Сделаем небольшое уточнение. Изотропные материалы, подвергнутые всестороннему сжатию, изменяют свой объём, плотность, не меняя при этом своей формы. В анизотропных же материалах действие всестороннего давления вызывает различные изменения линейных размеров в разных направлениях, это приводит к искажению первоначальной формы тела (деформационная анизотропия).

В механике сплошной среды рассматриваются идеализированные тела, наделенные различными свойствами. Тело, при деформировании которого возникает только упругая деформация, называют идеально упругим. Также определяется идеально пластическое и идеально вязкое тела.

Упругая деформация. Тело Гука (H). Механическая модель упругого тела Гука - пружина, около которой ставится знак тела Гука H (рис. 5 а).

Упругостью называют способность тела восстанавливать свою форму и объём (у твердых тел) или только объём (жидкость, газы) после прекращения действия сил.

Рис.5. Механические модели: а - упругого тела Гука, б - пластичного тела Сен-Венана, в - вязкого тела Ньютона

Под упругой деформацией понимают деформацию, которая полностью исчезает после снятия нагрузки. Такую деформацию часто называют обратимой, восстанавливающейся. В идеально упругом теле упругая деформация возникает практически сразу после приложения нагрузки и столь же быстро исчезает после снятия нагрузки. Упругие деформации могут быть линейными (прямо пропорциональны приложенным напряжениям) и нелинейными (в этом случае говорят о нелинейной упругости).

Реологические уравнения состояния идеального упругого линейно-деформируемого тела (тела Гука) в случае сложного напряженного состояния имеют вид

??????????????????????????????????????????

t_i--=--G--?--g_i,----s_??--=--K?e_??,--(6)

где G - модуль сдвига, dim G = H/м², K - коэффициент объемного деформирования (модуль объёмного сжатия), dim K = H/м².

Величины G, K являются реологическими параметрами.

Так как в соответствии с первой аксиомой реологии только сдвиговая нагрузка обнаруживает реологические различия между телами, то внимание мы будем уделять только тем реологическим уравнениям состояния, в которых отмечается связь между ?_i и ?_i. Относительно же уравнения ?_ср = K?_ср заметим следующее. Эта зависимость показывает, что объёмная деформация является только функцией среднего нормального напряжения.

Реологическому уравнению ?_i = G · ?_i соответствует реологическая диаграмма, приведенная на рис. 6. При уменьшении напряжений ?_i линия разгрузки совпадает с линией нагружения. Величина модуля сдвига G определяется тангенсом угла наклона луча 0А к оси деформации: G = tgб.

Полное отсутствие деформаций (как сдвиговых, так и линейных) в абсолютно твердом теле при действии на него соответствующих напряжений (касательных или нормальных) свидетельствует о том, что жесткость D евклидова тела, определяемая выражением D = F/?l, где F - сила, действующая на тело, ?l - величина абсолютной деформации тела, принимает бесконечно большое значение; dim D = Н/м.

Пластичность. Тело Сен-Венана (StV). Механическая модель тела Сен-Венана изображена на рис. 5 б. Она представляет собой две пластинки, края которых соединены c помощью клея внахлест (элемент сухого трения Сен-Венана).



Рис. 6. Деформационная кривая идеально упругого тела

Пластичностью называют свойство тел необратимо изменять свою форму под действием приложенных к нему сил. У идеально пластического тела пластическое состояние наступает тогда, когда интенсивность касательных напряжений достигает некоторого предельного значения. Это предельное значение? ?_т называется пределом текучести на сдвиг и является реологическим параметром, dim ?_т = Па. Реологическое уравнение состояния тела Сен-Венана записывается в виде

------g_i--=--_--???--t_i--<--t_?,

g_i--®--Ґ--???--t_i--і--t_?.--(7)

При значительной величине пластической деформации упругой объёмной деформацией можно пренебречь. В этом случае условие ?_ср = K·?_ср заменяется условием несжимаемости тела. Для жестко-плас-тического тела Сен-Венана реологическое уравнение состояния, харак-теризующее изменение объёмной деформации, принимает вид: ?_v = 0.

Реологическая диаграмма жестко-пластического тела Сен-Венана приведена на рис. 7.

У жестко-пластического тела Сен-Венана деформация при разгрузке не восстанавливается: полностью является пластической ?^p.

Подчеркнем, что природа пластического деформирования горных пород существенно отличается от природы пластичности металлов. Если пластическая деформация металлов вызвана внутризеренным скольжением (постепенное соскальзывание атомов в кристаллической решетке с одного на другой), в котором активную роль играют дислокации (линейные дефекты тела), обеспечивающие деформирование тела без разрыва его сплошности, то в возникновении остаточной деформации в горной породе вес внутризеренного скольжения в величине необратимой деформации мал. Появление остаточной деформации в горной породе связано, в основном, с межзеренным скольжением (сдвиг зерен по определенным плоскостям) и с разрушением горной породы (закрытие пор и трещин, возникновение микротрещин в местах контакта зерен минералов, обладающих различной сжимаемостью и пр.).

