Метрологія і стандартизація

Результати, в яких виключені систематичні похибки, називаються виправленими. Звичайно поправки нормують окремо для нормальних і робочих умов використання ЗВ.

Якщо означеними способами виключити систематичну похибку не вдається, її намагаються виключити експериментально, тобто шляхом належної організації і проведення вимірів, що звичайно приводить до значного підвищення трудомісткості виконання вимірів. Для цього використовуються методи:

Метод заміщення є найбільш універсальним методом. Згідно цьому методу, виміри виконуються за два етапи. Спочатку за приладом роблять відлік величини, що вимірюється, після цього замість величини, що вимірюється, на вхід приладу подають відому величину, значення якої за допомогою регульованої міри встановлюють таким чином, щоб показання приладу було таким, як і при включенні величини, що вимірюється. За результат виміру приймають значення міри.

Метод компенсації похибок за знаком: два виміри виконуються так, щоб постійна систематична похибка входила в результати вимірів за різними знаками. Після цього береться середнє арифметичне двох вимірів.

Метод рандомізації - перекладу систематичної похибки в випадкову. Для цього змінюють умови і процедуру вимірів таким чином, щоб чинники, що впливають на його результат в кожному із спостережень, діяли неоднаково, причому результат їх дій носив випадковий характер. При цьому похибка зменшується, як і при багатократних спостереженнях в разів, де - число спостережень.

Метод симетричних спостережень: полягає в проведенні багатократних спостережень через рівні проміжки часу і усередненні результатів спостережень, симетрично розташованих відносно середнього спостереження. Цей метод використовують для усунення похибок через величини, що впливають, які змінюються за періодичним законом.

Всі ці методи розглядаються в залежності від конкретних задач виміру при розробці методик виконання вимірів.

Випадкові похибки повністю виключити неможливо. Тому на практиці намагаються знизити їх вплив на результат виміру. Для цього збільшують кількість спостережень , оскільки випадкова похибка обернено пропорційна , і за результат вимірів приймають середнє арифметичне отриманих результатів спостережень. Однак не завжди збільшення кількості спостережень підвищує точність результату. Якщо випадкова похибка виявляється значно менш похибки приладу (точніше, невиключеної систематичної похибки виміру), то немає сенсу намагатися зменшити величину випадкової похибки - все рівно точність результату буде визначатися похибкою приладу. Якщо при збільшенні числа спостережень середнє значення випадкової похибки залишається приблизно постійним, це вказує на наявність систематичної похибки, рівної цьому середньому.

Невиключена систематична похибка - це систематична похибка, яку не вдається усунути перерахованими вище способами. Оскільки в технічній літературі прийнято, що відома систематична похибка вже виключена з результату виміру, то за НСП приймається невідома систематична похибка і ці терміни змішуються.

Для винаходження НСП виконуються експериментальні дослідження на стадії розробки методики виконання вимірів. Для цього: проводять виміри іншим, максимально відмінним від використованого методом і порівнюють результати; різко змінюють умови спостережень (використовують інші примірники ЗВ, змінюють оператора, змінюють час спостережень); проводять порівняння результатів з даними, отриманими на більш точних ЗВ.

Часто НСП характеризується теоретичною оцінкою похибки , отриманої на підставі апріорної інформації про об'єкт вимірів, умови і метод виміру. Ця оцінка уточнюється при метрологічній атестації ЗВ і входить основною складовою в приладную похибку ЗВ, що визначається його класом точності. Тому для зменшення НСП використовують більш точні методи і засоби вимірів.

М-3.2 Точність засобів вимірів

М-3.2.1 Критерії якості вимірів

На підставі сформульованих вище видів похибок визначаються основні критерії якості вимірів, які виконуються за допомогою будь-яких вимірювальних приладів.

Відтвореність - якість вимірів, що віддзеркалює близькість друг до друга результатів вимірів, які виконуються в різноманітних умовах (в різний час, в різноманітних місцях, різними методами і засобами).

Правильність - якість вимірів, що віддзеркалює близькість до нуля систематичних похибок в їх результатах.

Сходимість - якість вимірів, що віддзеркалює близькість друг до друга результатів вимірів, що виконуються в однакових умовах. Це забезпечується нормуванням метрологічних характеристик засобів вимірів і перевірками ЗВ. Сходимість вимірів вказує на малу величину випадкових похибок.

Точність вимірів - якість вимірів, що віддзеркалює близькість їх результатів до істинного значення величини, що вимірюється. Точність є величиною, чисельно рівною оберненому модулю відносної похибки 1/,. Такий спосіб визначення точності в виді чисельного значення застосовують рідко. Це поняття вживають тільки для загальної характеристики вимірів при невеликому числі градацій (низька точність, більш висока точність і т.п.). Кількісну оцінку точності виміру звичайно виконують шляхом зазначення похибок результату вимірів. Висока точність вимірів відповідає малим похибкам всіх видів, як систематичних, так і випадкових. Точність вимірів забезпечується методиками вимірів, вибором відповідних ЗВ, обробкою даних для винятку різноманітного роду похибок.

На підставі означених критеріїв дається якісна оцінка результату вимірів, методики вимірів, моделі об'єкту, що вимірюється і т.д. Аналогічно критеріям якості вимірів, до засобів вимірів подаються вимоги правильності, збіжності, точності.

М-3.2.2 Класи точності засобів вимірів

Точність засобу вимірів - якість ЗВ, що віддзеркалює близькість нулю його похибок. Похибка ЗВ, а отже і його точність, визначається набором притаманних ЗВ нормованих метрологічних характеристик. Звичайно метрологічні характеристики всіх типів враховують тільки для ЗВ, призначених для вимірів дуже високої точності. В звичайному житті і на виробництві така точність, як правило не потрібна. Тому для ЗВ, що використовуються в повсякденній практиці, прийнято поділ на класи точності.

Клас точності - узагальнена характеристика всіх засобів виміру даного типу, що визначається межами основних (для нормальних умов застосування) і додаткових (для робочих умов) похибок, а також іншими властивостями засобів вимірів, що впливають на точність. В залежності від класу точності в стандартах на окремі види ЗВ встановлюються значення нормованих метрологічних характеристик, які в своїй сукупності і визначають приналежність приладу до даного класу точності. Однак деякі метрологічні характеристики, вимоги до яких доцільно встановлювати єдиними для ЗВ даного типу всіх класів точності, нормують незалежно від класу точності.

