Экономико-математическое моделирование производства

16

1. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:

Питательное вещество	Количество питательных веществ в 1 кг корма
	1	2
А В	2 2	1 4
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

Введем обозначения:

Х1 - количество корма 1 вида;

Х2 - количество корма 2 вида.

Целевая функция - F = 0,2 х1 + 0,3 х2

Ограничения: 2х1+1х2?6

2х1+4х2?12

х1, х2?0

Решим задачу графическим способом

Первое ограничение имеет вид 2х1+1х2?6, найдем пересечение с осями координат

Х1	0	3
Х2	6	0

Второе ограничение 2х1+4х2?12, найдем пересечения с осями координат

Х1	0	6
Х2	3	0

Для определения направления движения к оптиму построим вектор - градиента Їс (с₁;с₂), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (0,2;0,3).

Этот вектор показывает направление наискорейшее изменение функции.

Прямая f(х) = 0,2х1 + 0,3х2 = а1, перпендикулярная вектору - градиенту, является линией уровня целевой функции.

Для нахождения координат точки максимума решаем систему

2х1 + х2 = 6

2х1 + 4х2 =12

-3х2 = -6

х2 = 2

2х1+2=6

2х1 =4

х1 =2

Ответ: (2;2)

Fmin = 0,2*2+0,3*2=0,4+0,6=1

График:

Ответ: чтобы затраты были минимальными необходимо расходовать 2ед. первого корма и 2 ед. второго корма.

Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+?

2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

тип сырья	норма расхода сырья на одно изделие	запасы сырья
	А	Б	В	Г
1	1	0	2	1	180
2	0	1	3	2	210
3	4	2	0	4	800
цена изделия	9	6	4	7

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

§ Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

§ Определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья 2 и 3 видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья 1 вида;

§ Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Сформулируем экономико - математическую модель задачи.

Переменные:

х₁- количество единиц продукции А,

х₂- количество единиц продукции Б,

х₃- количество единиц продукции В,

х₄- количество единиц продукции Г.

Целевая функция: F=9х₁+6х₂+4х₃+7х₄ >max,

Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

По 1 типу ресурса: 1х₁+0х₂+2х₃+1х₄?180,

По 2 типу ресурса: 0х₁+1х₂+3х₃+2х₄?210,

По 3 типу ресурса: 4х₁+2х₂+0х₃+4х₄?800,

По смыслу х₁;х₂;х₃;х₄ ?0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решение означает, что максимальную выручку 2115 ден. ед., можем получит при выпуски 95 ед. продукции А и 210 ед. продукции Б. При этом ресурсы 2 и 3 типа будут использоваться полностью, а из 180 ед. сырья 1 типа будет использоваться 95 ед. сырья.

Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи

Переменные:

у1- двойственная оценка ресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценка ресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценка ресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Целевая функция двойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b₁*y₁+b₂*y₂+…>min

G=180у₁+210у₂+800у₃>min

В исходной задачи четыре переменных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.

по виду продукции А: 1у₁+0у₂+4у₃?9,

по виду продукции Б: 0у₁+1у₂+2у₃?6,

по виду продукции В: 2у₁+3у₂+0у₃?4,

по виду продукции Г: 1у₁+2у₂+4у₃?7

по смыслу у₁; у₂; у₃?0

2. Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности:

По 2 теореме- y_i*(?a_ij*x_j-b_i)=0

у₁*(1х1+0х2+2х3+1х4-180)=0

у2*(0х1+1х2+3х3+2х4-210)=0

у3(4х1+2х2+0х3+4х4-800)=0

Если х=(95;210;0;0), то

у1(95-180)=0, т.к. 95<180=>у1=0

у2(210-210)=0

у3(4*95+2*210-800)=0

х_j(?a_ij*у_i-c_j)=0, если х_j>0, то ?a_ijу_i=c_j

х1=95>0=> у1+4у3=9 у3=9/4=2,25

х2=210=> у2+2у3=6 у2=6-2*9/4=1,5

у1=0 у1=0

Результат: Оптимальный план у=(0;1,5;2,25)

F(х)=2115

G(y)=180*0+210*1,5+800*2,25=315+1800=2115=>первая теорема о двойственности f(х)=g(у) выполняется.

3. Поясним нулевые значения переменных х_i в оптимальном плане.

Если ? a_ijу_i>с_j, то х_j=0

У нас х3=0,х4=0=>затраты на изделия В и Г превышают цену (См. отчет по устойчивости в столбце нормируемая стоимость).

