Теория групп и её влияние на различные области математики

Процесс перехода к абстрактной теории групп ускорился с 1870 года. Теория групп была популяризована Серретом, который посвятил теории групп секцию из своей книги по алгебре. Он проделал большую работу и включил в свои лекции по алгебре в Сорбонне большие части теории Галуа.

Дальнейшие крупные открытия в теории групп связаны с именем воспитанника и профессора Политехнической школы, а также Коллеж де Франс, Камилла Жордана (1838--1922). В 1865 г. появляется первая работа Жордана по теории Галуа «Комментарии к мемуару Галуа» (Commentaires sur le memoire de Galois.-- С. г. Acad. sci. Paris), в 1869 г. ее продолжение «Комментарии к Галуа» (Commentaires sur Galois.-- Math. Ann.), Затем появились работы Жордана - «Действия над подстановками» («Traite des Substitutions et des equations algebriques»,) Эта монография стала классикой. В ней были подытожены результаты теории конечных групп в применении к теории чисел, теории функций и алгебраической геометрии. Однако, хотелось бы отметить, что у Жордана еще не было определения группы, такого, каким мы его знаем сейчас. Оно появилось не сразу. Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

Немалую роль в популяризации теории групп сыграл Евгений Нетто (1882 г.), чей труд был в 1892 г. переведён на английский язык Коулом. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Стоит также сказать, что до определенного момента большинство математиков рассматривало в основном конечные дискретные группы. Однако к концу XIX века на сцене появились бесконечные группы, а также непрерывные. В частности, в 1884 г. Софус Ли положил начало изучению групп преобразований . Эти группы сейчас называют группами Ли. За его трудами последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных бесконечных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

К концу XIX в. теория конечных групп оформилась и достигла высокого уровня. Появился ряд сводных трактатов, содержащих ее систематическую разработку. В это же время появились первые приложения теории групп. Здесь можно, например, упомянуть имена таких ученых, как: Фёдоров, Шенфлис , Клейн.

В начале XX века ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.

4.1 Вклад Артура Кэли

Первое определение и первые исследования абстрактных групп были опубликованы крупным английским математиком А. Кэли в 1854 г.

Он был первым, кто понял, что понятие группы независимо от объектов, к которым оно применяется. Он изложил свою концепцию в мемуаре, опубликованном в 1854 г.: «О группах, зависящих от символического уравнения ». В этом мемуаре Кэли привел абстрактное определение группы в духе символической алгебры Кембриджской школы: «Множество символов различных между собой и таких, что произведение двух из них (в произвольном порядке) либо произведение одного из них на себя принадлежит этому множеству, называется группой».

Таким образом, Кэли строго придерживался концепции конечной группы. В этом случае нет необходимости постулировать существование обратного для каждого элемента, поскольку среди всех степеней одного элемента найдется по крайней мере одна, скажем равная 1, и тогда из следует, что .

Для фиксированного целого числа n Кэли рассматривал возможные таблицы умножения для групп порядка n. Кэли не делал абсолютно никаких предположений относительно символов и описывал структуру конечных групп с помощью таблиц умножения и соотношений между образующими.

Таким образом, его новаторство заключается в том, что до тех пор понятие группы, как его сформулировал Галуа, относилось к теории подстановок, и элементами или символами всегда были отображения (на современном языке -- морфизмы), но элементы группы сами никогда не рассматривались как величины -- несомненно, потому, что если считать их величинами, то надо было бы определять две операции и рассматривать то, что мы теперь называем структурой поля. Выделять лишь один, закон композиции было неестественно.

Пример таблицы Кэли:

Также Кэли указал примеры групп в самых разных областях, рассмотрев с этой точки зрения теорию матриц (тогда еще совсем не формализованную), тело кватернионов, композицию квадратичных форм, а также множество корней n-й степени из единицы.

Мемуар Кэли добрых двадцать лет оставался в стороне от внимания математиков, и даже сам Кэли при изложении теории матриц не упоминал ни аддитивную, ни мультипликативную группы обратимых матриц.

4.2 Исследования К. Жордана

Рубежом в продолжающемся развитии теории групп было появление в 1870 г. капитального «Трактата о подстановках и алгебраических уравнениях» К. Жордана. Это было и первое систематическое полное изложение теории Галуа, и подробное изложение достигнутых к этому времени результатов в теории групп, включая и значительные достижения в этих областях самого Жордана. В этой книге была также введена жорданова нормальная форма матриц линейных преобразований. Появление труда Жордана стало событием во всей математике.

Камилл Жордан сделался непререкаемым авторитетом в области теории групп и теории Галуа. Можно сказать, что он предпринял научное воссоздание трудов Эвариста Галуа, дополнил его доказательства, использовал и развил все его краткие указания. Труд Жордана «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» остается до наших дней непревзойденным во многих отношениях.

Работая над теорией Галуа, Жордан отказался от узких рамок теории групп перестановок и рассматривал более абстрактное понятие конечной группы. В 1868 г. он провел классификацию всех групп движений трехмерного евклидова пространства. Также он занимался изучением линейных представлений группы, действующей на векторном пространстве, т. е. поиском гомоморфизмов этой группы в группу обратимых линейных преобразований векторного пространства на себя (очевидно, тождественную группе обратимых квадратных матриц с вещественными или комплексными элементами, которая обозначается GL(n, R) или GL(n, С)).

Жордан провел систематическое изучение классических групп и их конечных подгрупп, затем он попытался определить все разрешимые конечные группы, чтобы найти все уравнения данной степени, разрешимые в радикалах.

