Физика разрушения горных пород при бурении нефтяных и газовых скважин

Шаровой тензор напряжений и тензор-девиатор напряжений, выраженные через главные нормальные напряжения, имеют вид:

,

???--s_??--=--(s₁--+--s₂--+--s₃)--/--3 и

.

Главные касательные напряжения тензора напряжений T_н выражаются через главные нормальные напряжения

t₁--=--(s_2--?--s₃)--/--2,--t₂--=--(s_1--?--s₃)--/--2,--t₃--=--(s_1--?--s₂)--/--2,

векторы которых лежат на трех парах взаимно перпендикулярных плоскостей, делящих пополам углы между главными осями тензора напряжений.

Величина главных касательных напряжений тензора напряжений T_н совпадает с величиной главных касательных напряжений тензора-девиатора напряжений T_н^д. В справедливости этого легко убедиться, выразив главные касательные напряжения тензора-девиатора через главные нормальные напряжения s_1-----s_??,--s_2-----s_??,--s_3-----s_??:

t₁^?--=--[(s₂--?--s_??)-----(s₃--?--s_??)]--/--2--=--(s_2--?--s₃)/2--=--t₁;

t₂^?--=--[(s₁--?--s_??)-----(s₃--?--s_??)]--/--2--=--(s_1--?--s₃)/2--=--t₂;

t₃^?--=--[(s₁--?--s_??)-----(s₂--?--s_??)]--/--2--=--(s_1--?--s₂)/2--=--t₃.

В механике сплошной среды большую роль играет первый инвариант тензора напряжений I₁(T_н) и второй инвариант девиатора напряжений I₂(T_н^д). Через главные нормальные напряжения они имеют следующий вид:

I₁(T_?)--=--(s₁--+--s₂--+--s₃);

I₂(T_?^?)--=--[(s_1--?--s₂)²--+--(s_2--?--s₃)²--+--(s_1--?--s₃)²]--/--6.

Через второй инвариант девиатора напряжений вводится понятие интенсивности напряжений:

- интенсивность нормальных напряжений

??????????????????????????????????????????????????

s_i = [ 3I₂(T_н^д) ]^0,5, (1)

- интенсивность касательных напряжений

--t_i = [ I₂(T_н^д) ]^0,5. (2)

Через главные нормальные напряжения величины ?_i, ?_i выражаются следующим образом:

s_i--=--[(s_1--?--s₂)²--+--(s_2--?--s₃)²--+--(s_3--?--s₁)²]^_.5--/--2^_.5--;

t_i--=--[(s_1--?--s₂)²--+--(s_2--?--s₃)²--+--(s_3--?--s₁)²]^_.5--/--6^_.5--.

Напряженное состояние в любой точке деформируемого тела определено, если в любой точке этого тела известны значения среднего нормального напряжения ?_ср и интенсивности касательного напряжения ?_i.

2.1.2 Вектор перемещения и деформированное состояние в «точке» Приложение к твердому телу напряжений и его деформирование приводит к возникновению в теле поля перемещений: каждая точка тела перемещается из одного положения в другое. Такое перемещение точки под действием сил из начального положения в конечное характеризуется вектором перемещения (вектором деформации) U. В вектор-ном виде вектор деформации представим следующим образом:

U = r' - r,

где r', r - радиус-векторы, характеризующие положение рассматриваемой точки после и до приложения сил, соответственно. Вектор U имеет следующие проекции на оси координат X, Y, Z, соответственно: u, v, w.

Полное перемещение деформируемых точек в трехмерном пространстве определяется формулой

d = (u² + v² + w²)^0,5

и является непрерывной функцией координат.

Деформированное состояние в «точке», также как и напряженное состояние, описывается тензором, отвечающим за изменение геометрии рассматриваемой «точки»: изменение её объёма и формы.

