Евклідова і неевклідова геометрії

Дійсно, якщо Н' - рух, що переводить фігуру F₁ в F₂, а Н'' - рух, що переводить фігуру F₂ в F₃, то рух Н''Н' переводить F₁ в F₃.

Уперше подібну систему запропонував через десять після появи гильбертовой аксіоматики Фрідріх Шур.

Через ще десять років німецький математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Ельмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, - 8.12.1955, Цюріх) створив векторну аксіоматику геометрії. У Вейля первісними є поняття «крапка» і «вектор», а пряма й відрізок визначаються з їхньою допомогою. Є аксіоми додавання векторів (означаючі, що вектори утворять комутативну групу), аксіоми множення вектора на дійсне число, аксіоми відкладання векторів (зокрема, аксіома трикутника: ), аксіоми скалярного добутку векторів і аксіома розмірності (для планіметрії в ній затверджується: якщо дані три ненульових вектори , і , те який-небудь із них виражається у вигляді комбінації двох інших: ). При заданих крапці А и ненульовому векторі пряма (А, ) визначається як множина всіх крапок М, для яких вектор пропорційний , тобто найдеться таке дійсне число t, що . Далі визначаються відрізки, кути, багатокутники, окружність і інші фігури: наприклад, відстань між А и В - як квадратний корінь зі скалярного квадрата вектора , тобто . Теорема Піфагора легко доводиться за допомогою скалярного добутку, а аксіома паралельності - за допомогою векторного визначення прямої й аксіоми рівномірності.

На закінчення відзначимо, що гильбертова аксіоматика повністю уточнила не цілком зроблену систему аксіом, створену Евклідом більше двох тисяч років тому. Аксіоматика Фрідріха Шура й аксіоматика Германа Вейля зв'язали геометрію з поняттями групи перетворень і векторного простору, які відіграють найважливішу роль у багатьох розділах сучасної математики, фізики, економіки, хімії, біології й інших областей знання.

Глава II. Неевклідові геометрії в системі Вейля

2.1 Елементи сферичної геометрії

У цьому пункті розглянуті елементи так званої сферичної геометрії - геометрії сфери Евклідова простору. Найкоротшими (геодезичними) або прямими лініями на сфері є більші окружності, тобто такі окружності, площини яких проходять через центр даної сфери.

Тому що будь-які два більших кола перетинаються, то в сферичній геометрії не здійснюється ні постулат Евкліда, ні аксіома паралельності Лобачевского. У цій геометрії не виконується також ряд інших фактів абсолютної геометрії.

Наприклад, прямі в сферичній геометрії замкнуті й на них неможливо встановити поняття крапки, що лежить «між» для трьох крапок, тому що кожну із цих крапок на окружності можна вважати крапкою, що лежить між двома іншими. Дві крапки на великому колі визначають два відрізки й прямі мають кінцеву довжину. Таким чином, аксіоми порядку в сферичній геометрії повинні описувати властивості циклічного розташування крапок на прямій. І все-таки, незважаючи на зазначені розходження в сферичній геометрії є багато властивостей, аналогічних відповідним властивостям в евклідовій геометрії й геометрії Лобачевского. Ці геометрії, включаючи й геометрію досить малих шматків сфери, в основних питаннях не протиставляються між собою, а копіюють один одного.

Візьмемо на сфері три крапки А, В, З, що не лежать в одній площині із центром Про дану сферу. Сукупність цих крапок і дуг АВ, ВР і АС більших окружностей, менших півоберту, називається сферичним трикутником АВС. Крапки А, В, С називаються вершинами сферичного трикутника, а дуги, АВ, ВР, АС -- його сторонами. Кутом А сферичним трикутником АВС називається, кут між дотичними, проведеними до дуг АВ і АС у крапці їхнього перетинання А. Очевидно, цей кут є лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами більших окружностей АВ і АС. Ясно, що сферичний трикутник можна одержати за допомогою тригранного кута, якщо перетнути його сферою, центр якої буде збігатися з вершиною даного кута. Справді, у перетинанні сфери із гранями даного тригранного кута одержимо сферичний трикутник.

Зі шкільного курсу геометрії відомо, що в тригранному куті будь-який його плоский кут менше суми двох інших плоских кутів і більше їхньої різниці. У геометрії сфери цій пропозиції відповідає наступна теорема. У всякому сферичному трикутнику кожна сторона менше суми двох інших його сторін і більше їхньої різниці.

На підставі цієї теореми, як і у звичайній планіметрії, доводиться, що в сферичному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і, обернено, проти більшого кута лежить більша сторона.

У цій геометрії є сферичні двукутники - фігури більше прості, чим сферичні трикутники. Сферичний двукутник по визначенню, представляє частину сфери, обмежену двома більшими півколами, що перетинаються у двох діаметрально протилежних крапках.

Симетрія сфери щодо діаметральної площини й поворот її навколо діаметра на даний кут, мабуть, являють собою приклади перетворень сфери, при яких відстані між будь-якими двома крапками дорівнює відстані між їхніми образами. Приведемо загальне визначення.

Перетворення сфери, при яких зберігаються відстані між будь-якими двома її крапками, називаються рухами. Сферична геометрія вивчає властивості фігур, що зберігаються при будь-яких рухах сфери.

Полярні трикутники

Усяка площина , що проходить через центр сфери, перетинає цю сферу по великій окружності. Кінці А, А' діаметра, перпендикулярного площини , називаються полюсами цієї окружності. У цьому випадку більша окружність називається полярою крапок А и А'.

Очевидно, всі крапки поляри вилучені від свого полюса на відстань, рівне R/2, де R позначає радіус даної сфери. Ясно також, що якщо дана крапка вилучена від двох крапок великої окружності на відстань R/2, то вона є полюсом цієї великої окружності. Перейдемо тепер до визначення полярного трикутника.