С одной стороны, Жордан ввел основные современные понятия теории групп (факторгруппа, гомоморфизм, последовательность нормальных подгрупп некоторой группы, которую мы называем теперь последовательностью Жордана-- Гёльдера, и т. д.). С другой стороны, при исследовании линейной группы он пришел к очень важным результатам о приведении матриц (так называемые жордановы формы).

Еще стоит упомянуть, что в своих сочинениях Жордан впервые рассматривает матричные группы с элементами из конечного поля, ставшие в XX в. предметом обстоятельных исследований.

При изложении теории Галуа Жордан использует уже современный способ сопоставления уравнению не некоторого множества перестановок корней, а группы подстановок, и критерий разрешимости уравнения в радикалах у него выражается в разрешимости его группы Галуа.

Ранее упоминавшийся фундаментальный трактат Жордана стал на некоторое время учебником как по теории групп, так и по теории Галуа. Выход его знаменует окончание периода рождения теории групп.

4.3 Общая характеристика дальнейшего развития теории групп

Расцвет теории конечных групп относится к концу XIX и первым десятилетиям XX столетия. В это время были получены основные результаты этой теории, намечены основные направления, созданы основные методы; вообще, теория конечных групп трудами своих крупнейших деятелей (Фробениус, Гельдер, Бернсайд, Шур, Миллер) приобрела в это время то лицо, все существенные черты которого она донесла до наших дней ).

В дальнейшем стало ясным, однако, что конечность групп является слишком сильным и не всегда естественным ограничением. Особенно важно, что это ограничение очень скоро привело к конфликту с потребностями соседних отделов математики: различные части геометрии, теория автоморфных функций, топология все чаще и чаще стали встречаться с алгебраическими образованиями, подобными группам, но бесконечными, и стали предъявлять к теории групп требования, удовлетворять которые теория конечных групп была не в состоянии. Вместе с тем с точки зрения самой алгебры, частью которой теория групп является, вряд ли можно было считать нормальным положение, при котором оставались за пределами теории такие простейшие и важнейшие группы, как, например, аддитивная группа целых чисел. Конечная группа должна была поэтому стать частью общего понятия группы, а теория конечных групп -- главой в общей теории «бесконечных» (т. е. не обязательно конечных) групп.

Впервые в мировой литературе изложение основ теории групп без предположения, что рассматриваемые группы конечны, было cделано в книге О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (Киев, 1916).Широкое развитие общей теории групп началось, однако, несколько позже и было связано с той радикальной перестройкой и тем переходом на теоретико-множественные основы, которые совершила алгебра в 20-х годах нашего века (Э. Нётер). В частности, именно отсюда пришли в теорию групп такие новые для нее понятия, как системы операторов и условия обрыва цепочек.

В дальнейшем работа в общей теории групп становилась все более бурной и разносторонней и к настоящему времени эта часть математики превратилась в широкую и богатую содержанием науку, занимающую одно из первых мест в современной алгебре. Понятно, что это развитие общей теории групп не могло игнорировать успехи, уже достигнутые в теории конечных групп. Наоборот, многое при этом развитии возникало из соответствующих частей теории конечных групп, причем руководящим было стремление заменить конечность группы теми естественными ограничениями, при которых данная теорема или данная теория еще остаются справедливыми и за пределами которых они теряют силу. Очень часто, впрочем, вопрос, простой и окончательно решенный в случае конечных групп, превращался в широко развитую и далекую от завершения теорию; такова, например, теория абелевых групп, одна из важнейших частей современной теории групп. Вместе с тем возникли и некоторые новые отделы, существенным образом связанные с рассмотрением бесконечных групп,-- теория свободных групп, теория свободных произведений. Наконец, в некоторых случаях -- прежде всего в вопросе о задании группы определяющими соотношениями -- впервые удалось достигнуть четкости и строгости, недоступных теории групп на предшествующем этапе ее развития.

4.4 Теория представлений групп

Для начала дадим наиболее простое определение представления группы:

Представление группы (точнее, линейное представление группы) -- гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы Sn и знакопеременной группы An играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4.

В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство -- гильбертово) представления групп (в первую очередь, группы Лоренца).

Более формализовано определение представления группы выглядит так:

Пусть - заданная группа и - векторное пространство. Тогда представление группы - это отображение, которое каждому ставит в соответствие невырожденное линейное преобразование , причем выполняются следующие свойства

.

Примеры представлений групп:

1) Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.

2) Представление симметрической группы может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве размерности базис . Для каждой перестановки определим линейное преобразование переводящее базисный вектор в базисный вектор , где . Таким образом получается n-мерное представление группы .

В более широком смысле, под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества X. Например: Проективное представление группы -- гомоморфизм группы в группу проективных преобразований проективного пространства.

Теория представлений групп восходит к работам Эйлера, А.М. Лежандра, Гаусса, в которых появилось понятие характера коммутативной группы. В конце 18 века и в начале 19 века работами Г. Фробениуса, И. Шура (I. Schur), У. Бернсайда, Ф.Э. Молина, Р. Брауэра были заложены основы теории (конечномерных) линейных представлений (и теории характеров) конечных групп, в которой вместе с «абстрактной» группой G рассматриваются все ее гомоморфизмы в «конкретные» линейные группы GLn(K) над полями K (или, что тоже самое, модули над групповой алгеброй KG группы G над полем K). На дальнейшее развитие этого направления теории групп оказала сильное влияние монография Г. Вейля (H.Weyl, 1939), подведя итог этого периода.

