Структурная равноинтервальная группировка. Уравнение регрессии. Индивидуальные индексы

На основе данных, приведенных в таблице 2 приложения и соответствующих Вашему варианту (таблица 1) и требованиям преподавателя об интервале наблюдения, составить таблицу исходных данных и выполнить следующее:

1. Структурную равноинтервальную группировку по обоим признакам. Если вариация группировочного признака значительна, то при построении группировки по признаку № 1 необходимо определить оптимальное число равноинтервальных групп, а по признаку № 2 разбить совокупность на четыре группы. При небольшом числе вариант признака, положенного в основу группировки, каждая варианта представляет отдельную группу, результаты группировки необходимо представить в таблице и сделать выводы.

2. Аналитическую группировку, для этого определить признак-фактор и признак-результат, обосновав их выбор. Результаты представить в таблице. Сделать выводы о наличии и направлении взаимосвязи между признаками.

3. Комбинационную группировку по признаку-фактору и признаку-результату. Сделать выводы.

Таблица 1.1 - Исходные данные - социально-экономические показатели по регионам РФ, 2012 год

Структурная равноинтервальная группировка

Структурная группировка по признаку - площадь территории

Определим число групп признак №1 по формуле Стерджесса:

где n - число групп, а N - число единиц совокупности.

n = 1 + 3,322lg30 = 5,9 ? 6.

Выполним структурную группировку по площади территорий, и разобьем совокупность на 6 групп. Рассчитаем величину интервала:

Ширина интервала составит:

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Таблица 1.2 - Группировка регионов по признаку № 1

Вывод: На основании данной таблицы можно сделать вывод: самая многочисленная группа регионов (22 регионов из 30 или 74 %) имеет значения от 1,4 до 99,48 тыс.км.кв.

Структурная группировка по признаку - число автобусов общего пользования на 100 тыс. человек населения.

n = 4

Ширина интервала составит:

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Таблица 1.3 - Группировка регионов России по числу собственных легковых автомобилей

Вывод: наименьший удельный вес в группах от 93,75 до 125 по числу автобусов (два региона или 6 %), самый большой удельный вес в группе от 31,25 до 62,5 (12 регионов или 40%)

Аналитическая группировка

В данном случае признаком-фактором является площадь территории, тыс. кв. км., а признаком результатом - число автобусов общего пользования на 100 тыс. человек населения, шт.

Таблица 1.4 - Распределение регионов по признаку № 1

Вывод: Анализируя данную таблицу, можно сделать вывод: между рассматриваемыми признаками не наблюдается связи. Комбинационная группировка

Таблица 1.5 - Комбинационная таблица площади территории и числом собственных легковых автомобилей

На основании полученных данных, можно сделать вывод: между рассматриваемыми признаками не наблюдается связи.

Задание №2

1. На основе структурных группировок из задания 1 построить вариационные частотные и кумулятивные ряды распределения (по каждому признаку), оформить в таблицы, изобразить графически.

2. Проанализировать вариационные ряды распределения, вычислив для каждого из них:

среднее арифметическое значение признака;

медиану, квартили и моду;

среднее квадратическое отклонение;

коэффициент вариации.

3. Проверить теорему о разложении дисперсии, используя данные об аналитической группировке.

4. Изобразить корреляционное поле. Построить уравнение регрессии. Определить тесноту связи между признаками, используя дисперсионный и корреляционный анализ.

5. Сделать выводы.

Построение рядов распределения

Ряд распределения регионов по площади территории

Таблица 2.1 - Распределение регионов по площади территории

На основании данной таюлицы можно сделать вывод: самая многочисленная группа регионов (22 регионов из 30 или 74 %) имеет значения от 1,4 до 99,48 тыс.км.кв. Полигон накопленных частот (кумулята) по признаку 1 уже на третьем интервале достигает наибольшей частоты. Изобразим данные таблицы 2.1 графически с помощью гистограммы и кумуляты.

Рис. 2.1 - Гистограмма распределения регионов по площади территории

На основании данной гистограммы можно сделать вывод: самая многочисленная группа регионов (22 регионов из 30 или 74 %) имеет значения от 1,4 до 99,48 тыс.км.кв.

Рис. 2.2 - Кумулятивное распределение по площади территории

Полигон накопленных частот (кумулята) по признаку 1 уже на третьем интервале достигает наибольшей частоты.

Рис. 2.3 - Полигон по площади территории

Полигон частот - это график плотности вероятности случайной величины. Он представляет распределение дискретных и непрерывных признаков. График полигона частот являет собой ломаную линию, соединяющую точки, соответствующие средним значениям интервалов группировки (ось Х) и частотам интервалов (ось У). Согласно нашего графика наибольшая плотность от 50 до 148 тыс.км.кв (признак 1)

Ряд распределения регионов по числу автобусов общего пользования на 100 тыс. человек населения.

Таблица 2.2 - Распределение регионов по числу автобусов общего пользования на 100 тыс. человек населения

Наименьший удельный вес в группах от 93,75 до 125 по числу автобусов (два региона или 6 %), самый большой удельный вес в группе от 31,25 до 62,5 (12 регионов или 40%). Полигон накопленных частот (кумулята) по признаку 2 уже на втором интервале достигает наибольшей частоты. Изобразим данные таблицы 2.2 графически с помощью гистограммы и кумуляты.

Рис. 2.4 - Гистограмма распределения регионов по числу автобусов

Наименьший удельный вес в группах от 93,75 до 125 по числу автобусов (два региона или 6 %), самый большой удельный вес в группе от 31,25 до 62,5 (12 регионов или 40%)

Рис. 2.5 - Кумулятивное распределение регионов по числу автобусов

Полигон накопленных частот (кумулята) по признаку 2 уже на втором интервале достигает наибольшей частоты.