Позначки класів точності завдають на циферблати і корпуси ЗВ. При цьому в нормативно-технічній документації на ЗВ, що містить позначку класу точності, повинно бути посилання на стандарт або технічні умови, в яких встановлений клас точності цього типу засобів вимірів і приводяться значення метрологічних характеристик, відповідних до нього.

Позначки класу точності можуть бути наступних видів:

Умовні - які мають форму великих літер латинського алфавіту або римських цифр (І, II, III і т.д.) з доданням умовних знаків. Сенс таких позначок розкривається в нормативно-технічній літературі.

Арабськими цифрами, які показують відносну наведену похибку вимірювального приладу

,

де - абсолютна гранична похибка вимірів;

- нормований діапазон вимірювань приладу ().

Клас точності засобів вимірів характеризує їх властивості в відношенні точності, але не є безпосереднім показником точності вимірів, що виконуються за допомогою цих засобів. Це зумовлено тим, що точність вимірів окрім приладів залежить від кількості спостережень, виду вимірів (пряме або побічне) і інших їх чинників.

Цифри класу точності вибираються з ряду (1;1.5;1.6;2;2.5;3;4;5;6)10ⁿ, при цьому n = 1.0; 0; -1.0; -2; -3;…і т.д.

Клас точності проставляється на циферблаті, на щитку, на корпусі приладу.

Приклад: (рисунок вольтметра).

Рис. М.1. Характеристики шкали і показання приладу (N=28 В, N_діл=14 см., с_діл = 2В).

Нехай стрілка вольтметра показує 130 В. Клас точності приладу 0.5.

Питання: чому дорівнює обмірювана напруга?

Рішення. Цифра класу точності показує, що вимірювана напруга не може відрізнятися від того, що показує покажчик, більше чим на 0.5% від верхньої межі виміру.

Тоді можлива помилка вимірів складе: 0.5200/100 = 1 В. (де 200 - максимальне значення на шкалі приладу).

Отже, обмірюване напруга дорівнює:

129U131 В.

В окремих випадках під цифрою, що позначає клас точності, ставиться знак

Наприклад: 0.5; 1.6; 2.5 і т.д.

Цей знак означає, що значення вимірюваної величини не може відрізнятися від того, що показує покажчик (стрілка приладу, наприклад) більше, ніж на зазначене число відсотків від усієї довжини шкали чи її частині, що відповідає діапазону вимірів.

Якщо цифра класу точності укладена в кружок, наприклад: 0.02; 0.4; 1.0 і т.д., то це означає, що відсотки відхилення обчислюються безпосередньо від того значення, що показує покажчик (стрілка, наприклад).

Іноді позначення класу точності дається у виді дробу, наприклад: 0.02/0.01.

Це означає, що вимірювана величина не може відрізнятися від значення, показаного покажчиком, більше чим на

де c і d - відповідно чисельник і знаменник у позначенні класу точності;

x_k - більший (по модулі) межа виміру.

На циферблатах приладів приводиться, як правило, ще ряд позначень. Зміст цих позначень розкривається в нормативно-технічній документації.

Необхідно відзначити, що виходячи з поняття класу точності, знання його визначає не точність конкретного виміру, а лише вказує межі, у яких знаходиться значення вимірюваної величини.

М-3.3 Правила виконання вимірів

Всі виміри, здійснювані на виробництві, повинні здійснюватися в відповідності з методиками виконання вимірів, що заздалегідь розробляються в залежності від об'єкту вимірів, типу величини, що вимірюється, умов вимірів, а також від мети вимірів: отримання конкретного чисельного значення величини, що вимірюється, або перевірка граничних розмірів при виконанні контролю. Одним з основних питань при розробці робочих методик вимірів є питання вибору засобу вимірів, кількості спостережень в вимірі і правил проведення вимірів.

М-3.3.1 Методика виконання вимірів

Методика виконання вимірів (МВВ) - це нормативно-технічний документ, в якому встановлена сукупність операцій і правил, виконання яких гарантує отримання необхідного результату вимірів з необхідною точністю. МВВ може бути робочою і типовою. Робоча МВВ, яка застосовується безпосередньо, встановлює конкретні правила, якими повинен керуватися оператор, який підготовлює і виконує виміри. В типовій методиці містяться вхідні вимоги, якими повинні керуватися розробники робочих МВВ і що потребують подальшої конкретизації.

В склад робочої МВВ входять наступні розділи:

«Призначення і галузь застосування». Тут приводять чітке визначення вимірюваної величини, діапазон вимірів, незмінні властивості об'єкту, що обмежують галузь застосування даної МВВ.

«Метод вимірів, засоби вимірів». В цьому розділі вказують опис фізичних явищ, призначених в основу вимірів, повний перелік ЗВ і їх метрологічні характеристики.

«Вимоги до кваліфікації операторів». В цьому розділі вказують вимоги до професії, утворення і досвіду роботи осіб, що допускаються до виконання вимірів.

«Умови вимірів». Тут приводять перелік величин, що впливають на результати і похибку виміру, і які характеризують навколишню середу, постачальні мережі і об'єкт вимірів.

«Підготовка і виконання вимірів», який включає опис підготовчих робіт, порядок дій операторів при вимірі, форму запису результатів проміжних вимірів.

«Обчислення результатів вимірів і показників точності вимірів». Тут приводяться: алгоритм їх обчислення за результатами проміжних вимірів, розрахункові формули, правила округлення, межі похибок вимірів, які допускаються, або правила їх розрахунку.

«Оформлення результатів вимірів» - викладає вимоги до форми подання результатів вимірів і показників точності.

Найбільш широко методики виконання вимірів, які використовуються, закріплені у виді стандартів (або методичних вказівок) різної категорії (державні, відомчі, конкретних підприємств). Ці стандарти розповсюджуються на:

технологічні процеси;

методи іспитів і контролю якості продукції;

методи і засоби перевірки вимірювальних приладів;

програми метрологічної атестації засобів вимірів.

