Прогнозирование в регрессионных моделях

Размещено на http://www.allbest.ru

Прогнозирование в регрессионных моделях



Содержание

Введение

Глава 1. Сущность прогнозирования

1.1 Понятие прогнозирования и его особенности

1.2 Точечное и интервальное прогнозирование

1.3 Условное и безусловное прогнозирование

1.4 Прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок

Глава 2.Пример построения прогноза по эконометрической модели

2.1 Точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии

Заключение

Библиографический список



Введение

Процесс прогнозирования достаточно актуален в настоящее время. Широка сфера его применения. Прогнозирование широко используется в экономике. Прогнозирование позволяют управлять массовыми экономическими явлениями и процессами и предвидеть их развитие.

В современном быстро меняющемся мире, когда рыночная конкуренция становится все более жесткой, основной проблемой для предприятий является проблема выживания и обеспечения развития. В наши дни ни одно предприятие не может обойтись без прогнозирования и планирования своей дальнейшей деятельности. В условиях ожесточенной конкурентной борьбы, особенно на мировом рынке, уже недостаточно только поддержания высокого качества реализуемой продукции. Необходимы тщательный учет специфики требований потребителей в различных странах, анализ деятельности основных фирм-конкурентов, широкая рекламная компания, выбор оптимальных форм и методов сбыта, т.е. деятельность предприятия необходимо планировать и прогнозировать.

Современные условия рыночного хозяйствования предъявляют к методам прогнозирования очень высокие требования, в виду все возрастающей важности правильного прогноза для судьбы предприятия, да и экономики страны в целом.

Прогнозирование следует рассматривать как важнейшую функцию управления любой экономической системой, в том числе экономикой рыночного типа, поскольку формирование рыночных отношений связано с предпринимательской деятельностью, стратегического менеджмента и систем прогнозирования.

Прогнозирование является важным связующим звеном между теорией и практикой во всех областях жизни общества.

Обычно термин «прогнозирование» используется в тех ситуациях, когда требуется предсказать состояние системы в будущем. Для регрессионных моделей он имеет более широкое значение. Данные могут не иметь временной структуры, но и в этих случаях вполне может возникнуть задача оценить значение зависимой переменной для некоторого набора независимых, объясняющих переменных, которых нет в исходных наблюдениях. Именно в этом смысле - как построение оценки зависимой переменной - и следует понимать прогнозирование в эконометрике.

Общественные явления находятся не только во взаимной связи, но и в непрерывном движении, изменении, развитии -- именно это обусловливает необходимость прогнозирования.

Предметом прогнозирования в сфере является система, воспроизводящая объект исследования так, что на ее основе могут быть изучены структура и размещение социально-экономических явлений, их изменения во времени, связи зависимости.

Объектом прогнозирования является модель, интересующая исследователя.

Целью курсовой является выявление перспектив ближайшего будущего в области потребления домохозяйством в зависимости от располагаемого дохода и установление основных тенденций развития.

Для достижения поставленной цели представляется необходимым в рамках данной работы решение следующих задач:

1. Определить понятие «прогнозирование» и исследовать его особенности.

2. Рассмотреть точечное и интервальное, условное и безусловное прогнозирование.

3. Проанализировать прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок.

4. Провести точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии.



Глава 1. Сущность прогнозирования

1.1 Понятие прогнозирования и его особенности

Прогнозирование -- это вид познавательной деятельности человека, направленной на формирование прогнозов развития объектов, на основе анализа тенденций и закономерностей его развития.

Прогнозирование -- это научное, основанное на системе установленных причинно-следственных связей и закономерностей, выявление состояния и вероятностных путей развития явлений и процессов.