Рис. 2.6 - Полигон по числу автобусов

Согласно нашего графика наибольшая плотность от 15,63 до 47 автобусов (признак 2)

Анализ рядов распределения

Анализ ряда распределения регионов по площади территории

Таблица 2.3 - Распределение регионов по площади территории

Среднее арифметическое значение признака:

Вывод: По данным по 30 регионам среднее значение площади территории составляет 99,48 тыс.км.кв

Мода

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x0 - начало модального интервала; h - величина интервала; f2 -частота, соответствующая модальному интервалу; f1 - предмодальная частота; f3 - послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 18.3, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда - 58.18

Вывод: в большинстве регионов число площадь территории составляет 58,18 тыс.км.кв.

Медиана

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина - больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 18.3 - 409.72, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 68.27

Вывод: 50% регионов имеет значение площади территории менее 68,27 тыс.км.кв, а 50% регионов- более 68,27 тыс.км.кв

Квартили.

Квартили - это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1; 25% будут заключены между Q1 и Q2; 25% - между Q2 и Q3; остальные 25% превосходят Q3.

Таким образом, 25% единиц совокупности будут меньше по величине 34.84

Q2 совпадает с медианой, Q2 = 68.27

Остальные 25% превосходят значение 107.65.

Вывод: В четверти регионов площадь территории составляет менее 34,84 тыс.км.кв. и у четверти более 107,65 тыс.км.кв.

Среднеквадратическое отклонение:

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 99.48 в среднем на 112.54

Коэффициент вариации:

Поскольку v>70%, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Анализ ряда распределения регионов по числу собственных легковых автомобилей

Таблица 2.4 - Распределение регионов по числу автобусов общего пользования

Среднее арифметическое значение признака:

Вывод: среднее значение числа автобусов общего пользования равно 44

Мода:

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x0 - начало модального интервала; h - величина интервала; f2 -частота, соответствующая модальному интервалу; f1 - предмодальная частота; f3 - послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 159.2, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда - 35.16

Вывод: в большинстве регионов число автобусов составляет 35,16

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина - больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 159.2 - 247, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 41.67

Вывод: в 50% регионов число автобусов общего пользования более 41,67, а в 50% регионов менее 41,67.

Квартили - это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1; 25% будут заключены между Q1 и Q2; 25% - между Q2 и Q3; остальные 25% превосходят Q3.

Таким образом, 25% единиц совокупности будут меньше по величине 21.31

Q2 совпадает с медианой, Q2 = 41.67

Остальные 25% превосходят значение 61.2.

Вывод: В четверти регионов число автобусов общего пользования составляет менее 21,31, и у четверти более 21,31.

Среднеквадратическое отклонение:

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 44.79 в среднем на 27.87

Коэффициент вариации:

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

Проверка теоремы о разложении дисперсии (расчет дисперсий производится по результативному признаку (по признаку-результату) - число автобусов общего пользования на 100 тыс. населения)

Правило сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий.

; ;

1. Находим средние значения каждой группы.

Общее средние значение для всей совокупности:

2. Дисперсия внутри группы при относительном постоянстве признака-фактора возникает за счет других факторов (не связанных с изучением). Эта дисперсия называется остаточной:

Расчет для группы: 1.4 - 99.48 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22)

Определим групповую (частную) дисперсию для 1-ой группы:

Расчет для группы: 99.48 - 197.56 (23,24,25,26,27,28)

Определим групповую (частную) дисперсию для 2-ой группы:

Расчет для группы: 197.56 - 295.64 ()

Определим групповую (частную) дисперсию для 3-ой группы:

Расчет для группы: 295.64 - 393.72 ()

Определим групповую (частную) дисперсию для 4-ой группы:

Расчет для группы: 393.72 - 491.8 (29)

Определим групповую (частную) дисперсию для 5-ой группы:

Расчет для группы: 491.8 - 589.88 (30)

Определим групповую (частную) дисперсию для 6-ой группы:

3. Внутригрупповые дисперсии объединяются в средней величине внутригрупповых дисперсий:

Средняя из частных дисперсий:

4. Межгрупповая дисперсия относится на счет изучаемого фактора, она называется факторной

д2 = ((45.27-46.37)2*22 + (54.83-46.37)2*6 + (0-46.37)2* + (0-46.37)2* + (30-46.37)2*1 + (36-46.37)2*1 + ...)/30 = 27.73

Определяем общую дисперсию по всей совокупности, используя правило сложения дисперсий:

у2 = 886.97 + 27.73 = 914.7

Расчёт коэффициента корреляции

Изобразим корреляционное поле. Построим уравнение регрессии и определим тесноту связи между признаками, используя дисперсионный и корреляционный анализ.

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ?(yi - y*i)2 > min

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

Для наших данных система уравнений имеет вид

30a + 2706.9 b = 1391

2706.9 a + 697199.33 b = 114134.5

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.02511, a = 48.6327

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = -0.02511 x + 48.6327

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и обратная.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -0.0251 x + 48.63

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = -0.0251 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -0.0251.

Коэффициент a = 48.63 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 - прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная.

Таблица 2.5 - Расчетная таблица для определения линейного коэффициента корреляции

Изображение корреляционного поля и построение на нём ломаной регрессии.

На основе полученных данных построим график.

Рис. 2.7 - Корреляционное поле зависимости

В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и обратная.

Задание №3