М-3.3.2 Вибір методу і засобів вимірів

Під методом вимірів розуміють сукупність прийомів порівняння вимірюваної величини з її одиницею або шкалою. Недосконалістю прийнятих моделей об'єкту, що вимірюється, і методу вимірів викликає появу похибки методу вимірів, яка є складовою систематичної похибки вимірів. При виборі методу вимірів намагаються досягнути того, щоб похибка методу вимірів не перевищувала 30% від результуючої похибки, тобто не робила істотного впливу на точність результату. При цьому зміни величин, що вимірюються, які є параметрами моделі, не повинні перевищувати 10% від результуючої похибки.

Правильний вибір засобу вимірів є основною умовою для отримання вірогідної вимірювальної інформації необхідної точності. Вибір ЗВ визначається наступними чинниками:

вид величини, що вимірюється, і прийнятий метод вимірів;

необхідна точність результату вимірів, яка вказується звичайно в виді гранично допустимої похибки;

умови вимірів: кліматичний вплив (температура, вологість, атмосферний тиск і т.п.), механічні навантаження (вібрація, удари), наявність або відсутність середи, що активно руйнує (агресивні гази, висока температура та ін.);

значення імовірностей хибного і невиявленого відказів, які допускаються. Хибним відказом називається випадок визнання бракованим в дійсності придатного зразка продукції; невиявленим відказом, навпаки, - випадок визнання придатним в дійсності бракованого зразка.

З урахуванням цих чинників, основну умову вибору ЗВ можна висловити так: імовірність Р того, що фактична похибка результату вимірів не перевищить похибки, що допускається, повинна бути більше заданої довірчої імовірності, або:

,

де - задане значення, що допускається, похибки результату вимірів параметру, яке вибирається так, щоб бути значно менш граничного допуску на зміну даного параметру, який вказується в документації на виготовлення виробу:

;

- фактична сумарна похибка результату вимірів вибраним засобом вимірів, яка складається з інструментальних, методичних і інших похибок і визначається за класом точності приладу;

Р_дов - задана довірча імовірність, яка залежить від небезпеки виникнення хибного і невиявленого відказів.

Імовірність Р підвищується шляхом зменшення А_Ф, що досягається ужорсточенням вимог до умов проведення вимірів або підвищенням класу точності засобу вимірів.

М-3.3.3 Вибір числа спостережень

Вибір числа спостережень п здійснюється при розробці методики виконання вимірів в залежності від необхідної точності вимірів. При виборі числа спостережень керуються наступним:

Якщо випадкова складова похибки вимірів перевищує невиключну систематичну похибку приладу або методу вимірів, тоді збільшення числа спостережень підвищує точність і зменшує загальну похибку вимірів, оскільки випадкова похибка обернено пропорційна кореню квадратному з числа спостережень п.

Якщо встановлена межа значення, що допускається, більше сумарної похибки вимірів А_д, то раціонально вибрати кількість спостережень так, щоб випадкова складова похибки мала зневажливо малий вплив на точність результату, тобто щоб виконувалася умова:

де S - середньоквадратичне відхилення результату спостережень.

Якщо випадкова похибка, отримана з даних вимірів, виявиться значно менш похибки, що визначається точністю приладу (невиключеною систематичною), то очевидно, що немає сенсу намагатися ще зменшити величину випадкової похибки, оскільки результати вимірів не стануть від цього точніше.

М-3.4 Забезпечення єдності вимірів

Під єдністю вимірів розуміється такий їхній стан, при якому забезпечується вірогідність вимірів, а значення обмірюваних величин виражаються в узаконених одиницях.

Єдність вимірів забезпечується комплексом правових, організаційних і технічних мір.

Правовою основою забезпечення єдності вимірів служить законодавча метрологія - звід державних актів і нормативно-технічних документів різного рівня, що регламентують метрологічні правила, вимоги і норми.

В організаційному плані єдність вимірів забезпечується Метрологічною Службою країни, що складає з державної і відомчих метрологічних служб.

Технічною базою забезпечення єдності вимірів є система відтворення одиниць фізичних величин і передачі інформації про їхні розміри усім без винятку засобам вимірів у країні.

На чолі системи відтворення одиниць вимірів і передачі інформації про їхні розміри іншим засобам вимірів коштують еталони.

Еталон - це засіб вимірів (чи комплекс засобів вимірів), що забезпечує відтворення і збереження одиниці з метою передачі її розміру нижчестоящим за перевірочною схемою засобам вимірів, виконаний по особливої специфікації й офіційно затверджене у встановленому порядку.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок М.2. Система передачі одиниць вимірів

1 - Державний первинний чи спеціальний еталон; 2 - Еталон свідок;

3 - Еталон-копія; 4 - Еталон порівняння; 5 - Робочі еталони;

6 - Зразкові засоби вимірів різних розрядів; 7 - Робочі засоби вимірів

Первинний еталон - еталон, який відтворює одиницю вимірів з найвищої в країні точністю.

Спеціальний еталон - це первинний еталон для специфічних умов погоди, температури, положення й ін.

Первинний і спеціальний еталони офіційно затверджуються Держстандартом у якості вихідних для країни.

Еталон копія - застосовується замість державного еталона, якщо часто використовувати первинний еталон недоцільно.

Еталон порівняння - служить для звірення еталонів, що з деяких причин не можуть бути безпосередньо звірені один з одним.

Еталон-свідок застосовується для випадку, якщо щось трапиться з державним еталоном.

Робочий еталон служить для збереження одиниці і передачі її розміру зразковим засобам вимірів.

Зразкові засоби вимірів, а їх кілька розрядів, служать для збереження і передачі одиниць вимірів робочим засобам вимірів.

М-3.5 Організація і порядок проведення ремонту і перевірок ЗВ

Ремонт і перевірка засобів вимірів здійснюється відповідно до вимог державних і галузевих стандартів.

Види ремонту (поточний, середній і капітальний) і їхній склад визначені ДСТ 2.602-68.

Поточний ремонт включає ремонт периферійних блоків і вузлів приладу з використанням чи заміною деталей без юстировки і регулювання інших вузлів і приладу в цілому. Поточний ремонт здійснюється в процесі експлуатації.