Дж. фон Нейман (J. von Neumann), Г.Вейль, Э.Картан (E.J.Cartan) заложили основы теории представлений групп Ли и топологических групп. Теория двойственности Л.С.Понтрягина для характеров локально компактных абелевых групп явилась краеугольным камнем в основании топологической алгебры.

4.5 Непрерывные, бесконечные группы, группы Ли

В работах Жордана еще не появилось общее понятие группы в том виде, в котором оно существует сейчас. Рассматривая группы, он полагал их конечными. О группах преобразований и непрерывных группах речи еще не было. Хотя идея преобразования, примененного ко всему пространству, а не только к отдельным пространственным фигурам, была уже знакома геометрам благодаря развитию проективной геометрии в работах Понселе. Но связь между этой идеей и идеей «перестановки» конечного множества еще не усматривалась.

В 1870 г. Софус Ли (1842--1899) и Феликс Клейн вместе были в Париже и, ознакомившись там с работами Жордана и Галуа, начали размышлять над группами преобразований. Впервые в рамках одной концепции были поставлены рядом понятия конечного множества и некоего «пространства», наподобие пространства евклидовой геометрии. Итогом этих размышлений стала предложенная в 1872 г. «Эрлангенская программа» Клейна, в которой центральное место при изучении геометрий отводится понятию группы. Был дан толчок к изучению бесконечных групп, одним из главных творцов этой теории стал Софус Ли.

Фактически в работах Ф.Клейна с С.Ли (S.Lie) было начато исследование бесконечных дискретных и топологических групп. Трехтомный трактат С.Ли и Ф.Энгеля (F.Engel), 1883-1893, зафиксировал рождение новой области в теории групп - теории групп Ли.

Зачем же Софусу Ли вообще понадобилось рассматривать группы преобразований?

Как мы помним, первоначально конечные группы были введены Галуа в связи с вопросом о симметрии алгебраического уравнения относительно подстановок его корней. Софус Ли имел своей целью построение аналогичной теории для дифференциальных уравнений с непрерывными группами преобразований. В результате возникла специальная теория определенного класса непрерывных групп, называемых теперь группами Ли.

Дальнейшие исследования Вейля и Картана, посвященные классификации геометрических объектов относительно некоторых групп преобразований, завершили классический этап развития теории групп Ли.

В последующих исследованиях, уделялось особое внимание топологии группового пространства (Понтрягин, Брауэр, Вейль, Шевалле, Мальцев), что позволило дать законченную классификацию групп Ли и их конечномерных представлений.

С начала 50-х годов XX века в работах Гельфанда и Наймарка происходит интенсивное развитие теории бесконечномерных представлений групп Ли и некоторых других локально компактных групп. Эти вопросы в свою очередь связаны с современными вопросами симметрии квантовой теории поля.

Теория групп Ли в современном понимании в значительной степени связана с вопросом линейных представлений. Понятия представления или «обобщенной экспоненты» позволяет проследить глубокую связь, кажущихся на первый взгляд далеких друг от друга вопросов, таких как тензорный анализ и гармонический. Алгебраические основы этой теории были заложены Фробениусом на рубеже XX века. Уже тогда было ясно, что эта теория имеет тесную связь с теорией ассоциативных алгебр, которая постепенно занимает одно из главнейших мест в современной математике. Современная теория представлений может быть интерпретирована как абстрактный гармонический анализ. Если ограничиться компактными группами Ли, то получается замечательное обобщение классической теории рядов Фурье, где «обобщенные экспоненты» специального вида играют роль элементарных гармоник.

Группы Ли на данный момент имеют широкое применение в физике. Однако, несмотря на то, что с момента создания Эйнштейном теории относительности принципиальная роль теории бесконечных групп в теоретической физике стала очевидной, многие физики долгое время игнорировали использование групп Ли, ограничиваясь рассмотрением некоторых конечных групп (кристаллография). В настоящее время положение дел резко изменилось благодаря значительным успехам теоретико-группового подхода в классификации элементарных частиц.

4.6 Комбинаторная теория групп

В этом разделе будет рассказано о разделе теории групп, который развивался параллельно обычной теории групп.

В начале XX века было в некотором смысле разделение направлений исследований и развивалось два направления теории групп, ведущих свое начало от несколько разных определений самого понятия группы. Одно из этих определений - «обычное», построенное на аксиомах. Мы рассматривали его ранее. Во втором же случае, группа определяется порождающими элементами и соотношениями между ними. (С таким мы встречались у Артура Кэли. См. пример выше)

Таким образом, комбинаторную теорию групп можно охарактеризовать как теорию групп, которые описываются порождающими и определяющими соотношениями или, как теперь часто говорят, своим заданием (presentation). Конечно, это не полное определение данной области математики, но все же основную идею оно отражает.

Описание группы посредством ее задания, т. е. системы порождающих и определяющих соотношений, является на самом деле специфическим способом абстрактного описания группы.

Истоки комбинаторной теории групп, изучающей задание группы образующими и определяющими соотношениями, можно найти в работах: Ф. Клейна; А. Пуанкаре (H. Poincare) (предложившего в 1895 понятие фундаментальной группы); В. фон Дика (W. von Dyck) (доказавшего в 1882 существование свободной группы); Х. Титце (H. Tietze) (в 1908 рассмотрел вопрос об изоморфизме групп при различных заданиях); М. Дэна (M. Dehn) (рассмотревшего в 1910 проблемы равенства, сопряженности и изоморфизма). Р. Ремак (R. Remak, 1911) и О.Ю. Шмидт (1913), обобщив теорему об однозначности разложения группы в прямое произведение неразложимых сомножителей с конечных абелевых групп на класс всех конечных групп, заложили основы теории прямых разложений групп. Нильсен (J. Nielsen, 1921) и Шрайер (O. Schreier, 1927) доказали, что подгруппа свободной группы свободна. Ван Кампен (E.R. van Kampen, 1933) предложил геометрическую интерпретацию вывода следствий из определяющих соотношений групп. Теорема А.Г.Куроша (1934) дает описание строения подгрупп свободного произведения групп. И.А. Грушко (1940) и Б. Нейман (B.H.Neumann, 1943) развили метод Нильсена для свободных произведений и описали системы порождающих для таких групп.