Оно предопределяет оценку показателей и дает характеристику явлений и процессов в будущем. Прогнозирование распространяется на такие процессы управления, которые в момент выработки прогнозов можно определить в весьма малом диапазоне, либо совсем невозможно, либо возможно, но требует учета действия таких факторов, влияние которых не может быть полностью или однозначно определено.[5]

Прогнозирование определяет реальность и благоприятность для хозяйственной структуры поставленных перед ней целей. Разумеется, что некоторые приемы и средства прогнозирования применяются и в процессе определения целей, особенно долгосрочных, но при выборе целей и определении степени их достижения главную роль играют субъективные факторы, в то время когда прогноз опирается на объективные процессы и явления.

Прогноз носит вероятностный характер, но обладает определенной достоверностью. Прогноз на практике - это предплановый документ, фиксирующий вероятную степень достижения поставленной цели в зависимости от масштаба и способа будущих действий

Задачи прогнозирования связаны с тем, что прогноз, помимо анализа возможностей, является основой для разработки стратегии, планирования и управления предприятием.

Прогноз должен определять:

- основные технические и организационно-экономические проблемы и сроки их решения;

- материалы, технологические процессы и оборудование, предназначенные для изготовления новой перспективной и традиционной продукции;

-ожидаемые объемы производства продукции у конкурентов и потребность в ней на рынках;

- ожидаемую себестоимость разработки и производства этой продукции;

- мощность предприятия, необходимую для разработки и изготовления новой продукции;

- потребность в трудовых ресурсах с учетом изменения их структуры, квалификации и ожидаемого роста производительности труда. Прогноз должен включать:

- краткий анализ развития прогнозируемого направления производства и характеристику его современного состояния;

- выявление перспективных технических и экономических проблем, уже решенных, но не получивших практического применения;

- оценку важности проводящихся исследований, требующих внимания и затрат для решения будущих проблем.[4]

Прогнозы можно подразделять в зависимости от целей, задач, объектов, времени упреждения, методов организации прогнозирования, источников информации и т. д. Большое количество таких признаков и отсутствие их строго определенных характеристик затрудняют создание единой классификации. [1]

Выбор методов прогнозирования осуществляется в соответствии с характером объекта, требований, предъявляемых к информационному обеспечению, а также на основе сравнения эффективности и оптимальности решения аналогичных задач. Отличительной чертой социально-экономических явлений и процессов является инерционность, проявляющаяся, с одной стороны в сохранении взаимосвязей прогнозируемого явления с другими явлениями , а с другой -- в сохранении тенденции во времени.[5]

Проблема прогнозирования имеет много различных аспектов. Можно различать точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае оценка - это конкретное число, во втором -интервал, в котором истинное значение переменной находится с заданным уровнем доверия. Выделяют также безусловное и условное прогнозирование в зависимости от того, известны ли интересующие нас объясняющие переменные точно или приближенно. Кроме того, для временных рядов при нахождении прогноза существенно наличие или отсутствие корреляции по времени между ошибками.

1.2Точечное и интервальное прогнозирование

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (у_p) значение как точечный прогноз при х_p=х_k, т. е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки , т. е. и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения (у*)

-<у*< + (1.1)

Чтобы понять, как строится формула для определения величин стандартной ошибки , обратимся к уравнению линейной регрессии:



(1.2)

Подставим в это уравнение выражение параметра b₁:

b₁₌ -b₀

тогда уравнение регрессии примет вид:

= -b₀+b₀ x=+b₀(x-) (1.3)

Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии b₀, т. е.

² = (1.4)

Из теории выборки известно, что . Используя в качестве оценки у² остаточную дисперсию на одну степень свободы S², получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной у:

(1.5)

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой

? (1.6)



Считая, что прогнозное значение фактора х_p=х_k, получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, т. е.

? = (1.7)

Соответственно имеет выражение:

(1.8)

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении х_k характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки как видно из формулы, достигает минимума при х_к =, и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между х_к и х, тем больше ошибка с которой предсказывается среднее значение у для заданного значения х_k. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак- фактор х находится в центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении х_к от . Если же значение х_к оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько х_к отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х.

Фактические значения у варьируют около среднего значения Индивидуальные значения у могут отклоняться от на величину случайной ошибки е , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S². Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S.