Представим «точку» в виде элементарного куба. Рассмотрим одну грань куба, лежащую в плоскости YX (рис. 3). До механического нагружения «точки» грань куба ОАБС имеет следующие размеры: ОА =? Дy, ОС = Дx. После деформации отрезки ОА, ОС изменят не только свои размеры, но и направления. По этой причине деформация «точки» слагается из линейных (?_x, ?_y, ?_z) и сдвиговых (угловых) (?_xy,??_xz, ?_yx,??_yz, ?_zx, ?_zy) деформаций. Соответственно этому и тензор деформаций состоит из линейных и сдвиговых компонент:

.

Деформация, соответствующая нормальным напряжениям тензора напряжения, выражается через относительное изменение линейного размера тела l. Линейная деформация может быть абсолютной и в этом случае она определяется формулой (l_к - l_н) = Дl, где l_к - линейный размер тела после деформирования, l_н - начальный линейный размер тела, и относительной

e--=--Dl--/--l_?.

Рис.3. Пример векторов перемещения и физический смысл компонент тензора

Принято считать относительную линейную деформацию положительной, если она происходит при сжатии тела, и отрицательной - при растяжении тела.

Линейная относительная деформация, происходящая по направлению действия силы, называется продольной, а перпендикулярно действию силы - поперечной.

Сторона ОС деформируемой «точки» кубика преобразуется в отрезок ОС₁, проекция которого на ось X равна величине (?x + ?u), где ?u = (du/dx)?x, ?x >> ?u. Отсюда следует, что относительная линейная деформация отрезка ОС, измеряемая в направлении оси X, определится следующим выражением

e_x--=--{Dx--?--[Dx--+--(?Du)]}--/--Dx--=--du/dx.

Числитель в написанной формуле обозначает абсолютную деформацию стороны ОС куба. Знак «минус» перед величиной Дu обозначает, что рассматривается деформация растяжения тела (при сжатии тела в этой формуле берется знак «плюс»).

Линейная относительная деформация элементарного куба в направлении осей Y, Z обозначаются аналогичным образом: ?_y, ?_z. Величина этих деформаций выражается через компоненты вектора перемещения v, w:

e_y--=--dv/dy,----e_z--=--dw/dz,

Угловые (сдвиговые) деформации в теле возникают при действии касательных напряжений. Сдвиговая деформация физически представляет собой величину изменения прямого угла между гранями элементарного куба при его деформировании. Если рассмотреть, например, одну грань куба, находящуюся в плоскости YX (рис. 3), то величина угла??, определяющего отклонение направления отрезка ОС₁ от его первоначального направления ОС, определится проекциями Дu и Дv



tg--a--=--Dv--/--(Dx--+--Du)--»--dv/dx,

т.е. угловая деформация ?_xy выражается как градиент смещения

g_xy = dv/dx.

(Первая буква индекса обозначает ось, от которой происходит движение, вторая буква - к какой оси осуществляется поворот).

Угол?? характеризует изменение направления отрезка ОА. Величина угла ? определяет угловую деформацию ?_yx и выражается через проекции отрезка ОА₁ на оси X (проекция u) и Y (проекция v):

g_yx--=--tg--b--=--Du--/--(Dy--+--Dv)--»--du/dy.

Суммарное изменение первоначально прямого угла между отрезками ОС и ОА определяется углом y--=--a--+--b.--Совместное искажение первоначально прямых углов описывается суммой

tg--a--+--tg--b--»--tg(a+b)--=--tg--y--=--dv/dx--+--du/dy

???--g_xy--=--g_yx--=--tg(a+b)/2--=--y/2.

Если появление очень малых углов ? и ? интерпретировать как вращение тела, то угол поворота каждой из рассматриваемых сторон будет равен величине ? / 2. Связь между компонентами вектора смещения и компонентами тензора деформации определяется геометрическими уравнениями (уравнения Коши):

e_x--=--du/dx;------------e_y--=--dv/dy;--------------e_z--=--dw/dz;

g_xz--=--dw/dx--+--du/dz;--g_xy--=--dv/dx--+--du/dy;--g_yz--=--dw/dy--+--dv/dz--.