Якщо вершини трикутника АВС є полюсами сторін іншого сферичного трикутника А₁У₁С₁, то цей останній називається полярним трикутником стосовно даного.

Таким чином, радіус-вектор перпендикулярний векторам і , тобто

Аналогічно будемо мати

Звідси треба, що якщо трикутник А₁У₁С₁ буде полярним до трикутника АВС, то трикутник АВС у свою чергу буде полярним стосовно трикутника А₁У₁С₁.

Таким чином, сферичні трикутники АВС і А₁У₁С₁, взаємно полярні один одному.

Будемо позначати вершини й кути сферичного трикутника більшими буквами латинського алфавіту А, В, С, а протилежні їм сторони -- відповідними малими буквами того ж алфавіту а, Ь, с. Вершини й протилежні їм сторони полярного трикутника будемо позначати тими ж буквами з індексами А₁, В₁, С₁, відповідно a₁, b₁, c₁.

Лінійні елементи трикутника тут і в подальших формулах входять у вигляді відносин до радіуса сфери, тому доцільно ввести наступне поняття наведеної довжини. Відстань між двома крапками на сфері, віднесене до її радіуса, будемо називати наведеною відстанню.

Доведемо наступну пропозицію про взаємно полярні трикутники.

Теорема. Кут одного сферичного трикутника й відповідна йому наведена сторона взаємно полярного трикутника доповнюють один одного до , тобто

і т.д. Тому що

(*)

Те з (*) треба, що

Таким чином, виводимо

Аналогічно доводяться інші рівності:

Перейдемо до висновку деяких формул сферичної геометрії.

Формули прямокутного трикутника в сферичній геометрії

Перейдемо до висновку деяких формул сферичної геометрії. Нехай в евклідовому просторі нам дана сфера радіуса R. Візьмемо на ній прямокутний трикутник AВС зі сторонами a, b, з, які будуть дугами більших кіл відповідно ВР, СА й АВ, причому вмовимося вважати (мал. 2). Останнє означає, що дотичні в крапці З, проведені до більших дуг СА, СВ, перпендикулярні. З'ясуємо зв'язок між лінійними й кутовими елементами даного прямокутного трикутника.

Опустимо із крапки В перпендикуляри ВР₁, і ВА₁ на прямі ОС і ОА Евклідова простору. Із трикутника ОВС₁, маємо

(*)

Аналогічно із трикутників OBA₁ і BA₁C₁ треба, що

(**)

Крім із цих трьох співвідношень BC₁ і BA₁, одержимо

(1.1)

Формула (1.1) показує, що синус наведеного катета рівняється синусу наведеної гіпотенузи, помноженому на синус протилежного кута трикутника.

У попереднім міркуванні підстава С₁, перпендикуляра ВР₁, може збігатися із центром сфери або бути лівіше його на діаметрі ОС. Але можна переконатися, що одержувані нижче формули, як і формула (1.1), будуть завжди справедливі. До речі відзначу ще раз, що розглядаються тільки такі сферичні трикутники, які визначаються його вершинами й найменшими дугами більших окружностей, попарно їх з'єднуючими.

З'ясуємо зв'язок гіпотенузи c з катетами а й b. Із трикутника ОВС₁, маємо

(1.2)

Далі із трикутника ОВА₁ і ОС₁А₁ треба, що

Крім із отриманих трьох рівностей ОС₁ і ОА₁ будемо мати

. (1.3)

Ця формула виражає теорему Піфагора: косинус наведеної гіпотенузи прямокутного трикутника рівняється добутку косинусів наведених катетів. Аналогічним образом виводяться інші формули. Наприклад, із прямокутного трикутника А₁ВР₁ треба, що

(1.4)

Далі, тому що

те з (1.2) маємо

(1.5)

З іншого боку,

(1.6)

З (*, 1.4- 1.6) випливає, що

(1.7)

Поряд із цією формулою справедлива також парна формула

(1.7')

Перемножуючи останні два співвідношення, одержимо

Відкидаючи ненульові співмножники й застосовуючи теорему Піфагора, остаточно будемо мати

(1.8)

Візьмемо тепер інше вираження А₁С₁ через соs A. Тому що

те з (**) і (1.5-1.6), маємо

Звідси треба, що

(1.9)

З (1.1) випливає також, що

Останні дві рівності дають

Або

(1.10)

Доведені формули прямокутного трикутника можна виписати, користуючись так званим правилом Непера. Щоб сформулювати це правило, умовимося розташовувати елемент прямокутного трикутника а, В, з, А, b у зазначеному на циклічному порядку.

Для кожного із цих елементів попередній і наступний елементи називаються прилеглими, а інші два елементи -- протилежними. Для катета b, наприклад, елементи a, А будуть прилеглими, а елементи з, В -- протилежними. Прилеглими елементами для гіпотенузи є кути A і В, а протилежними -- катети а й b.

Сформулюємо тепер правило Непера. Косинус будь-якого елемента сферичного прямокутного трикутника рівняється добутку синусів протилежних елементів або добутку котангенсів прилеглих елементів. Якщо під знаком функції коштує катет, то тригонометрична функція міняється на суміжну - синус а косинус, тангенс на котангенс і навпаки. Помітимо також, що у всіх формулах довжини катетів і гіпотенузи діляться на радіус сфери R.

Формули косокутного трикутника в сферичній геометрії

Одержимо сНачало теорему косинусів. Нехай АВС довільний сферичний трикутник. Опустимо з вершини У висоту ВD. Застосовуючи до трикутника ВDС теорему Пифагора, одержимо

,

де d=AD, a=BC, b=BC, AB=c.