Рис. 7. Особенность развития пластической деформации в теле Сен-Венана

Вязкая деформация. Тело Ньютона (N). Механической моделью тела Ньютона является перфорированный поршень, находящийся в цилиндрическом сосуде с жидкостью (рис. 5 в).

Вязкостью называют свойство тел оказывать сопротивление при перемещении молекул по отношению друг другу. Вязкое течение наступает при любой величине напряжения сдвига ?_i, большем нуля, и развивается с постоянной скоростью = d?_i/dt = соnst, (dim d?_i/dt = c^-1), причем скорость деформации сдвига прямо пропорциональна напряжению сдвига. Деформация вязкого течения полностью необратима. Жидкость, удовлетворяющая указанным условиям, называется идеально вязкой ньютоновской жидкостью. Необратимые вязкие деформации называют течением.

Уравнения состояния для ньютоновской жидкости имеют вид:

t_i--=--h--?--dg_i/dt,--s_??--=--K?--e_??--,--(8)

где ? - коэффициент динамической вязкости, dim ? = Па·с, является важным реологическим параметром.

Реологическая диаграмма тела Ньютона приведена на рис. 8. Кривые течения носят линейный характер, т.е. изображаются на графике прямыми линиями, проходящими через начало координат. Величина вязкости определяется углом наклона ? луча ОА к оси деформаций: tg ? = ?.

Величина ньютоновской вязкости зависит от температуры, давления, но не зависит от величины скорости сдвига d?_i/dt.

Крайними видами идеализированных тел являются абсолютно твердое (недеформируемое) евклидово тело, реологическое уравнение состояния которого имеет вид ?_i = 0, ?_ср = 0, и идеальная паскалевская жидкость с реологическим уравнением состояния ?_i = 0, ?_ср = 0.

Рис. 8. Развитие вязкой деформации в теле Ньютона

Условие ?_ср = 0 означает, что объёмная деформация евклидова тела и паскалевской жидкости равна нулю.

Уравнение ?_i = 0 для паскалевской жидкости свидетельствует о том, что эта жидкость имеет нулевую вязкость.

Уравнение ?_i = 0 свидетельствует о том, что модуль сдвига G евклидова тела бесконечно большой.

Таким образом, идеализированные тела, которые мы рассмотрели (тела Гука, Сен-Венана и Ньютона), располагаются между абсолютно твердым (недеформируемым) и идеально жидким телами.

От рассмотрения трех идеальных деформаций вернемся к нашим шарам. Три шара сделаны из реальных материалов. В каждом из этих материалов мы выделили основное поведение (упругую, пластическую и вязкую деформацию), которое замечается даже невооруженным глазом. Если же более тщательно всмотреться в развитие деформаций в шарах при их контакте с поверхностью стола, то обнаруживается, что наряду с доминирующим типом деформации, существуют и не доминирующие, т.е. наблюдаются отклонения от законов деформирования (6), (7), (8). Подобные наблюдения составили основу второй аксиомы реологии.

Вторая аксиома реологии: Любой материал обладает всеми реологическими свойствами, хотя и в разной степени.

В горных породах, не являющихся примером идеального тела, при деформировании развиваются все перечисленные виды деформаций одновременно: упругие, пластические, вязкие. По этой причине для описания их деформирования необходимо использовать более сложные механические модели.

Реологические свойства реальных тел можно моделировать с помощью различных сочетаний идеальных моделей. Существует параллельное и последовательное соединение идеальных моделей между собой. Параллельное соединение элементов обозначается знаком (), а последовательное знаком (Ї) . Построение сложных реологических моделей происходит в соответствии с требованиями третьей аксиомы реологии.

Третья аксиома реологии: Существует иерархия реологических тел, согласно которой тело, низшее по иерархии, должно получаться из тела, высшего по иерархии, если в последнем приравнять нулю некоторые реологические параметры.

Третья аксиома реологии «ограничивает» построение новых реологических моделей: если при приравнивании к нулю реологических параметров модель нового реологического тела (высшего по иерархии) не обеспечивает возврат к уже известной модели, отражающей реологическое поведение тела, низшего по иерархии, то построение реологической модели нового тела было сделано неверно. Этот вывод относится и к дифференциальным уравнениям, описывающим поведение тел.

3.2 Сложные реологические тела

При последовательном соединении элементов полная нагрузка ? приходится на каждый элемент, входящий в сложное тело:

t--=--t₁--=--...--=--t_n,

а полная деформация, возникающая в теле, складывается из деформаций, возникающих в отдельных составляющих сложное тело элементах:

g--=--g₁--+--...--+--g_n.

При параллельном соединении элементов деформации одинаковы для всех элементов:

g--=--g₁--=--...--=--g_n,



а полная нагрузка ? складывается из нагрузок на отдельных элементах:

t--=--t₁--+--...--+--t_n.

Рис. 9. Деформационная кривая тела Прандтля: ?_e - упругая деформация, ?^p - пластическая деформация

Рассмотрим некоторые примеры построения сложных тел.