Физический смысл геометрических уравнений (уравнений Коши) заключается в том, что деформируемое тело является сплошным до, во время и после деформирования. Другими словами, деформирование тела происходит без разрыва вектора перемещения U и, естественно, без разрыва его проекций u, v, w на оси координат.

Тензор деформации T_д , так же как тензор напряжений, имеет три инварианта I₁(T_д)_, I₂(T_д)_, I₃(T_д), аналогичные по строению инвариантам тензора напряжений:

I₁(T_д) =--e_x--+--e_y--+--e_z;

I₂(T_?)--=--e_x.e_y--+--e_y.e_z--+--e_z.e_x-----g_xy²-----g_xz^2-----g_yz²;

.

Тензору напряжений, выраженному через главные нормальные напряжения ?₁, ?₂, ?_{3 ,} соответствует тензор деформации T_д вида

,

где e₁,--e₂,--e₃ - есть главные линейные деформации; своим появлением они обязаны действию главных нормальных напряжений.

Разности g_1--=--e₂--?--e_3--,--g_2--=--e₃--?--e₁,--g₃--=--e₁--?--e₂ определяют величину главных сдвигов.

Как и в случае с тензором напряженного состояния, тензор деформации можно разложить на два тензора, отвечающих за изменение объёма и формы «точки»:



T_д = T_д^Ш + T_д^Д,

где T_д^Ш - шаровой тензор, имеющий вид:

T_д^Д - тензор-девиатор, имеющий вид:

где e_??--=--(e_z+--e_y+--e_x) /3 - средняя линейная относительная деформация.

Шаровый тензор определяет изменение объема «точки», а тензор-девиатор отвечает за изменение формы «точки».

Величина

e_v--=--e_z--+--e_y--+--e_x

характеризует относительное изменение объёма ДV/V элементарного куба, «точки». Этот вывод следует из следующего мысленного опыта. Если к «точке», имеющей форму куба, приложить три взаимно равных сжимающих напряжения, то «точка» будет находиться в состоянии гидростатического сжатия: P = ?_x = ?_y = ?_z, а касательные напряжения в ней будут равны нулю. Приложенные нормальные напряжения вызовут укорочение ребер куба, а значит и уменьшение его объёма. Если первоначальную длину ребра куба принять равной единице, то относительное изменение объёма такого куба ?_v будет равно следующей величине:

e_v--=--DV/V--=--[(?????????--?????)-----(??????????--?????)]--/--(?????????--?????)--=

[1--?--(1--?--e_x)(1--?--e_y)(1--?--e_z)]--/--1.

Если не принимать во внимание величины второго и третьего порядка малости (т.е. произведения типа e_ze_y,--e_xe_ze_y), то легко получается окончательная формула

e_v--=--e_z--+--e_y--+--e_x.

Разделив правую и левую части этого равенства на число 3, получим связь между средней линейной относительной деформацией и относительной объемной деформацией

e_??--=--e_v--/--3.

Первый инвариант тензора девиатора, т.е. величина

e_x--?--e_??--+--e_y--?--e_??--+--e_z--?--e_??

тождественно равна нулю. Физически это означает, что сумма диагональных напряжений тензора девиатора не вызывает изменения объёма деформируемой точки.

Шаровой тензор деформаций T_д^ш, выраженный через главные линейные деформации, имеет вид:



,

где e_??--=--(e₁--+--e₂--+--e₃)--/ 3 , а тензор-девиатор T_д^д деформаций задается матрицей следующего содержания:

.

В механике сплошной среды (в теории пластичности) большое значение имеет второй инвариант девиатора деформаций

I₂(T_?^?)--=--[(e₁--?--e₂)²--+--(e₂--?--e₃)²--+--(e₃--?--e₁)²]--/--6,

который является суммарной характеристикой изменения формы деформируемого тела. Через второй инвариант девиатора деформаций I₂(T_д^д) выражаются интенсивность линейных деформаций ?_i и интенсивность деформаций сдвига ?_i:

e_i--=----;

g_i--=--.