Перепишемо попередню рівність, другий множник формули косинуса різниці:

.(1.11)

Перший і третій множники в першому члені правої частини по теоремі Піфагора дають . Спростимо другий член у правій частині. Тому що

,

те заміняючи по формулі (1.9) на , одержимо

Таким чином, з (1.11) треба, що

(1.12)

Ця залежність, що виражає сторону сферичного трикутника через дві інші сторони в косинус протилежного кута, називається теоремою косинусів.

Доведемо тепер теорему синусів. Із прямокутного трикутника АВ і ВDС (мал. 6) одержуємо

Звідси треба, що

Якщо опустити тепер висоту з вершини А, то будемо мати

Отже

(1.13)

Ці залежності сторін і синусів протилежних кутів становлять теорему синусів сферичного трикутника АВС.

Друга теорема косинусів

Припустимо, що сферичний трикутник А₁У₁С₁, є полярним до даного трикутника АВС. Застосовуючи до нього теорему косинусів, одержимо

Але в силу формул (див. Полярні трикутники), маємо

Заміняючи в попередній рівності сторони й кути тільки що виписаними вираженнями, одержимо

Або

(*)

Формула й становить зміст 2-й теореми косинусів: Косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів двох інших кутів, узятому зі зворотним знаком, і складеному з добутком синусів тих же кутів на косинус наведеної протилежної сторони. Аналогічні дві формули можна одержати круговою заміною лінійних і кутових елементів даного трикутника АВС.

Із другої теореми косинусів треба, що в сферичній геометрії не існує нерівних трикутників з відповідно рівними кутами. Інакше кажучи, якщо кути, одного сферичного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого сферичного трикутника, те такі трикутники рівні.

На закінчення встановимо лише збіг формул сферичної геометрії для фігур з малими лінійними розмірами з відповідними формулами евклідової геометрії.

Про сферичну геометрію в малому

Нехай лінійні розміри а, b, зі сферичного трикутника малі в порівнянні з радіусом сфери R. Очевидно, ці умови можна здійснити за рахунок малості зазначених лінійних розмірів або за рахунок вибору досить великого значення R. З формули, що виражає теорему косинусів, треба

З огляду на в цій рівності члени до другого порядку малості включно, одержимо теорему косинусів евклідової геометрії:

 (1.14)

У випадку прямокутного сферичного трикутника з кутом маємо cos A=0 і формула (1.12) у межі приводить до співвідношення

,

тридцятимільйонну теорему Піфагора в геометрії Евкліда. Це рівність треба також з (1.14) при .

Тому що при малих розмірах наведених сторін їхні синуси в першому наближенні пропорційні аргументам, то з (1.13) випливають два зв'язки

,

теорему синусів в евклідовій геометрії.

Отже, формули сферичної геометрії для фігур з малими лінійними розмірами в порівнянні з радіусом сфери збігаються з відповідними формулами евклідової геометрії. Аналогічний результат одержимо нижче при розгляді формул геометрії Лобачевского.

2.2 Еліптична геометрія на площині

Були показані найпростіші факти сферичної геометрії, у якій усякі дві прямі перетинаються у двох діаметрально протилежних крапках. Для того, щоб звільнитися від зазначеного недоліку й прийти до нової геометрії, у якій прямі мали б не більше однієї загальної крапки, умовимося вважати всяку пару діаметрально протилежних крапок сфери за одну крапку. Отриману нову поверхню після такого ототожнення пар крапок сфери будемо називати еліптичною площиною й позначати символом S₂.

Ясно, що одержимо ту ж площину, якщо будемо будувати множини векторів Евклідова простору відношенню еквівалентності в якій тоді й тільки тоді, коли вектори й непропорційні.

Прямі еліптичної площини виходять із більших кіл у результаті зазначеного ототожнення пара крапок і будуть як і раніше замкнутими лініями. Але побудована площина S₂ стала принципово новим об'єктом математичного дослідження.

Залишаючись замкнутою поверхнею, вона втратила властивість двобічності. Еліптична площина є однобічною поверхнею, тобто, розфарбовуючи яку-небудь одну сторону цієї поверхні, розфарбуємо її по обидва боки. В еліптичній геометрії відсутнє поняття крапки, що лежить між двома іншими, якщо вони інцідентні прямій, тому що дві крапки на прямій визначають два взаємно додаткових відрізки. У цій геометрії можна встановити поняття поділу двох пар крапок А, У и М, N, інцідентних прямій. Пари A, B розділяє пари М, N, якщо крапки М, N лежать у різних відрізках, певних на даній прямій крапками А и В. Можна переконатися, що пари крапок A, У розділяє пари М, N тоді й тільки тоді, коли подвійне відношення

(АВМ) = АМ/ВМ:АN/ВN

чотирьох крапок А, В, М, N негативно.

Зрозуміло, еліптичну площину можна уявити собі також у вигляді півсфери, у якої діаметрально протилежні крапки екватора вважаються за одну крапку. Об'єкти нової моделі перебувають у певних зіставленнях з об'єктами відомої моделі на сфері. Завдяки цьому без звертання до аксіом виводимо, що ці дві моделі реалізують ту саму геометрію.

Проектування із центра о Евклідова простору на площину, дотичну до сфери в крапці З, де ОС , переводить прямі еліптичної площини в прямі евклідової площини . Якщо до крапок дотичної площини приєднати невласні крапки, то побудоване центральне проектування буде взаємно однозначним відображенням всіх крапок еліптичної площини на всі крапки розширеної евклідової (проективної) площини. Не будемо виписувати систему аксіом еліптичної геометрії й помітимо лише, що її можна одержати з аксіом проективної геометрії й аксіом конгруентності.

