9

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА

кафедра экономики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико - математические методы в управлении»

вариант №30

КАЛИНИНГРАД

2008

Задание

Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов С_j (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной b_i (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной а_ij. Цена единицы j-го продукта равна с_j. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

	C1	C2	C3	bi
cj	9	6	7
a1j	7	5	8	70
a2j	8	2	3	40
a3j	9	6	7	50

Задание 2.2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x₁ - 0.2x₁² + 0.8x₂ - 0.2x₂²

2x₁ + x₂ ? 10

x₁² -10x₁ + x₂ ? 75

x₂ ? 0

Задание 3.1.

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

требуется профилактический ремонт;

требуется замена отдельных деталей и узлов;

требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний - q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

	П1	П2	П3
a	13	9	15
b	20	12	11
c	18	10	14
q	0.3	0.45	0.25

л = 0.7

Задание 1.2.

Смесь можно составить из n продуктов С_j (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной b_i (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной а_ij. Цена единицы j-го продукта равна с_j. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

	C1	C2	C3	bi
cj	9	6	7
a1j	7	5	8	70
a2j	8	2	3	40
a3j	9	6	7	50

Смесь, минимальная по стоимости:

7x₁ + 5x₂ + 8x₃ ? 70

8x₁ + 2x₂ + 3x₃ ? 40

9x₁ + 6x₂ + 7x₃ ? 50

x₁ ? 0; x₂ ? 0; x₃ ? 0

F = 9x₁ + 6x₂ + 7x₃ > min

После транспонирования матрицы элементов a_ij, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:

S(y₁,y₂,y₃) = 70y₁ + 40y₂ + 50y₃ > max , при ограничениях:

7y₁ + 8y₂ + 9y₃ ? 9

5y₁ + 2y₂ + 6y₃ ? 6

8y₁ + 3y₂ + 7y₃ ? 7

y₁ ? 0; y₂ ? 0; y₃ ? 0

Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс - методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:

7y₁ + 8y₂ + 9y₃ + y₄ ? 9

5y₁ + 2y₂ + 6y₃ + y₅ ? 6

8y₁ + 3y₂ + 7y₃ + y₆ ? 7

y₁?0;y₂?0;y₃?0;y₁?0;y₂?0;y₃?0

S(y₁,y₂,y₃) = 70y₁ + 40y₂ + 50y₃ > max

По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆

Первая симплексная таблица:

Базис	Сб	А0	y1 70	y2 40	y3 50	y4 0	y5 0	y6 0
y4	0	9	7	8	9	1	0	0
y5	0	6	5	2	6	0	1	0
y6	0	7	8	3	7	0	0	1
		0	-70	-40	-50	0	0	0

Вторая симплексная таблица:

Базис	Сб	А0	y1 70	y2 40	y3 50	y4 0	y5 0	y6 0
y4	0	23/8	0	43/8	23/8	1	0	-7/8
y5	0	13/8	0	1/8	13/8	0	1	-5/8
y1	70	7/8	1	3/8	7/8	0	0	1/8
		245/4	0	-55/4	45/4	0	0	35/4

Третья симплексная таблица:

Базис	Сб	А0	y1 70	y2 40	y3 50	y4 0	y5 0	y6 0
Y2	40	23/43	0	1	23/43	8/43	0	-7/43
y5	0	67/43	0	0	67/43	-1/43	1	-26/43
y1	70	29/43	1	0	29/43	-3/43	0	8/43
		2950/43	0	0	800/43	110/43	0	280/43

В последней таблице в строке Д нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума S_max = 2950/43 достигнута при значениях: y₁ = 29/43; y₂ = 23/43; y₃ = 0.

По теореме двойственности: F_min = S_max = 2950/43.

На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:

y₄ x₁ = 110/43 y₅ x₂ = 0 y₆ x₃ = 280/43

Ответ: В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C₁, 280/43 единиц продукта C₃, а продукт C₂ не включать.