3.2.1 Упруго-пластическое тело Прандтля

Структурная формула тела Прандтля имеет вид

Р = Н -- StV

Реологическая диаграмма и механическая модель этого тела приведены на рис. 9. Данное тело при напряжениях, ниже предела текучести??_i <??_т, деформируется упруго по закону Гука ?_i = G^??_I , а при ?_i = ?_т деформируется пластически. У этого тела деформация при разгрузке восстанавливается лишь частично. Общая деформация сдвига ?^s слагается из упругой ?^e и пластической частей:

g^s--=--g^e--+--g^p.

Упругопластическое тело Прандтля представляет собой тело, у которого отсутствует деформационное упрочнение. Для поддержания развития пластической деформации не требуется повышения напряжений ?_i до значений, превышающих предел текучести ?_т: достаточно поддерживать напряжения, равные пределу текучести.

Рис. 10

На рис.10 приведена зависимость интенсивности касательных напряжений ?_i от интенсивности сдвиговой деформации ?_i для упругопластического материала, обладающего деформационным упрочнением. При деформировании такого материала за начальной величиной предела текучести ?_т в материале начинает накапливаться остаточная деформация ?^p. Уменьшению напряжений ?_i на этом участке деформирования соответствует процесс разгрузки, происходящий по упругому закону (пунктирные линии а, б, в, на рис. 10). Новое повышение напряжений ?_i приводит к увеличению предела текучести до значения ?_? > ?_т. Это и есть упрочнение, связанное с развитием пластической деформации.

В таком материале наблюдается и эффект Баушингера: величина обратного (при растяжении материала) предела текучести (упругости) снижается ?_*' < ?_т' (рис. 10).



3.2.2 Вязкоупругое тело Максвелла, ползучесть и релаксация напряжений

Структурная формула тела Максвелла

М = H -- N (рис. 11 а)

Реологическое уравнение, соответствующее этой структурной формуле, представляется следующим образом?

g_M--=--g_H--+--g_N,

где ?_H, ?_N - деформация элемента модели тела Гука, Ньютона. Аналогичный вид имеет и формула для скорости сдвиговой деформации в теле Максвелла:

(dg_i/dt)_M--=--(dg/dt)_H--+--(dg/dt)_N,

???--(dg/dt)_H,--(dg/dt)_N-----?корость сдвига в телах Гука и Ньютона.

Рис. 11. Модели тела Максвелла (а) и тела Пойнтинга-Томсона (б)

Подставляя в выражение для скорости сдвиговой деформации тела Максвелла значения скоростей деформаций тел Гука (d?/dt? = d?/dt?/ G) и Ньютона (см. первое уравнение в (8)), получим дифференциальное реологическое уравнение тела Максвелла:

???????



t--+--?--d?/dt--=--h--dg/dt--(9)

где T = ?/G - время релаксации, dim T = с. Время релаксации T является важным реологическим параметром.

При постоянном напряжении dф/dt = 0 и тело Максвелла превращается в тело Ньютона, т.е. тело ведет себя как вязкая жидкость. Рост деформации в теле Максвелла с течением времени t происходит по линейному закону

g--=--tt/h--+--g_?,

Рис. 12. Развитие деформации ползучести в теле Максвелла

где ?_о - величина деформации в момент времени t = 0. Этот процесс называется ползучестью (рис. 12).

При постоянной деформации (? = const) решение уравнения (9) имеет следующий вид:

t--=--t_?e^?t/T,

где ?_о есть начальное напряжение сдвига, t - время действия нагрузки.



Рис. 13. Релаксация напряжений в теле Максвелла

В соответствии с последним уравнением напряжение в теле Максвелла релаксирует (уменьшаются) практически до нуля (рис. 13).

Скорость развития релаксации напряжений определяется величиной времени релаксации: чем меньше Т, тем в большей степени материал проявляет жидкостные свойства и наоборот, чем больше Т, тем более твердообразным является материал.

Тело Максвелла следует рассматривать, как упруговязкое тело (вязкая жидкость, обладающая упругими свойствами). Проявление твердообразных и вязких свойств тела Максвелла зависит от соотношения времени t действия нагрузки и времени релаксации: если t << T, то в теле возникает, главным образом, упругая деформация и тело ведет себя как тело Гука. Если же справедливо неравенство t >> T, то в теле в большей степени проявляются свойства ньютоновской жидкости и доминирует вязкая деформация.

3.2.3 Тело Пойнтинга-Томсона: РТ = М¦H₁ (рис.11 б)

Структурная формула тела показывает, что в отличие от тела Максвелла в данном случае существует предел деформации, который определяется пружиной H_1.

3.3 Особенности ползучести горных пород

Прежде всего отметим, что ползучесть может протекать как с уменьшающейся, так и с возрастающей скоростью. В первом случае её называют затухающей, а во втором - незатухающей. В обоих случаях деформация складывается из двух слагаемых: мгновенной деформации? ?_o , возникающей в теле сразу после приложения нагрузки ? = const, и деформации, развивающейся во времени:

g--=--g_o--+--g(t).