Начало этой теории обычно связывается с работой В. Дика 1882 г., в которой впервые были введены понятия порождающих и определяющих соотношений.

Рассмотрим простой пример группы, заданной порождающими соотношениями: см [3]

Будем рассматривать правильные многогранники и их группы симметрий. Известно, что эти группы симметрий обычно являются изоморфными некоторым подгруппам группы подстановок. Т.е. можно дать аксиоматическое определение такой группы. Но можно дать определение на основе порождающих соотношений.

Например, Гамильтон (1856) показал, что группа икосаэдра может порождаться тремя элементами: в зависимости от отношений

Это означает, что каждый элемент группы икосаэдра является произведением и любое соотношение между следует указанных соотношений.

Дик в выше упоминавшейся работе 1882 дал похожие представления групп куба и тетраэдра.

Таким образом, мы увидели, что группы правильных многогранников были первыми, которые определили на основе порождающих элементов и соотношений. Однако, с конечными группами, такими как эти, занимаешься, главным образом, простотой и элегантностью представления; вопрос о существовании не возникает. Что касается любой конечной группы G, можно тривиально получить конечное множество порождающих элементов (а именно, всех элементов g1,..,gn группы G). и определяющих соотношений (а именно, всех уравнений gi*gj= gk, выполняющихся среди порождающих элементов). И конечно, тот же аргумент дает бесконечное множество порождающих элементов и определяющих соотношений для бесконечной группы, но это также неинтересно. Реальная проблема заключается в том, чтобы найти конечные множества порождающих элементов и определяющих соотношений для бесконечных групп, где возможно.

Впервые эта задача была решена для групп симметрии некоторых правильных мозаик студентом Клейна, Диком, и такие примеры были основой первого систематического изучения порождающих элементов и соотношений.

Обобщая идеи Дика, Пуанкаре (1882) показал, что группы симметрии всех правильных мозаик, будь то сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости, молено представить конечным числом порождающих элементов и соотношений. Эти результаты также были важны для топологии.

Впоследствии более простой подход к комбинаторному определению группы можно встретить у Дена и Магнуса (1930). Группа G у них определяется множеством {a1,..,an,…} порождающих элементов и множеством {W1=W1'; W2=W2' ;…} определяющих соотношений. Каждый порождающий элемент ai называется буквой; ai имеет обратный элемент ai-1 и произвольные конечные последовательности («произведения») букв и обратных букв называются словами.

Слова W', W называются эквивалентными, если W = W' -- след- ствие определяющих соотношений, то есть, если W можно обратить в W' последовательностью замен подслов Wi на Wi' (или наоборот) и сокращением (или вставкой) подслов ai* ai-1, ai-1* ai. Элементы G -- классы эквивалентности: [W] = {W' :W' эквивалентно W},

Произведение элементов [U], [V] определяется :

[U][V] = [UV]

где UV обозначает результат соединения в цепь слов U, V.

4.7 Теория групп в СССР (с 1916 года по 60-е годы)

В предыдущих разделах мы рассмотрели в общем, некоторые направления развития теории групп и деятельность математиков, положивших начало фундаментальному изучению теории групп. Теперь мы поговорим о том, как происходило развитие этой области в России (точнее в СССР), какие были достигнуты результаты.

Исследования по теории групп начались в России еще до революции работами О.Шмидта. Тогда же была написана его книга «Абстрактная теория групп» (вышла в 1916 г., 2-е издание в 1933 г.). Исследования О.Ю.Шмидта продолжались и после революции; одной из самых значительных была его работа о прямых произведениях групп.

В конце 20-х годов начались исследования коллектива учеников О.Ю.Шмидта по теории конечных групп.

В 30-х годах и в первой половине 40-х годов исключительно большое развитие получили исследования советских алгебраистов по общей теории {бесконечных) групп. Из многочисленных работ в этой области наибольшее влияние на ее дальнейшее развитие оказали работы А. Г. Куроша по свободным и прямым произведениям групп, работы С. Н. Черникова по обобщенным разрешимым и нильпотентным группам и работы Л. Я. Куликова по примарным абелевым группам. В книге А. Г. Куроша «Теория групп» (вышла в 1944 г., 2-е издание в 1953 г.; вышли также немецкий перевод первого издания и венгерский и английский переводы второго издания) приведены многие из результатов, полученных советскими теоретико-групповиками за рассматриваемый период.

В топологической алгебре, развитие которой началось в СССР по инициативе А. Н. Колмогорова, был выполнен ряд исследований, среди которых исключительно важное место занимают работы Л. С. IIоитрягина по топологическим группам, в частности его теория характеров топологических абелевых групп. Также стоит отметить работы А.А. Марковао топологизации абстрактных групп. В книге Л. С. Понтрягина «Непрерывные группы» A938 г., 2-е издание в 1954 г.; вышел также английский перевод первого издания) теория топологических групп была впервые систематически изложена.

Еще в 20-х годах начались работы А. К. Сушкевича но теории полугрупп и квазигрупп, систематизированные в его книге «Теория обобщенных групп» A937 г.). К этой же области относились исследования А. И. Мальцева о вложении полугрупп в группы и ряд работ других авторов. В общем, эти работы оставались, однако, довольно разрозненными.

Наконец, к середине 30-х годов относится начало работы советских алгебраистов в теории структур. Исследования носили здесь преимущественно характер анализа теоретико-структурных основ тех или иных из крупных теорем теории групп и теории колец.

Следует особо отметить возникновение ряда новых алгебраических коллективов в различных городах СССР наряду с коллективами, уже существовавшими ранее. Продолжал развиваться руководимый А. Г. Курош е м большой коллектив московских специалистов но общей алгебре, включающий в круг своих интересов почти все разделы этой науки. В Иванове возник коллектив алгебраистов, учеников А. И. Мальцсва, со столь же широким кругом интересов. В Свердловске под руководством С. Н. Чериикова, а затем также и П. Г. Коиторович а сформировалась большая теоретико-групповая школа, развивавшаяся помимо Свердловска также в Перми. Также стоит отметить, коллектив учеников С. А. Чунихина в Томске, работающий в теории групи, преимущественно конечных, и коллектив ленинградских специалистов по теории полугрупп, учеников Е. С. Ляпина.

Теперь перейдем к обзору отдельных направлений.

Для начала хотелось бы подчеркнуть, что в первой половине XX века теория групп продолжала оставаться одним из основных разделов советской общей алгебры. Особенно много было сделано в теории обобщенных: разрешимых и нильпотентных групп. Здесь в первую очередь нужно названы работы А. II. Мальцева о разрешимых и локально нильпотентных группах, работы С. II. Черник о в а о полных нильпотентных группах и работы Б. И. Плоткина о радикальных группах. Бурное развитие этой ветви теории групп было подготовлено, в частности, обзорной статьей А. Г. Курошаи СИ. Черникова «Разрешимые и нильпотентные группы».

Существенные вклады были внесены в эти годы и в другие разделы теории групп. Так, вновь заметно оживилась теория конечных групп благодаря циклу исследований С. А. Чунихин а о силовских свойствах конечных групп. Отметим, с другой стороны, работы Д. А. Супруненко но группам подстановок и линейным группам.

Хотелось бы отметить, что советские алгебраисты занимались не только теорией групп. В теории колец и алгебр развитие в СССР в эти годы шло также бурно, и были достигнуты столь значительные результаты, что уровень этой ветви советской алгебры вполне сравним с тогдашним уровнем теории групп. Напоследок еще хотелось бы сказать, что развитие советской общей алгебры шло в самом тесном контакте с развитием алгебраических исследований в зарубежных странах.

Переплетения и взаимные влияния и связи между исследованиями советских и зарубежных алгебраистов были столь многочисленными, что советскую общую алгебру должно рассматривать как весьма значительную составную часть мировой алгебраической науки.

4.8 «Коуровская тетрадь»

В математике и в частности в теории групп всегда существовали и существуют открытые вопросы. Наиболее важные из них можно найти в так называемой «Коуровской тетради». «Коуровская тетрадь» представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешенных задач в области теории групп. Она издается с 1965 года с периодичностью в 2-4 года и выпускается на русском и английском языках.

Идея издания сборника нерешенных проблем теории групп была высказанаМихаилом Ивановичем Каргаполовым (1928-1976) на Дне проблем Первого Всесоюзного симпозиума по теории групп в Коуровке под Свердловском 16 февраля 1965 г. Поэтому этот сборник и получил название «Коуровская тетрадь». С техпор каждые 2-4 года появляется очередное издание, дополненное новыми вопросами и краткими комментариями к решенным задачам из предыдущих изданий.

«Коуровская тетрадь» уже более 40 лет служит своеобразным средством общения для специалистов по теории групп и смежным областям математики. Возможно, самым ярким примером успеха «Коуровской тетради» является тот факт,что около 3/4 всех задач из ее первого издания к настоящему времени уже решены. Приобретя международное признание, «Коуровская тетрадь» насчитывает свыше 300 авторов задач из многих стран мира.

Заключение

Итак, мы увидели, что теория групп прошла длинный путь прежде, чем выйти на современный уровень. Изобретение Эвариста Галуа было всего лишь первым шагом навстречу коренной перестройке алгебры и вообще математики. Потребовалось время, для того чтобы осознать оригинальные идеи Галуа, а затем вывести их на должный уровень абстракции. Не сразу математики осознали ,что при изучении математических объектов на самом деле изучаются свойства заданных в них алгебраических операций и что эти объекты следует определять аксиоматически, указывая исходные свойства операций и игнорируя природу элементов, над которыми операции производятся.

Также потребовалось немало времени, чтобы перейти от рассмотрения конечных групп к бесконечным группам.

Результаты усилий нескольких поколений математиков принесли свои плоды. Теория групп раскрылась в полной своей мере и изменила своим появлением алгебру. Она существенно повлияла на другие сферы математики благодаря, а также дала начало некоторым новым областям.

5. Влияние теории групп на другие области математики и научные сферы

Преобразование алгебры повлекло за собой преобразование всей математики. Исследование фундаментальных структур, их подструктур (например, в теории групп -- конечных групп, коммутативных групп и т. д.), изучение их основных комбинаций (таких, как структуры алгебраической топологии, в которых алгебраические комбинации обладают дополнительными свойствами непрерывности, дифференцируемости и т. д») нарушили архитектуру математики, древняя схема которой (алгебра, арифметика, геометрия, анализ) устарела. Взаимопроникновение математических дисциплин стало в наши дни глубоким и всеобщим.

В первой половине XIX в. факты теории групп играли еще вспомогательную роль, главным образом в теории алгебраических уравнений. К концу же XIX в. теория конечных групп оформилась и достигла высокого уровня. Появился ряд трактатов, содержащих ее систематическую разработку. В это же время появились первые приложения теории групп.

Сейчас группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; множество преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с операцией композиции, образуют группу, называемую группой симметрии.

Например в оригинальной теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название разрешимые группы.

В алгебраической топологии группы используются для описания инвариантов топологических пространств . Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп -- фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий.

Группы Ли применяются при изучении дифференциальных уравнений и многообразий; они сочетают в себе теорию групп и математический анализ. Область анализа, связанная с этими группами, называется гармоническим анализом.

В комбинаторике понятия группы подстановок и действия группы используются для упрощения подсчёта числа элементов в множестве; в частности, часто используется лемма Бёрнсайда.

Понимание теории групп также очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям.

Рассмотрим теперь более подробно, как применяются группы в различных областях науки.

5.1 Алгебраическая топология и группы

В алгебраической топологии группы используются для описания инвариантов топологических пространств. Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп -- фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий.

В алгебраической топологии и связанных с нею областях математики фундаментальной группой называется алгебраический объект, который сопоставляется топологическому пространству и измеряет, грубо говоря, количество дырок в нем. Наличие дырки определяется невозможностью непрерывно стянуть некоторую замкнутую петлю в точку. Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.

Рассмотрим пример применения групп к топологии:

Допустим, что каждому топологическому пространству X сопоставлена группа F(X). Пусть кроме того каждому непрерывному отображению f:X Y отображения одного пространства в другое сопоставлен гомоморфизм f*: F(X) F(Y) соответствующих групп. Такое сопоставление пространствам - групп, отображениям - гомоморфизмов называется ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию групп, если выполняются следующие два условия: 1) Если f тождество, то f* также тождество. 2) Если суперпозиция fg определена, то (fg)* и f*g* изоморфны.

Справедлива следующая теорема: Если пространства X и Y гомеоморфные, то F(X) и F(Y) изоморфны.

На это теореме основан способ применения групп (функторов) в топологии. Допустим нам надо выяснить различны ли пространства X и Y. Возьмем какой-нибудь функтор F и сравним группы F(X) и F(Y). Если F(X) и F(Y) различны, то пространства X и Y тоже различны. Если F(X) и F(Y) изоморфны, то про пространства X и Y ничего сказать нельзя.

Таким образом, знание некоторого функтора из категории топологических пространств в категорию групп позволяет в некоторых случаях доказать различность пространств.

5.2 Теория многомерных пространств, теории алгебраических интегралов линейных дифференциальных уравнений и группы

Группы нашли своё применение в теории многомерных пространств. В частности, дискретные конечные группы (к которым принадлежат, например, Федоровские группы) получили распространение в теории многомерных пространств в связи с теорией правильных многогранников в них. В основе этих рассмотрений лежит теорема Жордана: число конечных линейных групп заданного измерения существенно конечно.

Та же теорема получила приложение на рубеже XIX--XX вв. в теории алгебраических интегралов линейных дифференциальных уравнений, римановых поверхностей и др. Например, Жордан указал на связь между линейными дифференциальными уравнениями, имеющими алгебраические интегралы, и конечными группами. Оказалось, что необходимым и достаточным условием существования алгебраических интегралов у линейного дифференциального уравнения фуксова типа является условие конечности группы линейных преобразований, претерпеваемых его интегралами при обходе независимой переменной вокруг каждой из критических точек.

5.3 Теория групп и автоморфные функции

Имеется связь между теорией групп и автоморфными функциями.

Классическая теория автоморфных функций, возникшая в трудах Клейна и Пуанкаре, была связана с изучением аналитических функций в единичном круге, инвариантных относительно дискретной группы преобразований. Поскольку сам единичный круг можно рассматривать, как плоскость Лобачевского в интерпретации Пуанкаре, то можно сказать, что классическая теория автоморфных функций связана с изучением аналитических функций на плоскости Лобачевского, инвариантных относительно некоторой дискретной группы движений этой плоскости.

Существенную роль после Клейна и Пуанкаре в развитии теории автоморфных функций сыграли Гекке, Зигель, Зельберг, Годман, Петерсон. В работах этих ученых прослеживается связь между некоторыми аспектами теории автоморфных функций и теорией групп.

Процесс развития теории автоморфных функций все более показывал важность теоретико - группового подхода. И теперь многие понятия теории автоморфных функций достаточно просто связать с некоторой произвольной группой Ли или её дискретной подгруппой.

Особенно отчетливо связь между теорией групп и автоморфными функциями проявилась в 50х, 60х годах XX века. Точнее речь идет о связи с теорией представлений групп. Стоит отметить, что все это произошло под влиянием стремительного развития теории бесконечномерных представлений групп. Построение же бесконечномерных представлений групп Ли полностью выявило все зависимости.

Одной из первых работ в этом направлении была работа Гельфанда и Фомина, в которой понятия теории представлений связывались с теорией динамических систем и теорией автоморфных функций.

Кроме бесконечномерных представлений групп Ли большую роль в формировании современной теории автоморфных функций сыграло создание алгебраических группы в работах Шевалле, Бореля, Титца.

Одним из наиболее замечательных понятий, появившихся и применившихся в теории автоморфных функций в середине XX века, явилась группа аделей. С группой аделей, к примеру, связано замечательное однородное пространство (пространство классов смежности по подгруппе главных аделей), которое очень удобно для рассмотрения функций над ним и изучения их свойств.