Через главные линейные деформации приведенные величины выражаются следующим образом:



e_i--=--2^_,5[--(e₁--?--e₂)²--+--(e₂--?--e₃)²--+--(e₃--?--e₁)²--]^_.5--/--3--,--(3)

--g_i--=--(2/3)^_,5--[--(e₁--?--e₂)²--+--(e₂--?--e₃)²--+--(e_3--?--e₁)²--]^_.5.--(4)

Резюме: Деформация тела заключается в изменении формы, вызванном действием касательных напряжений, и в изменении объёма под действием всестороннего давления.

Такое разделение имеет важное значение при анализе законномерностей деформирования, т.к. эти виды деформаций описываются разными законами. С этими законами мы познакомимся в третьем разделе пособия. Здесь же отметим, что, например, и у упругих и у вязких тел объёмная деформация описывается одним уравнением: объёмная деформация прямо пропорциональна всестороннему давлению. А вот сопротивление формоизменению у этих тел резко отличается: если у упругих тел форма изменяется пропорционально напряжению сдвига, то вязкие тела вообще не могут сохранять форму и сопротивляться сдвигу.

2.2 Инвариантные соотношения для напряжений и деформацийпри различных напряженных состояниях

При изучении напряженно-деформированного состояния тела используют не сами тензоры, а их инварианты.

С помощью главных нормальных напряжений ?₁ >??₂ >??₃ можно задать различные напряженные состояния, при которых определяют прочность тел:

1. Одноосное сжатие

s₁-->--_,--s₂--=--s₃--=--_--?--e₁-->--_,--e_2--=--e₃--=--?--ne₁,

где ? - коэффициент поперечной деформации.



2. Одноосное растяжение

s₁--=--s₂--=--_,--s₃--<--_--?--e₁--=--e₂--=--?--ne₃.

3. Чистый сдвиг

s₁--=--?--s₃--=--t,--s₂--=--_--?--e₁--=--?--e₃--=--g/2,--e₂--=--_.

4. Осесимметричное трехосное сжатие (нагружение Кармана)

s₁-->--s₂--=--s₃-->--_--?--e₁-->--_,--e_2--=--e₃--<--_.

5. Радиальное сжатие (нагружение Бёкера)

s₁--=--s₂-->--s₃-->--_--?--e₁--=--e₂-->--_,--e_3--<--_.

6. Всестороннее равномерное сжатие

s₁--=--s₂--=--s₃--=--P--?--e₁--=--e_2--=--e₃--=--e_V/3.

7. Сжатие без возможного бокового расширения (компрессия)

s₁-->--_,--s₂--=--s₃--=--s₁n/(1--?--n)--?--e₁-->--_,--e_2--=--e₃--=--_.

8. Трехосное неравнокомпонентное сжатие

s₁--№--s₂--№--s₃-->--_--?--e_1--№--e_2--№--e₃-->--_.

Подставив в выражения (1 - 4) для величин s_i,--t_i,--e_i,--g_I , приведенные выше значения главных нормальных напряжений и главных линейных деформаций, получим значения этих обобщенных напряжений, описывающих перечисленные напряженные состояния (табл. 2, 3).

В качестве примера определим значения обобщенных напряжений для чистого сдвига:

1. Второй инвариант тензора-девиатора напряжений

I₂(T_?^?)--=--[(s_1--?--s₂)²--+--(s_2--?--s₃)²--+--(s_1--?--s₃)²]--/--6--=

=--[(?--s₃)²--+--(?s₃)²--+--(?--s_3--?--s₃)²]--/--6--=--s₃²--=--t².

2. Интенсивность нормальных напряжений

s_i--=--(3^.I₂(T_?^?))^_,5--=--(3.t²)^_,5--=--3^_,5t.

3. Интенсивность касательных напряжений

t_i--=--(I₂(T_?^?))^_,5--=--t.