Слагаемое ?(t) при развитии затухающей ползучести стремится к некоторому предельному значению ?_пр (рис. 14 а).

Рис.15. Особенности ползучести горных пород двух типов

Незатухающая ползучесть (рис. 14 б) включает в себя три стадии: стадия затухающей неустановившейся ползучести (участок АВ, d?/dt????0), стадия установившегося течения (участок ВС, ? ??const), стадия прогрессирующего течения (участок СД). Развитие третьей стадии отличается ростом скорости деформации и приводит к хрупкому или вязкому разрушению (точка Д на графике).

Развитие сдвиговых деформаций при выполнении условия ? = const в различных горных породах протекает по-разному. Основные типы горных пород по виду кривой ползучести делят на два типа (рис.15). Для горных пород первого (I) типа увеличение г имеет ограниченный характер: деформация ползучести растет по экспоненциальному закону и стремится к определенному пределу (глинистые и песчанистые сланцы, песчаник и пр.). Особенностью развития деформации ползучести у горных пород второго (II) типа является то, что на кривых ползучести не прослеживается предельной деформации: увеличение г происходит неограниченно (галит, карналлит, уголь и пр.). Скорость деформации горных пород второго типа пропорциональна приложенному напряжению.

Реологические свойства го-рных пород первого типа отображает модель Пойнтинга-Томсона. Модель Максвелла достаточно близка для описания реологического поведения горных пород второго типа: развитие ползучести в горных породах второго типа отличается от развития ползучести в теле Максвелла наличием экспоненциального участка в первые моменты деформирования.

С явлением ползучести тесно связана продолжительность «жизни» тела под нагрузкой (длительная прочность, статическая усталость). В этом случае развитие разрушения тела (горной породы) происходит при действии напряжений, величина которых меньше значения прочности, наблюдаемой при кратковременном нагружении.

Оба процесса, рассмотренных при знакомстве с деформационными особенностями тела Максвелла (ползучесть и релаксация напряжений) развиваются и в горных породах, слагаюших стенку скважины. Как известно, на стенке скважины наибольшего значения достигает тангенциальное напряжение у_и, а минимального - величина радиального сжатия у_r. Величина геостатического напряжения у_z принимает промежуточное значение. Другими словами, имеем следующие условия:

у_и = у₁ , у₂ = у_z, у_r = у₃ .

Величина наиболее опасного для возникновения сдвигового разрушения главного касательного напряжения определится равенством

ф₂ = (у_и - у_r) / 2.



Для различных глубин величина касательного напряжения ф₂ различна, но является постоянной величиной для каждого конкретного значения глубины, т.е. выполняется условие развития ползучести ф₂ = const. Величина напряжения ф₂ определит то или иное развитие ползучести: если касательные напряжения сопоставимы с величиной прочности горной породы на сдвиг, то развитие сдвиговой деформации в горных пород стенки скважины может привести к возникновению осложнений как при бурении скважины, так и позже - на стадии ее эксплуатации.

Спуск в скважину обсадной колонны и ее цементирование приводит к фиксированию величины угловой деформации в горных породах стенки скважины: г = const. В этих условиях происходит релаксация напряжений: величина механических напряжений в горных породах стенки скважины с течением времени снижается. Физические процессы, приводящие к снижению напряжений, связаны с растрескиванием горной породы стенки скважины.

3.4 Реологические параметры, модули деформации и их определение

Рассмотренные выше реологические уравнения состояния идеальных тел связывают между собой напряжения и деформации с помощью реологических параметров, модулей деформации. В нашем случае ими явились модуль сдвига G , коэффициент объемного сжатия K, коэффициент динамической вязкости ?, предел текучести ??_т . Первые два параметра позволяют определить еще два модуля деформации, которые играют большую роль в механике деформирования твердых тел. Этими модулями являются модуль Юнга E и коэффициент поперечной деформации ???

Из приведенных четырех коэффициентов (E, ?, G, K) только два являются независимыми (чаще всего экспериментально определяют первые два коэффициента). Это означает, что по любым двум известным коэффициентам всегда можно найти неизвестные:

E--=--2G(1--+--n);

n--=--(3K-----2G)--/--(6K--+--2G);

K--=--E--/--3[(1-----n)];

G--=--E--/--2(1--+--n).

Постоянные E, G, K имеют размерность напряжений (Па), а величина ? является безразмерной.

3.4.1 Модуль Юнга - модуль продольной упругости

Модуль Юнга является коэффициентом пропорциональности между нормальным напряжением ? , действующим в образце, и упругой относительной деформацией? е, возникающей в нем вдоль линии действия механического усилия. Конкретный вид выражения, с помощью которого определяется модуль Юнга, зависит от вида напряженного состояния, в котором находится образец.

Основной формулой для нахождения модуля Юнга является реологическое уравнение состояния ?_i = G??_i.

