой на жилье на первичном рынке с помощью среднего коэффициента эластичности

Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится цена на жилье на первичном рынке жилья yx от своей величины при изменении себестоимости строительства x на 1% от своего значения. Для произвольной величины x он может быть вычислен по следующей формуле:

Э = yx' (x)· / yx.

С учетом приведенной формулы коэффициент эластичности Э для линейной функции регрессии

yx = -38,670 + 2,639 x

примет следующий вид:

Э = yx' (x) · / yx= b · / (a + b).

В таблице 2.7 вычислены коэффициент эластичности для линейной функции регрессии.

Таблица 2.7

№ п/п

x

y

y

A

y'

Эy(x)

1

30,3

42,97

41,292

3,905

2,639

1,937

2

32,425

43,408

46,900

8,045

2,639

1,971

3

31,182

35,742

43,619

22,039

2,639

2,302

4

32,646

43,806

47,483

8,394

2,639

1,975

5

34,409

51,474

52,135

0,013

2,639

1,742

6

29,098

39,044

38,120

2,367

2,639

2,014

7

29,289

39,3

38,624

1,720

2,639

2,001

8

34,857

58,653

53,318

9,096

2,639

1,726

9

35,108

61,194

53,980

11,789

2,639

1,716

10

29,305

35,39

38,666

9,257

2,639

2,000

11

25,254

33,887

27,975

17,446

2,639

2,382

12

31,945

42,865

45,633

6,458

2,639

1,847

Среднее значение

31,318

43,978

43,979

8,377

2,639

1,968

Аналогичные расчеты коэффициентов эластичности выполнены для степенной и для показательной функций. На Рис. 17 приведены их значения. Анализ разработанных математических моделей показывает, что изменение на 1% себестоимости строительства жилья, например, себестоимость строительства в Самаре, приводит к увеличению на 1,879 … 1,766% стоимости жилья на первичном рынке.

Рис. 17

При этом по линейной модели это увеличение составляет 1,879%, по степенной функции регрессии - 1,778%, по показательной функции регрессии - 1,766%.

6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

Оценку статистической надежности уравнения регрессии в целом будем производить с помощью F-критерия Фишера. При этом примем нулевую гипотезу H0, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияния на результат y, то есть себестоимость строительства не оказывает влияния на цены на жилья на первичном рынке. Альтернативная гипотеза H1 будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

Fфакт = Sфакт2 / Sост2,

где Sфакт2 - факторная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

Sфакт2 = ((yx1 - )2 + (yx2 - )2 + … + (yx12 - )2) / 1;

Sост2 - остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

Sост2 = ((y1 - yx1)2 + (y2 - yx2)2 + … + (y17 - yx12)2)/ n - 2.

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы H0 необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное Fтабл значение F-критерия Фишера - это максимальная величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б, который примем равным 0,05.

Если Fтабл < Fфакт, то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели отвергается и признается их статическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости б = 0,05 и степенях свободы к1 = 1, к2 = 10 получаем Fтабл = 4,97. Выполнив расчет, получим Fфакт = 632,013/22,633 = 27,924.

Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что Fтабл < Fфакт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.

7. Расчет прогнозного значения цены на жилье на первичном рынке по линейной модели при увеличении себестоимости строительства

Полученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу, следует рассчитать прогнозное значение цен жилья на первичном рынке, если прогнозное значение себестоимости строительства увеличится на 10% от среднего значения всей себестоимости. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости, равного 0,05.

Если прогнозное значение себестоимости строительства составит

xp = 1,1 · = 1,1 · 31,318 = 34,450,

то прогнозное точечное значение цен на жилье на первичном рынке можно вычислить по соотношению:

yxp = -38,670 + 2,639 · xp = -38,670 + 2,639 · 34,450= 52,244.

Для определения доверительного интервала прогноза цен необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:

myp = Sост·(1 + 1 / 12 + (xp - )2/((x1 - )2 + (x2 - )2 + + (x7 -

- )2))1/2 = 4,757 ·(1 + 1/12 + (34,450 - 31,318)2 / ((30,3 -

- 31,318)2 + (32,425 - 31,318)2 +…

…+ (31,945 - 31,318)2))1/2 = 5,190.

Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:

?yp = tтабл · myp = 2,228· 5,190 = 11,563.

Здесь tтабл - табличное значение t-статистки Стьюдента для числа степеней свободы n - 2 = 10 и уровне значимости 0,05.

Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза цены на жилье на первичном рынке при прогнозируемом увеличении себестоимости строительства на 10% можно вычислить по формулам:

yxp min = yxp - ?yp = 52,244 - 11,563 = 40,681;

yxp max = yxp + ?yp = 52,244 + 11,563 = 63,807.

Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95) прогнозируемое значение yxp = 52,244 будет накрыто диапазоном (40,681 - 63,807).

8. Реализация решенных задач на компьютере

Определение линейной функции регрессии выполним с помощью ППП Excel.

8.1 Реализация процедуры «ЛИНЕЙН»

Статистическая функция ЛИНЕЙН позволяет вычислить параметры линейной регрессии:

yx = a + b · x.

Вся регрессионная статистика будет выводиться по схеме:

Значение коэффициента b

значение коэффициента а

Среднеквадратическое отклонение b

среднеквадратическое

отклонение а

коэффициент детерминации

среднеквадратическое

отклонение y

F-статистика

число степеней свободы

регрессионная сумма квадратов

остаточная сумма квадратов

Алгоритм вычисления регрессионной статистики включает следующие этапы:

1) подготовку исходных данных;

2) выделение области пустых ячеек 5 2 для вывода результатов регрессионной статистики;

3) активизацию Мастера функций одним из способов:

а) в главном меню выбрать ВСТАВКА/ФУНКЦИЯ;

в) на панели СТАНДАРТНАЯ щелкнуть по кнопке ВСТАВКА ФУНКЦИИ;

4) в окне КАТЕГОРИЯ выбрать СТАТИСТИЧЕСКИЕ, в окне ФУНКЦИЯ - ЛИНЕЙН; затем щелкнуть по кнопке ОК;

5) заполнить аргументы функции;

6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Для раскрытия всей таблицы необходимо нажать на клавишу F2, затем нажать комбинацию клавишей CTRL + SHIFT + ENTER.

Ниже приводятся результаты регрессионной линейной математической модели цен жилья на первичном рынке в зависимости от себестоимости строительства в 12 областях (республиках) по статистическим данным РФ.

Значение коэффициента b

2,643182

Значение коэффициента a

-38,8019

Среднеквадратическое отклонение b

0,499229

Среднеквадратическое отклонение а

15,69511

Коэффициент детерминации

0,737064

Среднеквадратическое отклонение y

4,755782

F-статистика

28,032

Число степеней свободы

105

Регрессионная сумма квадратов

634,0128

Остаточная сумма квадратов

226,1746

8.2 Реализация процедуры «Анализ данных»

Для активизации надстройки «Пакет анализа» необходимо открыть меню «Сервис» и щелкнуть по строке «Надстройки…». В открывшемся меню следует отметить строку «Пакет анализа» и подтвердить выбор кнопкой «ОК».

Использование пакета анализа осуществляется выбором строки «Анализ данных…» в строке «Сервис» после выделения любой ячейки рабочего листа. Построение парной линейной регрессии выполняется с помощью инструмента «Регрессия» пакета анализа.

Инструмент анализа «Регрессия» пакета анализа данных Excel позволяет по введенным статистическим данным получить значения выборочных коэффициентов корреляции и детерминации, стандартного отклонения; разложения общей суммы квадратов на объясненную и остаточную, расчетное значение -статистики и уровень значимости на котором расчетная -статистика равняется соответствующей табличной величине; значения регрессионных параметров, их стандартные ошибки, и -статистики; таблицу теоретических значений и величины их отклонений от опытных данных; график статистических данных с линией регрессии и график остатков; и другие статистические оценки.

Вызов опции «Регрессия» осуществляется через надстройку «Анализ данных…» меню «Сервис».

Вызов надстройки «Анализ данных…» приведет к появлению списка инструментов анализа. В этом списке необходимо выбрать «Регрессия» и подтвердить выбор нажатием кнопки «ОК».