Рис. 1 Доверительный интервал линии регрессии: а -- верхняя доверительная граница; б -- линия регрессии; в -- доверительный интервал для при х_к; г -- нижняя доверительная граница

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения у составит:

(1.9)

При прогнозировании на основе уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения у, но и от точности прогноза значения фактора х. Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора. Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака у() может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели.[6]

1.3 Условное и безусловное прогнозирование

Безусловное прогнозирование

Термин безусловное прогнозирование означает, что вектор независимых переменных x_n+i известен точно.

Пусть есть еще один набор x_n+1 = (х_n+1,1,..., x_n+1,k)' объясняющих переменных и известно, что соответствующая зависимая переменная удовлетворяет модели у=Хв+е , т.е.

У_n+1 = х'_n+1в+е_n+1 (2.0)

где , Eе_n+1= 0, V(е_n+1) = у² , и случайная величина е_n+1 не коррелирована с е . Требуется по (у,Х,x_n+1) оценить y_n+1. Подчеркнем, что в данном случае надо построить оценку не параметра, а случайной величины.

Предположим, что мы знаем значения параметров в и у² . Тогда естественно в качестве оценки y _n+1= y величины y_n+1 взять Е (y_n+1) = x'_n+1в. Среднеквадратичная ошибка такого прогноза есть E(y_n+1 -y)² = Е(е²_n+1) = у².

Пусть параметры в и у² неизвестны, что, как правило, и бывает на практике. Обозначим и s² их МНК-оценки на основании модели у=Хв+е: = (Х'Х)^-1Х'у, s² = е'е/(n - к). Возьмем в качестве оценки у_n+1 величину

y =x'_n+1 в (2.1)

Нетрудно проверить, что поскольку Е = в, то Е y = Еу_n+1, т.е. оценка y является несмещенной. Оказывается, в классе линейных (по у) несмещенных оценок она обладает наименьшей среднеквадратичной ошибкой.[3]

Нетрудно проверить, что среднеквадратичная ошибка прогноза есть

Е(y -у_n+1)² = у²(1+ x'_n+1 (Х'X)^-lx_n+1). (2.2)

Заменим у² на ее оценку s² и обозначим

Получаем, что если ошибки (е_,е_n+1) имеют совместное нормальное распределение, то случайная величина (y -y_n+1)/д имеет распределение Стьюдента с n- к степенями свободы. Поэтому доверительным интервалом для y_n+1 с уровнем доверия б будет интервал (y - д t_б, y - д t_б) где t_б -- двусторонняя б -квантиль распределения Стьюдента с n - к степенями свободы.

Можно показать, что в случае парной регрессии, т. е. когда система у=Хв+е имеет вид

y_t = в₁ +в₂x_t + е_t t= 1,. . .,n,

формула (2.2) выглядит так:

(2.3)

где x=1/n ?x_t . Из (2.3) следует, что среднеквадратичная ошибка

прогноза минимальна при x_n+1= , и чем дальше x_n+1 от , тем шире соответствующий доверительный интервал (см. рис. 2).

Рис. 2 доверительный интервал

Условное прогнозирование

В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что независимая переменная x_n+1 известна точно. Однако на практике встречаются ситуации, когда в x_n+1 содержатся ошибки. Так, при прогнозировании временных рядов часто приходится прогнозировать значения независимых переменных, что неизбежно приводит к отклонениям от истинных значений. Поэтому рассмотрим задачу условного прогнозирования. Пусть выполнены соотношения у=Хв+е и (2.0), но вектор x_n+1 наблюдается с ошибкой

z = x_n+1+ u, (2.4)

где u - k х 1 случайный вектор, не зависящий от (е_,е_n+1).

Прогноз (2.1) заменяется теперь на

y = z' . (2.5)

Пусть е = y- y_n+1 -- ошибка прогнозирования. Тогда

Ее = Е(z' ) - x'_n+1 в = Е[(x_n+1 + u)'] - x'_n+1 в

= Е(x'_n+1 ) + Е(u' )- x'_n+1 в = 0,?