4. Среднее нормальное напряжение (гидростатическое сжатие)

s_??--=--(s₁--+--s₂--+--s₃)--/--3--=--(?--s₃--+--_--+--s₃)--=--_;

5. Второй инвариант тензора-девиатора деформаций

I₂(T_?^?)--=--[(e₁--?--e₂)²--+--(e₂--?--e₃)²--+--(e₃--?--e₁)²]--/--6--=

[2e₁--²--+--(--?--2--e₁)²]--/--6--=--g^2--/--4,

6. Интенсивность линейных деформаций



e_i--=--2[--I₂(?_?^?)--]^_.5--/--3^_,5--=--2--(--g²/4)^_.5--/--3^_.5--=--g--/--3^_.5,

7. Интенсивность сдвиговых деформаций

g_i--=--2[--I₂(?_?^?)--]^_.5--=--g,

8. Средняя линейная деформация

e_??--=--(e₁--+--e₂--+--e₃)--/--3--=--(?e₃--+--_--+--e₃)/--3--=--_.

Таблица 2

Значения обобщенных напряжений

Инвариантная величина	Вид напряженного состояния
	Одноосное сжатие	Нагружение Кармана	Всестороннее сжатие	Нагружение Бёкера
I2(T??)	s12/3	(s1?--s3)2/3	_	(s1?--s3)2/3
si	s1	s1--?--s3	_	s1--?--s3
ti	s1/3_.5	(s1--?--s3)/3_.5	_	(s1--?--s3)/3_.5
s??	s1/3	(s1+2s3)/3	?	(2s1+--s3)/3

Таблица 3

Значения обобщенных деформаций

Инвариантная вели чина	Вид напряженного состояния
	Одноосное сжатие	Нагружение Кармана	Всестороннее сжатие	Нагружение Бёкера
I2(T??)	(1--+--n)2e12/3	(e1--+--e3)2/3	_	(e1--+--e3)2/3
ei	2(1--+--n)e1/3	2(e1--+--e3)/3	_	2(e1--+--e3)/3
gi	2(1--+--n)e1/3_.5	2(e1--+--e3)/3_.5	_	2(e1--+--e3)/3_.5
e??	(1--?2n)e1/3	(e1--?--2e3)/3	eV--/--3	(2e1--?--e3)/3

При рассмотрении деформирования образцов горных пород, находящихся в различных напряженных состояниях, необходимо обращать внимание на изменение формы образца ?г_i, которое вызывается интенсивностью касательных напряжений? ?_i и изменения объёма образцов??_v = 3?_ср под действием всестороннего давления??_ср. Изменения формы и объёма совсем не обязательно должны описываться одинаковыми законами.

Сдвиг является основным видом сопротивления горной породы разрушению при её сложном нагружении, поэтому в дальнейшем мы будем использовать чаще величины ?_i и ?_i , чем ?_i и ?_I .

2.3 Энергия изменения формы и объёма при деформировании

Удельной потенциальной энергией или упругим потенциалом W деформируемой точки называется произведение тензоров напряжения и деформации T_д^.T_н / 2 = W. Величина W характеризует количество запасенной упругой энергии в единице объема тела (в деформируемой точке). Энергию упругого деформирования единицы объёма тела мы выразим, рассматривая деформацию, которую претерпевает элементарный единичный кубик, грани которого перпендикулярны главным осям.

Полная работа деформирования единицы объёма кубика выразится формулой

W--=--(s₁e₁--+--s₂e₂--+--s₃e₃)--/--2,--(5)

где ?₁?₁ /2 - работа, совершаемая напряжением ?₁ при деформировании кубика вдоль первого главного направления, ?₂?₂/2 - работа, совершаемая напряжением ?₂ при деформировании кубика вдоль второго главного направления, ?₃?₃/2 - работа, совершаемая напряжением ?₃ при деформировании кубика вдоль третьего главного направления.

Так как напряженное состояние можно представить в виде напряженного состояния сдвига, описываемого девиатором напряжений, и гидростатического состояния, описываемого шаровым тензором, то энергию упругого деформирования W можно подсчитать, найдя энергию упругого деформирования для каждого из этих напряженных состояний в отдельности:

W = W_ф + W_v. (5¹)

Здесь W_ф - энергия формоизменения, W_v - энергия изменения объёма рассматриваемого кубика.