4. а) Анализ использования ресурсов в оптимальном плане

Если у_i>0, то ? a_ijx_j = b_i, i=1,….,m,

Если ? a_ijx_j < b , то у_i =0, i=1,….,m.

У2=1,5; у3=2,25=>сырье 2 и 3 полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживают рост целевой функции.

Сырье 1 используется не полностью 95 из 180 это сырье не влияет на план выпуска продукции, т.е. не ограничивает рост целевой функции, общая стоимость используемых ресурсов g (0;1,5;2,25)=2115.

б) Если запасы сырья изменить 1-120, 2-330, 3-920, то выручка составит 2565 при оптимальном плане (65;330;0;0), остаток сырья 1 типа составит 120-65=55.

в) Если включить в план изделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицы каждого сырья, то выручка составит 2268 при оптимальном плане (112;142;0;0;34), при этом сырье будет полностью израсходовано.

3. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида, третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции У.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

предприятия	коэффициенты прямых затрат	конечный продукт
	1	2	3
1	0,0	0,1	0,2	180
2	0,1	0,2	0,1	200
3	0,2	0,1	0,2	200

Таблица матричного баланса

				конечный	валовый
предприятие		потребляющие		продукт	продукт
производящие	1	2	3
1	0	33,1	72,6	180	285,7
2	28,5	66,2	36,3	200	331
3	57,1	33,1	72,6	200	362,8
усл чист продукция	200	198,7	181,3	580
валовый продукт	285,6	331,1	362,8		979,5

Используем соотношение Х=(Е-А)'*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валового выпуска для этого найдем: (Е-А)' - матрицу полных затрат (Е - единичная матрица),

Найдем обратную матрицу (Е-А)' используя функцию в Excel (fx/математическая/МоБР),

	1,0750853	0,1706485	0,2901024
В=(Е-А)-1	0,1706485	1,2969283	0,2047782
	0,2901024	0,2047782	1,3481229

Найдем величины валовой продукции, используя в Excel (fx/математическая/МУМНОЖ

	1,0750853	0,1706485	0,2901024	*	180		285, 66553
В=(Е-А)-1*У	0,1706485	1,2969283	0,2047782		200		=331,05802
	0,2901024	0,2047782	1,3481229		200		362,79863

Рассчитаем величины производственных затрат по формуле

X_ij=a_ij*x_j

aij- технологическая матрица

xj-строка валового выпуска,

Х11=0,0*285,66553=0 Х12=0,1*331,05802=33,105802 Х13=0,2*362,79863=72,559726 Х21=0,1*285,66553=28,566553 Х22=0,2*331,05802=66,211604 Х23=0,1*362,79863=36,279863 Х31=0,2*285,66553=57,133106 Х32=0,1*331,05802=33,105802 Х33=0,2*362,79863=72,559726
Для расчета величин условно чистой продукции используем соотношение баланса для производства: Z=xj-?xij
xij - по столбцу Z1=285,66553-(0+28,566553+57,133106)=199,965871 Z2=331,05802-(33,105802+66,211604+33,105802)=198,634812 Z3=362,79863-(72,559726+36,279863+72,559726)=181,399315

Проверим баланс конечной и условно чистой продукции

?Y_I=?Z_J , ?X_i=?X_j,

Z=199,965871+198,634812 + 181,399315=580 =Y=180+200+200=580

Xi=285,66553+331,05802+362,79863=979,52218=Xj=285,66553+331,05802+

+ 362,79863=979,52218

Заполняем таблицу, подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.

4. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Недели	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Спрос на кредитные ресурсы	43	47	50	48	54	57	61	59	65

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Y(t)=a₀+a₁t параметры которой оценить МНК (Y(t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R\S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

Недели	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Спрос на кредитные ресурсы	43	47	50	48	54	57	61	59	65

Построим график:

Проверим на анормальность - 9 неделю, у₉=65

Оставшиеся наблюдения

Недели	1	2	3	4	5	6	7	8
Спрос на кредитные ресурсы	43	47	50	48	54	57	61	59

Для оставшихся рассчитаем: у_ср - среднее значение; S_y - средне квадратичное отклонение, используя функции Excel;

Вычислим статистику Стьюдента - t_наб=| y*-y_ср|/S_y

уср=52,375

(fx/статистические/СРЗНАЧ)

Sy= 6,3681686 (fx/статистическая/СТАНДОТКЛОН)

При L=5%, K=n-2=9-2=7,

t_кр= 1,8945786 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР)

t_наб= |65-52,375|/6,37=1,9819466

t_наб=1,98>t_кр=1,89

Следовательно, наблюдаемое у₉ не является аномальной и не требует замены.