Так как при одноосном сжатии образца справедливы равенства (табл.2, 3)

t_i--=--s₁/3^_.5,--g_i--=--2(1--+--n)e₁/3^_.5,

то физическое уравнение, связывающее нормальное напряжение ?₁ и относительную линейную деформацию образца ?₁ вдоль направления действия силы при этом напряженном состоянии, имеет вид

s₁--=--2G(1--+--n)e₁,--(1_)



где 2G(1 + ?) = E - модуль продольной упругости (модуль Юнга). Из уравнения ?₁ = E?₁ следует равенство E = ?₁ / ?₁, которое определяет экспериментальный способ нахождения величины модуля Юнга.

В условиях компрессионного испытания образца (когда развитие поперечной деформации блокировано: образец керна, например, находится в толстостенном металлическом цилиндре, сдерживающем развитие поперечной деформации), интенсивность касательных напряжений и деформаций имеет вид

t_i--=--3-^_,.5(1-----2n)s_1--/--(1-----n),--g_i--=--2e₁/3^_,5.

Закон Гука для такого испытания будет иметь вид:

s--=--2G(1-----n)^.e--/--(1-----2n) ,

где коэффициент 2G(1 - ?) / (1 - 2?) = E_о и является модулем Юнга материала, находящегося в данном напряженном состоянии. Используя полученное выше значение (10) модуля Юнга для случая одноосного сжатия, последнее выражение можно переписать в виде

E_о=--E(1-----n)--/--[(1--+--n)(1-----2n)],

где E - найденный ранее модуль Юнга в эксперименте без компрессии, E_о - модуль Юнга в эксперименте с компрессией.

Традиционное определение величины модуля Юнга происходит в экспериментах одноосного сжатия при медленном механическом нагружении образца горной породы в пределах упругости. Для экспериментального определения модуля Юнга используются образцы горных пород, приготовленные либо из керна, либо образцы кубической формы. К противоположным параллельным поверхностям образца прикладывается механическая нагрузка (сила сжатия F). Уравнение E = ?₁/?₁ можно записать в виде

E--=--F/S--:--Dl/l--=--F·l--/--(S·Dl),

где ? = F/ S, S - площадь поперечного сечения образца горной породы, ? = ?l / l - относительная деформация образца породы,

?l - абсолютная деформация образца.

Таким образом, для определения величины модуля Юнга необходимо измерить площадь поперечного сечения образца, абсолютную деформацию образца в направлении действия силы, величину силы F, вызвавшую эту деформацию.

Величина модуля Юнга основных породообразующих минералов составляет (10⁵ ч 10⁴) МПа. Например, модуль Юнга таких минералов, как кварц, кальцит, оливин, ортоклаз, доломит составляет 9,4·10⁴ МПа, 8,2·10⁴ МПа, 2,1·10⁵ МПа, 6,2·10⁴ МПа, 8,0·10⁴ МПа, соответственно.

Модуль Юнга горных пород на порядок и более уступает приведенным значениям модуля Юнга породообразующих минералов. Резкое отличие модуля Юнга горных пород от модуля Юнга минералов объясняется наличием слабых адгезионных границ между минералами, наличием пор в горной породе.

Модуль Юнга, определяемый при сжатии образцов горных пород, в 1,5 ч 4 раза превосходит модуль упругости, определяемый при растяжении этих же образцов.

Модуль продольной упругости E и модуль поперечной упругости G соответствуют основным видам напряжений и деформаций и поэтому считаются основными характеристиками упругости горных пород.

3.4.2 Коэффициент поперечной деформации

Помимо продольной деформации, измеряемой вдоль направления действия силы, в образце возникает и поперечная деформация, измеряемая в направлении, перпендикулярном действию силы. Модуль отношения величины относительной поперечной деформации ?_поп к величине относительной продольной деформации ?_пр называется коэффициентом поперечной деформации? ?. Знак модуля применяем по следующей причине: продольная и поперечная деформации имеют различные знаки: ?_пр - деформация сжатия и ей соответствует знак плюс, ?_поп - деформация растяжения, ей соответствует знак минус):

¦e_поп--/--e_пр¦--=--n.

Выражая величину поперечной и продольной деформации образца горной породы, приготовленного из керна диаметром d и высотой l, получим выражение для определения коэффициента поперечной деформации при одноосном сжатии образца:

n--=--¦Dd·l--/--d·Dl¦,--(11)

где ?d, ?l - абсолютная деформация диаметра и высоты образца.

В области упругого поведения горных пород коэффициент поперечной деформации называется коэффициентом Пуассона и является постоянной величиной. Для различных материалов величина коэффициента Пуассона изменяется в узких пределах 0 < ??? 0,5. Среднее его значение для горных пород и минералов меняется в диапазоне 0,2 - 0,4.

При отсутствии поперечной деформации, т.е. при выполнении условия ?_поп = 0, справедливо равенство ? = 0 . В этом случае деформация образца происходит только вдоль линии действия сжимающей образец силы. Но при отсутствии поперечной деформации происходит только изменение объёма образца без изменения его формы и справедливы соотношения



E = 2G, K = 2G/3.

