Прогнозирование принятия управленческих решений

По данным, характеризующим изменение объемов продаж (Таблица 1):

1. Построить график изменения объема продаж во времени.

2. Применить метод трехчленной скользящей средней.

3. Построить систему нормальных уравнений и рассчитать константы прогнозирующей функции.

4. Определить наиболее вероятные объемы продаж в 13, 14, 15 месяцы.

5. Рассчитать возможные ошибки прогноза, определив доверительные интервалы для индивидуальных значений объема продаж в 13, 14, 15 месяцы.

6. Построить графики скользящей средней и прогнозирующей функции вида y_t=f(t)

Таблица 1

Исходные данные для выполнения заданий

Прогнозирующая функция - экспоненциальная.

Сравниваемая прогнозирующая функция - линейная.

Часть 2

Таблица 3

2. Применим метод трехчленной скользящей средней

Рис. 1. График изменения объема продаж во времени

Для этого вычисляем значения трехчленных скользящих средних по формуле:

=(y_t-1+ y_t+ y_t+1)/3, t = 2, 3,…, (n - 1),

Например,

Расчеты всех трехчленных скользящих средних представлены в табл. 3.

Рис. 2. Сглаживание ряда с помощью скользящей средней

1. Построим систему нормальных уравнений и рассчитаем константы прогнозирующей экспоненциальной функции

Для построения системы нормальных уравнений необходимо линеаризовать исходную функцию. С этой целью осуществляется замена переменных путем логарифмирования (в нашем случае):

Логарифмируем

lny_t = lna + bt

Обозначим

y_t¹= lny_ta₁ = ln a

Линеаризованное уравнение имеет вид:

y_t¹= a₁ +bt.

Система нормальных уравнений:

y_t¹= a₁n + bt

y_t¹t= a₁t + bt²

где n = 12 (объем выборочной совокупности)

Определим все суммы, включенные в систему нормальных уравнений. Результаты вычислений в таблице 4.

прогнозирование продажа доверительный интервал

Таблица 4

Таким образом,

Подставим полученные результаты в систему:

45,04 = 12a₁+ 78b

328,61 = 78a₁ +650b

И найдем константыa₁ и b

50,555=45,04-78b+100b

5,515=22b

b=0,25

Так как

a₁ =lna, то

lna=2,13

a=e^2,13

Таким образом,

a?8,4 и b=0,25

Следовательно, уравнение прогноза имеет вид:

Зная параметры уравнения тренда, можно определить расчетные значения переменной yдля всех месяцев предпрогнозного периода. Так расчетная величина (t= 1) составляет:

y_t=1 = 8,4*e^0.25*1 = 10,75

Результаты вычислений по всем месяцам приведены в табл. 4.

2. После того как мы получили прогнозирующую функцию, можно прогнозировать развитие процесса в будущем. Для этого подставим в полученное уравнение функции значения t = 13, 14, 15.

тыс.руб

тыс.руб

тыс.руб

3. Рассчитаем правильность подбора прогнозирующей функции (в нашем случае - экспоненциальной кривой), сравнив её с другой прогнозной функцией -- прямой линией.

3.1 Линейная функция дана формулой

y_t =a+bt

система нормальных уравнений:

y_t=na + bt,

y_tt =at + bt²

Определим все суммы, включенные в систему нормальных уравнений. Результаты вычислений в таблице 5.

Таблица 5

Решим полученную систему линейных уравнений:

740=12a + b78,

5854 =a78 + b650

b=7,3

a=14,22

Линейный тренд имеет вид:

= 14,22 + 7,3Чt

Таким образом, искомые уравнения тренда:

Экспоненциальная функция:

= 8,4Чe^0.25Чt

Линейная функция:

= 14,22+7,3Чt

3.2 Вычислим значение средней арифметической y_ср:

y_ср = = 740 : 12= 61,67

Рассчитаем статистические показатели, для чего промежуточные данные вычислений (для суммарных значений) запишем в табличной форме:

Таблица 6

3.3 Вычислим значения у²_ост ,у_{ост ,}V:

Для экспоненциальной функции:

у²_ост= =8115,01 : 12 = 676,25;

у_ост = = 26;

V= ()* 100%= 26/61,67*100% = 42,16

Для линейной функции:

у²_ост = 656,73:12 =54,73;

у_ост== 7,398;

V=7,398/61,67*100% =11,97

Сравнив эти три показателя между собой мы видим, что для линейной функции они значительно меньше, чем для экспоненциальной. Следовательно, линейная функция в нашем случае лучше подходит для уравнения прогноза.

3.4 Чтобы вычислить индекс корреляцииR_y/t, необходимо вычислить общую дисперсию у²_общ по формуле:

у²_общ= =8278,68 : 12 =689,89

Причем она одинакова для любой прогнозирующей функции (в нашем случае -- для экспоненциальной и линейной).

Рассчитаем значение индекса корреляции R_y/t:

Для экспоненциальной функции:

Ry/t = = 0,14

Для линейной функции:

Ry/t = = = 0,96

Чем больше индекс корреляции, тем сильнее взаимодействие между переменными tи y_t .Как видно значение индекса корреляции для линейной функции приближается к 1, т.е. очень высоко, что указывает на значительную тесноту связи между переменными. Для экспоненциальной функции оно достаточно низкое. Таким образом, и по критерию корреляции линейная функция подходит больше, нежели экспоненциальная.

3.5 Для определения возможной ошибки прогноза доверительные интервалы для индивидуальных значений объема продаж в 13,14 15 месяца рассчитываются по формулам:

y_t^в(н) = ± ?t ,

где y_t^в(н) -- максимально (в) и минимально (н) возможные значения объема продаж в момент времени t,

?t= t_ТD_ост,

t_Т -- табличное значение t-критерия Стьюдента.

