Теория групп и её влияние на различные области математики

Возникновение и развитие теории групп. Проблема интегрирования дифференциальных уравнений. Алгебраические конструкции в теории автоматов. Появление понятия перестановок. Группы и классификация голограмм. Применение теории групп в квантовой механике.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 08.02.2013
Размер файла 457,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Поясним более подробно эту зависимость. Как известно, «облачные вычисления» - это некие протоколы, позволяющие осуществлять вычисления над данными в зашифрованном виде на недоверенных серверах. Т.е., облачные вычисления дают возможность что-то вычислять над данными, не раскрывая сами данные. Один из самых известных способов организовать облачные вычисления - это использовать некоторые специальные криптосистемы, которые позволяют отобразить операции над открытыми текстами в операции над шифр текстами. И здесь возникает понятия гомоморфизма, которое нам хорошо известно из теории групп. Речь идет о так называемых гомоморфных криптосистемах. Гомоморфная криптосистема имеет в своем основании две группы (пространство открытых и шифр текстов), между которыми имеется гомоморфизм. Хотя конечно здесь могут быть и не группы, а кольца и соответствующий гомоморфизм колец. Наличие криптосистемы с несколькими гомоморфизмами, образующими базис в пространстве операций, может позволить осуществлять облачные вычисления произвольного вида.

Итак, мы увидели, что теория групп, общая алгебра неразрывно связанны с современной криптографией и самыми передовыми областями защиты информации.

5.10 Применение методов теории групп к задачам управления

Методы теории групп имеют применение к задачам управления. Особое значение здесь имеют группы Ли.

Возможность применения методов теории групп Ли к решению задач управления основана на связи между задачами управления и уравнениями Рикатти

Уравнения Риккати в каком-то смысле весьма универсально и появляется во многих прикладных областях. Это уравнение с самого своего появления в 1724 году является предметом пристального внимания ученых. В настоящее время название "уравнение Риккати" обычно применяется к любым системам обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью.

Каждая новая идея в исследовании дифференциальных уравнений непременно апробировалась на уравнении Риккати. Например, при работе над теорией нелинейных суперпозиций Софус Ли показал, что уравнение Риккати является наиболее общим уравнением первого порядка, которое имеет фундаментальную систему решений.

Давно замеченная связь уравнения Риккати с группой дробно-линейных преобразований, его геометрическая природа и проективные свойства определяют причины, по которым уравнения этого типа с неизбежностью возникают в различных и далеких друг от друга областях естествознания (алгебраическая геометрия, теория конформных отображений, теория вполне интегрируемых гамильтоновых систем, применение теории Бэклунда в квантовой теории поля, вариационное исчисление). Уравнение Риккати занимает особое место в теории оптимального управления.

Вообще, в теории управления имеется много математических задач, непосредственно относящихся к дифференциальным уравнениям (задачи об оптимальном управлении, задачи оценки параметров системы и ее состояния, другие задачи). Их решение для обыкновенных дифференциальных уравнений довольно часто приводит к матричным дифференциальным уравнениям Риккати . Например, при решении задач об оптимальной стабилизации и об аналитическом конструировании регуляторов для линейных систем возникает необходимость решать задачи Коши для соответствующих матричных уравнений Риккати.

Стоит также заметить, что в теории управления системами с распределенными параметрами в некоторых случаях возникает необходимость рассматривать различные обобщения уравнения Риккати в бесконечномерных пространствах. Такими обобщениями стали интегро-дифференциальные краевые задачи Риккати, которые появляются, например, при решении задач об оптимальном управлении тепловыми и диффузионными процессами.

Итак, мы увидели, что имеется связь между задачами теории управления и уравнениями Рикатти. В свою очередь для эффективного решения матричных дифференциальным уравнений Риккати имеются методы, основанные на применении методов теории групп Ли. И таким образом, мы получаем эффективные теоретико -групповые методы решения задач управления.

5.11 Теории групп и биология

Как уже стал понятно, теория групп имеет тесную связь с понятием симметрии. Это позволило ей найти свое применение в некоторых областях биологии. В частности, теория групп имеет приложение к описанию псевдосимметрий в биологических объектах. К примеру, можно применить язык теории групп при описании симметрий и псевдосимметрий актиноморфных и зигоморфных цветков. В этом аспекте язык теории групп становится очень удобным инструментом.

Также, теория групп имеет определенную связь с некоторыми проблемами терминологии биосимметрики.

Адаптация теории групп к описанию симметрий биообъектов важна не только в фундаментальном плане, но и как средство взаимопонимания между биологами, физиками, кристаллографами и другими специалистами, языком общения между которыми, может служить математика.

5.12 Применение методов теории групп в квантовохимических расчетах

Методы теории групп в настоящее время широко применяются в химии.

В частности, теория групп применяется к вопросам строения молекул. В основе применения абстрактного аппарата теории групп к конкретным вопросам строения молекул лежат свойства симметрии исследуемых объектов. Можно выделить два типа симметрии: а) симметрия относительно пространственных преобразований, б) симметрия относительно перестановок тождественных частиц. Оба эти типа симметрии вытекают из свойств уравнения Шредингера для многоэлектронных систем. Помимо симметрии относительно преобразований координат реального трехмерного пространства для ряда задач уравнение Шредингера может обладать симметрией относительно преобразования переменных в некотором фиктивном n-мерном пространстве. В таких случаях говорят о скрытой или динамической симметрии. Хорошо изученным примером такой симметрии является открытая Фоком симметрия записанного в импульсном представлении уравнения Шредингера для атома водорода в четырехмерном пространстве динамических переменных.

Многие привычные понятия, используемые в квантовой химии, основаны на теоретико-групповых свойствах многоэлектронных систем. Так, принцип Паули связан с запретом для многоэлектронных систем всех неприводимых представлений группы перестановок электронов, кроме антисимметричного. Сохранение во времени различных величин, характеризующих состояние молекулы, таких, как спин, импульс и орбитальный момент изолированной молекулы, связано с тем, что эти величины характеризуют неприводимые представления групп, операции которых оставляют инвариантным гамильтониан системы.

Привлечение аппарата теории групп дает возможность качественно выяснить ряд свойств рассматриваемых систем, не прибегая к численным расчетам: например, определить степень вырождения и симметрию разрешенных состояний, вероятность квантовых переходов (правила отбора). В то же время теория групп существенно упрощает и количественный расчет, поскольку позволяет получить эффективные расчетные формулы для матричных элементов искомых физических величин.

5.13 Группы и классификация голограмм

В настоящее время известно большое количество различных разновидностей голограмм. При этом в основу классификации обычно кладутся определенные физические характеристики, признаки и свойства голограмм, регистрирующих сред и схем записи.

В частности, в зависимости от структуры поля, записываемого на голограмме, различают голограммы сфокусированного изображения, голограммы Френеля и Фраунгофера и различные виды голограмм Фурье.

Выбор схемы голографирования (относительное расположение предметного и опорного пучков) приводит к понятию осевой голограммы с наклонным опорным пучком и голограммы во встречных пучках. При определенном положении интерференционной картины, регистрируемой на голограмме, относительно светочувствительного материала в зависимости от соотношения между толщиной материала и шагом интерференционной картины можно говорить о плоских и объемных голограммах. Использование регистрирующих сред с амплитудной и фазовой модуляцией позволяет выделить, соответственно, амплитудные и фазовые голограммы.

В зависимости от множества точек, в которых осуществляется регистрация интерференционной картины, различают непрерывные и дискретные голограммы. Последние по способу регистрации делятся на физические и математические

Приведенный достаточно большой перечень различных типов голограмм показывает, что в настоящее время отсутствует единый подход к классификации голограмм, учитывающий математическую структуру голографической записи. Последнее, естественно, затрудняет прогнозирование новых типов голограмм и схем записи. В то же время процесс регистрации голографической информации обладает резко выраженным свойством симметрии, которое можно описать с помощью принципа взаимности . Иначе говоря, при определенных условиях предметная и опорная волны могут меняться местами.

С другой стороны, при записи голограммы регистрируется интерференционная картина, которая возникает при сложении двух (или нескольких) распределений комплексной амплитуды поля (предметной и опорной волны). Идея инвариантности суммарного поля, регистрируемого на голограмме, которая лежит в основе симметрия голографической записи, наиболее полно может быть описана в рамках теории групп. Применение теоретико-группового подхода в голографии интересно тем, что при этом физические идеи не упускаются из виду.

Теоретико-групповой формализм широко используется в современной физике. Основные понятия теории групп (одного из важных разделов "неколичественной" математики) проникли во многие разделы физики и нашли применение в таких ее областях, как например, квантовая механика и кристаллография.

При этом теория групп оказывается весьма полезной при систематизации широкого круга различных физических задач, связанных с теми или иными проявлениями симметрии (выделение кристаллографических сметем, классификация уровней энергии в квантовой механике и т.п.).

В рамках скалярной теории дифракции был проведен теоретико-групповой анализ математической структуры голографической записи. Идея инвариантности интерференционного поля, обусловленной симметрией процесса голографической регистрации, оказывается полезной при систематизации имеющихся разновидностей голограмм и прогнозировании новых типов голограмм. При этом все разновидности голограмм допускают единое рассмотрение с теоретико-групповых позиций.

5.14 Применение к кристаллографии

Аппарат теории групп нашел широкое применение в кристаллографии. Здесь, как и в биологии, большую роль играет связь понятия группы и симметрии.

Свое первое применение в эт ой области теория групп нашла в конце XIX века. В 1890--1891 гг. русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров и немецкий математик А. Шёнфлис независимо друг от друга решили методами теории групп задачу классификации всех кристаллических пространственных решеток. Они установили наличие 230 пространственных групп симметрии, состоящих из совокупности самосовмещений кристаллических структур. Точки, получаемые друг из друга преобразованием данной группы, называются гомологичными по отношению к этой группе и образуют так называемую правильную систему.

В настоящее время исследование структуры кристаллических веществ включает в себя определение их федоровских групп.

(О первых применениях теории групп в теории кристаллов можно найти в [1].)

Напоследок хочется отметить, что сейчас в кристаллографии большую роль играют бесконечные группы и группы Ли.

5.15 Теория групп и её приложения к физике элементарных частиц

Как уже говорилось, на рубеже XIX и XX вв. теория групп приобрела необычайную разветвленность, составив ядро современной алгебры. Ее составляет ряд высокоразвитых теорий: конечных групп, бесконечных дискретных групп, непрерывных групп, в том числе групп Ли. Теоретико-групповые методы проникли в ряд математических дисциплин и их приложений. Открытия де Бройля, Шредингера, Дирака и др. в квантовой механике и в теории структуры материи показали, что современная физика должна опираться на теорию непрерывных групп, в особенности на теорию представлений групп линейными операторами, теорию характеров и др., разработанные Картаном, Г. Вейлем и другими учеными.

Теория групп в настоящий момент нашла применения во многих областях физики.

В частности теория групп имеет приложения к физике элементарных частиц. Основную роль в современной физике элементарных частиц играют унитарные групп SU(2) и SU(3). Действительно, группа SU(2) является группой спиновых и изотопических преобразований, а также составляет основу группы калибровочных преобразований электрослабых взаимодействий SU(2) x U(1) в модели Салама-Вайнберга-Глэшоу. Группа SU(3) в свою очередь, является основой модели унитарной симметрии и кварковой модели с тремя ароматами, а также группой цвета, т.е., на ней покоится все здание квантовой хромодинамики.

Также стоит отметить, что вопрос о классификации частиц тесно связан с представлениями унитарных групп.

Другими важными примерами конкретного применения формализма теории групп и их представлений служат примеры вычислений таких важнейших характеристик элементарных частиц как магнитные моменты и аксиально-векторные константы связи в модели унитарной симметрии и кварковой модели.

5.16 Применение теории групп в квантовой механике

Имеется три основных аспекта применения теории групп в квантовой механике: 1) систематизация энергетических уровней и соответствующих собственных состояний; 2) качественное исследование расщепления энергетических уровней, возникающего при добавлении поправочных членов к искомому приближенному гамильтониану; 3) для оценки произвольных матричных элементов и для установления общих правил отбора, определяющих, когда матричные элементы отличны от нуля.

Теория групп не просто является особым методом решения нескольких наиболее трудных задач квантовой теории. В квантовой механике сложных систем практически все общие утверждения, которые могут быть сделаны относительно таких систем, зависят от их свойств симметрии. Теория групп является систематическим единым методом изучения и использования этих свойств симметрии. Т.е. теория групп в квантовой механике - это инструмент, имеющий универсальное применение.

5.17 Два примера приложения теории групп в природе

1. В качестве первого уникального примера группы рассмотрим стандартный (типографский) лист бумаги. Он исходно изготовлен в таких размерах, что сложение вдвое длинной стороны не меняет отношения сторон (длинной к короткой). Введём некоторое уточнение. Чтобы правило сохранения отношения сторон сохранялось, оно всегда должно равняться , и такие листы мы назовём "одинарными листами Леонардо да Винчи" (он их изобрёл). Если операцию сложения вдвое повторить, то получим "двойные листы да Винчи", у которых отношение сторон при всех последующих операциях сложения будет равно 2. После этого операцию можно продолжать и в прямом, и в обратном направлениях, всё время получая новые члены группы, обладающие тем же свойством отношения сторон.

Судя по всему, подобными групповыми свойствами обладают так называемые карликовые галактики - спутники нашего Млечного Пути. Они были обнаружены лишь недавно (2008) группой астрономов под руководством Луиса Стригари. У всех карликовых галактик - спутников Млечного Пути - гравитирующая масса одинакова, потому что она получается из "энтропии листа да Винчи", которая определяется как логарифм статистического веса, равного отношению сторон (длинной к короткой).

2. Вторым уникальным примером группы является так называемая крамерсовская электродинамика, изложенная на с. 47 в книге Эдмонда Бауэра "Теория групп и её приложения к квантовой механике". В книге поясняется, что в так называемом дипольном излучении электронов, при их рассеянии на кулоновском поле иона в плазме, излучается только один единственный фотон. Этот процесс первого порядка происходит с вероятностью, пропорциональной множителю б=е2/hc=1,137 (h - постоянная Планка). Процессом второго порядка будет квадрупольное излучение, при котором излучается (или поглощается) сразу два фотона. И этот процесс пропорционален множителю б2, и так далее. В целом, разложение потенциальной энергии электрона в поле иона в ряд по мультиполям соответствует разложению в ряд по числу фотонов, участвующих в процессе; такое соответствие в теории групп называется изоморфизмом представлений процесса. Если оборвать этот ряд (например, пренебречь квадрупольным и всеми более высокими членами разложения), то получим сугубо квантовую картину излучения, весьма далёкую от классической картины с участием сразу многих фотонов.

алгебраический дифференциальный голограмма квантовый

Заключение

Итак, мы увидели, что теория групп имеет многочисленные применения в различных областях математики, физики, защиты информации, химии, биологии и других. Универсальность понятия группы позволило ему найти место везде, где требуется высокий уровень абстракции, свойства симметрии.

Теория групп оказала влияние на многие отдельные области математики. К примеру, её появление изменило теорию решений уравнений. Были найдены ответы на вековые вопросы с помощью этой теории. Проникнув в геометрию, теория групп способствовала тому, что геометрия стала более единообразной. Более того, как упоминалось, оказалось возможным переформулировать многие сложные геометрические задачи на язык теории групп и благодаря этому быстро их решить.

Теория групп принесла свои методы решения задач в некоторые математические дисциплины. Мы видели это хотя бы на примере алгебраической топологии и фундаментальных групп в ней. Можно здесь еще помимо алгебраической топологии упомянуть различные комбинаторные задачи, целочисленное программирование, математической моделирование.

Теория групп также оказала неоценимую помощь при решении задач классификации в различных областях прикладной математики, оказала влияние на развитие теории инвариантов.

Хотелось бы еще сказать, что появление теории групп способствовало появлению новых областей в математике. Например: алгебраическая теория чисел, теория колец, полей. Во многом благодаря теории групп, современная алгебра теперь такая, какой мы её знаем. Алгебра, старейшая отрасль математики, радикально перестроилась, стала теоретико-множественной и аксиоматической наукой.

И наконец, самое важное, что теория групп, как повлияла на математику в целом. Появление теории групп, теории Галуа дало толчок к полной реконструкции математики.

Взаимопроникновение математических дисциплин стало в наши дни глубоким и всеобщим.

6. Современная теория групп

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные приложения как в самой математике, так и за ее пределами -- в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

Каждый год проходят международные конференции, посвященные теории конечных и бесконечных групп. В частности, в России это направление развивается достаточно активно. Только в 2007г. у нас прошло несколько международных конференций по теории групп. Хорошо развитые школы, занимающиеся теорией групп, имеются в Москве, Санкт-Петербурге, Екатеринбурге, Новосибирске, Омске, Томске, Иркутске, Челябинске, Красноярске и других городах России. Сотни специалистов высшей квалификации занимаются различными разделами теории групп. В России регулярно выходят журналы «Алгебра и логика», «Сибирский математический журнал», «Фундаментальная и прикладная математика», «Дискретная математика», «Доклады академии наук», которых большую долю занимают статьи по теории групп. Российскими учеными написаны десятки монографий по конечным и бесконечным группам. Достижения российских специалистов по теории групп давно и заслуженно признаны во всем мире.

Скажем несколько слов о направлениях теории групп наиболее развитых и активно используемых к настоящему моменту.

Структурная теория групп в настоящее время представляет одну из самых развитых областей алгебры и математики в целом.

Теория конечных групп - старейшая и, в то же время, наиболее активно развивающаяся ветвь теории групп. Одним из крупнейших результатов явилось завершение классификации конечных простых групп, включающей серии групп алгебраического типа, знакопеременные группы An при n?5 и 26 спорадических простых групп (среди которых наибольшая группа Большой Монстр имеет порядок

246?320?59?76?112?132?17?19?23?29?31?41?47?59?71)

Исключительная роль конечных простых групп объясняется тем, что из них может быть построена любая конечная группа. Обстоятельно исследованы конечные разрешимые группы по свойствам различных систем подгрупп (силовских, холловских, картеровских и др.) Отметим теорему У. Фейта (W.Feit) и Дж.Томпсона (J. Thompson) 1963, о том, что все конечные группы нечетного порядка разрешимы. Теория групп подстановок и теория линейных групп над конечными полями образуют крупные развитые направления теории конечных групп.

Абелевы группы - также очень сильная развитая область к настоящему моменту. Теорема Г.Фробениуса и Л. Штикельбергера (L.Stickelberg), 1878, о том, что конечная абелева группа является прямой суммой примарных циклических групп, и ее обобщение (теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп) нашли широкое применение в математике и ее приложениях. Наиболее изучены: полные (делимые) абелевы группы; свободные абелевы группы и абелевы группы без кручения; периодические абелевы группы (в частности, их сервантные и примарные подгруппы). Развитые гомологические методы теории расширений абелевых групп позволяют в ряде случаев сводить рассмотрение общего случая к этим классам групп. Существенную роль играют функторы Hom и A на категории абелевых групп, изучение колец эндоморфизмов End (G) и групп автоморфизмов Aut(G) абелевых групп G.

Также хорошо развита теория нильпотентных и разрешимых групп, содержащих все абелевы группы, а также многочисленных их обобщений: локально нильпотентных групп; локально разрешимых групп; групп с нормализаторным условием; групп с субнормальными системами подгрупп различного типа.

Современная теория представлений групп и теория характеров представляет сложившуюся область, обогащенную методами теории колец и гомологической алгебры с мощным арсеналом технических средств для изучения абстрактных групп.

Теория гомологий групп занимает достойное место в современной гомологической алгебре как наиболее развитый отдел.

Как мы уже увидели, в настоящий момент теория групп является очень разветвленной областью знаний. Есть много нерешенных задач и много перспективных направлений исследований.

Сейчас, например, многими теоретико-групповиками активно изучаются производные структуры, связанные с группой G, например: группа автоморфизмов Aut(G); решетка подгрупп L(G); полугруппа эндоморфизмов End(G). Исследуются: радикалы групп, радикальные и полупростые классы; формации групп; формальные группы

Продолжается активное изучение групп с дополнительными структурами, согласованными с групповой операцией, среди них: топологические группы и группы Ли; алгебраические группы; упорядоченные группы.

Одним из наиболее перспективных и интересных направлений является изучение групп с заданными свойствами системы подгрупп. Начало таким исследованиям было положено работами У. Бернсайда, Р. Дедекинда, Г. Миллера и Г. Морено, О.Ю. Шмидта и др. Появившись сначала в области конечных групп, это направление распространилось затем на бесконечные группы и дало при этом многие новые подходы к их изучению, а также важные понятия теории групп.

В этом направлении среди наиболее значительных объектов исследований были выделены классы локально конечных групп, периодических групп, локально разрешимых и локально нильпотентных групп, локально ступенчатых групп, классы групп Куроша-Черникова. В этом направлении работали многие авторы: С.И. Адян, Р. Бэр, Б.А. Вэрфриц, X. Виланд, Дж. Вильсон, Ю.М. Горчаков, В.М. Глушков, Д. Горенстейн, Р.И. Григорчук, Д.И. Зайцев, М.И. Каргополов, О. Кегель, А.И. Кострикин, Л.Г. Курош, Л.А. Курдаченко, А.И. Мальцев, Ю.И. Мерзляков, А.Ю. Ольшанский, П.С. Новиков, Б.И. Плоткин, Д.Ю. Робинсон, А.В. Рожков, А.И. Созутов, Д. Томпсон, В. Фейт, Г. Хайнекен, Б. Хартли, Ф. Холл, B.C. Чарин, Н.С. Черников, Н. Черников, А. Чунихин, Л.А. Шеметков, В.П. Шунков и др.

Ясно, что для рассмотрения строения определенного вида групп с заданными свойствами подгрупп, необходимы существенные ограничения для подгрупп. Большое значение здесь имеет проблема исследования групп, обладающих в том или ином смысле широкой системой дополняемых подгрупп.

Здесь напомним, что подгруппа А группы G называется дополняемой в группе G, если в G существует такая подгруппа В, что G=AB и А?В=1. При этом В называется дополнением к А в G.

Понятно, что на строение группы и ее свойства существенно влияют условия дополняемости, налагаемые на подгруппы из той или иной системы подгрупп. Так, в 1937 году Ф. Холлом была показана разрешимость конечной группы, в которой дополняемы все силовские примарные подгруппы. В связи с этим возникла потребность изучения конечных групп, в которых дополняемы все подгруппы. В этом направлении Ф. Холлом получен следующий критерий:

В конечной группе G каждая подгруппа дополняема тогда и только тогда, когда G является сверхразрешимой группой с элементарными абелевыми примарными подгруппами.

Первоначальному исследованию свойств произвольных групп с системой дополняемых подгрупп, удовлетворяющей тем или иным условиям, посвящены работы Н. В. Черниковой. Ею было получено полное конструктивное описание вполне факторизуемых групп, то есть групп, в которых дополняемы все подгруппы. Из теоремы Н.В.Черниковой следует, что в группе G каждая подгруппа дополняема тогда и только тогда, когда G=[A]B, где А разлагается в прямое произведение нормальных в G подгрупп простых порядков или А=1, а В разлагается в прямое произведение подгрупп простых порядков или В=1. Общая задача изучения групп с некоторой заданной системой дополняемых подгрупп была сформулирована Н. Черниковым. В его работах изучались группы с дополняемыми абелевыми (неабелевыми, элементарными абелевыми) подгруппами, нормальными (неинвариантными), бесконечными (бесконечными абелевыми, бесконечными неабелевыми), примарными (непримарными, нормальными непримарными) подгруппами. Впоследствии в этом направлении работали и получили многие важные результаты Ю.М. Горчаков, М.И. Каргаполов, Д.И. Зайцев, B.C. Чарин и др. (школа Н. Черникова), Н.С. Черников, Н.М. Сучков и др. (школа В.П. Шункова), К. Кристенсеном. А.С. Кондратьевым, Л.С. Казариным, В.А. Ведерниковым, B.C. Монаховым, М. Курцио, О. Бечтеллом и др.

В 70-х гг. было введено понятие сепарирующей подгруппы, и в связи с этим появился новый подход к обобщению вполне факторизуемых групп. В этом направлении были получены результаты в работах Н.С. Черникова, А. Довженко, Д. Кеппига, B.C. Чарина, А.В. Спиваковского, В.А. Крекнина и др. Одним из наиболее естественных ослаблений условия дополняемости всех подгрупп в группе является условие дополняемости подгрупп, не содержащихся в ее подгруппе Фраттини - нефраттиниевых подгрупп. Такие группы с дополняемыми нефрахтиниевыми подгруппами были полностью описаны А. Довженко в работах. Исследование групп с дальнейшими ослаблениями условия дополняемости подгрупп является актуальной и перспективной задачей. Так, нужно рассмотреть группы, в которых все недополняемые подгруппы содержатся в произведении подгруппы Фраттини Ф(0) и центра Z(G) группы G. Такое ослабление условия дополняемости приводит к существенному расширению класса рассматриваемых групп, в частности, этот класс содержит все абелевы группы.

Еще одно довольно активно развиваемое в настоящее время направление - это теория линейных групп над кольцами. По этой тематике имеется большое количество статей монографий. Помимо исследований для колец наиболее общей природы, часто возникает задача изучения линейных групп и над отдельно взятыми кольцами.

Также, в последний двадцать пять лет активно развивается теория квантовых групп (некоммутативных деформаций групп) . Общий метод построения квантовых групп, заключающийся в некоммутативной деформации алгебры функций на группе и наделении ее структурой некоммутативной алгебры Хопфа, детально разработан для всех серий простых групп . Он связан с существованием универсальных R-матриц (решений уравнения Янга-Бакстера), определяющих коммутационные соотношения образующих алгебры Хопфа. Для неполупростых групп такого общего метода не существует. В работах Громова Н.А. и его учеников с помощью метода перехода от полупростых групп к неполупростым, реализованным в виде матричных групп над алгеброй Dm, построены некоторые некоммутативные деформации групп Кэли-Клейна [а также некоторые некоммутативные деформации других видов неполупростых групп

В последнее время активно развивается также такая область математики, как суперматематика. Укажем здесь на работы Березииа Ф.А., Лейтеса Д.А. , Каца В.Г.. Наряду с коммутирующими переменными здесь рассматриваются и антикоммутирующие, а значит нильпотентные индекса 2 переменные. Одним из важных примеров супералгебр является алгебра Грассмана. Во многих физических приложениях преобразования суперпространств реализуются в виде матриц над алгеброй Грассмана. В работе [2] рассмотрены некоторые свойства алгебры Грассмана, проведена классификация ее автоморфизмов, дано определение линейных групп над алгеброй Грассмана (супераиалогов классических групп), указано на некоторые их свойства и физические приложения. Нетрудно показать, что алгебра Dm является подалгеброй алгебры Грассмана. В силу этого в суперматематике также естественным образом возникают различные алгебраические структуры над алгеброй Dm, в частности, некоторые группы преобразований суперпространств можно реализовать в виде линейных групп над алгеброй Dm.

Если линейная группа над полем действует на векторном пространстве над этим полем, то линейная группа над кольцом R является группой автоморфизмов некоторого свободного Л-модуля. Поэтому одновременно с исследованием линейных групп над алгеброй Dm естественно возникает задача исследования 1}т-модулей.

В алгебре Dm есть делители нуля, нильпотентные элементы различных индексов, и это обстоятельство относит ее к числу объектов, для которых нет полной, хорошо разработанной теории, как скажем, для полупростых алгебр. В монографии Ж.-П. Серра алгебра D2 используется для определения некоторых алгебр Ли. В монографии Шафаревича И.Р. [40] алгебра D2 используется для описания касательного пространства в точке схемы. Зайнуллиным К.В. в рассмотрены центральные расширения специальной линейной группы бесконечных матриц над алгеброй Dm.

В частном случае т = 1 мы приходим к алгебре дуальных чисел, которые были введены Клиффордом У.К. во второй половине 19-го века . Данные числа и алгебраические структуры над ними нашли применение в различных областях математики и теоретической физики. Так Котельников А.П. и Штуди Э. применяли их для построения теории винтов . Розен-фельд Б.А. и Яглом И.М. использовали их для описания неевклидовых пространств и движений в них. Дуальные числа могут быть использованы для описания структур, рассматриваемых с точностью до бесконечно малых второго порядка, на алгебраическом языке . Многообразия над алгебрами, в частности над алгеброй дуальных чисел, активно изучаются представителями казанской геометрической школы . Механику с дуальными координатами рассматривал Дуплий С.А. [15]. Определяющие соотношения классических групп над кольцом дуальных чисел рассмотрел Сатаров Ж.С. Тем не менее, нельзя сказать, что дуальные числа широко известны.

В силу вышесказанного, алгебра Dm, а также модули и линейные группы над ней представляют собой актуальные для изучения объекты, как с чисто алгебраической точки зрения, так и с точки зрения применения их в других разделах математики и теоретической физики.

По-видимому, Р.И. Пименов был первым, кто в своих работах ввел набор из нескольких взаимно коммутирующих нильпотентных именованных координат, тем самым косвенно выделив алгебру Dm и указав на ее применение в геометрии. Учитывая это, а также из соображений удобства, в дальнейшем алгебру Dm будем называть алгеброй Пименова.

Напоследок упомянем еще одну область теории групп, активно развиваемую сейчас. Речь идет о вычислительной теории групп.

Вычислительная теория групп -- область науки на стыке математики и информатики, изучающая группы с помощью вычислительных машин. Она связана с проектированием, анализом алгоритмов и структур данных для вычисления различных характеристик (чаще всего -- конечных) групп. Область интересна исследованием важных с различных точек зрения групп, данные о которых невозможно получить вычислениями вручную.

Основные направления исследований в этой области связаны с алгоритмами для:

· конечно заданных групп,

· полициклических и конечных разрешимых групп,

· групп перестановок,

· матричных групп,

· теории представлений.

Важные алгоритмы в вычислительной теории групп включают:

· алгоритм Шрайера--Симса для нахождения порядка группы перестановок,

· алгоритм Тодда--Коксетера и алгоритм Кнумта--Бендикса для перечисления классов смежности,

· алгоритм перемножения--замены для нахождения случайного элемента группы.

Реализации алгоритмов вычислительной теории групп доступны, в частности, в двух известных системах компьютерной алгебры, GAP и MAGMA. (о GAP мы расскажем позднее)

Некоторые достижения, непосредственно связанные с вычислительной теорией групп:

· полное перечисление всех конечных групп порядка меньше 2000,

· вычисление представлений всех спорадических групп.

7. Система GAP

В конце прошлого раздела мы упомянули про вычислительную теорию групп. Одной из известных реализаций алгоритмов вычислительной теории групп является система GAP. Разработка системы компьютерной алгебры GAP (название которой расшифровывается как "Groups, Algorithms and Programming", была начата в 1986 г. в г. Аахен, Германия. В 1997 г. центр координации разработки и технической поддержки пользователей переместился в Университет г. Сент-Эндрюс, Шотландия.

В настоящее время GAP является уникальным всемирным совместным научным проектом, объединяющим специалистов в области алгебры, теории чисел, математической логики, информатики и др. наук из различных стран мира. Основные центры разработки системы находятся в университетах г.Сент-Эндрюс (Шотландия), гг. Аахен, Брауншвейг (Германия) и Университете штата Колорадо (США). Текущая версия системы - GAP 4.4.10 была выпущена в октябре 2007 г.

Изначально система GAP разрабатывалась под Unix, а затем была импортирована для работы в других операционных системах. В настоящее время она работает в разнообразных версиях Unix/Linux, а также в Windows и Mac OS. Заметим, что ряд пакетов, расширяющих функциональность системы, работает только в среде Unix/Linux.

GAP является свободно распространяемой, открытой и расширяемой системой. Она распространяется в соответствии с GNU Public License. Система поставляется вместе с исходными текстами, которые написаны на двух языках: ядро системы написано на Си, а библиотека функций - на специальном языке, также называемом GAP, который по синтаксису напоминает Pascal, однако является объектно-ориентированным языком. Пользователи могут создавать свои собственные программы на этом языке, и здесь исходные тексты являются незаменимым наглядным пособием. Наконец, разработчики программ для GAP могут оформить свои разработки в виде пакета для системы GAP и представить их на рассмотрение в Совет GAP. После прохождения процедуры рецензирования и одобрения советом GAP такой пакет включается в приложение к дистрибутиву GAP и распространяется вместе с ним. Процедура рецензирования позволяет приравнивать принятые Советом GAP пакеты к научной публикации, и ссылаться на них наравне с другими источниками.

Помимо уже упомянутых пакетов, система состоит из следующих четырех основных компонент:

· ядра системы, обеспечивающего поддержку языка GAP, работу с системой в программном и интерактивном режиме;

· библиотеки функций, в которой реализованы разнообразные алгебраические алгоритмы (более 4000 пользовательских функций, более 140000 строк программ на языке GAP);

· библиотеки данных, включая, например, библиотеку всех групп порядка не более 2000 (за исключением 49487365422 групп порядка 1024, точное количество которых, кстати, также было определено с помощью системы GAP), библиотеку примитивных групп подстановок, таблицы характеров конечных групп и т.д., что в совокупности составляет эффективное средство для выдвижения и тестирования научных гипотез;

· обширной (около полутора тысяч страниц) документации, доступной в разнообразных форматах (txt, pdf, html), а также через Интернет.

Обзор возможностей GAP

Система GAP была задумана как инструмент комбинаторной теории групп - раздела алгебры, изучающего группы, заданные порождающими элементами и определяющими соотношениями. В дальнейшем, с выходом каждой новой версии системы сфера ее применения охватывала все новые и новые разделы алгебры. В разнообразии областей алгебры, охватываемых GAP сегодня, можно убедиться, даже только лишь прочитав названия разделов обширнейшей документации по системе, занимающей около 1500 страниц (которая, кстати, не только входит в состав дистрибутива, но и доступна через Интернет). Вычислительная мощь системы может быть продемонстрирована находящимся на ее сайте примером определения того, что кубик Рубик имеет 43252003274489856000 различных состояний, и сборки кубика Рубика из произвольного начального состояния в среднем за 100 ходов.

GAP дает возможность производить вычисления с гигантскими целыми и рациональными числами, допустимые значения которых ограничены только объемом доступной памяти. Далее, система работает с циклотомическими полями, конечными полями, p-адическими числами, многочленами от многих переменных, рациональными функциями, векторами и матрицами. Пользователю доступны различные комбинаторные функции, элементарные теоретико-числовые функции, разнообразные функции для работы с множествами и списками.

Группы могут быть заданы в различной форме, например, как группы подстановок, матричные группы, группы, заданные порождающими элементами и определяющими соотношениями. Более того, построив, например, групповую алгебру, можно вычислить ее мультипликативную группу, и даже задать ее подгруппу, порожденную конкретными обратимыми элементами групповой алгебры. Ряд групп может быть задан непосредственным обращением к библиотечным функциям (например, симметрическая и знакопеременная группы, группа диэдра, циклическая группа и др.).

Функции для работы с группами включают определение порядка группы, вычисление классов сопряженных элементов, центра и коммутанта группы, верхнего и нижнего центрального рядов, ряда коммутантов, Силовских подгрупп, максимальных подгрупп, нормальных подгрупп, решеток подгрупп, групп автоморфизмов, и т.д. Для ряда конечных групп доступно определение их типа изоморфизма.

Теория представлений групп также входит в область применения системы GAP. Здесь имеются инструменты для вычисления таблиц характеров конкретных групп, действий над характерами и интерактивного построения таблиц характеров, определения теоретико-групповых свойств на основании свойств таблицы характеров группы. Модулярные представления групп (т.е. представления над полем, характеристика которого делит порядок группы) также могут быть исследованы с помощью GAP.

В версии 4.3 были существенным образом расширены возможности для работы с векторными пространствами, алгебрами и модулями. В системе могут быть определены векторные пространства над всеми доступными полями и модули над всеми доступными кольцами. Имеются алгоритмы для вычисления структуры конечномерных алгебр Ли, которые могут быть, например, заданы структурными константами или порождающими элементами, вычисления различных их Лиевских подалгебр и идеалов.

Версия 4.4, заменившая версию 4.3, содержит множество новых особенностей, усовершенствованных алгоритмов и средств программирования, и поэтому мы рекомендуем ее установку всем пользователям предыдущих версий. В частности, в GAP 4.4 появились новые алгоритмы и функции для работы с базисами Гребнера, алгебраическими расширениями полей, группами Галуа, таблицами характеров, векторными пространствами; новые методы для вычисления минимальных нормальных подгрупп конечной группы и цоколя конечной группы; быстрый метод для определения, является ли заданная группа подстановок симметрической или знакопеременной группой в их естественном представлении; разнообразные функции для вычислений с целочисленными матрицами, и др. нововведения.

Кроме новых алгоритмов и функций, в GAP 4.4 усовершенствована производительность многих уже существовавших ранее алгоритмов, в т.ч. для вычисления неприводимых представлений и их характеров, вычисления нормализаторов и сопряженных подгрупп в симметрических группах подстановок, вычисления системы представителей смежных классов в группах подстановок. Разложение подстановки в произведение порождающих элементов теперь вовзращает существенно более короткие слова (например, длины около 100 для группы кубика Рубика). Усовершенствования также коснулись списков, многочленов, матриц и матричных групп, расширений конечных групп, конечномерных алгебр.

Среди других областей применения системы - теория графов и их автоморфизмов, теория кодирования, теория полугрупп, кристаллография, и многое другое. Существует графический интерфейс XGAP который работает в среде Unix/Linux и позволяет, например, графически изобразить решетку подгрупп группы.

Заключение

Итак, мы проследили в общих чертах «путь», который прошла теория Галуа и рассмотрели некоторые из её применений в современной науке.

Теория групп, порожденная впервые задачами теории уравнений, превратилась в мощную и разветвленную область знаний. Она имеет три исторические корни: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия.

Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Оно впоследствии проникло в другие области математики -- появились группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы Галилея в механике и группы Лоренца в теории относительности.

Произошло это всё благодаря универсальности этого понятия.

Ведь из каких бы «предметов» ни состояла группа: из чисел, движений или операций, -- все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность «предметов» можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами. Тогда мы получаем, что теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе.

Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить «основные черты» той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом, и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности.

Особую полезность абстрактное понятие группы получает благодаря свойству гомоморфизм, т.е. такой связи между различными группами, при котором групповая операция сохраняется. Гомоморфизм группы различной природы имеют одинаковые свойства, и изучение одной группе можно заменить изучением другой. Например, группа поворотов трехмерного тела гомоморфную группе специальных ортогональных матриц 3?3, групповой операцией которой является умножение матриц. В большой мере именно благодаря гомоморфизмам теория групп нашла широкое применение в различных областях математики и физики, поскольку позволяет выделить общие черты в объектах очень разной природы.

В настоящий момент теория групп является важной частью более глобальной области науки - «общей алгебры». В теории групп в настоящий момент много перспективных направлений, которые активно развиваются учеными всего мира.

Теория групп все теснее проникает во все научные сферы, в том числе и самые передовые.

8. Биографии

8.1 Пьер Ферма (1601-1665)

Хотя уже при жизни Пьер Ферма был признан первым математиком своего времени, а после смерти слава его еще умножилась, мы о нем самом знаем очень мало. Вот то немногое, что известно о нем: он родился на юге Франции в небольшом городке Бомон-де-Ломань, где его отец -- Доминик Ферма -- был «вторым консулом», т. е. чем-то вроде помощника мэра. Метрическая запись о его крещении от 20 августа 1601 года гласит: «Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона». Мать Пьера, Клер де-Лонг, происходила из семьи юристов. Итак, Пьер Ферма принадлежал к третьему сословию.

Доминик Ферма дал своему сыну очень солидное образование. В колледже родного города Пьер приобрел хорошее знание языков: латинского, греческого, испанского, итальянского. Впоследствии он писал стихи на латинском, французском и испанском языках «с таким изяществом, как если бы он жил во времена Августа и провел большую часть своей жизни при дворе Франции или Мадрида».

Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обращались за консультацией по поводу трудных мест при изданиях греческих классиков. По общему мнению, он мог бы составить себе имя в области греческой филологии.

Но Ферма направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ученые его времени не имели возможности посвятить себя целиком любимой науке. Виет был юристом и тайным советником французских королей, Декарт -- офицером, Мерсенн и Кавальери -- монахами, Ферма избирает юриспруденцию. Мы не знаем, в каком городе он изучал право. Эту честь оспаривают Тулуза и Бордо. Известно только, что степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т. е. суде). О его юридической деятельности мы читаем в упоминавшемся уже «похвальном слове», что он выполнял ее «с большой добросовестностью и таким умением, что он славился как один из лучших юристов своего времени».

В 1631 году Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны -- Луизе де-Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым. Ему мы обязаны первым собранием сочинений Пьера Ферма, вышедшим в 1679 году. Пьер Ферма скончался 12 января 1665 года во время одной из деловых поездок.

Вот перечень тех сухих фактов, которые мы знаем о жизни величайшего математика. К сожалению, Самюэль Ферма не оставил никаких воспоминаний об отце. Правда, жизнь ученого, как правило, бывает бедна внешними событиями. Основное ее содержание раскрывается только в творчестве, которое и составляет великий духовный подвиг ученого.

Что же осталось из произведений Ферма? Собрание сочинений, которое он неоднократно пытался написать, так и не было им создано. Да это и неудивительно при той напряженной работе в суде, которую ему пришлось выполнять. Ни одно из его сочинений не было опубликовано при жизни. Однако нескольким трактатам он придал вполне законченный вид и они стали известны в рукописи большинству современных ему ученых (это были трактаты по аналитической геометрии, о максимумах и минимумах и о квадратуре парабол и гипербол). Кроме этих трактатов осталась еще обширная и чрезвычайно интересная переписка его.

8.2 Александр Теофил Вандермонд (фр. Alexandre-Theophile Vandermonde) (28 февраля 1735; Париж -- 1 января 1796; Париж)

Александр Теофил Вандермонд французский музыкант и математик, член Парижской академии наук. Известен главным образом благодаря работам по высшей алгебре, особенно по теории детерминантов.

Главным увлечением Вандермонда была музыка -- он играл на скрипке, а к математике обратился лишь к 35 годам. В 1771 году Вандермонд был довольно неожиданно избран в Парижскую академию наук после написания своей первой статьи (Memoire sur la resolution des equations), в которой он провёл исследование симметрических функций и решения круговых полиномов. Эта работа предвосхитила появившуюся позднее теорию Галуа. Как заявил Леопольд Кронекер в 1888 году, с первой работы Вандермонда началась современная алгебра. Коши также утверждал, что основные идеи теории групп принадлежит Вандермонду, а не Лагранжу.

В течение следующего года вышло ещё три статьи Вандермонта, которые явились всем его вкладом в развитие математики. Статья Remarques sur des problemes de situation (1771 год) была посвящена задаче о ходе коня, Memoire sur des irrationnelles de differents ordres avec une application au cercle (1772) -- комбинаторике, а в работе Memoire sur l'elimination (1772) были заложены основы теории детерминантов, причём определитель Вандермонда явно в ней не упоминался.

В честь Вандермонда был назван специальный класс матриц -- матрицы Вандермонда, а также элементарное равенство в комбинаторике -- свёртка Вандермонда.

В 1777 году Вандермонд опубликовал результаты экспериментов, выполненных совместно с Безу и Лавуазье, по низким температурам, в частности исследования эффектов особенно сильных морозов 1776 года. Спустя 10 лет в сотрудничестве с Гаспаром Монжом и Бертолетом Вандермонд написал две статьи по производству стали, целью которой было улучшение качество стали для штыков.

8.3 Леонард Эйлер (1707 - 1783)

Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.


Подобные документы

  • Сущность теории групп. Роль этого понятия в математике. Мультипликативная форма записи операций, примеры групп. Формулировка сущности подгруппы. Гомоморфизмы групп. Полная и специальная линейная группы матриц. Классические группы малых размерностей.

    курсовая работа [241,0 K], добавлен 06.03.2014

  • Строение конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп. Использование методов абстрактной теории групп и теории формаций конечных групп. Субнормальные и обобщенно субнормальные подгруппы и их свойства. Обобщение теоремы Хоукса.

    дипломная работа [288,7 K], добавлен 20.12.2009

  • Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп как направлениt в теории конечных групп. Обзор конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп в случаях, когда F - произвольная S-замкнутая формация p-нильпотентных групп.

    курсовая работа [163,6 K], добавлен 07.03.2010

  • Понятие, истоки, систематизация и развитие теории групп. Множество как совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Нильпотентные группы - непустые множества, замкнутые относительно бинарной алгебраической операции, их свойства и признаки.

    курсовая работа [541,3 K], добавлен 27.03.2011

  • Основополагающие понятия теории графов и теории групп. Определение эквивалентности, порождаемой группой подстановок, и доказательство леммы Бернсайда о числе классов такой эквивалентности. Сущность перечня конфигурации, доказательство теоремы Пойа.

    курсовая работа [682,9 K], добавлен 20.05.2013

  • Выработка современного абстрактного понятия групп. Простейшие свойства конечных нильпотентных групп. Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна. Нахождение прямого произведения нильпотентных групп. Бинарная алгебраическая операция на множестве.

    курсовая работа [393,4 K], добавлен 21.09.2013

  • Появление понятия функций Ляпунова. Развитие теории устойчивости движения. Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных уравнений. Методы построения функций Ляпунова, продолжимость решений уравнений третьего порядка.

    дипломная работа [543,4 K], добавлен 29.01.2010

  • Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами. Свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, вторая - 2-разложимая. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп. Доказательство теорем и лемм.

    курсовая работа [475,0 K], добавлен 22.09.2009

  • Теория графов как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Основные понятия теории графов. Матрицы смежности и инцидентности и их практическое применение при анализе решений.

    реферат [368,2 K], добавлен 13.06.2011

  • Характеристика и изучение замкнутости класса всех конечных сверхразрешимых групп относительно подгрупп, фактор-групп и прямых произведений. Исследование свойств подгрупп конечной сверхразрешимой группы. Обзор свойств сверхразхрешимых групп в виде лемм.

    курсовая работа [260,7 K], добавлен 06.06.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.