Задание 2.2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x₁ - 0.2x₁² + 0.8x₂ - 0.2x₂²

2x₁ + x₂ ? 10

x₁² -10x₁ + x₂ ? 75

x₂ ? 0

В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.

Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x₁ и x₂, разделив левую и правую части формулы на -0.2:

-5Z = x₁² -18x₁ + x₂² - 4x₂

Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:

9² и 2² в сумме составляют 85:

85 - 5Z = (x₁ - 9)² + (x₂ - 2)²

В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X₁OX₂. Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.

Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:

Z^”_x1x1 Z^”_x1x2 = -0.4 0

Z^”_x2x1 Z^”_x2x2 0 -0.4

Определим знаки главных миноров данной матрицы.

Главный минор первого порядка -0.4 < 0.

Главный минор второго порядка 0.16 > 0.

Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z - строго вогнута. Экстремум вогнутых функций - max, следовательно в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.

Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:

x₁² - 10x₁ + x₂ ? 75

x₁² - 10x₁ + 25 + x₂ ? 100

(x₁ - 5)² + x₂ ? 100

(x₁ - 5)² ? 100 - x₂

Уравнение (x₁ - 5)² = 100 - x₂ выразим через переменные x₁^* и x₂^*:

x₁^* = x₁ - 5

x₂^* = 100 - x₂

Уравнение примет вид: x₁^*2 = x₂^*.

В системе координат X₁^*O^*X₂^* данное уравнение является каноническим уравнением параболы.



На рисунке область допустимых значений - ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:

max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17

Задание 3.1

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1) требуется профилактический ремонт;

2) требуется замена отдельных деталей и узлов;

3) требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний - q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

	П1	П2	П3
a	13	9	15
b	20	12	11
c	18	10	14
q	0.3	0.45	0.25

л = 0.7

Составим платёжную матрицу, в которой П_j - состояния оборудования, А_i - альтернативы принятия решений:

	П1	П2	П3
А1	-13	-9	-15
А2	-20	-12	-11
А3	-18	-10	-14

Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

а). на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q₁ = 0.3; q₂ = 0.45; q₃ = 0.25

Критерий Байеса.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: a_i = ?a_ijЧq_j

a₁ = -11.7 a₂ = -14.15 a₃ = -13.4

	П1	П2	П3	ai
А1	-13	-9	-15	-11.7
А2	-20	-12	-11	-14.15
А3	-18	-10	-14	-13.4
qj	0.3	0.45	0.25

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max a_i = a₁ = -11.7 - первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.

б). имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

Критерий Лапласа.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: a_i = 1/3?a_ij

a₁ = -12.3 a₂ = -14.3 a₃ = -14

	П1	П2	П3	ai
А1	-13	-9	-15	-12.3
А2	-20	-12	-11	-14.3
А3	-18	-10	-14	-14

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max a_i = a₁ = -12.3 - первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.

в). о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

Критерий Вальда.

Для каждой альтернативы определим наихудший исход. d_i - минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный d_i.

	П1	П2	П3	di
А1	-13	-9	-15	-15
А2	-20	-12	-11	-20
А3	-18	-10	-14	-18

max d_i = d₁ = -15 - первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.

Критерий Сэвиджа.

Для каждого столбца находим максимальный элемент в_j.

	П1	П2	П3
А1	-13	-9	-15
А2	-20	-12	-11
А3	-18	-10	-14
вj	-13	-9	-11

Построим матрицу рисков, элементы которой: r_ij = в_j - a_ij

			max ri
0	0	4	4
7	3	0	7
5	1	3	5

В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: min r = r₁ = 4 - первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.

Критерий Гурвица.

Для каждой строки находим минимальный d_i и максимальный в_j.

	П1	П2	П3	di	вj	чi
А1	-13	-9	-15	-15	-9	-13.2
А2	-20	-12	-11	-20	-11	-17.3
А3	-18	-10	-14	-18	-10	-15.6

ч_i = л Ч d_i + (1 - л) Ч в_j л = 0.7

Максимальный из элементов последнего столбца: max ч_i = ч₁ = -13.2 - первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.