Всі поняття площини S₂ переводяться по відображенню в деякі поняття двомірної проективної геометрії. Зіставлення відповідних геометричних образів отриманої проективної моделі характеризується наступною таблицею:

«крапка»	крапка проективної площини
«пряма»	пряма проективної площини
«рівність відрізків»	рівність прообразів відрізків

Велике достоїнство проективної моделі полягає в тому, що крапки й прямі в ній зображуються звичними для нас образами. Однак, при вивченні властивостей конгруентних фігур сферична модель стає більше зручною.

Помітимо також, що прямі й площини зв'язування о Евклідова простору визначають нову модель площини S₂, що відповідають геометричні образи якої представляються наступною таблицею:

S2	Зв'язування прямих і площин в Е3
«крапка»	Площина зв'язування
«поділ двох пар крапок»	Поділ двох пар прямих того самого пучка прямих
«відстань між двома крапками»	Величина, пропорційна куту, між двома прямими зв'язування

Реалізація еліптичної площини у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені, дозволяє на цій площині ввести координати (х, в, z), зв'язані співвідношенням

x²+y²+z²=R²;

де R називається радіусом кривизни, а зворотна величина квадрата радіуса -- кривизною. У цих координатах відстань а між двома крапками А (х₁, в₁, z₁) і В(х₂, в₂, z₂ ) визначається по формулі

. (2.1)

Відношення відстані між крапками до радіуса кривизни називається наведеною відстанню. Дві крапки площини S₂ називаються полярними, якщо відповідним цим крапкам прямі тривимірного Евклідова простору ортогональні. Інакше кажучи, полярні крапки характеризуються тим, що наведена відстань між ними рівняється . Відрізок прямій, обмежений полярно сполученими крапками, називається напівпрямій. Пряма складається із двох напівпрямих і має довжину, рівну . Очевидно, геометричне місце крапок, полярних даній крапці А (х₁, в₁, z₁), утворить пряму

(2.1')

Ця пряма називається полярою крапки A, а крапка А - полюсом прямій (2.1').

Прямі, перпендикулярні прямій, перетинаються в її полюсі. Обернено, усяка пряма, що проходить через полюс даної прямої, буде перпендикулярної до цієї прямої. Звідси треба, що через кожну крапку площини, відмінну від полюса даної прямої, можна провести єдиний перпендикуляр до цієї прямої. Ці властивості безпосередньо випливають із визначення полюсів і поляр.

У геометрії S₂ можна побудувати взаємно однозначне відображення між крапками й прямими, при якому кожній крапці відповідає її полярна пряма, а кожній прямій - її полюс. Таке відображення називається полярним відображенням. В еліптичній площині одиничної кривизни полярне відображення переводить дві прямі а, b у такі крапки А, В, що відстань між цими крапками рівняється куту між даними прямими. Звідси випливає так званий принцип подвійності в еліптичній планіметрії: якщо в якій-небудь теоремі еліптичної геометрії замінити слова «крапка», «пряма», «відстань» і «кут» відповідно на слова «пряма», «крапка», «кут» і «відстань», те в результаті одержимо також справедливу пропозицію в цій геометрії. Прикладом двоїстих пропозицій, тобто пропозицій, що виходять одне з іншого, зазначеного правила є наступне: будь-які дві крапки визначають пряму, їм інцідентну; будь-які дві прямі визначають крапку, їм інцідентну.

Знайдемо тепер відстані між двома нескінченно близькими крапками М (х, в, z) і M' (х + dх, в + dу, z + dz). З формули (2.1) треба, що

. (2.2)

Звідки з точністю до нескінченно малих другого порядку включно маємо

ds=-2(xdx+ydy+zdz).

З огляду на, що координати крапки (х + dх, в + dу, z + dz) задовольняють рівності

(х + dх)² +(в + dу)²+ (z + dz)² =R²,

будемо мати

2(хdх + уdу + zdz) + dx² + dу² + dz² = 0.

ds² = dx² + dу² + dz². (2.2')

Отримана формула приводить до очевидного висновку про те, що в малому геометрія еліптичної площини збігається зі сферичною геометрією. Зокрема, формули (1.12) і (1.13) відповідно теорему косинусів і синусів, справедливі й в еліптичній геометрії. Формула 2.2' показує також, що руху еліптичної площини S₂ представляються обертаннями й відбиттями Евклідова простору E₃ навколо Начало координат. Зазначені рухи визначаються ортогональними матрицями. Так називаються матриці, у яких сума квадратів елементів кожного стовпця рівняється одиниці, а сума добутків відповідних елементів різних стовпців рівняється нулю. Тому що матриці, що відрізняються знаками, індуцірують те саме рух в еліптичній площині, то група рухів останньої зв'язана.

Площа трикутників в еліптичній геометрії

Нехай в еліптичній площині даний трикутник AВС, позначеної на мал. 8 номером I. Як відомо, на даній площині породжуються ще три трикутники з тими ж вершинами. Ці трикутники позначені на малюнку номерами II, III, IV. Тому що вcя еліптична площина кінцева й має площу, рівну 2 R² , то площа частини площини, обмеженої вертикальними кутами А трикутника I, рівняється

Аналогічно, площа частин еліптичної площини, обмежених вертикальними кутами В и С трикутника AВС, рівні 2R²B, 2R²С. З іншого боку, сума всіх трьох знайдених площ становить площу всієї еліптичної площини з доданою подвоєною площею S_АВС даного трикутника АВС. У результаті одержуємо

.

Звідси випливає, що

S_АВС = R²(A + B + C - ). (2.3)

Ця формула показує, що площа трикутника пропорційна його дефекту. Можна довести, що в геометрії Лобачевского площа трикутника АВС визначається по формулі, аналогічної (2.3),

S_АВС = k²( - A - B - C ),

де k -- радіус кривизни.

Окружність

Окружністю називається геометричне місце крапок М(х, в, z), що відстоять від даної крапки А(х₁,в_1,z₁) на дану відстань r. Крапка A називається центром окружності, r - її радіусом.

До поняття окружності можна прийти іншим шляхом, відправляючись від пучків прямих і відповідних крапок на прямих даного пучка. Ці допоміжні поняття тут уводяться так само, як у геометрії Лобачевского. Сукупність прямих, що перетинаються в даній крапці A, називається пучком прямих першого роду. Крапка А називається центром пучка. Пучком прямих другого роду називаються прямі площини, перпендикулярні даній прямій а. Неважко переконатися, що ці пучки двоїсті один одному. Справді, поляра центра пучка прямих першого роду ортогональне перетинає всі прямі пучка й розглянута сукупність прямих є пучком прямих другого роду. Обернено, прямі пучка другого роду проходять через полюс осі пучка й становлять пучок прямих першого роду. Таким чином, усякий пучок прямих одночасно є пучком першого й другого роду. Припустимо, що крапки М и N лежать відповідно на прямих тиn даного пучка прямих. Ці крапки М, N називаються відповідними, якщо відрізок МN утворить рівні однобічні кути із прямими т и n. Найпростіша крива тут визначається так само, як у планіметрії Лобачевского. Ця крива по визначенню є множиною крапок, що відповідають крапці М на прямій т даного пучка. Отримана в такий спосіб найпростіша крива одночасно є окружністю радіуса r із центром у крапці А и еквидистантой з висотою r' = R/2 -- r. Можна встановити, що окружність ортогональне розсікає прямі свого пучка.

З (2.1) треба, що рівняння окружності із центром у крапці А(х₁,в₁,z₁) і радіусом r < R/2 приводиться до виду:

. (2.4)

Наявність подвійного знака пояснюється тим, що права частина позитивна, а вираження в дужках може мати значення різних знаків.

Помітимо, що множина крапок, віддалених від двох крапок A, В, складається із двох взаємно перпендикулярних прямих, що проходять через полюс прямій, певної даними крапками. Одна із цих прямих ділить навпіл один відрізок АВ, а інша - додатковий. Звідси випливає існування однієї й тільки однієї окружності, описаної біля заданого трикутника АВС. Зокрема, три крапки, що не належать прямій, визначають на еліптичній площині чотири трикутники. Таким чином, через три крапки А, В, З, що не лежать на одній прямій, можна провести чотири окружності, які на сферичній моделі визначаються наступними трійками крапок: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, де А', В', С' позначають крапки, діаметрально протилежні відповідно до крапок А, В, С.

Розглянемо коротенько властивості пар окружностей в еліптичній площині. У сферичній геометрії дві окружності, як і в евклідовій площині, можуть не перетинатися один з одним, стосуватися або перетинатися у двох крапках. В еліптичній геометрії властивості пара окружностей більше різноманітні. Щоб переконатися в цьому, припустимо, що еліптична площина інтерпретована у вигляді сфери, у якої діаметрально протилежні крапки ототожнені. У цьому випадку, окружність еліптичної площини представляється на такій сфері у вигляді двох окружностей, що лежать у паралельні й рівновіддалених від центра сфери площинах. Обернено, дві окружності, отримані від перетинання сфери симетричними щодо її центра площинами, зображують в еліптичній геометрії одну окружність. Зроблені зауваження дозволяють скласти уявлення про нові випадки взаємних положень двох окружностей у порівнянні зі сферичною або евклідовою планіметрією.

2.3 Геометрія Лобачевского в системі Вейля

Про псевдоевклідові планіметрії

а) В евклідовій площині, як відомо, формула квадрата відстані між двома крапками М(х₁, х₂) і N(в₁, в₂) у декартовой, прямокутній системі координат представляється у вигляді

d(M,N)²=(y₁ - x₁)²+(y₂ - x₂)². (3.1)

Кут між векторами ОМ і ОN обчислюється зі співвідношення

. (3.2)

Перша формула по суті виражає теорему Піфагора для прямокутного трикутника з катетами, рівними абсолютним величинам і гіпотенузою МN. Друга ж формула представляє собою формулу косинуса різниці кутів, утворених відповідно ОМ і ON c координатним вектором .

Тепер змінимо формули (3.1) і (3.2) і будемо визначати відстань між зазначеними двома крапками й величини даних кутів по формулах відповідно

d(M,N)=(y₁ - x₁)² - (y₂ - x₂)² (3.3)

(3.4)

Колишні пари крапок тепер будуть мати інші відстані» а колишні кути - інші величини. Це по суті нова своєрідна двомірна геометрія.

Щоб підкреслити наявність іншої метрики й не плутати нові відстані й величини кутів зі старими, умовимося називати координатну площину (x₁, x₂) формулами (3.3), (3.4) псевдоевклідовою площиною.

б) Для більшої аналогії з евклідовою геометрією доцільно ввести новий скалярний добуток векторів як добуток їхніх довжин на косинус кута між ними. Ясно, що цей добуток векторів відрізняється від звичайного скалярного добутку тих же векторів, тому що довжини векторів (відстань між початкової його й кінцевої крапками) і косинус кута розуміється в змісті псевдоевклідової геометрії.

Не будемо далі перераховувати наслідків з формул (3.3), (3.4) і дамо аксіоматичне визначення псевдоевклідової геометрії. Робиться це в такий спосіб.

Замість аксіоми IV, 3 вейлевської аксіоматики, у якій говориться про те, що скалярний квадрат вектора ненегативний, уводиться інша аксіома IV, 3' про існування ненульових векторів першого, другого, і третього типів, скалярні квадрати яких відповідно позитивні, негативні й дорівнюють нулю.

Всі інші аксіоми Вейля зберігаються без зміни в псевдоевклідової геометрії. Звичайно, припускаємо, що аксіоми розмірності III відповідним чином погоджені. Якщо мова йде про площину, то в аксіомі III, 1 затверджується існування двох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 затверджується, що всякі три вектори лінійно залежні.

Сукупність крапок називається псевдоевклідовою площиною, якщо ці крапки і їхні впорядковані пари (вільні вектори) задовольняють аксіомам груп /--///, IV, 1, 2, 3', V. Очевидно, вектори псевдоевклідової площини задовольняють аксіомам /--///- IV - 1, 2, 3' і утворять двомірний псевдоевклідовий векторний простір.

У псевдоевклідової геометрії афінна частина повністю збігається з афінної частиною евклідової геометрії. Але в метричних питаннях геометрії ці значно відрізняються друг від друга, метрика простору по суті визначається аксіомами скалярного добутку векторів і серед них важливу роль грає саме аксіома IV, 3'.

в) Скалярний добуток двох векторів , у змісті псевдоевклідової геометрії будемо позначати символом П. Вектори , називаються перпендикулярними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Як і раніше число П називається скалярним квадратом вектора ; корінь квадратний з П якого називається довжиною вектора й позначається через | |.Таким чином,

,

Ясно, що довжина вектора буде позитивної, чисто мнимий або нульовий, якщо відповідно скалярний квадрат П >0, П <0 або П =0. Вектори позитивної й чисто мнимої довжини називають також відповідно просторовими й тимчасовими.

Ненульові вектори, довжини яких дорівнюють нулю, називаються ізотропними.

Уведемо поняття прямокутної декартовой системи координат. Прямокутної декартовой системою координат або просто прямокутною системою координат псевдоевклідової площини називається така афінна система координат, вектори якої одиничні або взаємно перпендикулярні.

Отже, один з координатних векторів псевдоевклідової площини, наприклад, буде одиничним, а іншої - мнимо одиничним Таким чином, скалярний добуток координатних векторів прямокутної системи координат визначаються рівностями

. (3.5)

Очевидно, скалярний добуток двох векторів

і квадрат довжини вектора в прямокутній системі координат обчислюються по формулах виду

(3.6)

(3.7)

За відстань між двома крапками M(х₁, х₂) і N(y₁, y₂) визначенню приймається довжина вектора :

d(M,N)²=(y₁ - x₁) - (y₂ - x₂)².

Величиною кута між векторами й називається число, певне по формулі

(3.8)

У правій частині (3.8) чисельник позитивний, а знаменник при неізотропних векторах , може бути позитивним і негативним.

Якщо вектори , однієї природи, тобто обидва множники в знаменнику одночасно просторові або тимчасові, те, якщо ж один з векторів просторовий, а інший тимчасовий, то .

Неважко далі довести, що чисельник в (3.8) не менше знаменника. Дійсно, якщо координати векторів і будуть відповідно (х₁, х₂) і (в₁, в₂) у деякій прямокутній системі координат, те

.

Отже, якщо вектори , одночасно будуть просторовими або тимчасовими, те

. (3.9)

Думаючи в цьому випадку , одержимо

. (3.10)

У псевдоевклідової площини існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора, якщо напрямний вектор буде просторова, тимчасова або ізотропним, те пряма називається відповідно до просторової, тимчасовий або ізотропної.

г) Перейдемо тепер до визначення поняття окружності.

Окружністю в псевдоевклідової площини називається множина її крапок, що відстоять від даної крапки, називаної центром на те саме відстань r; величина r називається радіусом окружності. Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі окружності, переконаємося, що координати поточної крапки (х₁, х₂) даної окружності задовольняють рівнянню

.

У цій геометрії існує три типи окружностей - окружності речовинного, чисто мнимого й нульового радіусів. На мал. 13 окружності нульового радіуса зображуються з погляду евклідової геометрії бісектрисами координатних кутів, окружності речовинного радіуса - гіперболами, що перетинають вісь Ох₁ і окружність чисто мнимого радіуса - гіперболами, що перетинають вісь Ох₂.

д) На закінчення розглянемо коротенько руху в псевдоевклідової площини. Рух визначається як перетворення, що відповідають крапки якого мають ті самі координати щодо вихідної й довільно заданої прямокутних систем координат. Як і в евклідовій геометрії доводиться, що рух є ізометрією й, обернено, усяка ізометрія є рухом. Ізометрія визначається як перетворення, що зберігає відстань між двома довільними крапками. Як і в геометрії евклідової площини, руху можна розділити

на власні рухи - руху з визначником = 1 і невласні - руху з визначником = - 1. Але тепер кожну із цих сукупностей у свою чергу можна розділити на дві сукупності. Щоб переконатися в цьому, відзначимо попередньо наступні два зауваження.

По-перше, ясно, що просторові, тимчасові й ізотропні вектори при рухах залишаються відповідно просторовими, тимчасовими й ізотропними.

По-друге, при безперервних обертаннях навколо даної крапки вектори ізотропного конуса відокремлюють у цій крапці тимчасові вектори від просторових.

Перейдемо тепер до подальшого поділу на частині рухів псевдоевклідової площини. Неважко бачити, що у формулах

(3.11)

визначальне обертання, величина не звертається в нуль. Справді, припустимо, що в (3.11) коефіцієнт рівняється нулю. У такому випадку просторовий вектор {1, 0} при обертанні (3.11), перейшов би у вектор {0, }, що є тимчасовим, що неможливо. Таким чином, при змінах координатних векторів , викликуваних безперервними обертаннями, коефіцієнт буде постійним.

Отже, всі рухи діляться на чотири типи залежно від значення визначника перетворення = 1 або = - 1 і знака > 0 або < 0.