Интерфейс инструмента анализа «Регрессия» представляет собой диалоговое окно, в верхней части которого следует ввести статистические данные результирующей переменной в поле «Входной интервал Y» и данные фактора в поле «Входной интервал X». При необходимости построения уравнения регрессии вида нужно задать параметр «Константа-ноль». Параметр «Уровень надежности» в процентах определяет величину доверительной вероятности . В качестве выходного интервала удобно задать адрес ячейки непосредственно рядом с таблицей исходных данных. Рекомендует активизировать параметры «Остатки» (таблица теоретических значений результирующего показателя и соответствующие значения остатков), «График остатков» (график отклонений теоретических значений результирующего показателя от его опытных значений) и «График подбора» (график статистических данных с соответствующими теоретическими величинами, вычисленными по уравнению регрессии).

После подтверждения настроек нажатием кнопки «ОК» итоги регрессионного анализа высветятся в заданной области.

Ниже приведены пояснения к итогам расчетов инструмента анализа «Регрессия».

1. Регрессионная статистика:

Множественный R - выборочный коэффициент корреляции;

Rвадрат - выборочный коэффициент детерминации;

Нормированный Rвадрат - выборочный скорректированный на объем выборки коэффициент детерминации;

Стандартная ошибка - стандартная ошибка результирующей переменной;

Наблюдения - объем выборки.

2. Дисперсионный анализ:

Регрессия - строка таблицы, соответствующая объясненной сумме квадратов отклонений;

Остаток - строка таблицы, соответствующая остаточной сумме квадратов отклонений;

Итого - строка таблицы, соответствующая общей сумме квадратов отклонений;

df - столбец значений числа степеней свободы;

SS - столбец значений сумм квадратов отклонений;

MS - столбец значений сумм квадратов отклонений отнесенных к числу степеней свободы;

F - расчетное значение -статистики;

Значимость F - значение уровня статистической значимости, при котором табличное значение -статистики с числом степеней свободы 1 и будет равно расчетной -статистике (если это значение меньше заданного уровня значимости, то есть основание отвергнуть гипотезу о статистической ненадежности уравнения регрессии).

Y-пересечение - строка таблицы соответствующая свободному регрессионному коэффициенту;

Переменная X1 - строка таблицы соответствующая регрессионному коэффициенту при переменной ;

Коэффициенты - столбец значений регрессионных параметров;

Стандартная ошибка - столбец значений выборочных среднеквадратичных отклонений регрессионных параметров;

tтатистика - столбец расчетных значений -статистик регрессионных параметров;

3. Вывод остатков:

Наблюдения - номера наблюдений по порядку;

Предсказанное Y - теоретические значения результирующего показателя, соответствующие опытным величинам;

Остатки - отклонения (разность) теоретических значений результирующего показателя и соответствующих опытных значений.

8.3 Реализация процедуры «ТРЕНД»

Построению линий регрессии и получению регрессионных зависимостей в Excel с помощью процедуры «ТРЕНД» предшествует создание точечных графиков исходных данных. Построение точечных графиков начинается с вызова мастера диаграммы, в окне которого на вкладке «Стандартные» выбирается тип «Точечная» и вид позволяющий сравнивать пары значений.

Построение графика заключается в добавлении нового ряда статистических данных. Для этого на вкладке «Ряд» «Мастера диаграммы» необходимо нажать кнопку «Добавить». Добавление нового ряда данных требует ввода его имени и значений фактора и результирующего показателя соответственно в поля «Значения X» и «Значения Y».

На построенном графике следует щелкнуть правой кнопкой «мыши» по одной из точек графика и в появившемся меню выбрать «Добавить линию тренда». На вкладке «Тип» окна «Линия тренда» выбирается вид построения линии тренда «Линейная». Изменить название и использовать возможность отображения уравнения на диаграмме можно на вкладке «Параметры».

Выводы

1. В настоящей курсовой работе решена задача разработки математической модели цен жилья на первичном рынке в зависимости от себестоимости строительства. Исходными данными для ее расчета явились реальные значения цен жилья на первичном рынке и себестоимости в 12 областях (республиках), расположенных на территории Приволжского федерального округа РФ. Для выбора и обоснования модели в курсовой работе рассмотрены линейная, степенная и показательная математические модели.