Середній ремонт містить у собі: чищення приладу з розбиранням по вузлах чи без розбирання, змащення тертьових поверхонь, заміну вузлів і дрібних другорядних деталей, підтяжку з'єднань, регулювання кінематики, настроювання електричних елементів і чищення контактних поверхонь. Після середнього ремонту прилад піддається відомчій перевірці.

Капітальний ремонт включає повне розбирання приладу, установку нової шкали, ремонт і фарбування корпуса, заміну зношених деталей і вузлів. Після капітального ремонту виробляється регулювання і випробування приладу на іспитовому стенді і первинній перевірці, у необхідних випадках - державна.

Перевірка засобів вимірів - це форма метрологічного нагляду за засобами вимірів, що здійснюється для встановлення їхньої придатності до застосування.

Обов'язковій, державній перевірці підлягають засоби вимірів:

- застосовувані в органах державної метрологічної служби;

- застосовувані підприємствами в якості зразкових;

- випускаються з виробництва як зразкові;

- засоби вимірів, результати яких використовуються для обліку матеріальних цінностей, палива й енергії, при взаємних розрахунках, у торгівлі, для захисту природного середовища, для забезпечення безпеки праці;

- застосовувані для реєстрації національних і міжнародних рекордів.

Не ввійшли в цей перелік засоби вимірів можуть повірятися відомчою метрологічною службою.

Засоби вимірів піддаються первинній, періодичній, позачерговій, інспекційній і експортній перевірці.

Первинна перевірка виконується при випуску засобів вимірів з виробництва чи ремонту, а також для імпортованого засобу виміру.

Первинній перевірці підлягає кожен екземпляр засобів вимірів.

Періодичній перевірці піддаються всі засоби вимірів, що знаходяться в експлуатації чи збереженні. Періодичні перевірки проводяться через визначені інтервали часу, називані міжповірочними інтервалами. Міжповірочні інтервали визначаються органами, що проводять перевірку, на основі статистичної обробки даних, накопичених у період експлуатації. При цьому використовуються числа 1; 1.5; 2; 3; 4; 5; 9; 12; 24; 36. Міжповірочні інтервали встановлюються в години наробітку чи в календарному часі (місяцях).

Позачергова перевірка проводиться при експлуатації і збереженні засобів вимірів незалежно від терміну експлуатації і періодичності перевірки, у випадках, коли виникає необхідність упевнитися в придатності засобів вимірів до застосування; коли ушкоджене повірочне клеймо чи пломба; коли втрачена документ про проведенняі перевірки; коли засоби вимірів вводяться в експлуатацію після збереження й ін.

Інспекційна перевірка проводиться вибірково при проведенні держ. нагляду чи відомчого нагляду за експлуатацією і збереженням засобів вимірів, а також за правильністю результатів останньої перевірки і відповідності міжповірочних інтервалів умовам експлуатації.

Експертна перевірка виконується при проведенні метрологічної експертизи засобів вимірів з метою виявлення їхньої придатності до застосування і правильності їхньої експлуатації.

Експертну перевірку проводять органи державної метрологічної служби.

Позитивні результати державної і відомчої перевірок засвідчуються за допомогою державного і відомчого клейм.

Державне повірочне клеймо містить емблему, де останні цифри року застосування клейма, шифр територіального органа Держстандарту й індивідуальний знак повірювача.

Відомче клеймо містить умовний знак міністерства, дві останніх цифри року застосування клейма й індивідуальний знак повірювача.

Тема М-4. Обробка результатів вимірів

М -4.1 Основний постулат вимірів

При вимірах по шкалі відносин будь-який вимір припускає порівняння невідомого розміру з відомим і вираження першого через другий у кратному чи дольному відношеннях.

При вимірах фізичних величин як відомий розмір вибирається одиниця системи СВ.

Ця процедура порівняння виражається відношенням:

де Q - вимірювана величина,

[Q] - одиниця виміру цієї величини.

Тоді розмір вимірюваної величини виразиться співвідношенням:

Q = A[Q],

де А - числове значення вимірюваної величини.

Основний постулат вимірів полягає в тім, що відлік Q при вимірах є випадковою величиною. Отже, розподіл різних значень відліків підкоряється законам теорії ймовірностей.

М-4.2 Основні зведення з теорії ймовірностей і математичної статистики

Теорія ймовірностей - це наука, що вивчає ймовірнісні закономірності у випадкових явищах.

Математична статистика - наука, що вивчає правила, відповідно до яких за результатами експериментів (спостережень, відліків) оцінюються ймовірністні характеристики.

Практичне застосування теорії ймовірностей і математичної статистики полягає в обробці дослідних даних (відліків), отриманих у результаті спостережень випадкових явищ і процесів. Оцінка шуканої величини здійснюється на підставі статистичної обробки результатів вимірів.

Величина, отримана при статистичній обробці результатів вимірів, не є істинним значенням величини, а деяким наближенням до неї.

При обробці результатів вимірів можуть зустрітися два варіанти:

1. Шукана величина в дійсності має визначене значення (наприклад, маса вантажу). Однак, у результаті вимірів виходить набір значень цієї величини, зумовлюваний помилками вимірів. Найчастіше в цьому випадку стоїть задача оцінки точного значення цієї величини.

2. Шукана величина по своїй природі є випадкової (наприклад, тиск у деякій точці газового потоку). Тоді при розгляді вибірки результатів вимірів вивчається розподіл цієї величини, і отримані результати вважаються адекватними для гіпотетичної великої групи відліків вимірюваної величини - генеральної сукупності. У цьому випадку вивчається закон розподілу вимірюваної величини, визначаються інтервали перебування випадкової величини.

Розглянемо далі деякі поняття з теорії ймовірностей і математичної статистики.

Імовірність події. Нехай при загальному числі рівноправних результатів досвіду (подій), рівному N, імовірність деякої події А дорівнює відношенню m/N, де m - число результатів, які сприяють події А. чисельним значенням імовірності є статистична частота, що і буде вважатися за міру імовірності.