Представниками цих чотирьох типів будуть, наприклад, руху з матрицями:

Псевдоевклідовий тривимірний простір

а) узагальнимо побудови псевдоевклідової площини на тривимірні простори. Аксіоми псевдоевклідового тривимірного простору збігаються з аксіомами Вейля псевдоевклідової площини, за винятком аксіом розмірності III. Тепер в аксіомі III-I мова йде про існування трьох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 - усякі чотири вектори лінійно залежні.

Скалярний добуток двох векторів , у псевдоевклідовом просторі будемо позначати, як і у випадку псевдоевклідової площини, символом . Вектори , - перпендикулярні, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Число називається скалярним квадратом вектора. Довжиною вектора називається корінь квадратний зі скалярного квадрата цього вектора й позначається через :

.

Підкореневе вираження може бути >0, <0, і = 0. Довжини векторів відповідно до цим випадкам будуть речовинні, чисто мнимі й нульові. Вектори речовинної довжини називаються також просторовими, вектори чисто мнимої довжини - тимчасовими й вектори нульової довжини - ізотропними.

У псевдоевклідовом просторі вводиться прямокутна система координат. По визначенню так називається афінна система координат, вектори якої одиничні й взаємно перпендикулярні. Будемо розглядати так званий простір Минковського, у якому із трьох координатних векторів прямокутної системи координат два одиничні, а третій -- мнимо одиничний. Будемо вважати, що

(3.12)

У цій системі координат скалярний добуток двох векторів і квадрат довжини вектора, мабуть, обчислюються по формулах виду

І квадрат довжини вектора, мабуть, обчислюються по формулах виду

, (3.13)

. (3.14)

За відстань між двома крапками М(x₁, x₂, x₃) і N(y₁, y₂, y₃) по визначенню приймається довжина вектора , тобто

. (3.15)

Величиною кута між векторами й називається число, певне по формулі

.

Якщо вектори , однієї природи, тобто обоє просторові або тимчасові, то . Більше того, , якщо для х, у виконується нерівність Коші й , якщо нерівність це не виконується. Думаючи в останньому випадку , одержимо .

б) У псевдоевклідовом просторі існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора. Тут існують також три види площин залежно від природи її нормального вектора.

в) Докладніше розглянемо питання про сфери. Сферою псевдоевклідова простору П₃ називається множина крапок цього простору, що відстоять від даної крапки А, називаної центром сфери, на те саме відстань r. Величина r називається радіусом сфери.

Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі сфери, переконаємося в тім, що координати х₁, х₂, х₃ поточні крапки сфери радіуса r задовольняють рівнянню

_. (3.17')

Ясно, що перші два координатних вектори прямокутної системи тут передбачаються одиничними, а третій вектор - мнимо одиничним.

У псевдоевклідовом просторі існують три типи сфери речовинного, чисто мнимого й нульового радіуса.

Рівняння сфери речовинного радіуса r збігається (3.17'), у якому величина r речовинна. Якщо сфера чисто мнимого радіуса r = ki, де k речовинне, то рівняння (3.17') приводиться до виду

(3.17)

Якщо ж сфера буде нульового радіуса, то з (3.15) треба, що

_. (3.18)

Рівняння (3.18) в евклідовому просторі є рівнянням конуса, а попередні два - рівняння гіперболоїдів.

Ясно, що конус (3,18) складається з асимптот сфер (3.17, 17'), що мають центр на Начало координат. Очевидно, асимптотичеський конус сфери збігається з ізотропним конусом її центра. З рівняння (3.15) треба також, що на сферах псевдоевклідова простори є прямолінійні утворюючі - прямі цілком лежачі на сфері.

Очевидно, лінією перетинання сфери із площиною є окружність. Якщо січна площина проходить через Начало Координат, то радіус окружності приймає значення, рівне радіусу сфери. Одержувані в такий спосіб окружності сфери називаються більшими окружностями.

За сферичну відстань між двома крапками М ( ), N ( ) сфери приймаємо відстань по великій окружності, що з'єднує дані крапки. Очевидно, ця відстань рівняється добутку радіуса сфери на значення кута, утвореного радіусами векторами , . Отже, сферична відстань визначається по формулі

. (3.19)

Якщо сфера чисто мнимого радіуса r = ki, то формула (3.19) приводиться до виду

.

Геометрія Лобачевского

Переконаємося тепер, що геометрія сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі є Двомірною геометрією Лобачевского. Обмежуючись лише однієї, наприклад, верхньої порожньої сфери, покажемо, що в множині її крапок і більших окружностей здійснюється планіметрія Лобачевского. Для простоти ці крапки можна спроектувати із центра сфери на дотичну до неї площина в крапці N. Криву перетинання дотичної площини з ізотропним конусом будемо називати абсолютом.

При проектуванні крапки півсфери перейдуть у внутрішні крапки кола, обмеженого абсолютом, а більші окружності - у хорди абсолюту. Очевидно, останні є лініями перетинання площин більших окружностей із внутрішністю абсолюту. Інцідентність крапок і прямих розуміється у звичайному змісті. Ясно, що в системі крапок внутрішності абсолюту і його хорд аксіоми 1,1 - 3 виконуються. Аналогічно аксіоми II порядку й IV безперервності переходять у щирі пропозиції геометрії дотичної площини. Що стосується аксіом III групи - аксіом конгруентності, те вони також переходять у щирі пропозиції тривимірної псевдоевклідової геометрії. При цьому вважаємо конгруентними ті відрізки (кути), яким на сфері чисто мнимого радіуса відповідають сфери дуги більших окружностей, що сполучаються при деяких, обертаннях (кути між більшими окружностями).

З'ясуємо тепер, яка виконується аксіома паралельності: V або V'.

