Тогда обозначая цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 стороны последнего, мы отнесем прямой d две цифры 4 и 5.

Так как при совпадении двух прямых пучка второго порядка точка их пересечения обращается в точку прикосновения двойной прямой, то вершина (4,5) становится точкой прикосновения прямой d.

Соединяя прямыми пары противоположных вершин

(1,2) и (4,5);

(2,3) и (5,6);

(3,4) и (6,1),

найдем, что все три прямые проходят через одну точку X (точку Брианшона).

Следовательно, для данного случая теорема Брианшона читается так:

Во всяком пятистороннике, описанном около кривой второго класса, прямые, соединяющие две пары несмежных вершин, и прямая, соединяющая пятую вершину с точкой прикосновения противоположной стороны, пересекаются в одной точке.

Интересный случай теоремы Брианшона дает четырехсторонник, описанный около кривой второго класса.

Так, если abcd (Рис. 18) такой четырехсторонник то, рассматривая две его стороны (например, а и с) как двойные, получим шестисторонник, к которому можно применить теорему Брианшона. Обозначая, как и раньше, стороны этого шестисторонника цифрами, отнесем к сторонам а и с по две цифры, а именно 1, 2 для стороны а и 4, 5 для стороны с. Тогда вершины, соответствующие парам совпавших сторон, окажутся их точками прикосновения (1,2) и (4,5). Три прямые, соединяющие пары противоположных вершин должны проходить через точку X (точку Брианшона). Две из этих прямых являются диагоналями описанного четырехсторонника [(2,3), (5,6) и (3,4), (6,1)], а третья прямая соединяет точки прикосновения противоположных сторон [(1,2), (4,5)].

Так как можно было бы в качестве двойных прямых выбрать другую пару противоположных сторон, а именно b и d, то прямая, соединяющая точки прикосновения этой пары сторон, также должна проходить через точку Брианшона X. Следовательно, через эту точку в случае четырехсторонника проходят четыре прямые. Поэтому имеем:

Во всяком четырехстороннике, описанном около кривой второго класса, прямые, соединяющие точки прикосновения противоположных сторон, проходят через точку пересечения диагоналей.

Для трехсторонника abc, описанного около кривой второго класса (Рис. 19), можно также применить теорему Брианшона, рассматривая каждую сторону трехсторонника как двойную.

Тогда, расставив цифровые обозначения сторон и вершин получившегося благодаря этому шестисторонника Брианшона, найдем, что парами противоположных вершин на этот раз будут вершины данного трехсторонника и точки прикосновения противолежащих этим вершинам сторон.

Теорема Брианшона примет следующий вид:

Прямые, соединяющие вершины трехсторонника, описанного около кривой второго класса, с точками прикосновения противолежащих им сторон, проходят через одну точку.

7. ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ПОНЯТИЙ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА И КРИВОЙ ВТОРОГО КЛАССА. ТЕОРЕМА МАКЛОРЕНА

Поставим перед собой задачу определить взаимоотношение ряда второго порядка и пучка второго порядка. Пучок второго порядка можно рассматривать как совокупность (геометрическое место) касательных к кривой второго класса. Мы докажем, что понятие кривой второго класса тождественно понятию кривой второго порядка (или ряда второго порядка).

1. Докажем следующую теорему Маклорена:

Совокупность касательных к кривой второго порядка образует пучок второго порядка.

Пусть имеем кривую второго порядка и на ней четыре произвольно выбранные точки A, В, С, D (Рис. 20). Применим теорему Паскаля к четырехугольнику ACBD, вписанному в эту кривую. Прямые АС и BD являются парой противоположных сторон этого четырехугольника. Прямые AS и BS - одной парой касательных в противоположных вершинах А и В. Прямые CQ и DQ -- другой парой касательных в противоположных вершинах С и D. Точки пересечения М, S и Q этих трех пар прямых должны по теореме Паскаля (для четырехугольника) лежать на одной прямой.

Рассмотрим теперь второй вписанный четырехугольник ABDC. Для него прямые BD и СА являются парой противоположных сторон. Прямые AR и DR - одной парой, а прямые BP и CP - второй парой касательных в противоположных вершинах. Точки пересечения М, R и Р этих трех пар также должны лежать на одной прямой.

Таким образом, через точку М проходят четыре прямые: АС, BD, QS и PR. Так как точки А, В, С, D - произвольные точки кривой второго порядка, то доказанное свойство четырех прямых, проходящих через точку М, остается в силе при любом положении точки С на кривой второго порядка.

Предположим, что точка С перемещается по кривой вместе с касательной cPQ (в точке С). Если при этом будем считать остальные три точки А, В, D и касательные в них неподвижными, то подвижная касательная с опишет на неподвижных касательных SB и RD два ряда точек (Р) и (Q). Если мы докажем, что ряды (Р) и (Q) проективны, то отсюда и будет следовать, что касательная с при своем движении опишет пучок второго порядка.

При движении касательной с точка Р перемещается по неподвижной касательной SB, а точка Q - по неподвижной касательной RD. При этом луч RP вращается вокруг неподвижной точки R, и, следовательно, пучок, который описывает луч RP, перспективен ряду (Р):

пучок R (RP) ряду (Р).

По той же причине пучок с центром S, списываемый лучом SQ, перспективен ряду (Q):

пучок S (SQ) ряду (Q).

Но пучки R и S перспективны, так как их соответственные лучи RP и SQ пересекаются в точке М, которая остается на неподвижной прямой BD (оси перспективности пучков) при любом положении точки С и ее касательной с, т.е.

пучок S (SQ) пучку R (RP).

Отсюда заключаем, что ряды (Р) и (Q), перспективные пучкам R и S, проективны.

Таким образом, подвижная касательная с образует на двух неподвижных касательных проективные ряды (Р) и (Q). Другими словами, касательная с описывает пучок второго порядка. Теорема доказана.

Так как совокупность касательных к кривой второго порядка по доказанному представляет собой пучок прямых второго порядка, то кривая второго порядка является огибающей пучка второго порядка. Следовательно, кривая второго порядка является также кривой второго класса.

2. Если построим предложение, двойственное только что доказанной теореме Маклорена, то оно может быть формулировано следующим образом:

Совокупность точек прикосновения прямых пучка второго порядка образует ряд второго порядка (кривую второго порядка).

Справедливость этого предложения вытекает из принципа двойственности

Пусть а, b, с, d - четыре произвольные прямые пучка второго порядка (Рис. 21). Обозначим буквами А, В, С и D точки их прикосновения.. Рассмотрим простой четырехсторонник abсd и применим к нему теорему Брианшона. Точки (ас) и (bd) являются парой противоположных вершин четырехсторонника acbd. Обозначим прямую, соединяющую вершины (ас) и (bd), через т. Точки А и В представляют одну пару точек прикосновения противоположные сторон а и b, а точки С и D - другую пару точек прикосновения противоположных сторон c u d четырехсторонника. По теореме Брианшона три прямые АВ, CD и т должны проходить через одну точку. Последняя обозначена на рисунке 20 буквой S.

Если рассмотрим простой четырехсторонник abdc, то для него точки (ас) и (bd) представляют пару противоположных вершин, а точки A, D и В, С - две пары точек прикосновения противоположных сторон. По теореме Брианшона для четырехсторонника abdc прямые AD, ВС и т должны проходить через одну точку, которую обозначим буквой R.

Предположим теперь, что прямые a, b и d закреплены неподвижно, в то время как прямая с описывает пучок второго порядка, увлекая при своем движении и точку прикосновения С. Точки А, В и D остаются неподвижными. Подвижная точка прикосновения С проектируется из точек В и D двумя пучками В (ВС) и D (DC). Докажем, что эти пучки проективны.

С этой целью рассмотрим два ряда (R) и (S), образованные пучками В (ВС) и D (DC) на неподвижных прямых AD и АВ. Так как прямая RSm проходит через неподвижную точку (bd), то последняя служит центром перспективности рядов (R) и (S). Таким образом, имеем:

ряд (R) ряду (S).

С другой стороны, имеем:

пучок В (ВС) ряду (R),

пучок D (DC) ряду (S).

Отсюда заключаем, что

пучок В (ВС) пучку D(DC).

Это означает, что точка прикосновения С описывает ряд второго порядка (кривую второго порядка), для которого пучки В и D являются образующими. Теорема доказана.

Так как совокупность точек прикосновения пучка второго порядка представляет собой огибающую пучок кривую второго класса, то из доказанной теоремы имеем:

Кривая второго класса является также кривой второго по-
рядка.

Таким образом, устанавливается идентичность этих двух понятий: кривой второго порядка и кривой второго класса. Следовательно, все полученные ранее выводы относительно пучков прямых второго порядка, например теорема о шестистороннике Брианшона, могут рассматриваться как теоремы о касательных кривой второго порядка. Поэтому теорема Брианшона часто формулируется следующим образом:

Во всяком шестиугольнике, описанном около кривой второго порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, проходят через одну точку.

Подобным же образом могут быть формулированы и другие теоремы, относящиеся к пучкам второго порядка.

8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ПАСКАЛЯ И БРИАНШОНА К ПОСТРОЕНИЯМ С ПОМОЩЬЮ ОДНОЙ ТОЛЬКО ЛИНЕЙКИ

При решении задач на построение второй степени подразумеваются геометрические задачи, имеющие не более двух решений, которые могут быть приведены к нахождению общих точек прямой и кривой второго порядка (или же общих прямых пучков первого и второго порядка) с применением теорем Паскаля и Брианшона.

Рассмотрим некоторые типичные задачи:

1. Кривая второго порядка задана пятью точками А, В, С, D, E. Построить точки ее пересечения с данной прямой g.

Решение:

Принимаем две из пяти данных точек кривой второго порядка за центры пучков. Пусть это точки A и В. Проективное соответствие пучков А и B установим с помощью трех пар соответственных прямых, пересекающихся в точках С, D и Е (Рис. 22). Проективные пучки А и В образуют на данной прямой g два проективных ряда:

(С₁, D₁, E₁, …)(C'₁, D'₁, E'₁, …).

Нетрудно видеть, что точки пересечения Р₁ и Q₁ прямой g с кривой второго порядка, определяемой точками A, В, С, D, E, являются двойными точками этих проективных рядов. В самом деле, соответственные лучи пучков A и В пересекаются в точках Р₁ и Q₁. Следовательно, будем иметь:

P'₁P₁; Q'₁Q₁.

Таким образом, задача сведена к построению двойных точек проективного соответствия двух рядов, расположенных на одном носителе g.

Для решения задачи необходимо иметь какую-либо начерченную кривую второго порядка (например, окружность) k*, на которую мы переносим с прямой g проективное соответствие рядов.

Выберем в качестве центра S произвольную точку кривой k* и будем проектировать на нее из центра S точки прямой g. Получим два
проективных ряда второго порядка, расположенные на кривой k*:

(С₂, D₂, E₂, …)(C'₂, D'₂, E'₂, …).

Очевидно, двойные точки рядов, расположенных на прямой g, проектируются из S двойными точками рядов на кривой k* и обратно. Поэтому для решения задачи достаточно построить двойные точки рядов второго порядка, полученных проектированием на кривую k*. Это можно сделать при помощи оси перспективности.

Принимая точки С₂ и C'₂ за центры пучков, определяющих проективное соответствие на кривой k*, построим ось перспективности х. Последняя определяется точками пересечения двух пар прямых:

С₂ D'₂ и C'₂ D₂ С₂ E'₂ и C'₂ E₂.

Точки пересечения Р₂ и Q₂ оси перспективности х с кривой k* и являются двойными точками рядов второго порядка. Проектируем из центра S на данную прямую g. Получим искомые точки Р₁ и Q₁, в которых эта прямая пересекает данную кривую второго порядка ABCDE.

9. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим следующие примеры построения кривых второго порядка, в которых образующие пучки удовлетворяют некоторому метрическому условию.

1. Окружность. Пусть имеем (Рис. 23) два проективных пучка (S₁) и (S₂), обладающих тем свойством, что угол, образованный парой лучей первого пучка, всегда равен углу, образованному парой соответственных лучей второго пучка. Например,

(a₁, b₁) = (a₂, a₂)

Такие пучки называются конгруентными. Предположим, что вращению луча первого пучка (например, «против часовой стрелки» соответствует одинаковое вращение (также против часовой стрелки) соответственного луча второго пучка.

Тогда будем иметь: (a₁, a₂) = (b₁, b₂).

Следовательно, геометрическое место точек пересечения (А, В, . . .) соответственных лучей обоих пучков представляет собой окружность, проходящую через точки S₁ и S₂.

2. Равносторонняя гипербола. Пусть, как и в предыдущем случае, даны два конгруентных пучка (S₁) и (S₂), имеющие противоположные вращения соответственных лучей (Рис. 24).

Так, соответственные лучи а₁, и a₂, пересекающиеся в точке А, вращаются в противоположных направлениях (луч а₁ - против часовой стрелки; луч а₂ - по часовой стрелке).

Обозначим буквой а биссектрису угла (а₁, а₂). Луч а₁ - вращаясь против часовой стрелки, в одном из своих положений р₁ окажется параллельным биссектрисе а. Будем иметь:

(a₁, р₁) = (а₁, а).

Если р₂ --луч, соответственный лучу р₁, то должны иметь:

(a₂, р₂) = (а₁, р₁).

Сравнивая два написанных равенства, получаем:

(a₂, р₂) = (а₁, а) = (а₂, а).

Но это означает, что луч р₂ параллелен биссектрисе а. Следовательно, р₂||p₁, и эти лучи пересекаются в несобственной точке Р_?. Если луч р₁ повернется на прямой угол, то в силу конгруентности пучков и луч р₂ повернется на прямой угол. В этом новом положении лучи q₁ и q₂ снова окажутся параллельными и будут пересекаться в несобственной точке Q_?. Таким образом, кривая второго порядка, образованная пучками S₁ и S₂, имеет две несобственные точки. Такая кривая второго порядка называется гиперболой.

Направления лучей, проходящих через несобственные точки гиперболы (так называемое асимптотические направления), взаимно перпендикулярны. В этом случае гипербола называется равносторонней.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Еще у математиков Древней Греции мы находим ряд геометрических предложений, которые теперь относим к области проективной геометрии.

Несколько таких предложений помещено в труде «Математическое собрание» греческого математика Паппа Александрийского, жившего в III веке нашей эры. Замечательная теорема, которую мы называем теоремой Паппа, высказана и доказана в 139-м предложении VII книги «Математического собрания».

Однако идеи древних греков в области проективной геометрии не были систематизированы и терялись среди множества теорем метрического характера.

В XVII столетии Паскаль написал «Опыт о конических сечениях». Его работа положила начало проективной геометрии.

Сын известного математика Этьена Паскаля, Блез Паскаль, уже в детстве обнаружил необыкновенные способности. Теорему о вписанном шестиугольнике он открыл и доказал в пятнадцатилетнем возрасте. Одновременно он решил многие задачи, связанные с этой теоремой.

Теорему об описанном шестиугольнике Шарль Брианшон (1785--1864) открыл в 1806 году. Он сформулировал и доказал эту теорему в возрасте двадцати одного года, будучи учеником Политехнической школы в Париже.

Теоремы, которые мы теперь так естественно рассматриваем совместно, были отделены одна от другой большими промежутками времени: между теоремами Паскаля и Брианшона прошло полтора столетия.

Рассматривая представленные частные случаи, можно убедиться в том, что каждой новой фигуре Паскаля может быть сопоставлена, по принципу двойственности, новая фигура Брианшона и соответствующие свойства этих фигур двойственны.

Частные случаи теорем Паскаля и Брианшона применяются для решения многих геометрических задач.

Например, с помощью теоремы о вписанном пятиугольнике легко решается задача о проведении касательной в любой точке любого невырожденного конического сечения.

Для проведения такой касательной мы будем считать заданную точку на кривой вершиной некоторого вписанного пятиугольника. Построим произвольно остальные четыре вершины пятиугольника и проведем его сторону учитывая при этом лишь удобство выполнения чертежа (Рис. 25). Определив точки пересечения двух пар противоположных сторон, проведем прямую Паскаля. Продолжим оставшуюся пятую сторону, до пересечения с прямой Паскаля. Наконец, соединив полученную точку пересечения с заданной точкой прикосновения, мы найдем искомую касательную.

Заметим, что, имея на чертеже заданное коническое сечение, можно провести касательную в любой его точке, пользуясь только линейкой.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Четверухин Н.Ф. «Проективная геометрия» (издание 7-е) - Москва: «Просвещение», 1961, стр. 152-191;

2. Гуревич Г.Б. «Проективная геометрия» - Москва: «ФизМатГиз», 1960, стр. 165-168;

3. Юнг Д.В. «Проективная геометрия» (пер. с английского под редакцией Кагана В.Ф.) - Москва: «Издательство иностранной литературы», 1949, стр. 64-70;

4. Бьюзман Х., Келли П. «Проективная геометрия и проективные метрики» (пер. с английского под редакцией Яглома И.М.) - Москва: «Издательство иностранной литературы», 1957, стр. 87-91;

5. Бер Р. «Линейная алгебра и проективная геометрия» (пер. с английского под редакцией Куроша А.Г.) - Москва: «Издательство иностранной литературы», 1955, стр. 176-183;

6. Хартсхорн Р. «Основы проективной геометрии» - Москва: «Мир»,1970, стр. 143-161;

7. Игнациус Г.И. «Проективная геометрия» - Москва: «Знание», 1966, стр. 3-5, 32-35;

8. Ефимов К.В. «Высшая геометрия» - Москва: « Наука»,1971, стр. 196-217;

9. Франгулов С.А. «Лекции по проективной геометрии» - Ленинград: ЛГПИ, 1975, лекция №7, стр. 55-61;

10. Коксетер С.М. «Новые встречи с геометрией» - Москва: «Наука»,1978, стр. 78-85;

11. Базылев К.В. «Геометрия» - Москва: «Просвещение»,1975, стр. 142-163;

12. Потоцкий Е.М. «Что изучает проективная геометрия» - Москва: «Просвещение»,1982, стр. 5-6.

Размещено на Allbest.ru