Випадкова величина (в.в.) - це величина, що при її вимірі може приймати чи не приймати визначене значення, що знаходиться у виділеному інтервалі. Випадкова величина може бути дискретною чи нескінченною.

Дискретною випадковою величиною називається величина, що може приймати кінцеву чи нескінченну рахункову безліч значень, тобто можливі її значення можуть бути заздалегідь перераховані (наприклад, кількість бракованих деталей у партії).

Нескінченною випадковою величиною називається величина, що у межах відомого інтервалу може приймати різні значення (наприклад, температура в газовому потоці).

Кожна випадкова величина (дискретна і нескінченна) характеризується законом розподілу, тобто залежністю, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідною імовірністю.

Основними для будь-якого закону розподілу є показники, що характеризують: середнє значення угруповання випадкової величини, мінімальні і максимальні значення, ступінь розсіювання випадкової величини від центра угруповання.

Основні поняття:

Генеральна сукупність - уся безліч усіляких значень випадкової величини. Це поняття є гіпотетичним, оскільки реально, як правило, неможливо одержати всі існуючі в природі значення випадкової величини.

Вибірка - обмежене число вимірів N, обумовлене в кожному конкретному випадку.

Згаданий закон розподілу дискретної випадкової величини може бути заданий у виді таблиці, у якій перераховані всі можливі значення випадкової величини і відповідні їм імовірності. Для нескінченної випадкової величини скласти таку таблицю неможливо. Для неї вводяться поняття інтегрального і диференціального законів розподілу, що можуть бути застосовні і для розподілу дискретної випадкової величини.

Інтегральним законом розподілу випадкової величини називають функцію F(x), що визначає імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше х₁, т.т.,

F(x) = P(X<x₁), 0F(x)1.

Функція розподілу - сама універсальна характеристика випадкової величини. Як ми уже відзначали, вона існує як для нескінченних, так і для дискретних випадкових величин.

Графічно вони зображуються в такий спосіб:

для дискретної в.в. для нескінченної в.в.

Рисунок М.3. Функція розподілу випадкової величини

Т.ч., інтегральна функція розподілу F(x) відображає інтегральний закон розподілу в.в.

Виходячи з визначення поняття функції розподілу, їй притаманні наступні властивості:

1. F(x₂)>F(x₁) при x₂>x₁, т.т. F(x) - зростаюча функція.

2. F(-) = 0.

3. F() = 1.

4. Імовірність попадання в.в. на заданий інтервал дорівнює збільшенню функції розподілу на цьому інтервалі, тобто

P(x₁X<x₂) = F(x₂) - F(x₁).

Диференціальним законом розподілу в.в. є функція f(x), що визначається співвідношенням:

Диференціальному закону розподілу відповідає щільність розподілу імовірності.

Зображення функції щільності розподілу імовірності представлена на рис. М.4.

Рисунок М.4. Функція щільності розподілу імовірності

Властивості функції щільності розподілу імовірності

1. f(x)0, тому що F(x) - неубутна функція.

2. - дане співвідношення визначає імовірність попадання в.в. у нескінченний інтервал (уся числова вісь).

М-4.3 Основні характеристики випадкових величин, функції розподілу і щільності розподілу

Перша характеристика розподілу випадкової величини - центр групування випадкової величини. Ця величина зветься - математичне очікування. Будемо позначати цю величину МХ. У деяких джерелах ця величина може позначатися інакше, а саме: Е(х), mх.

Для емпіричного (отриманого експериментальним шляхом при обмеженій вибірці) розподілу характеристика, аналогічна МХ, зветься «середнє арифметичне» і позначається як х_сер.

Вираження математичного очікування мають вид:

- для дискретних випадкових величин;

- для нескінченних випадкових величин.

де x_i - обмірюване значення в.в.;

p_i - імовірність появи цього значення в.в.;

f(x) - функція щільності розподілу.

Вираження для середнього арифметичного:

,

де n_i - кількість вимірів з i-м результатом;

n - загальна кількість вимірів.

Математичне очікування характеризує тільки середнє значення в.в. Навколо цього середнього значення групуються всі можливі значення в.в., тому математичне очікування називають центром розподілу, чи центром угруповання. Ця величина не характеризує ступінь розсіювання в.в. біля її середнього значення.

Розкид в.в. характеризується величиною, що називається дисперсією. Дисперсія D(x) являє собою математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від центра угруповання:

Такий запис дисперсії має місце для дискретної в.в.

Для нескінченної в.в. вираження для дисперсії D(x) виражається трохи інакше:

Для обмеженої вибірки дисперсія визначається зі співвідношення:



Дисперсія має розмірність, рівну квадрату розмірності самої в.в.

Щоб характеристику розсіювання зробити такої ж розмірності, як і сама в.в., за оцінку розсіювання приймають корінь квадратний з дисперсії. І цю величину називають середньоквадратичним відхиленням. Чи інакше - «стандарт» випадкової величини, позначають як _х:

Для оцінки результатів спостережень звичайно досить двох величин: математичне очікування МХ, стандарт _х.

Перше визначає центр групування випадкової величини, друга - ступінь розсіювання випадкової величини щодо цього центра.

Для розподілу з великим числом параметрів уводиться додаткова характеристика розподілу випадкової величини - коефіцієнт варіації k = _х/МХ, тобто відношення стандарту до математичного очікування.

До характеристик розподілу випадкової величини відносяться поняття: початкові моменти, центральні моменти.

Початкові моменти позначаються m_k, і визначаються з виражень:

- для дискретної випадкової величини;

- для нескінченної випадкової величини.

Початкові моменти являють собою зважені середні в.в.

При k = 1 - буде мати місце перший початковий момент, і він буде відповідати математичному очікуванню випадкової величини.

Центральні моменти розподілу випадкової величини позначаються M_k і обчислюються з виражень:

- для дискретної випадкової величини;

- для нескінченної в.в.

При k = 2 - має місце другий центральний момент, що виражає собою дисперсію розподілу.