С помощью программы РЕГРЕССИИ (в Excel сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ) рассчитаем и получим:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,970013862
R-квадрат	0,940926893
Нормированный R-квадрат	0,932487878
Стандартная ошибка	1,895064601
Наблюдения	9

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	400,4166667	400,4166667	111,497238	1,4929E-05
Остаток	7	25,13888889	3,591269841
Итого	8	425,5555556

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	40,8611	1,3767325	29,6798	1,27E-08	37,60566	44,1166	37,6057	44,11657
Неделя t	2,58333	0,2446518	10,5592	1,493E-05	2,004824	3,16184	2,00482	3,161843

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказ Спрос Y(t)	Остатки
1	43,4444	-0,4444444
2	46,0278	0,9722222
3	48,6111	1,3888889
4	51,1944	-3,1944444
5	53,7778	0,2222222
6	56,3611	0,6388889
7	58,9444	2,0555556
8	61,5278	-2,5277778
9	64,1111	0,8888889

Модель построена, ее уравнение у_t=a+b*t, t-момент времени, у_t- теоретическое моделирование значения У, а,b- коэффициенты модели

a=40,8611, b=2,6, следовательно у_t=40,8611+2,6t

коэффициент регрессии b=2,6, т. е. с каждым годом спрос на кредитные ресурсы финансовой компании в среднем возрастают на 2,6 млн. руб.

Рассмотрим столбец Остатки и построим с помощью «мастер диаграмм» в Excel график остатков:

1. Подсчитаем количество поворотных точек р для рядов остатков - р=5

2. Критическое количество определим формулой - р_кр=[2*(n-2)/3-1,96*v16*n-29/90]

[ ] - целая часть; n- количество исходных данных

р_кр=[2*(9-2)/3-1,96*v16*9-29/90]=2,451106=2

3 сравним фактическое р с р_кр

р=5 р_кр=2 следовательно, свойство случайности выполняется.

Для проверки независимости уровней ряда остатков:

1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина - Уотсона)

2 вычислить первый коэффициент автокорреляции r(1)

для расчетов подготовим -

?e²(t) = 25,14 - используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

?(e(t)-e(t-1))² = 69,72 - используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) - 1 массив кроме 1-го, 2 массив кроме последнего.

d=?(e(t)-e(t-1))² / ?e²(t) = 69,72/25,14=2,77327

По таблице Значения d-критерия Дарбина - Уотсона определим, что d₁= 1,08 и d₂= 1,36

Т.е. наше d=2,77327 € (1.08;1,36), следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d'=4-d=4-2,77327=1,22673, т.е d' € (1,36;2)

следовательно, свойство независимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормального распределения остатков вычислим R/S - статистику

R/S=e_max-e_{min /} S_e

е_max- максимальный уровень ряда остатков,

е_min- минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

е_max=2,055555556 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

е_min=-3,194444444 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,895064601 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,770354107

Критический интервал (2,7;3,7), т.е R/S=2,770354107 € (2,7;3,7), свойство нормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверки можно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениям определить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)

относит. погр-ти
-1,033591731
2,06855792
2,777777778
-6,655092593
0,411522634
1,1208577
3,369763206
-4,284369115
1,367521368
Е ср.отн=	-0,095228093

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:

у₁₀=40,8611+2,6*10=66,8611

у₁₁=40,8611+2,7*11=70,5611,

Ожидаемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около 66,8611 млн. руб., а на 11 неделю около 70,5611 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7, равен

t_кр(30%;7)=1,119159128 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),

S_e=1,895064601 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»,

t'_ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ) - средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

?(t-t'_ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

U₁=t*Se*v1+1/n+(t*-t')²/?(t-t'_ср)=1,119159128*1,895064601* v1+1/9+(10-5)²/60 = =2,621476416

U₂=t*Se*v1+1/n+(t*-t')²/?(t-t'_ср)=1,119159128*1,895064601*v1+1/10++(11-5)²/60= =2,765287696

Далее вычислим верхнюю и нижнюю границы прогноза u_ниж=y₁₀-u₁; u_верх=у₁₀+u₁; u_ниж=y₁₁-u₁; u_верх=у₁₀+u₁

u_ниж=66,8611-2,621476416=64,239623584

u_верх=66,8611+2,621476416=69,482576416

u_ниж=70,5611-2,765287696=67,795812304

u_ниж=70,5611+2,765287696=73,326387696

Спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 64,239623584 млн. руб. до 69,482576416 млн. руб., а на 11 неделю от 67,795812304 млн. руб. до 73,326387696 млн. руб.

Строим график: