Теория групп и её влияние на различные области математики

Возникновение и развитие теории групп. Проблема интегрирования дифференциальных уравнений. Алгебраические конструкции в теории автоматов. Появление понятия перестановок. Группы и классификация голограмм. Применение теории групп в квантовой механике.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 08.02.2013
Размер файла 457,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат на тему

«Теория групп и её влияние на различные области математики»

Введение

В жизни современного общества очень важную роль играет математика. В настоящее время математика находит широкое применение при решении самых разнообразных проблем науки и практики.

Одной из наиболее важных и быстро развивающихся областей современной математики является абстрактная алгебра. В центре внимания современной абстрактной математики находятся различные алгебраические структуры, такие, как группы, подгруппы, полугруппы, кольца и так далее, ставшие уже классическими, а также, их далеко идущие обобщения - объекты новой природы.

Одним из фундаментальных разделов современной алгебры является теория групп. Группы, по существу, являются один из основных типов алгебраических структур.

Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде чем идея группы выкристаллизировалась с ее сегодняшней ясностью.

Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце XVIII века. В течение первый десятилетий XIX века она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но затем, около 1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля всего за несколько лет она совершила гигантский скачок, который оказал глубокое влияние на развитие всей математики. С тех пор основные понятия теории групп стали детально исследоваться.

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения, как в самой математике, так и за ее пределами - в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

Теоретико-множественные понятия и простые алгебраические структуры входят теперь, в конце XX в., в математический багаж школьника-старшеклассника и студента на самых первых порах высшего математического образования.

В свете вышесказанного, понятно, что любого, кто более или менее серьезно собирается заниматься математикой, не минует изучение теории групп. Эта много аспектная область знаний не обойдет стороной и тех, кто изучает теоретическую физику или квантовую механику.

Если открыть какой-нибудь классический учебник по теории групп, то можно увидеть уже конечный результат работы огромного количества ученых. Это конечно неплохо, но иногда для лучшего понимания предмета, полезно проследить за историей его возникновения. Это помогает лучше понять причины, по которым данная область знаний вообще появилась, зачем она была нужна и зачем она нужна сейчас. Изучение предмета в процессе его создания позволяет глубже проникнуть в суть каких-то вопросов. Мы можем следить за ходом мыслей великих ученых, увидеть сам процесс творчества. Это полезно, увлекательно и в каком-то смысле даже более интересно, чем просто чтение учебника.

Поэтому, целью данного реферата является рассказать об истории возникновения теории групп и процессе её исторического развития. История теории групп очень интересна, увлекательна, насыщенна выдающимися фактами и событиями. Более того, она не просто интересна. Изучив её подробно, можно понять суть этой теории гораздо глубже.

На данный момент имеется много книг, содержащих сведения об истории зарождения теории групп и общей алгебры. Некоторые из них содержат весьма детальную информацию, но все-таки неполную. В этом реферате, сделана попытка собрать воедино наиболее интересные факты из различных литературных источников, чтобы дать более полное представление об истории теории групп, современном положении дел в этой области и приложениях теории групп в различных областях математики, физики и др.

1. Основные понятия теории групп

Прежде чем перейти к истории, рассмотрим некоторые ключевые понятия теории групп.

Естественно, необходимо начать с самого понятия группы. Понятие группы -- одна из самых важных объединяющих идей в математике. Оно собирает воедино широкий круг математических структур, для которых существует понятие комбинации или «произведения». Такие произведения включают обыкновенное арифметическое произведение чисел, но более типичный пример, -- произведение или композиция функций. В частности, если f и g функции, то gf -- функции, значение аргумента x которых - f(g(x)).

Определение понятия группы сформировалось не сразу. Например, Ф.Клейн и С.Ли, начавши разрабатывать теорию групп в ее приложениях к различным областям математики, дали такое определение:

Группа есть такая совокупность однозначных операций А, В, С, ..., что комбинация, двух каких-нибудь операций А, В из этой совокупности дает операцию С из той же совокупности: А*В =С.

В настоящий момент, формально определение выглядит следующим образом:

Группа G - это множество с одной бинарной операцией, подчиняющейся следующим аксиомам:

1). для выполняется (замкнутость)

2). для выполняется (ассоциативность)

3). существует единица и для выполняется

4). для существует обратный элемент , такой что выполняется тождество .

Эти аксиомы развивались на протяжении более ста лет работы с особыми группами, в течение которого их основные свойства выяснялись лишь постепенно. На практике, свойства 2) и 3), как правило, очевидны, и важнее гарантировать, что операция произведения действительно определена для всех элементов G. В ответ на это желание были созданы многие математические понятия, сначала неосознанно, ради существования произведений.

Приведем пример.

Будем рассматривать перспективные и проективные преобразования. Можно убедиться, что перспективный вид перспективного вида, вообще, не является перспективным видом. Поэтому, если мы примем, что «произведение» перспективного преобразования g и перспективного преобразования f является результатом выполнения g, затем f, то gf не всегда принадлежит множеству перспективных преобразований. Множество проективных преобразований -- простейшее возможное расширение множества перспективных преобразований до множества, на котором произведение всегда определено, а именно, множество конечных произведений перспективных преобразований.

Стоит отметить, что аксиомы группы никак не регламентируют зависимость операции умножения от порядка сомножителей. Поэтому, вообще говоря, изменение порядка сомножителей влияет на произведение. Группы, для которых произведение не зависит от порядка сомножителей, называют коммутативными или абелевыми группами. Абелевы группы довольно редко встречаются в физических приложениях. Чаще всего группы, имеющие физический смысл, являются неабелевыми.

Группы можно очень обобщенно разделить на конечные и бесконечные. Конечные группы содержат конечное количество элементов. Если группа имеет бесконечное число элементов, то она называется бесконечной группой.

Конечные группы небольшого размера удобно описывать при помощи т. н. «таблицы умножения».

В этой таблице каждая строка и каждый столбец соответствует одному элементу группы, а в ячейку на пересечении строки и столбца помещается результат операции умножения для соответствующих элементов.

Также группы можно классифицировать по другому критерию: дискретность или непрерывность.

Дискретная группа состоит из дискретного множества элементов. Когда элементы группы непрерывно зависят от каких-либо параметров, то группа называется непрерывной. Наиболее известным примером непрерывных групп являются группы Ли. Более точно, группа Ли -- это группа, множество элементов которой образует гладкое многообразие. С помощью групп Ли как групп симметрий находятся решения дифференциальных уравнений.

Приведем еще несколько важных для дальнейшего определений:

1. Группа называется циклической, если она порождена одним элементом g, то есть все её элементы являются степенями g (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде n*g, где n -- целое число).

2. Число элементов n = |G| конечной группы G называется ее порядком.

3. Если G и G' - группы, то отображение f : G > G', для которого f(a*b) = f(a)*f(b) для всех a, b из G, называется гомоморфизмом групп. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. При наличии изоморфизма f : G > G' группы G и G' называются изоморфными, обозначение: G G'. Автоморфизмом называется изоморфизм группы на саму себя.

4. Говорят, что группа G действует на множестве M, если задан гомоморфизм из группы G в группу S(M) всех перестановок множества M.

5. Подгруппа Ї подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.

6. Подгруппа N группы G называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента и любого , элемент .

7. Задача классификации групп - описание групп с точностью до изоморфизма.

Как мы увидели, понятие группы очень четкое, логичное и лаконичное. Оно очень абстрактно и может быть применено во многих, порой даже неожиданных местах. Оно может быть полезно при проведении формальных доказательств. Но тем не менее и здесь есть место для критики. Например, в своей книге Феликс Клейн говорит следующее:

«Таким образом, здесь совершенно отказываются от обращения к фантазии. Взамен этого тщательно препарируется логический скелет. С этой тенденцией мы еще будем часто встречаться при продолжении наших лекций. Эта абстрактная формулировка превосходна для разработки доказательств, но совершенно не приспособлена для нахождения новых идей и методов. Она представляет собой известное завершение пройденного пути развития. Поэтому и преподавание она облегчает лишь внешне, постольку, поскольку с ее помощью можно просто и без про белов доказывать известные теоремы; с другой стороны, она внутренне очень затрудняет учащегося, так как он оказывается поставленным перед чем-то замкнутым и не знает, как пришли к такого рода определениям; к тому же он ничего не может представить себе наглядно. Вообще же этот метод имеет тот недостаток, что он не стимулирует мышления; нужно только следить за тем, чтобы не нарушить указанных четырех законов».

1. Аддитивная группа (R, +) кольца R.

2. Группа подстановок Sn множества из n элементов (симметрическая группа), группа An четных подстановок (знакопеременная группа).

3. Группа симметрий геометрической фигуры (совокупность всех преобразований пространства, совмещающих данную фигуру с ней самой). Среди них: группа симметрий Cn правильного ориентированного n-угольника и группа Dn всех симметрий правильного n-угольника.

4. Линейные группы GLn(K) обратимых (n,n)-матриц над полем K (или группы GLn(R) обратимых (n,n)-матриц над кольцом R), являющиеся группами автоморфизмов n-мерного линейного пространства над полем K (свободного R-модуля с базисом из n элементов), в частности конечные линейные группы GLn(Fq) с коэффициентами из конечного поля Fq из q элементов. Группы автоморфизмов других алгебраических систем (групп, полугрупп, колец и.т.д.) лежат в этом русле.

2. Истоки теории групп

Многие ученые склонны верить сейчас, что в действительности понятие группы является древнейшим математическим понятием, более древним, чем понятие числа, и неотделимым от самой человеческой цивилизации. Группы появляются всюду, где возникают симметрии, автоморфизмы, обратимые преобразования. Иными словами, всюду, где есть повторяющиеся и самовоспроизводящиеся узоры. А человеческая культура, подобно природе и жизни, состоит в составлении узоров. Именно на этом основана вездесущность идеи группы, универсальность этого понятия и огромное разнообразие его приложений.

Несмотря на это, термин «группа» получил повсеместное распространение не так давно. Официально теория групп возникла в начале XIX века. У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, -- это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры -- теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Решение проблем теории алгебраических уравнений явилось наиболее мощным толчком к появлению групп. Поэтому остановимся на этом вопросе наиболее подробно.

3. Основные проблемы алгебры в XVIII, XIX веках

Чем была алгебра к концу XVIII века , трудно определенно сказать. Конечно, это было уже не просто искусство вычислять с числами, буквами и загадочными величинами, содержащее несколько правил, несколько формул и умение как-то правильно их толковать. Нет, комплексные числа были уже всеми почти признаны, существовала уже некоторая теория линейных уравнений, уже намечались некоторые принципы, начала теории уравнений произвольной степени от одного неизвестного, но рядом с величественным зданием анализа это было очень и очень мало. Алгебра находилась где-то на окраинах математики.

К концу XVIII в. одной из главных задач алгебры стала задача решения алгебраических уравнений в радикалах. Алгебру называли наукой о решении уравнений. Более точно ставилась задача: Найти способы выражать корни уравнений через коэффициенты уравнения с помощью четырех арифметических операций и операций извлечения арифметического корня произвольной степени. Уравнение имеет следующий вид:

где .

К тому моменту умели решать в радикалах квадратные уравнения, кубические (метод Кардана, Тартальи) и уравнения четвертой степени (метод Феррари).

В поисках общей формулы математики перепробовали громадное количество методов. Естественно, наибольшим успехом было бы найти способы решения уравнений произвольной степени с произвольными коэффициентами, однако многочисленные поиски такого способа были безрезультатны. Постепенно начала нарастать уверенность, что в общем случае поставленная задача решения не имеет, т.е. нельзя разрешить в радикалах произвольное уравнение.

Как отмечается в книге [Колмогорова] до 1770 года не было даже известно, как решать в радикалах уравнение вида: при . Выход в 1770 г. работы Вандермонда, где он разбирает случай , был уже существенным сдвигом. (Здесь хотелось бы отметить, что позднее это задача полностью решена Гауссом. Об этом будет подробнее далее).

Успех в выше обозначенном вопросе был достигнут только в XIX веке.

Не добившись ничего «наивной игрой» с коэффициентами многочлена в поле рациональных чисел, математики к концу XVIII века были вынуждены прибегнуть к фактическому рассмотрению полей и групп, еще не вводя этих понятий явно (Лагранж и Вандермонд в частности). Затем, уже в веке, благодаря результатам К.-Ф. Гаусса, Н.-Г. Абеля и Э. Галуа вопрос о разрешимости в радикалах был решен. Было показано, что в общем случае разрешимости в радикалах не может быть.

Решение этой задачи привело к введению в науку ряда новых понятий (в первую очередь, понятия группы). Эти понятия преобразили алгебру. Правда, вначале изменения в алгебре происходили на скрытом уровне. Этот период длился до 70-х годов XIX столетия. И как отмечается в книге [5], он наиболее труден для историка науки.

«До 70-х годов XIX в. происходил в основном скрытый период этого бурного роста алгебры. Здесь перед историком науки встает задача восстановления по черновым наброскам, работам, письмам, воспоминаниям таинственного процесса рождения, роста и взаимодействия математических идей. Эта задача трудна еще и тем, что в истории каждой крупной математической мысли имеется период неявного существования, когда она неузнаваемо.

Для современников начинает проглядывать то там, то тут в маскарадной одежде частных случаев и приложений; а потом вдруг выступает сразу во всей своей полной красе, и не сразу можно, а иногда и совсем нельзя, определить, кто помог ей сделать этот знаменательный шаг выхода на сцену.»

В итоге, преобразование алгебры оказалось настолько фундаментальным, что по сравнению с началом века, к концу его, а еще яснее к -20-м годам XX столетия, сам предмет этой науки, ее основные понятия и методы, ее место в математике неузнаваемо изменились.

3.1 Появление понятия перестановок. Достижения Лагранжа и Вандермонда

Понятие перестановок появилось еще в XIV веке. В 1321 году Леви бен Гершон на шел, что существует перестановок предметов. Эти перестановки -- обратимые функции, которые образуют группу Sn в процессе композиции. Однако поведение перестановок в процессе композиции не рассматривалось до восемнадцатого века.

В XVIII веке работы Лагранжа и Вандермонда по теории алгебраических уравнений ввели в математику первый групповой объект -- подстановки. Вандермонд и Лагранж применили идею перестановки к корням полиномиальных уравнений. Тем самым и были открыты первые поистине теоретико-групповые свойства перестановок.

Особенно значителен опубликованный в 1771--1773 гг. мемуар Лагранжа «Размышления об алгебраическом решении уравнений» (Refle xions sur la resolution algebrique des equations). Кроме очень важных исследований в теории уравнений в нем доказана первая теоретико-групповая теорема:

Число значений, которые принимает функция от переменных при всех перестановках этих переменных, делит .

Это частный случай теоремы о том, что порядок подгруппы делит порядок группы.

Среди последователей Лагранжа и Вандермонда следует отметить Паоло Руффини. В своих исследованиях 1808--1813 гг. по теории уравнений он рассматривает не только группу подстановок, но и ее подгруппы и вводит понятия транзитивности и примитивности.

Поговорим теперь более подробно об идеях Лагранжа и Вандермонда: (основываясь на материале из книги [3]):

Вандермонд и Лагранж открыли ключ к пониманию решения уравнений в радикалах. Они начали с наблюдения, что если уравнение:

имеет корни ,

то

Перемножая всё в правой части и сравнивая коэффициенты, находим, что некоторые функции от . Например:

и

Эти функции симметричны, то есть, неизменяемы какой-либо перестановкой , поскольку правая часть не изменяется такими перестановками. Следовательно, любая рациональная функция симметрична как функция . Сейчас объект решения в радикалах -- применение рациональных операций и радикалов к , с тем чтобы получить корни, то есть, полностью асимметричные функции .

Радикалы, поэтому, должны некоторым образом уменьшать симметрию, и молено видеть, что они делают в квадратичном случае. Корни

равны

И мы замечаем, что симметричные функции и дают две две асимметричные функции , когда вводится двузначный радикал .

Вообще, введение радикалов умножает число значений функции на и делит симметрию на в том смысле, что группа перестановок, оставляющая функцию неизменной, уменьшается до своей предыдущей величины.

Вандермонд и Лагранж нашли, что они могут объяснить предшествующие решения кубических и квадратных уравнений на основе уменьшения такой симметрии в соответствующих группах подстановок и . Они также нашли некоторые свойства подгрупп. Однако, они не смогли добиться достаточного понимания зависимости между радикалами и подгруппами , чтобы решить уравнения степени .

3.2 Решение уравнения деления круга

Карл-Фридрих Гаусс сделал свои первые открытия в алгебре еще совсем молодым человеком во время обучения в Геттингенском университете (1795 -1798 годы). В марте 1796 г., занимаясь задачей отыскания корней уравнения он обнаружил связь между этой задачей и делением окружности на равные части, доказав, что правильный 17-угольник можно вписать в круг с помощью циркуля и линейки. Соответствующий алгебраический факт, что уравнение разрешимо в квадратных радикалах, Гаусс обобщил вскоре, найдя критерий возможности такой разрешимости (уравнение разрешимо для простого вида ) и дав его геометрическую интерпретацию.

При доказательстве этой группы предложений Гаусс развил методы, послужившие одной из исходных точек при создании теории Галуа, по собственному признанию ее автора.

Гаусс явно высказал, что цель его исследований полинома

состоит в том, чтобы последовательно разлагать полином на множители вплоть до линейных, обнажая при этом структуру уравнения.

Гаусс установил, что уравнение степени , где простое, неприводимо в поле рациональных чисел и нормально над ним, т. е. все его корни рационально выражаются через один из них. Оказалось, что эти корни имеют вид: , т. е. что группа автоморфизмов этого уравнения циклическая. Остается лишь один шаг для того, чтобы обнаружить, что любая подгруппа циклической группы является ее нормальным делителем. Этот шаг впоследствии сделал Галуа, учитывавший также указание Лагранжа, что подстановки корней уравнений указывают путь к построению их общей теории.

В книге [Колмогорова] по поводу метода, примененного Гауссом, говорится следующее: «Значение достижения Гаусса в теории уравнений очень велико. Неявно здесь уже играют свои роли понятия поля, группы, базиса поля над полем и, пожалуй, даже группы Галуа. Более того, вероятно, эти понятия и их значения в теории уравнений были бы гораздо трудней обнаружены, если бы у всех перед глазами не было бы столь глубоко и красиво разобранного Гауссом примера».

(Подробно метод Гаусса для решения уравнения деления круга изложен в книге [Колмогоров,с.53] ).

3.3 Вклад Нильса Генрика Абеля

Дальнейшее развитие теории алгебраических уравнений связано с именем норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802--1829). Он осуществил доказательство неразрешимости в радикалах уравнений выше пятой степени.

Как было сказано ранее, поиски подходящей формы иррациональности для решения того или иного класса алгебраических уравнений сменились уверенностью, что, по-видимому, это невозможно. Задача обернулась; необходимым оказалось исследовать наиболее общие выражения, содержащие радикалы, с тем чтобы выяснить, могут ли они быть выражениями корней алгебраического уравнения пятой степени. По этому пути и повел свои исследования в самом конце XVIII в. П. Руффини. В 1799 г. он опубликовал «Общую теорию уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени». Но первый реальный успех выпал на долю скромного Абеля.

Еще в школе (около 1820 г.) Абель заинтересовался проблемой разрешимости уравнений в радикалах. Одно время ему казалось, что он дал доказательство разрешимости в радикалах уравнения пятой степени. Вскоре выяснилось, что это доказательство содержало ошибку. Но ошибочное доказательство сослужило свою хорошую службу. Абель получил государственную стипендию и возможность поехать в Европу для усовершенствования в математике.

Исправленное доказательство появилось в 1824 г. в «Мемуаре об алгебраических уравнениях, где доказывается невозможность разрешимости общего уравнения пятой степени». В нем Абель, по-видимому независимо от Руффини, шел тем же путем; он стремился доказать, что наиболее общие выражения, содержащие радикалы, не могут быть корнями общего алгебраического уравнения пятой степени. Интересно, что это доказательство Абеля страдало тем же недостатком, что и доказательство Руффини. Оно опиралось на предположение, что корни резольвенты должны рационально выражаться через корни данного уравнения.

Только в 1826 г. в работе Абеля «Доказательство невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую» многовековая проблема получила удовлетворительное разрешение.

В своей работе Абель сделал приблизительно следующее:

1) Были построены наиболее общего вида алгебраические функции

где - простое, -- алгебраические функции того же порядка, что и , но степени не выше, чем . А также -- алгебраическая функция порядка на единицу ниже, чем , построенная так, что она не выражается рационально через . Применительно к рассмотренным конструкциям Абель доказал, что если уравнение алгебраически разрешимо, то его корню всегда можно дать такой вид, что все алгебраические функции, из которых он составляется, выражаются через рациональные функции корней данного уравнения.

2) Был рассмотрен вопрос о подстановках и о числе различных значений, которые при этом могут принимать функции нескольких переменных.

3) Было показано, что никакое самое общее радикальное выражение не может быть универсальным выражением корней уравнения данной степени, большей чем четвертая.

Стоит отметить, что доказательства Абеля не дают возможности выделить классы уравнений, разрешимых в радикалах. Они не снимают также возможности такой разрешимости для уравнений с численными коэффициентами подбором подходящих иррациональностей в конкретном случае. Исследования надо было расширять. Перед Абелем, как и в свое время перед Лагранжем, встала общая проблема разрешимости -- основная проблема классической теории Галуа.

Перед смертью Абель работал над задачей определения всех алгебраически разрешимых уравнений. В 1829 году Абель в «Мемуаре об одном особом классе алгебраически разрешимых уравнений» исследовал циклические уравнения, следуя в за Лагранжем, который обнаружил этот класс в свое время. Абель отыскал для них явные выражения корней через коэффициенты. Кроме того, он рассмотрел еще один класс разрешимых уравнений, которые по существу являются нормальными уравнениями с коммутативной (абелевой) группой Галуа.

Опираясь на информацию из книги [Колмогорова] расскажем подробнее о содержании мемуара Абеля 1829 г.

Первым и очень важным шагом было явное введение понятия области рациональности, аналога современного понятия поля. Абель дал следующее определение:

Область рациональности относительно величин - это множество всевозможных величин, полученных из величин и вещественных (или рациональных) чисел с помощью четырех арифметических действий (конечно, слово множество им не употреблялось).

Введение этого понятия крайне существенно для сколько нибудь общих исследований в теории уравнений.

Вторым существенным шагом является доказательство разрешимости замечательного класса уравнений. Этот класс Абель определяет двумя условиями:

1. Каждый корень уравнения выражается в виде рациональной функции от фиксированного корня .

2. Рациональные функции обладают свойством .

Идея работы возникла у Абеля при исследовании уравнения лемнискаты, о котором упоминает Гаусс в «Арифметических исследованиях». Работа Абеля существенно дополняет и развивает идеи Гаусса и является заметным вкладом в теорию алгебраических уравнений.

Подводя итог данному разделу, хотелось бы сказать следующее.

Работы Абеля принесли большую пользу. Их появление приблизило момент, когда теория групп стала появляться везде и всюду и царствовать в математике. Абель по сути доказал теорему эквивалентную теореме Галуа:

Чтобы неприводимое уравнение было разрешимо в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы все корни были рациональными функциями двух известных корней.

Абель исследовал структуру нескольких конкретных классов разрешимых групп. Фактически Абель исследовал структуру коммутативных групп. Он показал, что эти группы являются произведениями циклических групп. Однако понятие группы у него еще не было выделено. Кроме того, общего критерия разрешимости он не получил.

3.4 Теория Галуа

Как было сказано выше, Абель не смог дать общий критерий разрешимости уравнений с числовыми коэффициентами в радикалах. Но решение и этого вопроса не заставило себя долго ждать. Оно принадлежит Эваристу Галуа (1811 -- 1832), французскому математику, скончавшемуся, как и Абель, в очень молодом возрасте. Его жизнь, короткая, но наполненная активной политической борьбой, страстный интерес к математическим занятиям представляют яркий пример того, как в деятельности одаренного человека накопленные предпосылки науки претворяются в качественно новый этап ее развития.

Галуа успел написать мало работ. В русском издании его работы, рукописи и черновые записи заняли лишь 120 страниц в книге маленького формата. Но значение этих работ огромно. Поэтому рассмотрим его замыслы и результаты подробнее.

Среди нескольких заметок и статей, опубликованных еще при жизни Галуа, наиболее замечательна статья «Из теории чисел» (Sur la theorie ¦desnombres.-- Bull. sci. math., 1830). В этой статье Галуа рассматривал полиномиальные сравнения вида

Галуа обращает в своей работе внимание на случай, когда сравнение не имеет целых корней. Он пишет, что «тогда корни этого сравнения нужно рассматривать как род воображаемых символов, так как они не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к целым числам; роль этих символов в исчислении будет часто столь же полезной, как роль воображаемого в обычном анализе». Далее он рассматривает по сути дела конструкцию присоединения к полю корня неприводимого уравнения (явно выделяя требование неприводимости) и доказывает ряд теорем о конечных полях. См [Колмогоров]

Вообще, основная проблема, рассмотренная Галуа ,-- это проблема разрешимости в радикалах общих алгебраических уравнений, причем не только в случае уравнений 5-й степени, рассмотренном Абелем. Главной целью Галуа всех исследований Галуа в этой области было найти критерий разрешимости для всех алгебраических уравнений.

В связи с этим, рассмотрим более подробно содержание основной работы Галуа «Мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (Memoiresur les conditions de resolubilite des equations par radicaux.-- J. math, pures et appl., 1846).

Рассмотрим вслед за Галуа уравнение : см [Рыбников]

Для него определим область рациональности -- совокупность рациональных функций от коэффициентов уравнения:

Область рациональности R является полем, т. е. совокупностью элементов, замкнутой по отношению к четырем действиям. Если -- рациональны, то R -- поле рациональных чисел; если же коэффициенты -- произвольные величины, то R есть поле элементов вида:

Здесь числитель и знаменатель -- многочлены. Область рациональности можно расширить, присоединяя к ней элементы, например корни уравнения. Если к этой области присоединить все корни уравнения, то вопрос о разрешимости уравнения делается тривиальным. Задача разрешимости уравнения в радикалах может ставиться только по отношению к определенной области рациональности. Он указывает, что можно изменять область рациональности, присоединяя как известные новые количества.

При этом Галуа пишет: «Мы увидим, сверх того, что свойства и трудности уравнения могут быть сделаны совершенно разными сообразно количествам, которые к нему присоединены».

Галуа доказал, что для всякого уравнения ,можно в той же области рациональности найти некоторое уравнение , называемое нормальным. Корни данного уравнения и соответствующего нормального уравнения выражаются друг через друга рационально.

После доказательства этого утверждения следует любопытное замечание Галуа: «Замечательно, что из этого предложения можно заключить, что всякое уравнение зависит от такого вспомогательного уравнения, что все корни этого нового уравнения являются рациональными функциями друг друга»

Анализ замечания Галуа дает нам следующее определение для нормального уравнения:

Нормальное уравнение -- это уравнение, обладающее тем свойством, что все его корни рационально выражаются через один из них и элементы поля коэффициентов.

Примером нормального уравнения будет уравнение: Его корни

Нормальным также будет являться, например, квадратное уравнение.

Стоит ,однако, отметить, что Галуа не останавливается на специальном изучении нормальных уравнений, он отмечает только, что такое уравнение «легче решить, чем какое-нибудь другое». Галуа переходит к рассмотрению подстановок корней.

Он говорит что, все подстановки корней нормального уравнения образуют группу G. Это и есть группа Галуа уравнения Q, или, что то же самое, уравнения Она обладает, как выяснил Галуа, замечательным свойством: любое рациональное соотношение между корнями и элементами поля R инвариантно относительно подстановок группы G. Таким образом, Галуа связал с каждым уравнением группу подстановок его корней. Он же ввел (1830) термин «группа» -- адекватное современному, хотя и не столь формализованное определение.

Структура группы Галуа оказалась связанной с задачей разрешимости уравнений в радикалах. Чтобы разрешимость имела место, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа Галуа была разрешима. Это значит, что в данной группе существует цепочка нормальных делителей с простыми индексами .

Напомним, кстати, что нормальные делители, или, что то же самое, инвариантные подгруппы -- это такие подгруппы группы G, для которых справедливо

где g -- элемент группы G.

Общие алгебраические уравнения при , вообще говоря, такой цепочки не имеют, так как группы подстановок имеют только один нормальный делитель индекса 2 -- подгруппу всех четных подстановок. Поэтому эти уравнения в радикалах, вообще говоря, неразрешимы.( И мы видим связь результата Галуа и результата Абеля.)

Галуа сформулировал следующую фундаментальную теорему :

Для любого наперед заданного уравнения и любой области рациональности существует группа перестановок корней этого уравнения, обладающая тем свойством, что любая рациональная функция -- т.е. функция, построенная с помощью рациональных операций из этих корней и элементов области рациональности, -- которая при перестановках этой группы сохраняет свои числовые значения, имеет рациональные (принадлежащие области рациональности) значения, и обратно: всякая функция принимающая рациональные значения, при перестановках данной группы сохраняет эти значения.

Рассмотрим теперь частный пример, которым занимался еще сам Галуа. Речь идет о том, чтобы найти условия, при которых неприводимое уравнение степени , где простое, разрешимо при помощи двучленных уравнений. Галуа обнаруживает, что условия эти заключаются в возможности так упорядочить корни уравнения, чтобы упомянутая "группа" перестановок задавалась формулами

где может быть равно любому из чисел , а b равняется . Такая группа содержит самое большее p(p -- 1) перестановок. В случае когда ??=1 имеется лишь p перестановок, говорят о циклической группе; в общем случае группы называются метациклическими. Таким образом, необходимым и достаточным условием разрешимости неприводимого уравнения простой степени в радикалах является требование, чтобы его группа была метациклической -- в частном случае, циклической группой.

Теперь уже можно обозначить пределы, поставленные сфере действия теории Галуа. Она дает нам некий общий критерий разрешимости уравнений с использованием резольвент, а также указывает путь к их разысканию. Но тут сразу же встает целый ряд дальнейших проблем: найти все уравнения имеющие при данной области рациональности определенную, наперед заданную группу перестановок; исследовать вопрос о том, сводимы ли друг к другу два уравнения такого рода, и если да, то какими средствами и т.д. Все это вместе составляет огромную совокупность проблем, не решенных еще и сегодня. Теория Галуа указывает нам на них, не давая, однако, никаких средств для их решения.

Аппарат, введенный Галуа для установления разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, имел значение, выходящее за рамки указанной задачи. Его идея изучения структуры алгебраических полей и сопоставления с ними структуры групп конечного числа подстановок была плодотворной основой современной алгебры. Однако она не сразу получила признание.

Перед роковой дуэлью, оборвавшей его жизнь, Галуа в течение одной ночи сформулировал свои важнейшие открытия и переслал их другу О. Шевалье для публикации в случае трагического исхода. Приведем знаменитое место из письма к О. Шевалье: «Ты публично попросишь Якоби или Гаусса дать их заключение не о справедливости, но о важности этих теорем. После этого будут, я надеюсь, люди, которые найдут свою выгоду в расшифровке всей этой путаницы». При этом Галуа имеет в виду не только теорию уравнений, в этом же письме им сформулированы глубокие результаты из теории абелевых и модулярных функций.

Это письмо было опубликовано вскоре после смерти Галуа, однако идеи, содержащиеся в нем, не нашли отклика. Только через 14 лет, в 1846 г., Лиувилль разобрал и опубликовал все математические работы Галуа. В середине XIX в. в двухтомной монографии Серре, а также в работе Э. Бетти A852), впервые появились связные изложения теории Галуа. И только с 70-х годов прошлого века идеи Галуа начали получать дальнейшее развитие.

Понятие группы в теории Галуа становится мощным и гибким средством. Коши, например, тоже изучал подстановки, но он и не думал приписывать понятию группы подобную роль. Для Коши, даже в поздних его работах 1844--1846 гг. «система сопряженных подстановок» была неразложимым понятием, весьма жестким; он пользовался ее свойствами, но никогда не выявлял понятия подгруппы и нормальной подгруппы. Эта идея относительности, собственное изобретение Галуа, позднее проникла во все математические и физические теории, ведущие свое происхождение от теории групп. Эту идею в действии мы видим, например, в «Эрлангенской программе».(о ней будет рассказано позднее)

Значение работ Галуа состоит в том, что в них в полной мере были раскрыты новые глубинные математические закономерности теории уравнений. После освоения открытий Галуа вид и цели самой алгебры существенно изменились, исчезла теория уравнений -- появилась теория полей, теория групп, теория Галуа. Ранняя смерть Галуа была невозместимой утратой для науки. На заполнение пробелов, понимание и улучшение работ Галуа понадобилось еще несколько десятков лет. Усилиями Кэли, Серре, Жордана и других открытия Галуа были превращены в теорию Галуа. В 1870 г. монографии Жордана «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» представило эту теорию в систематическом изложении, понятном для всех. С этого момента теория Галуа стала элементом математического образования и фундаментом для новых математических исследований.

3.5 Пример применения теории Галуа

Пусть дано уравнение ; оно неприводимо над полем Q и имеет 4 различных корня

где . Поле разложения этого уравнения получается присоединением к Q двух величин Обозначим его N=Q(r,i), иначе можно записать N=Q(r+ir). Всякий элемент поля N есть линейная комбинация следующих восьми элементов:

Элементы группы данного уравнения определены, если известны образы i и r; i может отображаться только в i или -i. Точно также r может отобразиться лишь в элементы r,-r,ir,-ir.

Объединяя эти условия, получаем восемь элементов группы G (восемь автоморфизмов поля N). Покажем, как они определены своим действие на порождающие элементы i, r.

Можно доказать, что эти автоморфизмы сохраняют соотношение i2=-1, r4=3.

Группа G содержит подгруппу H={I,S,S2,S3}, порожденную S, которая содержит меньшую подгруппу L={I,S2}, порожденную S2.

Каждый автоморфизм группы H оставляет i на место, следовательно он оставляет на месте каждый элемент подполя Q(i).

Меньшая группа L имеет автоморфизмы, которые оставляют на месте элементы большего поля Q(i,r2).

Таким образом, убывающей цепочке подгрупп соответствует возрастающая цепочка подполей

Возрастающая цепочка подполей данного уравнения дает метод решения посредством последовательного присоединения корней более простых уравнений x2=-1; y2=3; z2=31/2.

3.6 Последующее развитие оригинальной теории Галуа

Развитие идей Галуа происходило в разных направлениях. В области классической основы, наиболее близкой собственным идеям Галуа, новые задачи группировались вокруг проблемы классификации алгебраических иррациональностей и установления их арифметической природы. Сюда, например, относится теорема Кронекера -- Вебера, что корни абелевых уравнений (т. е. уравнений с коммутативной группой) с рациональными коэффициентами рационально выражаются через корни из единицы. Дальнейшие обобщения этой теоремы привели к общей теории полей классов, где речь идет о классификации всех абелевых расширений данного поля алгебраических чисел. Последнее является конечным алгебраическим расширением поля рациональных чисел-. Современная теория алгебраических чисел сложилась как соединение теории этих чисел с теорией идеалов и теорией Галуа.

Постановка новых, более общих задач способствовала быстрому усложнению теории Галуа и росту общности ее результатов. Среди этих задач упомянем, например, проблему разыскания всех уравнений, которые для заданной области рациональности обладают определенной, наперед заданной группой. Проблемы такого рода привели к изучению полей общих рациональных функций (проблема Люрот--Штейница). Обобщения задачи о разрешимости уравнений в радикалах привели к проблеме общего характера о возможности сводить уравнение к цепочке вспомогательных уравнений с меньшим числом параметров. Первые общие результаты здесь были получены лишь советским математиком Н. Г. Чеботаревым в его теории резольвент. Другой советский математик -- И. Р. Шафаревич в 1954 г. решил так называемую обратную задачу теории Галуа: для любой разрешимой группы любого порядка, если расширяемое поле К_0 алгебраических чисел содержит корень n-й степени из единицы, всегда существует сколько угодно его расширений К_0, имеющих над K любую наперед заданную разрешимую группу n-го порядка.

Современная теория Галуа превратилась в сложную разветвленную математическую дисциплину, включающую в себя обширный материал о связях между свойствами уравнений, алгебраических чисел и групп.

3.7 Другие предпосылки возникновения теории групп

3.7.1 Достижения Ферма и Эйлера

У Эйлера (и, может быть, у Ферма до него) встречается операция «умножения по модулю р», которая (1758) использовалась, чтобы дать, по существу, теоретико-групповое доказательство малой теоремы Ферма.

Напомним, что целые числа называются конгруэнтными по модулю р, если они отличаются по целому кратному р, что b -- обратная величина а относительно умножения mod p, если ab конгруэнтно 1 по модулю р, то есть, если ab + кр = 1 для некоторого целого к. В случае простого p каждый ненулевой элемент имеет обратный по модулю p. Т.е. здесь появляется группа.

Эйлер в своем доказательстве не определил группу, но нам легко это сделать. Элементы группы -- ненулевые классы вычетов mod p:

1 mod p={...,-p+l,l,p+l,2p+l,...},

2 mod p= {...,-p+2,2,p+2,2p + 2,...},

3 mod p= {...,-p+3,3,p+3,2p + 3,...},

(р - 1) mod р ={..., -1,р - 1, 2р - 1, Зр - 1,...},

с произведением, определенным (a modp) (b mod p) = (а * 6) mod р, где а * b -- обычное арифметическое произведение. Групповые свойства 1) и 2) следуют из обычной арифметики; 3) следует из евклидова алгоритма (если p - простое).

Итак, мы видим, что Эйлер уже неявно оперировал с группами.

Кроме того, в процессе доказательства Эйлер впервые применил методы исследования уравнений, которые позднее были развиты Лагранжем и стали основными в его работах, посвященных вопросу решения уравнений в радикалах, а затем вошли в качестве неотъемлемой составной части в теорию Галуа.

3.7.2 Гаусс и глубокое единство математики

Одним источником теории групп была теория композиции классов квадратичных форм Гаусса из работы «Арифметические исследования». В ней операция, аналогичная сложению (или умножению) чисел, была перенесена на объекты, весьма от чисел далекие. На примере классов форм одного дискриминанта Гаусс фактически исследовал основные свойства циклических и общих абелевых групп.

Построение Гауссом теории классов бинарных квадратичных форм (заданного дискриминанта) - наиболее абстрактные примеры групп, построенные в то время. Вводя далеко не тривиальную операцию -- композицию форм, Гаусс доказывает, что исходя из композиции форм можно определить композицию классов, указывает, что при композиции главного класса с любым классом К получается снова класс К, показывает, что у каждого класса существует противоположный, короче говоря, проверяет все элементарные свойства групповой операции. Ассоциативность и коммутативность композиции классов он не проверяет, но они сразу следуют из указанной им ранее ассоциативности и коммутативности композиции самих форм.

Вообще, во всех других трудах Гаусса, развиты очень мощные алгебраические методы. В этих работах обнажились многие абстрактные понятия, образующие костяк новой алгебры: отношение и класс эквивалентности, фактормножество, сравнения, кольцо и поле классов вычетов, поле расширения, абелевы группы и т. д.

В частности теорию абелевых групп Гаусс изучал не только на примере квадратичных форм. Теория конечных абелевых групп встречается в вышеупомянутых «Арифметических исследованиях» еще в трех разных контекстах: при изучении аддитивной группы целых по модулю n; при рассмотрении мультипликативной группы вычетов по модулю n; при исследовании мультипликативной группы корней n-й степени из единицы

Гаусс глубоко ощущал внутреннее единство математики, он прекрасно осветил иногда очень неожиданные восемь доказательств квадратичного закона взаимности, четыре доказательства основной теоремы алгебры, относящихся к разным ветвям математики, показал связь между комплексными числами и геометрией, между вращениями сферы и томографическими преобразованиями плоскости комплексного переменного и т. д.

Точка зрения Гаусса на многие вопросы была очень современна. Он говорил: «Математик совершает полную абстракцию от природы объектов и смысла их отношений: ему надо только перечислить эти отношения и сравнить их между собой».

Но, как ни богаты труды Гаусса новыми структурами, они находятся там в скрытом виде, как бы замаскированными.

Как говорится в книге [Колмогорова], глубокая прозорливость Гаусса не опиралась, как в XX в., на явные определения общих структур; напротив, она послужила импульсом для их выявления.

3.7.3 Гаусс и теория алгебраических чисел

В 1828 и 1832 гг. появились две части замечательной работы Гаусса «Теория биквадратичных вычетов». В этой работе не только дается геометрическая интерпретация комплексных чисел (что делалось и до него), но и, что очень важно, на комплексные числа было перенесено понятие целого числа, которое уже более 2000 лет казалось неотъемлемым свойством целых рациональных чисел. Гаусс построил арифметику целых комплексных чисел, полностью аналогичную обычной, сформулировал с помощью новых чисел биквадратичный закон взаимности.

Этим перед арифметикой были открыты новые необъятные горизонты. Вскоре Эйзенштейн и Якоби сформулировали и доказали кубический закон взаимности.

Эта работа Гаусса, содержащая глубокий результат теории алгебраических чисел, интересна и с точки зрения теории групп: в ней построен первый нетривиальный пример бесконечной абелевой группы и изучена ее структура.

3.7.4 Труды Коши

В 1815 г. О.-Л. Коши опубликовал в «Журнале Политехнической школы» два мемуара, в которых исследовал задачу, возникшую в теории уравнений : найти число значений, которые может принимать некоторая функция при всевозможных перестановках входящих в нее величин. Формулировка этой задачи и вошла в название первого мемуара. В нем Коши обрисовал контуры системы понятий, в которой развивается теория подстановок, а затем и теория групп.

Если некоторая функция зависит от n переменных, то число М различных значений, которые она может принимать при перестановке переменных, является делителем n! , а число подстановок, оставляющих эту функцию инвариантной, равно n!/ М и они образуют группу.

Этот результат уже был доказан Лагранжем, но Коши пошел значительно дальше. Он изобрел двух строчное обозначение для подстановок: образ каждого символа располагался во второй строке под этим символом. Коши изучил то, что сейчас называется циклической группой, порожденной данной подстановкой S порядка n.

Однако, как отмечет в своей книге Даальмедико, Коши еще не пользовался для обозначения подстановки одним единственным символом, как это сделал Галуа.

Впоследствии, эти мемуары Коши были прочитаны Абелем и Галуа в 1826--1832 гг., но сам Коши потерял интерес к этим вопросам почти на тридцать лет. Лишь в 1844--1846 гг., за несколько месяцев до публикации Лиувиллем наследия Галуа (см. выше), Коши вернулся к этой теме и опубликовал большой мемуар «О размещениях, которые можно составить из данных букв», а также многочисленные заметки в «Отчетах» Академии.

Эти новые работы Коши вместе составили систематическое исследование корректно определенной структуры -- группы подстановок n букв; эта группа имеет порядок n! и называется ныне симметрической группой Sn. Здесь впервые изучение подстановок выходит за рамки теории уравнений. Группы подстановок -- Коши называл их «системами сопряженных подстановок» -- стали самостоятельным объектом

Коши в этой своей работе основал настоящее исчисление подстановок, используя при этом все направления и возможности разработанных им операторных методов.

Хотя, как отмечается в литературных источниках, это исчисление подстановок Коши не имело определенной цели, и понадобился толчок со стороны теории уравнений, чтобы проявилось все богатство теории подстановок. Этот толчок сделал Галуа.

Тем самым, Коши бесспорно внес вклад в обновление алгебры, наметившееся во второй половине XIX в.: исследование алгебраических структур как самостоятельных объектов и осознание роли операций. Хотя понятие группы он все таки четко не осознавал и идеи Галуа, когда тот представил работы на соискание награды в Академию наук, видимо не понял и не посчитал её достойной внимания.

Заключение

Итак, мы рассмотрели основные предпосылки возникновения теории групп. Многие выдающиеся ученые, такие как Лагранж, Гаусс, Коши и др., в своих работах изучали свойства групп. Но это проходило на скрытом уровне. Они действовали сообразно своей блестящей интуиции, но до конца еще не осознавали понятие группы.

Группы в работах этих ученых неявно возникали в связи с рассмотрением разных задач. Тем не менее, главной проблемой, стимулирующей появление понятия группы, был вопрос о разрешимости уравнений в радикалах. И именно исследование этого вопроса привело к наиболее радикальным последствиям.

Так что, по праву поворотным пунктом в возникновении теории групп можно опубликование в 1846 г. основных работ Галуа. Особое значение их для теории групп состоит в том, что впервые было продемонстрировано, что решение старинного, важного вопроса может быть сведено к исследованию ново го объекта -- групп. Впервые группы выступают не как вспомогательный инструмент рассуждения, а как основной объект исследования.

Вскоре после работ Галуа началось уже систематическое развитие теории групп.

4. Возникновение и развитие теории групп

В первой половине XIX в. факты теории групп играли еще вспомогательную роль, главным образом в теории алгебраических уравнений. Складывающаяся теория групп была еще преимущественно теорией конечных групп -- групп подстановок. К середине века выяснилось, что понятие группы имеет более широкое применение.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы из теории групп. Кэли внес огромный вклад в развитие абстрактной теории конечных групп. Им было выяснено, что наиболее важные свойства группы зависят не от характера элементов подстановки, а от групповой операции. Это произошло в 50-х годах XIX века. Тогда работы Кэли не были замечены мировым сообществом. Лишь спустя некоторое время, они обрели известность и даже использовались как учебники.


Подобные документы

  • Сущность теории групп. Роль этого понятия в математике. Мультипликативная форма записи операций, примеры групп. Формулировка сущности подгруппы. Гомоморфизмы групп. Полная и специальная линейная группы матриц. Классические группы малых размерностей.

    курсовая работа [241,0 K], добавлен 06.03.2014

  • Строение конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп. Использование методов абстрактной теории групп и теории формаций конечных групп. Субнормальные и обобщенно субнормальные подгруппы и их свойства. Обобщение теоремы Хоукса.

    дипломная работа [288,7 K], добавлен 20.12.2009

  • Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп как направлениt в теории конечных групп. Обзор конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп в случаях, когда F - произвольная S-замкнутая формация p-нильпотентных групп.

    курсовая работа [163,6 K], добавлен 07.03.2010

  • Понятие, истоки, систематизация и развитие теории групп. Множество как совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Нильпотентные группы - непустые множества, замкнутые относительно бинарной алгебраической операции, их свойства и признаки.

    курсовая работа [541,3 K], добавлен 27.03.2011

  • Основополагающие понятия теории графов и теории групп. Определение эквивалентности, порождаемой группой подстановок, и доказательство леммы Бернсайда о числе классов такой эквивалентности. Сущность перечня конфигурации, доказательство теоремы Пойа.

    курсовая работа [682,9 K], добавлен 20.05.2013

  • Выработка современного абстрактного понятия групп. Простейшие свойства конечных нильпотентных групп. Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна. Нахождение прямого произведения нильпотентных групп. Бинарная алгебраическая операция на множестве.

    курсовая работа [393,4 K], добавлен 21.09.2013

  • Появление понятия функций Ляпунова. Развитие теории устойчивости движения. Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных уравнений. Методы построения функций Ляпунова, продолжимость решений уравнений третьего порядка.

    дипломная работа [543,4 K], добавлен 29.01.2010

  • Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами. Свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, вторая - 2-разложимая. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп. Доказательство теорем и лемм.

    курсовая работа [475,0 K], добавлен 22.09.2009

  • Теория графов как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Основные понятия теории графов. Матрицы смежности и инцидентности и их практическое применение при анализе решений.

    реферат [368,2 K], добавлен 13.06.2011

  • Характеристика и изучение замкнутости класса всех конечных сверхразрешимых групп относительно подгрупп, фактор-групп и прямых произведений. Исследование свойств подгрупп конечной сверхразрешимой группы. Обзор свойств сверхразхрешимых групп в виде лемм.

    курсовая работа [260,7 K], добавлен 06.06.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.