Так как для пластически деформируемых материалов выполняется реологическое уравнение ?_v = 0 (материал несжимаем: K ? и происходит изменение формы образца без изменения его объёма), то для образцов, изготовленных из такого материала, будут справедливы равенства ? = 0.5 (этот вывод следует из уравнения

K = E / 3[(1 ---n)] ) и G = E / 3).

Коэффициент поперечной деформации ? в силу своей незначительной величины весьма мало влияет на количественное изменение напряженно-деформированного состояния массивов различных горных пород, находящихся в сходных условиях. Если же коэффициент поперечной деформации рассматривать не только как упругую постоянную, а как параметр, который может быть переменным в зависимости от величины деформаций, то рост коэффициента поперечной деформации может информировать о развитии разрушения горной породы.

3.4.3 Коэффициент объемного деформирования

В случае сложного напряженного состояния, которое характеризуется интенсивностью касательного напряжения ф_i, интенсивностью деформации сдвига??_i, средним нормальным напряжением ?_ср и средним относительным удлинением (сжатием) ?_ср , в пределах упругой деформации наблюдается линейная связь между величиной среднего нормального напряжения и средним относительным удлинением (сжатием): ?_ср = K?_ср или P = K?_v/3, где K - коэффициент объемного деформирования (модуль объёмного сжатия), P = (s₁--+--s₂--+--s₃) / 3 - всестороннее давление.

Величина??_T = K-¹ называется изотермической сжимаемостью. Сжимаемость (объёмная упругость) представляет собой относительное уменьшение объёма V (жидкости, образца горной породы, минерала) при росте давления P на 1 МПа:

b_T--=-----V_o^-1?(dV/dP)_T--=--r^-1?(dr/dP)_T,

где V_o - начальный объём, ? - плотность. Иначе говоря, сжимаемость - это способность вещества изменять свой объём под действием всестороннего давления. Тело называется несжимаемым, если величина его плотности не зависит от давления d?/dP = 0. Знак «минус» вводится в формуле, определяющей величину ?_T, для того, чтобы сделать величину ?_T положительной, т.к. производная (dV/dP)_T в формуле всегда отрицательна.

Той или иной величиной сжимаемости обладают все вещества. Сжимаемость минералов чрезвычайно мала и незначительно изменяется при росте напряжений. Алмаз, например, при росте давления вообще не изменяет величину сжимаемости. Величина коэффициента сжимаемости некоторых жидкостей и минералов приведена в таблице 4.

Таблица 4

Величина коэффициента сжимаемости минералов,горных пород и жидкостей

Минерал, порода	вТ·105, МПа-1, Р = 196 МПа	Жидкость	вТ·105, МПа-1
Алмаз	0,18	Вода	22,1
Кварц	2,86	Бензол	49,1
Галит	4,09	ССl4	91,6
Гранит	2,16	Спирт этил.	112,0

Данные табл. 4 показывают, что сжимаемость жидкостей значительно превосходит сжимаемость минералов и горной породы. Коэффициент сжимаемости горных пород практически всегда больше коэффициента сжимаемости минералов, входящих в состав породы. Объясняется это большой величиной адгезионной поверхности в горной породе, и как следствие, менее плотным ее сложением.

Процесс сжатия сопровождается ростом температуры и выделением тепла. Рост температуры также вызывает изменение объёма. Подобное изменение объема характеризует адиабатическая сжимаемость ?_S. Адиабатическая сжимаемость ?_S меньше изотермической ?_T. Модуль адиабатического объемного сжатия K_S определяется уравнением

K_S--=--r·(dP/dV)_T.

Отличие между величинами K_S и K составляет несколько процентов. Величина модуля сдвига G горных пород всегда меньше величины модуля Юнга. Величина коэффициента K может быть как больше модуля Юнга, так и меньше его.



4. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Под прочностью или трещиноcтойкостью понимается способность твердого тела сопротивляться развитию в нем трещины. Величина прочности оценивается либо значением напряжения, при котором тело разрушается, либо работой деформаций.

Трещины хрупкого разрушения в горных породах следует рассматривать как поверхность разрыва вектора перемещения. На такой поверхности все три компоненты u, v, w этого вектора могут иметь разрыв. Имеется три вида независимых кинематических движений верхней и нижней поверхностей трещины относительно друг друга при разрушении тела: нормальный отрыв, поперечный и продольный сдвиги.

Типы движений противоположных поверхностей трещины, расположенной до деформирования в одной плоскости, можно описать следующим образом:

* нормальный отрыв: две противолежащие поверхности трещины стремятся разойтись симметрично относительно плоскости, в которой была расположена трещина до деформации; между сторонами трещины возникает полость;

* поперечный сдвиг: две противолежащие поверхности трещины скользят одна по другой в одной плоскости, но в противоположных направлениях (срез);

* продольный сдвиг: две противолежащие поверхности трещины в процессе деформирования тела претерпевают кручение в противоположном направлении и оказываются после деформации в различных плоскостях (кручение).