D_ост -- остаточное среднее квадратическое отклонение:

D_ост =,

N -- количество констант в уравнении прогноза.

a. Рассчитаем доверительный интервал для прогнозного значения объема продаж на момент времени t = 13

Перейдем к переменной

t₁=lnt= 2,565;

t_1ср= = 19,987/12 = 1,67

(t_1ср)² = 2,79

t₁²/n =39,575/12 = 3,30

Вычислим D_ост - остаточное среднее квадратическое отклонение:

D_ост = = 28,487 , где

N- количество констант в уравнении прогноза (в нашем случае их 2 - a и b).

t_Т - табличное значение t-критерия Стьюдента. Определяется по таблице для параметра k = n-2 и доверительной вероятности 0,99;

t_Т = 3,17 для k = 12-2=10 и P = 0,99

Определим верхние и нижние значения доверительного интервала:

y₁₃^в = 216,64 + 3,17*28,487 v (2,565-1,67)²/(12*(3,30-2,79)) + 1/12 +1 =

216,64 + 99,515 = 316,155

y₁₃^н = 216,64 - 3,17*28,487 v (2,565-1,67)²/(12*(3,30-2,79)) + 1/12 +1 =

216,64 - 99,515 = 117,124

Точно также вычисляются значения доверительных интервалов для

t = 14 и t = 15

b. для t = 14

Перейдем к переменной

t₁=lnt= 2,639;

y₁₄^в = 278,21 +100,418 = 378,628

y₁₄^н = 278,21 - 100,418 = 177,792

c. для t = 15

t₁= lnt = 2,708

y₁₅^в = 357,17 + 189,957 = 547,127

y₁₅^н = 357,17 - 189,957 = 167,213

На основании этих вычислений можно с вероятностью 0,99 утверждать, что объем продаж в 13-й месяц будет находиться в интервале 117,12 - 316,16; в 14-й месяц объем продаж будет находиться в интервале 177,79 - 378,63; в 15-й месяц объем продаж будет находиться в интервале 167,21 - 547,13.

Часть 2

По данным, характеризующим изменение объема продаж (таблица 2), требуется выполнить следующие задания, используя программу Excel:

1. Построить графики исходной кривой, трехчленной скользящей средней, выбрать линию тренда, указать уравнение этой функции

В таблице 7 представлены данные для построения графика объема продаж.

Для того, чтобы построить графики, используя программу Excel, необходимо в документе Excel ввести столбец А - месяцы (1-24), ввести столбец B - объем продаж, в столбце С посчитать скользящие средние. Затем щелкнуть на кнопке Мастер диаграмм, расположенной на стандартной панели инструментов.

Таблица 7

Используя ряды данных А, В и С можно построить График. Чтобы построить Линию тренда, необходимо выделить ряд данных диаграммы, а затем выбрать команду Вставка и Линия тренда. Для того, чтобы вывести на график уравнение тренда, необходимо в меню Линии тренда в параметрах отметить пункт показывать уравнение на диаграмме.

На рисунке 3 представлены графики исходной кривой, трехчленной скользящей средней, линия тренда, указано уравнение этой функции.

Наибольшую достоверность аппроксимации даёт полиномиальная линия со степенью шесть (R² = 0,4346), которую и выбираем в качестве линии тренда.

Рис. 3

2. Используя функции ТЕНДЕНЦИЯ или РОСТ построить прогнозирующую функцию

В нашем случае линия, отражающая зависимость объема продаж от времени, резко изгибается в одном из направлений, - это означает, что взаимосвязь показателей носит нелинейный характер.

В случае нелинейной взаимосвязи функция Exel РОСТ поможет получить более точный прогноз.

Чтобы использовать функцию РОСТ, необходимо выделить ячейки D2:D25 и ввести следующую формулу, используя формулу массива:

= РОСТ (В2:В25;А2:А25)

Для ввода формулы массива надо нажать комбинацию клавиш <Ctrl+Shift+Enter>.

Рис. 4

3. Используя функции программы Excel, посчитать доверительные интервалы для 25-ого месяца

Вычислим по формуле прогнозирующей функции для t = 25

y₂₅ = 844,23

Доверительные интервалы для индивидуальных значений объема продаж рассчитываются по формуле:

y_t^в(н) = ± ?t ,

то есть необходимо посчитать ?t.

Для того, чтобы посчитать доверительные интервалы, воспользуемся функцией ДОВЕРИТ из программы Exel. Формат функции ДОВЕРИТ записывается следующим образом:

ДОВЕРИТ (альфа; стандартное отклонение; размер),

ь где (1- альфа) - значение вероятности, с которой значение y_t+1 попадет в доверительный интервал, для нашего примера P = 0,99 следовательно 1 - альфа =0,99; альфа = 0,01;

ь стандартное отклонение - это у_общ, где

у²_общ =

- общая дисперсия, учитывающая отклонения исходных значений y_tот средней арифметической y_ср.

ь размер - это размер выборки.

Вычислим

y_ср = = 10758 : 24= 448,25;

у²_общ = = 661546,9 /24= 27564,45

у_общ = v27564,45 = 166,02

n = 24

В ячейке вводим функцию ДОВЕРИТ (0,01; 166,02; 24);

В результате ?t =95,17

Тогда

y_t^в(н) = 844,23 ±95,17 ,

= 844,23 + 95,17 = 939,4,

= 844,23 - 95,17 = 749,06.

Размещено на Allbest.ru