М-4.4 Найпростіші розподіли випадкової величини

Розподіл випадкової величини характеризується функцією розподілу F(x) чи щільністю розподілу імовірності в.в. f(x). Існує багато типів цих розподілів. Практично усі випадки розподілів, зв'язаних з помилками вимірів, описуються так називаним нормальним законом розподілу. Графік функції щільності імовірності має вид кривої, симетричної щодо центра розподілу (рис. М.5). Ця крива описується рівнянням:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок М.5. Графік функції щільності імовірності

Розтягнутість кривої залежить від величини середньоквадратичного відхилення _х. Чим більше _х, тим сильніше розтягнута крива.

Крива щільності розподілу імовірності в.в. називається «крива розподілу Гауса».

На практиці часто цікавить питання: яка імовірність попадання випадкової величини в інтервал x₁Xx₂? Відповідь на це питання дає інтеграл від щільності розподілу імовірності в.в.

Функція Ф^*(х) є функцією, що залежить від однієї величини t. Величину t називають «параметр t» чи «параметр нормованого розподілу».

Функція Ф^*(х) відповідно називається функцією нормованого розподілу, чи функція Лапласа, чи інтеграл імовірності.

Оскільки ця функція залежить від однієї величини t, то вона може бути представлена у виді графіка чи таблиці. Функція Лапласа для аргументу х дорівнює одиниці.

Використання функції Лапласа дозволяє, по-перше, оцінити імовірність того, що шукана величина знаходиться в інтервалі [x_сер-x₁; x₂-x_сер] за відомим значенням середньоквадратичного відхилення _х.

Для цього необхідно взяти інтеграл у тій формі, у якій ми вище записували.

По-друге, по заданій імовірності визначити інтервал, у якому знаходиться шукана величина Х.

Для цього необхідно знать середньоквадратичне відхилення _х і середнє значення функції x_сер.

Задача зважується в такий спосіб.

За допомогою таблиць (чи графіків) знаходять параметр нормування нормального розподілу t (за заданим значенням необхідної імовірності). Далі: зі співвідношення знаходимо величину . Тоді інтервал, у якому знаходиться шукана величина Х с заданою імовірністю р буде складати:

х_сер- Х х_сер+.

Але тому що з визначення параметра t випливає, що = t_х. Тоді вираження для інтервалу можна записати у виді:

х_сер-t_х Х х_сер+t_х.

Якщо тепер установлювати розмір інтервалу в частках середньоквадратичного відхилення, то за допомогою таблиць чи графіка функції Лапласа можна установити наступні співвідношення.

Для значення половини інтервалу, рівного _х, імовірність того, що шукана величина буде саме в цьому інтервалі, складе 0.6827. Для значення напівінтервалу, рівного 2_х, імовірність складе 0.9545; і для значення напівінтервалу, рівного 3_х імовірність складе 0.9973.

У стиснутому виді сказане можна виразити співвідношеннями:

У теорії математичної статистики приймається, що всі відліки з відхиленням від середнього значення на величину, більшу, ніж 3_х, вважається результатом грубих помилок, і ці дані виключаються з отриманої вибірки відліків, і по частині, що залишилася, відліків знову визначають х_ср і середньоквадратичне відхилення.

Така операція по виключенню грубих помилок називається правилом 3.

Розглянуті вище співвідношення відносяться до нормального розподілу випадкової величини. Існує, однак, цілий ряд інших розподілів. При цьому нормальний розподіл вважається граничним для кожного з них.

Розглянемо одне з них - експонентний розподіл.

Щільність розподілу імовірності f(x) і функція розподілу F(x) для експонентного розподілу мають вид (рис. М.6).

Рисунок М.6. Щільність розподілу імовірності f(x) і функція розподілу F(x) для експонентного розподілу

Цим розподілом описують інтенсивність відмовлень, час наробітку на відмовлення й ін.

При експонентному розподілі випадкової величини МХ характеризує середній час життя (експлуатації), - інтенсивність відмовлень.

Якщо х - це час, то імовірність того, що час безвідмовної експлуатації буде не більш годин, складе:

Р(х<) = 1 - e^-.

М-4.5 Залежні випадкові величини

Попередні викладення і розуміння відносилися до розподілів однієї величини. Зв'язок з іншими величинами визначалася поняттям випадкової величини. Т.т., що впливають величин (причин чи появи події) було нескінченно багато, але кожна з них робила мізерно малий вплив.

Якщо ж деяка випадкова величина зв'язана з іншими величинами деяким відомим співвідношенням, наприклад,

U = (x₁;x₂;x₃;…;x_n),

і якщо є можливість вивчити параметри розподілу величин x_i, то виявляється, через параметри функцій x_i можна визначити і параметри розподілу функції U.

Висновок цих співвідношень досить складний, тому запишемо їх відразу в кінцевому вираженні.

Математичне очікування залежної функції U приблизно дорівнює функції від математичних очікувань x_i:

M(U) = M[(x₁;x₂;x₃;…;x_n)](Mx₁;Mx₂;Mx₃;…;Mx_n)...

Для дисперсії відповідні рівняння мають вид:

Відповідно, середньоквадратичне відхилення, чи стандарт, визначається по формулі:

М-4.6 Застосування методів теорії ймовірностей і математичної статистики при обробці результатів вимірів

Обробка результатів вимірів здійснюється з метою визначення шуканої величини й оцінки її вірогідності.

Послідовність дій при цьому залежить від обсягу вибірки, а також від наявності інформації про те, підкоряється випадкова величина нормальному закону розподілу чи ні.

Розглянемо випадок, коли обсяг вибірки досить великий (n > 40...50),а також свідомо відомо, що розподіл випадкової величини підкоряється нормальному закону розподілу.

Послідовність дій при обробці результатів вимірів:

1. Визначається середньоарифметична величина

2. Визначається середньоквадратичне відхилення в.в.

3. Відкидаються елементи вибірки за правилом 3.

4. Знову визначаються х_сер і _х.

5. Визначається середньоквадратичне відхилення середньоарифметичного.

Постановка саме цього питання зв'язана з тим, що середньоарифметичне значення в.в. не збігається з математичним очікуванням цієї величини, і що саме значення середньоарифметичного значення є випадкова величина.

Виходячи з цього середньоквадратичне відхилення середньоарифметичного визначається по формулі

6. Задаються довірчою імовірністю того, що знайдене значення середньоарифметичного не буде відрізнятися від математичного очікування на деяку величину і буде знаходитися з заданою імовірністю у визначеному інтервалі, що і необхідно знайти. Звичайно значення довірчої імовірності вибирають у межах від 0.9 до 0.95.

7. За допомогою таблиць чи графіків по величині заданої імовірності знаходять параметр нормованого розподілу t.

Приведемо деякі співвідношення між довірчою імовірністю і значенням параметра t.

р	0.683	0.9	0.95	0.98	0.99	0.997	0.9995
tp	1.0	1.65	1.96	2.33	2.58	3	3.29

Так, для заданої імовірності 0.95 параметр t2.

8. Визначається довірчий інтервал, у якому з заданою імовірністю знаходиться середньоарифметичне значення обумовленої величини:

Така методика обробки застосовується при досить великому числі вимірів.

При числі вимірів менш 40 методика обробки інша. Відмінність полягає в тім, що використовується інший закон розподілу імовірності, при якому імовірність попадання випадкової величини в деякий інтервал залежить не тільки від ширини інтервалу, але і від числа вимірів n.

Такий розподіл імовірності називається розподілом Ст'юдента (псевдонім математика В.С.Госсета).

Слід зазначити, що якщо вибірка не перевищує 10-15 вимірів (відліків), то при цьому визначення грубих помилок за правилом 3 не здійснюється.

На практиці не завжди є впевненість, що розподіл випадкової величини апріорі підкоряється закону нормального розподілу імовірності. У цьому випадку обробка результатів вимірів починається з перевірки нормальності закону розподілу імовірності результатів вимірів.

Послідовність виконання робіт наступна:

1. Визначається середньоарифметична величина х_сер.

2. Визначається середньоквадратичне відхилення _х.

3. За правилом 3 виключаються виміри, відхилення яких від середнього значення перевищує 3.

4. Визначаються нові значення середньоарифметичного х_сер і середньоквадратичного відхилення _х.

5. Будується гістограма емпіричного розподілу, для цього:

масив даних розбивається на інтервали у відповідності з наступними рекомендаціями:

Число вимірювань	Пропоноване число інтервалів
40-100	7…9
10-500	8…12
500-1000	10…16
1000-10000	12…22

- масштаб гістограми вибирається так, щоб її висота і ширина відносилися як 5:8;

- для кожного інтервалу визначається відносна частота попадання в.в. в інтервал:

де m_i - число вимірів, що потрапили в i-тий інтервал;

n - загальне число вимірів;

х - величина інтервалу.

Помітимо, що визначена відносна частота є оцінкою щільності розподілу імовірності.

Можливий вид гістограми розподілу в.в. (рис. М.7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок М.7. Гістограма емпіричного розподілу

По виду гістограми попередньо судять про відповідність емпіричного розподілу щільності імовірності теоретичному.

6. За критерієм згоди робиться висновок про відповідність емпіричного розподілу теоретичному.

Для цієї мети використовують один із критеріїв згоди: критерій згоди ² К.Пірсона, критерій згоди Колмогорова чи за іншими критеріями.

Найчастіше користаються критерієм К.Пірсона.

Критерій ² К. Пірсона визначають по формулі:

де k - число інтервалів;

p_i - теоретична імовірність попадання до i-того інтервалу.

Розподіл випадкової величини вважається відповідним нормальному закону розподілу щільності імовірності, якщо виконується умова:

де - аргумент теоретичного розподілу К.Пірсона, що знаходиться по заданій імовірності з таблиць чи графіків.

Тема ТВ-1. Вимір температури в системах теплогазопостачання і вентиляції

Вимір температур потрібно при обслуговуванні практично всіх систем теплогазопостачання і вентиляції.

При обслуговуванні теплогенеруючих установок необхідно вимірювати температуру газів майже по всьому тракті їхнього руху, необхідно контролювати температуру теплоносіїв. Такий контроль необхідний як для забезпечення ефективного (ощадливого) використання палива, так і для забезпечення безпеки і безаварійності роботи котлоагрегатів.

У системах теплопостачання, опалення і вентиляції вимір температур необхідно для контролю відпустки теплоти, зниження теплових утрат при транспортуванні теплоносія, для контролю і забезпечення заданих параметрів атмосфери в приміщеннях, що обслуговуються.

Межі вимірюваних температур складають від -30єС и нижче і до 1000єС и вище.

Середовища, у яких виміряються температури: повітря, продукти згоряння, вода, пара, температура твердих тел.

Така розмаїтість умов і меж виміру температур визначає використання цілого ряду способів виміру і типів і типорозмірів термометрів.

ТВ-1.1 Вимір температури термометрами

ТВ-1.1.1 Рідинні скляні термометри

У рідинних скляних термометрах для визначення температури використовується теплове розширення спеціальної термометричної рідини (табл. ТВ.1), у якості якої може використовуватися ртуть, спирт і ін. Термометрична рідина укладена в скляний резервуар, з'єднаний з капіляром, з яким зв'язана температурна шкала.

Таблиця ТВ.1. Термометричні рідини

Рідина	Можливі межі використання, єС	Середній коефіцієнт об'ємного теплового розширення, К-3
	нижній	верхній	дійсний	видимий
Ртуть	-35	750	0,00018	0,00016
Толуол	-90	200	0,00109	0,00107
Етиловий спирт	-80	70	0,00105	0,00103
Гас	-60	300	0,00095	0,00093
Петролейний ефір	-120	25	0,00152	0,00150
Пентан	-200	20	0,00092	0,00090

Примітка: Під видимим коефіцієнтом об'ємного теплового розширення розуміють різницю між коефіцієнтами об'ємного теплового розширення термометричної рідини та скла.

Рисунок ТВ.1. Термометри

а) палочний: 1 - резервуар; 2 - товстостінний капіляр; 3 - шкала, яка нанесена на зовнішню поверховість капіляра;

б) зі вкладеною шкалою: 1 - резервуар; 2 - капіляр; 3 - шкала, яка нанесена на пластинку з молочного скла; 4 - захисна скляна оболонка.

Рисунок ТВ.2. Технічний термометр

1 - резервуар; 2 - капіляр; 3 - шкала; 4 - оболонка; 5 - нижня частина термометра (l).