так как и u и в независимы и Еu = 0. Иными словами, оценка (2.5) является несмещенной. Из этого следует , что

Ее² = у² [l + x'_n+1 (X'X)^-lx_n+1+ у²_u tr((X'X)^-l)]+ у²_uв' в. (2.6)

Таким образом, при наличии ошибок в независимой переменной к ошибке прогнозирования (2.2) добавляются два новых положительных слагаемых, пропорциональных дисперсии у²_u.

В случае условного прогнозирования нельзя так же просто, как при безусловном прогнозировании, построить доверительный интервал для y_n+1. Это связано с тем, что при нормально распределенных ошибках (е,е_n+1,u) оценка у есть скалярное произведение двух независимых нормальных векторов. Поэтому доверительный интервал нельзя найти аналитически, однако существуют численные процедуры, позволяющие строить его приближенно.[3]

1.4 Прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок

Остановимся на задаче прогнозирования, когда ошибки в исходной модели у=Хв+е, (2.0) коррелированы по времени, а именно, образуют авторегрессионный процесс первого порядка:

е_t = p е_t+1 + v_t, t = 1,.. .,n,n+ 1, (2.7)

где {v_t, t = 1,..., n, n + 1} -- последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым средним и постоянной дисперсией у² , |р| < 1. Покажем, как можно использовать информацию об ошибках (2.7) для улучшения прогнозирования. Предположим, как и в начале этого раздела, что все параметры (в, р) известны. Но теперь в качестве оценки y величины У_n+i возьмем не x'_n+1 в, как раньше, а

y = x'_n+1 + p е_n = x'_n+1 в + р(y_n-x'_n). (2.8)

Нетрудно проверить, что

е = у_n+1 - y =v_n+1,

Откуда сразу следует, что Ее=0 и

Ее²= у²_v=(1-p²) у²_е (2.9)

Таким образом, удается уменьшить ошибку прогноза по сравнению со случаем некоррелированных ошибок.[3]

Реально параметры регрессии неизвестны, поэтому при прогнозировании величины y_n+1 в формуле (2.8) значения в и р заменяют их оценками:

Y= x'_n+1 в + r(y_n- x'_nв) (3.0)

Мы не можем дать аналитическое выражение для среднеквадратичной ошибки прогноза. На практике используют формулу (2.9) с заменой величины у²_v на ее оценку, получаемую из регрессии ,, при t=1.

Глава2. Пример построения прогноза по эконометрической модели

2.1 Точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии

Проведем регрессионный анализ зависимости объема потребления (руб.) домохозяйства от располагаемого дохода (руб), отобрана выборка n=12 (помесячно в течение года)..

Данные и расчеты представлены в таблице 1.

Табл.1 Исходные данные и расчеты.

месяц
1	10700	10200	114490000	109140000	104040000	10320,38	-120,38	14490,43
2	10900	10500	118810000	114450000	110250000	10511,75	-11,75	138,07
3	11000	10800	121000000	118800000	116640000	10607,44	192,56	37080,27
4	11300	11000	127690000	124300000	121000000	10894,50	105,50	11130,44
5	12000	11500	144000000	138000000	132250000	11564,31	-64,31	4135,66
6	12200	11700	148840000	142740000	136890000	11755,68	-55,68	3100,64
7	12300	11900	151290000	146370000	141610000	11851,37	48,63	2364,82
8	12800	12500	163840000	160000000	156250000	12329,81	170,19	28965,89
9	13600	13200	184960000	179520000	174240000	13095,30	104,70	10961,35
10	14000	13000	196000000	182000000	169000000	13478,05	-478,05	228533,84
11	14500	14100	210250000	204450000	198810000	13956,49	143,51	20595,73
12	15000	14400	225000000	216000000	207360000	14434,92	-34,92	1219,66
сумма	150300	144800	1906170000	1835770000	1768340000	143899,64	0,00	362716,80
ср.знач.	12525	12066,67	158847500	152980833,33	147361667

Согласно



Таким образом, уравнение парной регрессии имеет вид: . Можно сделать вывод, что объем потребления в среднем увеличивается на 81.8511 руб.