Обобщая выше сказанное, хотелось бы сказать, что теория представлений групп позволила по-новому понять классические результаты теории автоморфных функций, шире поставить задачи этой теории и получить ряд новых важных результатов.

5.4 Алгебраические конструкции в теории автоматов

Теория автоматов оперирует с широким кругом алгебраических объектов и средств. В годы становления теории автоматов алгебраические средства активно использовались для решения её внутренней проблематики. Интересно, что со временем оказалось, методы теории автоматов можно использовать при алгебраических исследованиях.

Первой систематической работой, в которой раскрылась в полной мере связь между двумя этими областями, была работа Глушкова.

Особое место в теории автоматов занимают алгебраические конструкции, связанные с конечными полугруппами. Рассмотрим этот вопрос более подробно на простейшем примере.

Пусть есть автомат

Где и , входной и выходной алфавиты соответственно, - множество состояний, функция - функция выходов. С этим конечным автоматом можно связать полугруппу подстановок на множестве . Каждая буква входного алфавита действует на Q как подстановка , причем . Последовательное действие букв и соответствует произведению подстановок Для выполняется

Таким образом, множество порождает конечную полугруппу , называемую внутренней полугруппой автомата Очевидно является гомоморфным образом свободной полугруппы А* (А* - множество всех слов в алфавите ).

Итак, мы увидели, что полугруппы возникают фактически сразу же при определении понятия «автомат».

Методы теории полугрупп в этой области можно, вообще говоря , много где применить. Например, методы теории конечных полугрупп можно использовать для решения важной задачи декомпозиции автоматов, т.е. представления автомата в виде соединения «простых» автоматов. Оказалось, что эти методы хорошо работают в том случае, когда автомат можно разложить в суперпозицию автоматов. Среди работ в этом направлении одно из центральных мест занимает работа 60-х годов Крона и Роудза. В этой работе показано, как внутренняя полугруппа автомата суперпозиции связана с внутренними полугруппами автоматов - компонентов соединения.

Как мы увидели, с каждым автоматом можно связать полугруппу. Справедливо и обратное следствие. Каждой абстрактной полугруппе можно поставить в соответствие автомат. Правда это будет не один автомат, а бесконечное множество автоматов.

Еще отметим, что теория полугрупп применяется для решения центральной задачи теории автоматов - задачи о выразимости.

Также стоит сказать, что не только конечные полугруппы применяются при решении задач из теории автоматов. Здесь нашли своё применение и бесконечные группы.

Итак, теория автоматов активно использует классические объекты из алгебры, а также вводит в рассмотрение новые алгебраические системы и предоставляет новые «неклассические» конструкции.

5.5 Проблема интегрирования дифференциальных уравнений

Ранее мы говорили о группах Ли и непрерывных группах и проследили кратко путь их развития. Посмотрим теперь на наиболее простые и первые применения этих групп.

Напомним для начала, что группы Ли появились в конце XIX века. Около 1873 г. Норвежский математик Софус Ли ввел новый вид групп, названный им «непрерывные группы преобразований». С каждым дифференциальным уравнением он связал такую группу преобразований, которая оставляет его неизменным.

Софус Ли распространил методы теории групп на проблему интегрирования дифференциальных уравнений.

Группы Ли состояли из преобразований вида: x f(x,a1,…,an), определяемых параметрами. Например, для вращения плоскости параметрами являются углы поворота, для пространства-- так называемые эйлеровы углы. Перемножение двух преобразований, являющихся элементами группы, дает преобразование. Параметры последнего связаны с параметрами сомножителей непрерывными функциями Fi=Fi(a1,..,an; b1,..,bn).

Группы, определенные таким образом, получили название групп Ли. Структура групп Ли оказалась связанной с вопросом об интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах. Соответствующие структурные свойства групп Ли получили, по аналогии с теорией Галуа, интерпретацию свойств разрешимости. С. Ли классифицировал всевозможные группы преобразований на плоскости и построил таблицу нормальных типов дифференциальных уравнений с указанием, решаются ли они в квадратурах. Вопрос, вытекает ли из непрерывности функций Fi существование таких параметров в группе, для которых функции Fi аналитичны, был включен Д. Гильбертом в число его знаменитых проблем и в настоящее время решен положительно.

5.6 Группы и геометрия

Правильные многогранники показывают, что геометрическая симметрия -- фундаментально теоретико-групповое понятие. В более общем смысле, многие понятия «эквивалентности» в геометрии можно объяснить как свойства, которые сохраняются определенными группами преобразований. Однако, необходим был некоторый пересмотр классических понятий, прежде чем геометрия могла извлечь пользу из теоретико-групповых идей.

Старейшее понятие геометрической эквивалентности -- это понятие конгруэнтности. Греки понимали, что фигуры F1 и F2 конгруэнтны, если имелось движение твердого тела F1, которое выносило его в F2. Недостаток этой идеи заключался в том, что движение имело значение только для отдельной фигуры. «Произведение» движений различных фигур не имело значения, и, следовательно, групп движений не имелось.

Шаг, который проложил путь к введению теории групп в геометрию, заключался в распространении Мёбиусом (1827) идеи движения на всю плоскость; он придал смысл произведению движений. Фактически, Мёбиус рассмотрел все непрерывные преобразования плоскости, которые сохраняют прямоту линий и уделил отдельное внимание нескольким подклассам этих преобразований: тем, которые сохраняют длину (конгруэнтностям), виду (подобиям) и параллелизму (аффинностям). Он показал, что самые общие непрерывные преобразования, которые сохраняют прямоту, -- как раз проективные преобразования. Таким образом, одним ударом Мёбиус определил понятия конгруэнтности, подобия, аффинности и проективной эквивалентности как свойства, которые инвариантны под действием определенных классов преобразований плоскости. То, что рассматриваемыми классами были группы, стало очевидно, как только признали понятие группы. Именно признак медлительности, с которой было признано понятие группы, обусловило переформулировку идей Мёбиуса в понятиях групп только у Клейна (1872).