Наиболее опасными с точки зрения развития разрушения являются трещины нормального отрыва. Это связано с тем, что при таком варианте разрушения не происходит потерь энергии, связанных с преодолением сил трения между противоположными поверхностями трещины.

При разрушении на разрыв различают прочность теоретическую и техническую (реальную). Под теоретической прочностью понимают прочность бездефектного твердого тела. В этом случае прочность определяется только величиной энергии связи между частицами (атомы, молекулы) твердого тела. Величина теоретической прочности тела на разрыв (развивается трещина нормального отрыва) составляет примерно одну десятую от значения модуля Юнга: ?_т = 0,1E = 10³ ч 10⁴ МПа.

Расчетная величина теоретической прочности некоторых кристаллических минералов: NaCl - 3950 МПа, MgO - 17300 МПа, LiF - 11400 МПа, теоретическая прочность аморфного неорганического стекла составляет 8000 МПа.

Под дефектами твердого тела понимаются любые нарушения кристалллической решетки (внедренные атомы другого вещества и вакансии в узлах кристаллической решетки - это точечные дефекты; дислокации - линейные дефекты; к дефектам относят и механическое повреждение поверхности твердого тела - царапины).

Под технической прочностью понимают прочность реального твердого тела со всеми дефектами. Величина технической прочности значительно (на 2 порядка) меньше теоретической прочности.

Главными дефектами в горной породе, приводящими к значительному понижению их прочности, являются адгезионные границы, трещины и поры. Как следствие этого, реальная прочность горных пород при одноосном растяжении ?_р невелика (гранит - 11 МПа, порфирит - 17,5 МПа, песчаник кварцевый - 6,6 МПа, известняк - 3,0 МПа).

Если представить трещины и поры в виде эллипса длиной l и радиусом закругления ?, то низкое значение технической прочности горных пород при их растяжении можно объяснить следующим образом: в тупиковой части микротрещин (вершине) или пор возникает резкое увеличение действующего напряжения (происходит концентрация напряжений). Если в среднем сечении образца возникает напряжение? ?*, то в тупиковой части трещины действует напряжение:

s_к--=--2s^*·(l--/--r)^_,5,

величина которого зависит от геометрии дефекта, т.е. от величин l, ?.

При уменьшении радиуса кривизны ? напряжение ?_к в вершине трещины возрастает. Тело разрушится тогда, когда напряжение ?_к достигает величины теоретической прочности ?_т данного тела.

Прочность образцов горных пород при разрушении их срезом, кручением ?_сдв, т.е. в тех условиях, когда величина трения между противоположными поверхностями трещины минимальна, превосходит величину прочности, измеряемую при растяжении образцов, но все же значительно меньше величины прочности при одноосном сжатии образцов.

Развитие трещин сдвига существенно затруднено при наличии сил (напряжений), стремящихся прижать две поверхности сдвиговой трещины друг к другу. При этом резко возрастают силы трения (силы внутреннего трения), сдерживающие развитие сдвиговой трещины. Физически это означает появление дополнительного слагаемого (помимо слагаемого, учитывающего действие сил связи в структуре тела), из-за которого и наблюдаются значительные расхождения величины прочности твердых тел при их растяжении и сжатии.

Прочность горных пород при одноосном сжатии ?_сж многократно превышает величину их прочности ?_р на разрыв и сдвиговую прочность. Это является следствием не только возникновения внутреннего трения, но и большой неоднородности свойств горных пород. Для более однородных материалов отношение ?_сж / ?_р значительно меньше: для чугуна, например, это отношение равно трем, для магниевых сплавов - чуть больше единицы.

Относительные значения величин ?_сж ,?_р ,??_сдв для некоторых горных пород приведены в табл. 5.



Таблица 5

Сравнение прочности горных пород при различных испытаниях

Горная порода	sр--/--sсж	tсдв--/--sсж
Гранит Песчаник Известняк	0,02 - 0,04 0,02 - 0,2 0,04 - 0,1	0,09 0,1 - 0,12 0,15

Переход к двухосному, а затем и трехосному нагружению образцов горных пород приводит к дальнейшему росту их прочности и увеличению энергоёмкости разрушения.

Учет трения, возникающего между сторонами развивающейся сдвиговой трещины, является сутью механических теорий прочности Кулона, Кулона-Навье, Мора. Знакомство с двумя первыми теориями прочности позволит лучше понять роль трения в увеличении прочности горных пород.

4.1 Механическая теория прочности Кулона

Разрушение образца горной породы, находящегося в сложном напряженном состоянии сжатия, происходит в результате развития в нем сдвиговой трещины. Происходит это тогда, когда предельного значения ?_о достигнут главные касательные напряжения--t₁,--t₂,--t_3--:

¦--t₁--¦--і--t_о--,¦--t₂--¦--і--t_о--,--¦--t₃--¦--і--t_о--,

где ?_о - прочность образца на сдвиг при растяжении и сжатии. Эту величину часто называют когезионной прочностью, сцеплением горной породы, так как она определяется не только энергией связей в структуре породы, характеризующих её адгезионную и когезионную прочность, но и с зацеплением частиц друг за друга при сдвиге, с затратой усилий на вращение, перемещение минеральных частиц в плоскости сдвига.