Припустимо, що нам дана на верхній півсфері більша окружність і не лежача на ній крапка. У зв'язуванні прямих і площин, центр якого збігається із центром сфери, цієї великої окружності й крапці відповідають відповідно площина й пряма a зв'язування.

Очевидно, що через пряму а можна провести незліченну множину площин зв'язування, що розсікають півсферу по більших окружностях, що не перетинаються з даною великою окружністю. У такий спосіб у розглянутій моделі виконується аксіома паралельності Лобачевского. Інакше кажучи, площинна геометрія Лобачевского збігається з геометрією сфери чисто мнимого радіуса.

Ці міркування дозволяють прийняти наступне загальне визначення n-мірних неевклідових геометрій.

Неевклідовими геометріями n-вимірів називаються геометрії, які породжуються на n-мірних сферах, S_n речовинного або чисто мнимого радіуса в (n+1)-мірному евклідовому відповідно псевдоевклідовом просторі. Передбачається також» що діаметрально протилежні крапки цих сфер ототожнені, тобто такі пари крапок уважаються за одну крапку.

Із цього визначення треба, що при зростанні n число типів неевклідових просторів також росте. Неевклідові геометрії є геометриями найпростіших римановых просторів певної й невизначеної метрики, що становлять так званий клас просторів постійної ненульової кривизни. Кожне з таких n-мірних просторів допускає сукупність рухів, що залежить від n(n+1)/2 параметрів.

Очевидно, при n=2 одержимо еліптичну площину й площину Лобачевского. Геометрія, цих площин буде відповідно геометрією сфери Евклідова простору й геометрією сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі.

Наше найближче завдання -- вивести основні формули сферичного трикутника (так називаються трикутник на сфері, утворений трьома дугами більших окружностей). Ці формули виражають основні математичні співвідношень у трикутниках геометрії Лобачевского.

а) СНачало доведемо так звану теорему косинусів. Припустимо, що нам даний сферичний трикутник з вершинами А( ), В ( ), З ( ), кутами A, В, С и протилежними сторонами відповідно а, b, с.

Очевидно, ці сторони пов'язані з радіус-векторами вершин сферичного трикутника наступними рівностями

(3.21)

Припустимо далі, що дотична площина до сфери в крапці З перетинає радіуси ОА й ОВ у крапках і . Ці числові множники , радіусів векторів крапок A₁ і B₁ визначаються зовсім просто, якщо врахувати ортогональність векторів , і , Дійсно,

.

Звідси на підставі (3.21) треба, що

. (3.22)

Повторюючи наведені міркування для іншої пари й ортогональних векторів, одержимо

. (3.23)

Знайдемо тепер скалярний добуток векторів і . З одного боку, маємо

,

Де

Отже, на підставі (3.22, 3.23) маємо

Тому

.

З іншого боку,

.

Застосовуючи потім (3.21), (3.22), (3.23), одержимо

(3.25)

Порівнюючи (3.24) і (3.25), містимо

Або

. (3.26)

Формула (3.26) не залежить від нашого припущення про крапки перетинання А₁ і В₁. Ця формула виражає теорему косинусів сферичного трикутника сфери чисто мнимого радіуса: косинус гіперболічної сторони сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів гіперболічних двох інших сторін без добутку синусів гіперболічних цих же сторін на косинус кута між ними.

б) Переходимо тепер до висновку теореми синусів. Обчислимо для цього квадрат відносини . На підставі (3.26), маємо

. (*)

Бачимо, що чисельник правої частини є симетричним вираженням щодо змінних а, b, с. Неважко переконатися, що такою ж симетричністю щодо цих змінних володіє й знаменник. Справді

(3.27)

Таким чином, квадрат шуканого відношення симетричний щодо сторін а, b, с. Це означає, що заміняючи позначення сторін а, b, з і кутів А, В, С у круговому порядку в (*) одержимо відносини , , рівні . Витягаючи із цих відносин квадратних корінь, одержимо формули

, (3.28)

теорему, що виражає, синусів сферичного трикутника в геометрії сфери чисто мнимого радіуса: синуси гіперболічних сторін сферичного трикутника ставляться як синуси протилежних кутів.

в) Помітимо, що формули (3.26) і (3.28) геометрії сфери чисто мнимого радіуса r = ki у псевдоевклідовому просторі можна одержати з відповідних формул сферичного трикутника в евклідовому просторі, заміняючи на , на , на .

Застосовуючи це правило, одержимо другу теорему косинусів для сферичного трикутника у випадку сфери мнимого радіуса:

(3.29)

Інакше, косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку синусів двох інших кутів на косинус гіперболічної сторони між цими кутами без добутку косинусів двох інших кутів.

Звідси треба, що якщо кути одного сферичного трикутника дорівнюють відповідним кутам іншого сферичного трикутника, те такі трикутники рівні.

Формули прямокутного трикутника

Припустимо, кут Із трикутника AВС є прямим. Застосовуючи теорему косинусів (3.26), одержимо

. (3.30)

Ця рівність виражає теорему Піфагора в геометрії Лобачевского: косинус гіперболічної гіпотенузи прямокутного трикутника рівняється добутку косинусів гіперболічних катетів. Застосовуючи формулу (3.28) будемо мати:

, (3.31)

. (3.32)

Отримані формули можна виписати за мнемонічним правилом, аналогічному правилу Непера в сферичній геометрії.

У цих формулах зв'язуються п'ять елементів прямокутного трикутника, які можна розглядати в циклічному порядку . Для кожного елемента попередній і наступний елементи називаються прилеглими, а інші два елементи - протилежними елементами. Мнемонічне правило формулюється в такий спосіб.

Косинус елемента прямокутного трикутника в геометрії Лобачевского рівняється добутку синусів протилежних елементів або добутку котангенсів прилеглих елементів.