Для нахождения слагаемых W_ф и W_v будем использовать следующее очевидное равенство, связывающее главные нормальные напряжения ?₁, ?₂, ?₃ тензора напряжений, среднее нормальное напряжение ?_ср, главные нормальные напряжения тензора-девиатора s₁--=--(s_1--?--s_??),--s₂--=--(s_2--?--s_??),--s_3--=--(s₃--?--s_??):

s₁--=--s₁--+--s_??,--s₂--=--s₂--+--s_??,--s₃--=--s₃--+--s_???

и аналогичные выражения для главных линейных деформаций--e₁,--e₂,--e₃:

e₁--=--e₁--+--e_??,--e₂--=--e₂--+--e_??,--e₃--=--e₃--+--e_??,

где e₁ =--e₁--?--e_??,--e₂--=--e₂--?--e_??,--e₃--=--e₃--?--e_?? представляют собой главные линейные деформации девиатора деформаций.

Подставляя эти выражения в формулу (5) для W, найдем

2W = (s₁e₁ + s₂e₂ + s₃e₃)--+--3s_??e_??--+--e_??(s₁--+--s₂--+--s₃)--+--s_??(e₁--+--e₂--+--e₃).

В полученном выражении члены (s₁ + s₂ + s₃) и (e₁ + e₂ + e₃) тождественно равны нулю. Это означает, что, учитывая (5¹), можно записать следующие выражения для энергии формоизменения W_ф и энергии изменения объёма рассматриваемого кубика W_v:



W_ф = (s₁e₁ + s₂e₂ + s₃e₃) / 2;

W_v =--3s_??e_??/--2.

Используя следующие выражения закона Гука для изотропного тела:

s₁ = 2Ge₁, s₂ = 2Ge₂, s₃ = 2Ge₃, ?_ср = 3K?_ср;

из предыдущих выражений получим

W_?--=--(s₁²--+--s₂²--+--s₃²)--/--(4G);

W_v--=--s_??²--/--(2K).

Выражению для W_ф можно придать и другой вид

W_?--=--I₂(T_?^?)/(2G)--=--t_i²/(2G),

где I₂(T_н^д) - второй инвариант девиатора напряжений.

Выражение для энергии упругого деформирования окончательно принимает вид

W--=--s_??²/(2K)--+--t_i²/(2G).

2.4 Геометрическая интерпретация напряженного состояния

Прежде всего, дадим геометрическую интерпретацию напряженного состояния изотропного тела, отобразив это состояние в трехмерном пространстве главных нормальных напряжений ?₁, ?₂, ?₃ (рис. 4).

Начало координат соответствует отсутствию напряжений в теле. На осях координат лежат точки, отображающие простое растяжение или сжатие вдоль этих осей. На координатных плоскостях ?₁?₂,??₂?₃, ?₁?₃ расположены точки, отображающие плоское напряженное состояние.

Прямая, наклоненная под одинаковыми углами ? (cos ? = 3^-0,5) ко всем трем координатным осям, называется пространственной диагональю или гидростатической осью. Она определяет положение точек, соответствующих гидростатическому состоянию: s₁--=--s₂--=--s₃--=--P.

Рис. 4. Геометрическая интерпретация напряженного состояния

Единичный вектор h, направленный вдоль гидростатической оси, определяется выражением

h = (i + j + k),

где i, j, k - единичные вектора по направлению осей ?₁, ?₂, ?₃ (рис. 4). Плоскость, проходящая через начало координат (т.О) и перпендикулярная вектору h, называется девиаторной плоскостью.

Так как направление нормали к девиаторной плоскости задается проекциями вектора h на оси координат, то из общего уравнения плоскости, проходящей через рассматриваемую точку с координатами (?₁^*, ?₂^*, ?₃^*),

A(s_1--?--s₁^*)--+--B(s_2--?--s₂^*)--+--C(s_3--?--s₃^*)--=--_,

где A = i, B = j, C = k, следует, что уравнение такой плоскости имеет вид

s₁--+--s₂--+--s₃--=--_.

Любая точка M трехмерного пространства ?₁, ?₂, ?₃, имеющая координаты ?₁^*, ?₂^*, ?₃^*, изображает некоторое напряженное состояние, характеризуемое главными напряжениями ?₁, ?₂, ?₃ (Рис. 4).

Дадим геометрическую интерпретацию величинам ?_ср и ?_i. В качестве образа напряженного состояния мы будем рассматривать не точку М, а вектор ОМ, соединяющий начало координат О с точкой М(?₁, ?₂, ?₃):

??--=--s₁^*i--+--s₂^*_--j--+--s₃^*_--k.

Если мы разложим вектор OM, характеризующий напряженное состояние, на составляющие MN и ON, параллельную и перпендикулярную гидростатической оси, соответственно, то составляющая MN определится выражением MN = (OM ^??h)h , где

OM?h--=--(s₁^*i--+--s₂^*j--+--s₃^*k)?(i--+--j--+--k)--=--(s₁^*--+--s₂^*--+--s₃^*)/----=--

s_??Ч.

Следовательно

MN--=--s_??Чh--=--s_??(i--+--j--+--k),

т.е. проекция вектора напряжений OM на гидростатическую ось пропорциональна величине среднего напряжения ?_ср.

Учитывая выражения для векторов MN и OM, можно записать



ON--=--OM--?--MN--=--(s₁^*i--+--s₂^*j--+--s₃^*k)--?--s_??(i--+--j--+--k)--=

=--(s₁--?--s_??)i--+--(s₂--?--s_??)j--+--(s₃--?--s_??)--k.

В последнем выражении величины, находящиеся в круглых скобках, представляют собой главные нормальные девиаторные напряжения

s₁--=--(s_1--?--s_??),--s₂--=--(s₂--?--s_??),--s₃--=--(s_3--?--s_??).

Так как вектор ON по определению перпендикулярен гидростатической оси, то он должен лежать в девиаторной плоскости. Иначе говоря, проекции вектора напряжений OM (?₁^*, ?₂^*, ?₃^*) на девиаторную плоскость равна «вектору девиаторных напряжений» s₁ , s₂ , s₃. Иначе это можно выразить и так: точка N - проекция точки M на девиаторную плоскость - изображает девиаторные напряжения, отвечающие точ-ке M. Любой вектор, принадлежащий девиаторной плоскости, характеризует девиатор напряжений какого-либо напряженного состояния M(?₁^*, ?₂^*, ?₃^*).

Радиальное расстояние между любой точкой, находящейся на гидростатической оси, и точкой M, расположенной на плоскости, параллельной девиаторной плоскости (в частности, расстояние между точкой O (начало координат) и точкой N, расположенной на девиаторной плоскости, проходящей через начало координат), найдем по известной (раздел курса математики «Аналитическая геометрия в пространстве») формуле

ON--=--?[(s₁^*--?--s₂^*)²--+--(s₂^*--?--s₃^*)²--+--(s₁^*--?--s₃^*)²]--/--6--]^_.5--=--2^_.5?t_i.

Иначе говоря, радиальное расстояние от гидростатической оси линейно зависит от интенсивности касательных напряжений ?_i.

Появление вектора ON связано с неравнокомпонентностью напряженного состояния. Совершенно очевидно, что когда рассматриваемая точка M находится на гидростатической оси, то вектор главных девиаторных напряжений ON отсутствует в силу того, что s₁ = 0, s₂ = 0, s₃ = 0.

Так как увеличение радиального расстояния ON означает увеличение интенсивности касательных напряжений ?_i , то для каждой точки M вектор ON определяет величину девиаторного напряжения, которое вызывает появление сдвигов, т.е. вектор ON определяет условие текучести для данного напряженного состояния.