Рис.3 Линейная регрессионная модель

Для оценки дисперсии рассчитаем , а ряд фактических ошибок также , которые представлены в таблице.

Стандартная ошибка оценивания S=191, те в среднем наблюдаемые значения отличаются от расчетных на 191 руб.

Найдем стандартные ошибки оценок параметров

; .

;



Рассчитаем коэффициент детерминации :

Получаем, что оцененное уравнение на 99% объясняет поведение зависимой переменной- объема потребления домохозяйства.

Проверим статистическую значимость коэффициентов регрессии и :

и .

Критическое значение при уровне значимости равно . Так как , то гипотеза о статистической значимости коэффициента отклоняется.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии по формуле

прогнозирование регрессионный модель

где s(

, которые с надежность 95% будут следующими:

для

для

Проверка гипотезы о статистической незначимости осуществляется с помощью критической статистики



F_набл.=(n-2)*(R²/(1-R²)= 485717>F_б=(p,p-n-1)=4,96

То есть гипотеза отвеграется с вероятностью ошибки б.

Произведем точечный прогноз по формуле:

Таб.2 Точечный прогноз

точечный прогноз
месяц		прогноз
(1)13	15500	14913,36
(2)14	16000	15391,80
(3)15	16350	15726,70

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных объемов потребления

,

Где

Табл.3 Интервальный прогноз.

интервальный прогноз
месяц		точ.прогноз	нижняя граница доверит.инт-ла	верхняя граница доверит.инт-ала
(1)13	15500	14913,36	14443,73	15382,99
(2)14	16000	15391,80	15391,80	15391,80
(3)15	16350	15726,70	15726,70	15726,70

Таким образом с доверительной вероятностью 0,999 (или 99,9%) можно утверждать, что сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.



Заключение

Прогнозирование позволяет заглянуть в будущее и увидеть наиболее вероятные изменения в исследуемой области.

Анализ методов прогнозирования, изучение этих методов, использование их в разных сферах деятельности является мероприятием рационализаторского характера. Степень достоверности прогнозов можно затем сравнить с действительно реальными показателями, и, сделав выводы, приступить к следующему прогнозу уже с существующими данными, т.е. имеющейся тенденцией. Опираясь на полученные данные, можно во временном аспекте переходить на более высокую ступень развития и совершенствовать деятельность определенной сферы.

Изучив результаты работы можно признать цель работы в основном достигнутой. В нынешней ситуации, когда объем потребления и располагаемый доход является неотъемлемыми в нашей повседневной жизни, без контроля и планирования этой сферы нормальное функционирование национальной экономики практически невозможно. Поэтому нельзя не признать актуальность решаемых в курсовой работе задач.

По результатам проведенного исследования, решены следующие задачи:

1. Определены понятие «прогнозирование» и исследованы его особенности, позволяющие более глубже понять интересующую нас тему.

2. Рассмотрены точечное и интервальное, условное и безусловное прогнозирование.

3. Проанализировано прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок.

4. Проведено точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии.



Библиографический список

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.

2. Дорошенко О.В. Введение в эконометрику: практикум.-Краснодар: Кубан.гос.ун-т,2012

3. Мангуст Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., Эконометрика. Начальный курс.-М.:Дело,2005

4. Нанивская В.Г., Андронова И.В. Теория экономического прогнозирования: Учебное пособие. - Тюмень: ТюмГНГУ, 2010. -- 98 с.

5. Садовникова Н.А. Шмойлова Р.А., Анализ временных рядов и прогнозирование Выпуск 2 Учебное пособие Руководство по изучению дисциплины, Москва 2004

6.Эконометрика/ под ред. И.И. Елисеевой.-М.:Финансы и статистика,2014

Размещено на Allbest.ru