2. Выполнена оценка тесноты связи цены жилья и себестоимости строительства с помощью показателей корреляции и детерминации. Сравнение показателей степени связи между ценами жилья и себестоимостями показывают, что для практических целей целесообразно использовать линейную модель, поскольку она обладает высоким коэффициентом детерминации и простотой.

3. Анализ ошибки аппроксимации функций регрессии позволяет заключить, что она находится в допустимых для практического использования пределах и средняя ее величина равна:

- для линейной функции: А = 100,529· 100% / 12 = 8,377%;

- для степенной функции: А = 100,209/12 = 8,351%;

- для показательной функции: А = 88,077/12 = 7,340%.

4. Осуществлена сравнительная оценка силы связи фактора (себестоимость строительства) с результатом (цены жилья на первичном рынке) с помощью среднего коэффициента эластичности. Из анализа разработанных математических моделей следует, что изменение на 1% себестоимости приводит к увеличению на 1,766 …1,879% стоимости жилья на первичном рынке. При этом по линейной модели это увеличение составляет 1,879%, по степенной функции регрессии - 1,778%, по показательной функции регрессии - 1,766%.

5. Полученные значения F-критерия Фишера при анализе качества линейного уравнения регрессии указывают, что Fтабл < Fфакт (4,97 < 27,924), что позволяет заключить о значимости выбранного для практического использования значит линейной функции регрессии.

6. Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95) линейная модель имеет приемлемую точность, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,569.

yxp min = 40,681; yxp max = 63,807.

7. Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакетов прикладных программ Excel и согласно разработанным в курсовой работе алгоритмам (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Экономико-математические модели»), показало высокую степень их совпадения.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Расчет уравнений линейной и нелинейной парной регрессии. Оценка тесноты связи расходов на перевозки и грузооборота с помощью показателей корреляции и детерминации. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии. Расчет прогнозного значения расходов.

    курсовая работа [2,5 M], добавлен 26.12.2014

  • Построение поля корреляции и формулирование гипотезы о форме связи. Параметры уравнений линейной, степенной и гиперболической регрессии. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Оценка средней ошибки аппроксимации уравнения.

    контрольная работа [136,3 K], добавлен 25.09.2014

  • Расчет параметров уравнения линейной регрессии, оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Определение средней ошибки аппроксимации. Статистическая надежность моделирования с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

    контрольная работа [58,3 K], добавлен 17.10.2009

  • Построение поля корреляции. Расчет параметров уравнений парной регрессии. Зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от некоторых факторов. Изучение "критерия Фишера". Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

    контрольная работа [173,8 K], добавлен 22.11.2010

  • Расчет параметров уравнения линейной регрессии, оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации; определение средней ошибки аппроксимации. Статистическая надежность регрессионного моделирования с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

    контрольная работа [34,7 K], добавлен 14.11.2010

  • Расчет параметров линейной регрессии. Сравнительная оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции, детерминации, коэффициента эластичности. Построение поля корреляции. Определение статистической надежности результатов регрессионного моделирования.

    контрольная работа [71,7 K], добавлен 17.09.2016

  • Построение гипотезы о форме связи денежных доходов на душу населения с потребительскими расходами в Уральском и Западно-Сибирском регионах РФ. Расчет параметров уравнений парной регрессии, оценка их качества с помощью средней ошибки аппроксимации.

    контрольная работа [4,5 M], добавлен 05.11.2014

  • Этапы и проблемы эконометрических исследований. Параметры парной линейной регрессии. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Расчет коэффициентов автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на потребление.

    контрольная работа [60,3 K], добавлен 05.01.2011

  • Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Построение поля корреляции и расчёт параметров линейной регрессии. Результаты вычисления функций и нахождение коэффициента детерминации. Регрессионный анализ и прогнозирование.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 07.08.2011

  • Определение параметров линейной регрессии и корреляции с использованием формул и табличного процессора MS Excel. Методика расчета показателей парной нелинейной регрессии и корреляции. Вычисление значений линейных коэффициентов множественной детерминации.

    контрольная работа [110,4 K], добавлен 28.07.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.