Так как точка N является проекцией на девиаторную плоскость и любой другой точки, лежащей на прямой MN, то вектор главных нормальных девиаторных напряжений ON = s₁i + s₂j + s₃k является общим для всех точек любой прямой, перпендикулярной девиаторной плоскости. По этой причине если условие текучести выполняется для точки N , то оно будет выполняться и для всех точек бесконечной прямой NM. Все комбинации s₁, s₂, s₃, для которых выполняется данное условие текучести, образуют на девиаторной плоскости кривую текучести. Кривая текучести в девиаторной плоскости является направляющей цилиндра, образующие которого параллельны гидростатической оси. В пространстве главных нормальных напряжений возникает цилиндр текучести.



3. РЕОЛОГИЯ ГОРНЫХ ПОРОД

Фундаментом реологии являются несколько аксиом. Содержащиеся в них утверждения получены экспериментально. При изучении реологии мы будем использовать не сами тензоры напряжений и деформаций, а их инварианты, которые являются суммарной характеристикой изменения объёма и формы деформируемых тел.

Представим, что в нашем распоряжении имеются три шара, сделанные из трех различных материалов: стальной, пластилиновый и водяной. С этими тремя шарами мы проделаем несколько мысленных опытов, ставя перед собой основную задачу: определить вид механического воздействия на шары, способный распознать материалы, из которых сделаны шары.

Сначала рассмотрим падение этих шаров с некоторой высоты на поверхность стола. Еще до проведения такого опыта мы уверенно скажем, что различие в материалах, из которых сделаны шары, никак себя не проявит при падении шаров. Лишь при соприкосновении шаров с поверхностью стола мы обнаружим, что шары сделаны из разных материалов: стальной шар отскочит от поверхности стола, пластилиновый - прилипнет к столу, капля воды растечется по поверхности стола. Соприкосновение шаров с поверхностью стола обнаруживает различное деформирование шаров.

Если внимательно осмотрим шар из пластилина, то легко обнаружим на его поверхности плоскую площадку - результат смятия пластилина при контакте с поверхностью стола. В этом случае говорят, что в пластилиновом шаре возникла остаточная пластическая деформация. На поверхности стального шара такой плоской поверхности не видно, но есть все же основания предполагать её наличие в момент контакта шара с поверхностью стола: после окончания контакта шара со столом сферическая форма стального шара была восстановлена и это явилось причиной отскока шара от поверхности стола. Стальной шар - носитель восстанавливающейся упругой деформации. Поведение водного шара также резко отличается от поведения стального и пластилинового шаров: течение водяного шара по поверхности стола означает наличие у него необратимой вязкой деформации.

Подведём промежуточный итог: действие напряжений, возникающих в шарах при соприкосновении с поверхностью стола, вызывает в них появление деформаций различной природы: в стальном шаре возникает упругая деформация, в пластилиновом шаре - пластическая деформация, а в водяном шаре возникает течение, или, по другому, вязкая деформация.

Обнаружив значительное отличие в поведении трех шаров при проведении простого опыта, мы все же не приблизились к пониманию главного: действие какого напряжения способно отличить материал одного шара от материала другого?

Рассмотрим теперь поведение трех шаров при гидростатическом давлении. Эксперименты показывают, что результатом действия небольшого гидростатического давления ?_ср будет увеличение плотности и уменьшение объёма V шаров в соответствии с уравнением ?_ср = K??_ср на величину ?V = 3?_срV/K, где K - коэффициент объёмного деформирования (модуль объёмного сжатия). Форма шаров останется неизменной. При снятии давления прежние объём и плотность полностью восстанавливаются. Этот экспериментальный факт лег в основу первой аксиомы реологии.

3.1 Аксиомы реологии. Виды идеальных деформаций

Первая аксиома реологии: Под действием всестороннего равномерного давления все изотропные тела ведут себя одинаково: как идеально упругие тела.

В соответствии с первой аксиомой реологии различие материалов трех шаров не обнаруживается при возникновении в телах объёмной деформации, вызываемой шаровой частью напряженного состояния. В соответствии с разложением тензора напряжений на два слагаемых это означает, что это делает сдвиговая деформация, изменяющая форму тела при действии касательных напряжений.