Температура визначається по положенню меніска щодо шкали. Шкала може бути нанесена на спеціальну пластину, міцно скріплену з капіляром. Або шкала наноситься фарбами на самому капілярі.

Для різних умов виробляються термометри з різними межами виміру і з різною ціною розподілу (0.01-5.0З). У СРСР вироблялося більш 650 типів рідинно-скляних термометрів.

Достоїнства рідинно-скляних термометрів - простота в звертанні, дешевина, сталість характеристик, висока точність вимірів.

Недоліки: крихкість, і як наслідок - небезпека розливу ртуті - пари ртуті отрутні, інертність (для одержання точного значення вимірюваної температури потрібно досить тривалий час витримувати термометр у точці виміру - до декількох хвилин).

Інший недолік - труднощі безпосереднього сполучення їх з електричними системами подальшої переробки первинної інформації.

Разом з тим, промисловістю випускаються електроконтактні термометри (у капіляр вводяться електричні проводи, що можуть замикатися ртуттю при підвищенні температури до заданого рівня). Електроконтактні ртутні термометри можуть випускатися з рухливим чи нерухомим електричним контактом.

Ртутні термометри використовуються для вимірів температур у діапазоні від -35 до 600єС.

Для інших діапазонів негативних температур як термометричну рідину можуть використовуватися спирт етиловий, толуол, петролейний ефір, пентан.

Рідинні скляні термометри по їхній точності можна розділити на лабораторні типів ТЛ-2, ТЛ-3, ТЛ-4, ТЛ-5, ТЛ-6, ТЛ-15 (зразковий), ТР-I, ТР-II, ТР-III (зразковий), ТКР, ТКРУ, ТН і на промислові: ТТ, ТТЖ, ТП-21, СП.4 (5, 14, 40), ТБ-2М, ТБ-37 (38, 45 і ін.).

Лабораторні термометри - це термометри повного занурення.

Промислові термометри - термометри часткового занурення. По зовнішньому вигляді їхня відмінність у тім, що нижня частина термометра, що занурюється у вимірюване середовище, має менший діаметр, чим верхня частина термометра.

Причини, що викликають погрішність виміру температури рідинними термометрами:

- неповнота занурення у вимірювану рідину;

- вплив тиску навколишнього середовища, t = 110^-6С/Па;

- старіння скла - результат його температурних деформацій (розширення, стиск при зміні температури). На лабораторних термометрах наноситься напис - зістарене;

- явище паралакса - площина спостереження не перпендикулярна капіляру.

ТВ-1.1.2 Манометричні термометри

Принцип дії манометричних термометрів заснований на залежності від температури тиску манометричної речовини в герметично закритому обсязі.

Вони підрозділяються на газові, рідинні, конденсаційні.

Манометричні термометри характеризуються можливістю дистанційного виміру температури без використання додаткової енергії, простотою конструкції, надійністю, наявністю рівномірної шкали, вибухобезпечністю, нечутливістю до зовнішніх магнітних полів.

Рисунок ТВ. 3. Схема манометричного термометра 1 - термобалон;

2 - капіляр;

3 - манометрична пружина;

4 - утримувач;

5 - повідець;

6 - компенсатор;

7 - спіральний волосок;

8 - вказівна стрілка;

9 - сектор;

10 - манометрична пружина.

Пристрій термобалону.

При зміні температури термобалону змінюється тиск усередині системи, відбувається деформація пружини. Переміщення її кінця через сполучний механізм передається на вказівну стрілку і її положення змінюється.

Капіляри виготовляють з латуні і стали з зовнішнім діаметром 2.5 мм і внутрішнім діаметром 0.35 мм.

Відповідно до ДСТ 8-624-80 (з доп.) довжина капіляра може складати: 0.6, 1.0, 1.6, 2.5, 4, 6, 10, 12, 16, 25, 40 і 60 м.

Термобалон є чуттєвим елементом, його довжина - не більш 400 мм.

Манометричні термометри застосовують для виміру, записи і регулювання температури газів, пар, рідин у діапазоні від -200 до 1000(С. Класи точності: 1.0, 1.5, 2.5 (газові і рідинні); 1.5, 2.5, 4.0 (конденсаційні).

У конденсаційних манометричних термометрах термобалон лише частково заповнений рідиною. Температура кипіння рідини відповідає діапазону виміру температур. Такими рідинами можуть бути: фреон-22, пропиллен, хлористий мітив, ацетон, этилбензол.

У газових термометрах термобалон заповнюється азотом, аргоном.

У рідинних манометричних термометрах робочою рідиною є: поліметілсілоксанова рідина, пропіловий спирт, метаксілол.

Манометричні термометри можуть бути що показують, самописні і комбіновані.

Типи манометричних термометрів: ТПГУ, ТПГУ-V, ТПГУ VI, ТГС-711, ТГС-712, ТГ2С-711, ТГ2С-712, ТПГ-СК, ТКП-160, ТГП-160, ТДГ-П, ТДГ-Э, ТДТ-IX і ін.

Манометричні термометри володіють досить великою інерційністю: від 3...6 до 500...800 с.

Фактори, що викликають погрішність вимірів манометричними термометрами:

- відхилення температури від умов, для яких градуйований термометр;

- відхилення зовнішнього тиску;

- різні рівні термобалона і пристрою, що показує;

- відсутність температурної рівноваги термобалону із середовищем.

ТВ-1.1.3 Дилатометричні і біметалічні термометри

У дилатометричних і біметалічних термометрах вимір температури заснований на розходженні температурних коефіцієнтів лінійного розширення двох речовин.

У дилатометричному термометрі два стрижні з матеріалів з різними коефіцієнтами розширення на одному кінці скріплені один з одним. Різниця переміщень вільних кінців служить мірою температури.

Рисунок ТВ.4. Схема дилатометричного термометра

1 - металічна труба (чутливого елемента);

2 - стрижень;

3 - штуцер;

4 - головка;

5 - важіль;

Межі виміру температур від -60 до 3000єС. Вони надійні в роботі, однак, безпосередньо для виміру температур використовуються вкрай рідко, а найчастіше - як терморегулятори, наприклад, у кондиціонерах.