Так как среди главных касательных напряжений наибольшим является ?₂, то условие разрушения, выраженное через главные нормальные напряжения, принимает вид

(--s₁-----s₃)--/--2--і--t_о.

При выполнении записанного условия горная порода разрушается с образованием плоскости (поверхности) скольжения. Плоскость, по которой происходит сдвиговое разрушение, делит пополам угол между направлением действия напряжений ?₁ и ?₃, т.е. плоскость сдвига должна быть наклонена под углом 45⁰ к направлению действия осевой нагрузки. Экспериментально этот вывод не подтверждается: в экспериментах на сжатие плоскость сдвига составляет с направлением наибольшего нормального напряжения угол, меньший 45⁰.

Если же приведенное выше условие разрушения не выполняется, но нагрузка ?₂ действует длительное время, то в зависимости от величины ?₂ образец горной породы может разрушиться спустя какое-то время в результате развития в образце незатухающей ползучести (если ?₂ велико), но если величина нагрузки мала, то развитие затухающей ползучести обеспечивает стабилизацию деформации образца во времени и разрушения не произойдет.

Серьезным недостатком теории Кулона является содержащееся в ней предположение о том, что материал обладает одинаковым сопротивлением растяжению и сжатию.

4.2 Механическая теория прочности Кулона-Навье

Уже Кулон предполагал, что на процесс разрушения при сжатии тела оказывает влияние не только сцепление ?_о, но и «внутреннее трение», появление которого связано с трением противоположных сторон сдвиговой трещины.

Основное положение теории Кулона-Навье: нормальное напряжение ?, действующее в плоскости сдвигового разрушения, повышает сопротивление тела сдвигу на величину, пропорциональную величине этого нормального напряжения. Разрушение твердого тела в этом случае произойдет тогда, когда касательное напряжение, действующее в плоскости сдвига, достигнет величины

??????????????????????????????????????????????????????

t--=--t_о--+--m·s,--(12)

где m.s-----напряжение--трения,--m - постоянная материала, именуемая как «коэффициент внутреннего трения». Внутреннее трение можно рассматривать как дополнительные силы сцепления в горной породе, возникающие между поверхностями сдвиговой трещины под действием среднего нормального напряжения.

Из формулы (12) следует, что величина напряжения сдвига ?? линейно зависит от нормального давления, действующего в этой же плоскости. На основании этого предположения Кулон нашел, что угол? ? между осью нагружения и плоскостью разрушения определяется выражением

b--=--45^о-------j--/--2,

где--tg--j--=--m.

Рис. 16. Силы, действующие на груз, находящийся на наклонной плоскости



Слагаемое ??? в выражении (12) для ? по форме записи аналогично выражению для силы трения на наклонной плоскости, вызванной нормальной реакцией, и по этой причине коэффициент ? назван коэффициентом внутреннего трения. Поясним это с помощью рис.16, на котором изображен груз весом G, находящийся на наклоненной под углом ? к горизонту плоскости.

При малых значениях угла ? груз не в состоянии скользить по плоскости из-за наличия силы трения F_тр между грузом и плоскостью. В этом случае сила трения F_тр превосходит величину силы скольжения F_с.

По определению имеем F_тр = ??F_н, где F_н - нормальная компонента силы G или прижимающая сила, ? - коэффициент трения. Движение груза по наклонной плоскости начнется при увеличении угла ? и достижении силой скольжения величины силы трения F_с = F_тр .

Величина сил F_н и F_с легко находится через вес груза: F_н = G cosj--и--F_с--=--m.F_н.--Из--равенства--m.G·cos--j--=--G·sin--j--определим--коэффициент--внутреннего--трения--m--через--угол--j--:

m--=--tg--j.

Термин «внутреннее трение» следует понимать как способность горной породы повышать сопротивление разрушению под влиянием среднего нормального напряжения сжатия ?_ср, действующего в образце (на плоскости сдвига увеличиваются силы адгезионного взаимодействия между минеральными частицами, растет сила трения).

К физической особенности развития трещин сдвига в горных породах следует отнести образование на плоскости сдвига порошкообразного материала, обладающего высокой дисперсностью.

Наличие жидкости в горной породе изменяет развитие разрушения, т.к. внешняя нагрузка воспринимается уже не только твердым скелетом породы, но и жидкостью, находящейся в порах. Если геометрия порового пространства горной породы обеспечивает дренируемость жидкости, то под действием напора Р_n / ?_ж, где Р_n - давление жидкости в поре, ?_ж - удельный вес жидкости, произойдет фильтрация жидкости из образца, из очага разрушения. Это вызовет уплотнение породы, при этом все меньшая часть внешней нагрузки будет восприниматься жидкостью. При полном удалении жидкости из образца критерий разрушения будет иметь вид (12), но с несколько иными числовыми значениями слагаемых.

Критерий Кулона-Навье для пористых горных пород, насыщенных недренируемой жидкостью, глин имеет иной вид