Формулировка Клейна получила известность как Эрлангенская программа, потому что он объявил о ней в Эрлангенском университете. Его идея заключалась в том, чтобы связать каждую геометрию с группой непрерывных преобразований, которые сохраняют ее характеристические свойства. Например, евклидова геометрия плоскости ассоциируется с группой преобразований плоскости, которые сохраняют евклидово расстояние между точками. Проективная геометрия плоскости ассоциируется с группой проективных преобразований. Гиперболическая геометрия плоскости, принимая во внимание проективную модель, может ассоциироваться с группой проективных преобразований, которые отображают единичный круг на себя. Концепция Клейна представляет собой по существу учение об инвариантах.

Важное влияние на Эрлангенскую программу, несомненно, оказал Кэли. Один из примеров группы, приведенных Кэли, позволил Клейну осознать связь геометрий и групп очень четко.

Когда геометрия была заново сформулирована таким образом, определенные геометрические вопросы стали вопросами о группах. Правильная мозаика, например, соответствует подгруппе полной группы движений, состоящей из тех движений, которые отображают мозаику на себя. В случае гиперболической геометрии, где задача классификации мозаик представляет большую сложность, взаимосвязь между геометрией и теоретико-групповыми идеями оказалась очень плодотворной. В работе Пуанкаре (1882,1883) и Клейна (1882) теория групп явилась катализатором нового синтеза геометрических, топологических и комбинаторных идей.

Отметим здесь факт, касающийся развития непрерывных групп. Ранее мы рассмотрели группы Ли и их приложения, а сейчас увидели что непрерывные группы получили многочисленные приложения в области геометрии. Открытие столь многообразных приложений теории непрерывных групп было причиной введения более общего, абстрактного определения непрерывной группы. В него входит требование задания предельного перехода, согласованного с группой операций. Вскоре удалось показать (это сделал Ван Данциг), что это определение более общее, нежели определение Ли, и что существуют непрерывные группы, не являющиеся группами Ли. (Мы вскользь упоминали этот факт в разделе, посвященном возникновению групп Ли)Так как при этом определении отвлекаются от того, что элементы группы являются преобразованиями, то приходят по существу к топологической группе и к топологическому пространству. В связи с этим создалась настоятельная необходимость объединить отдельные топологические факты в единую теорию.

Это было проделано А. Пуанкаре в его знаменитом мемуаре «Analysis situs» (1895) и в пяти прибавлениях к нему (1899 -- 1911).

5.7 Группы и теория сигналов

Одним из перспективных направлений в развитии теории сигналов, является направление, основанное на теоретико-групповых представлениях. Это связано с тем, что при своем распространении сигнал подвергается различным преобразованиям, связанными со свойствами среды, а также движениями источника и приемника сигналов.

Групповой подход позволяет с единых позиций трактовать значительный круг теории сигналов -- выявлять структуру, классифицировать сигналы по признаку преобразований его носителя (время, частота), что является базой для разработки единых методов их обработки, согласованных с этими преобразованиями.

На основе теоретико-групповых представлений был сильно развит понятийный аппарата теории сигналов. Также применение теории групп позволило обобщить корреляционно-спектральную теория.

5.8 Связь между распознаванием образов и теорией групп

Имеются некоторые области, в которых проявляется связь между теорией групп и распознаванием образов.

Здесь, рассматривая задачу распознавания образов, имеем в виду, что мы работаем с графическими объектами, определенными на непрерывных множествах точек плоскости.

Первая область взаимосвязи встречается при исследовании инвариантных свойств графических объектов.

Вторая же область (наиболее важная с точки зрения Ричардсона) - формирование математических моделей классов в пространстве образов. Здесь понятие группы может обеспечить нас мощными средствами для компактных описаний. Например, класс всех треугольников можно описать с помощью единого эталонного треугольника и аффинной группы.

5.9 Теория групп и криптография

Очень широкое применение нашла теория групп в области криптографии и защиты информации. Можно сказать, что это одна из основ криптографии.

Причина этого кроется в том, что современная криптография оперирует различными алгебраическими структурами. В частности, в качестве исходных пространств открытых и шифр сообщений в криптосистемах в настоящее время используются множества с одной или двумя операциями. При этом выполнение аксиом группы очень часто оказывается необходимым для правильного функционирования криптосистемы.

Примером криптосистемы, основанной именно на группах и их свойствах ( а не на кольцах или полях) может служить ассиметричная криптосистема Эль-Гамаля. В данной криптосистеме пространством открытых текстов является некая группа простого порядка. Кроме того, на свойствах используемой группы в данном случае оказывается основана безопасность данной шифр-системы. Более точно, мы знаем, что трудность взлома криптосистемы Эль-Гамаля эквивалентна трудности решения задачи о вычислении дискретного логарифма в конечной группе.

Это всего лишь один маленький пример из бесчисленного множества. Фактически любая криптосистема строится на структуре с групповыми свойствами. Структуры конечно могут быть очень разнообразны: от колец вычетов до целочисленных решеток.

Хотелось бы отметить еще, что некоторые аспекты теории групп имеют взаимосвязь с самыми новыми и востребованными областями информационной безопасности. Здесь мы имеем в виду область, которую сейчас часто называют -«облачные вычисления».