где .

Свойства сочетаний:

Пример . Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 5 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 3 мужчины.

Решение. Число всех способов выбора 5 человек из 25 равно , а число способов выбора двух из 5 женщин равно . Каждая такая двойка может сочетаться с каждой тройкой из 20 мужчин. Число таких троек равно . Искомая вероятность составляет

.

Определение: Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А, или события В (или обоих вместе) и обозначается С=А+В.

Определение: Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В (обозначается С=АВ).

Пример. В урне 7 белых, 1 черных и 3 красных шара. Неудачу вынули 2 шара. Событие А - вынули белый шар, событие В - вынули черный шар и событие С - вынули красный шар. Тогда событие АВ+АС - вынули белый и черный или белый и красный шары; событие ВС+СС - вынули черный и красный или два красных шара.

События А и В, которые вместе произойти не могут, называются несовместными. Очевидно, что произведение двух несовместных событий является невозможным событием.

Попарно несовместные события А1, А2…, Аn образуют полную группу событий, если их сумма есть достоверное событие. События А и В, образующие полную группу событий, называются противоположными. Противоположные события обозначаются А и А. Очевидно, что А+В=U.

Любое множество элементарных событий, образующих полную группу, можно представить как сумму двух противоположных событий, причем данное разбиение неоднозначно.

Пример. Производится два выстрела по цели, полная группа событий где Аi - число попаданий в цель. Введем события: А - хотя бы одно попадание в цель, ему противоположное А - ни одного попадания в цель: Введем события А - меньше двух попаданий в цель, А - не меньше двух попаданий в цель: А ={A0,A1}, A={A2,A3}.

Классическое определение вероятности

Количественной оценкой возможности появления того или иного события при проведении некоторого опыта является вероятность.

Рассмотрим опыт с конечным числом равновозможных исходов. Равновозможными исходами являются такие, для которых одинаковы шансы появления в результате данного опыта. Пусть n - число всех исходов, m - число тех исходов, в результате которых наступает рассматриваемое событие А. Эти исходы называют благоприятствующими появлению события А.

Определение. Вероятность Р(А) события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события А, к числу всех равновозможных исходов данного опыта:

Пример. Из урны, в которой находится 3 черных и 7 красных шаров, вынимается один шар. Событие А - вынимается черный шар. Все шары одинакового размера, в результате опыта может быть вынут любой из них, т.е. все исходы равновозможны и их число равно n=10. Количество исходов, благоприятствующих событию А, равно трем, т.е. m=3. Следовательно, вероятность того, что вынутый шар окажется черным равна

Свойства вероятности:

1) Вероятность достоверного события равна 1,

2) Вероятность невозможного события равна 0,

3) Вероятность любого события А заключена между 0 и 1, т.е. 0<P(A)<1, поскольку 0<m<n.

Теоремы о вероятности суммы событий

Вероятность суммы двух несовместных событий A, B равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема 1. Вероятность суммы А+В двух зависимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения АВ.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теорема 2. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В), Р(АВ)=0.

Эта теорема справедлива для любого конечного числа попарно несовместных событий A1,A2,…An.

Теорема 3. Сумма вероятностей событий A1,A2,…An, образующих полную группу событий, равна единице Р(A1 +A2 +…+An)=Р(u)=1.

Из этой теоремы следует, что сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=1.

Теоремы о вероятности произведения событий

Определение. Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие.

Пример. Подбрасываем две монеты. Событие А - выпал «герб» на первой монете; событие В - выпал «герб» на второй монете. Вероятность события В не зависит от того, произошло или не произошло событие А. События А и В в этом опыте независимые.

Пример. В урне 2 белых и 1 черный шар. Вынимаем один за другим наугад 2 шара. Событие А - первый шар белый; событие В - второй шар белый. Эти два события зависимые. В самом деле, если событие А произошло, то вероятность вытащить снова белый шар равна 1/2.

Определение. Условной вероятностью Р(В/А) называют вероятность события В, вычисленную при условии, что событие А уже произошло.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Р(АВ)=Р(А)*Р(В).

Пусть в результате некоторого опыта возможно появление n независимых в совокупности событий A1,A2,…An. Появление хотя бы одного из этих событий означает появление точно одного события или двух событий, …, или всех «n» событий. Если обозначить это событие через А, то противоположное ему событие А означает, что не произошло ни одного из «n» событий A1,A2,…An.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий A1,A2,…An вычисляется по формуле:

Формула полной вероятности и формула Бейеса

Пусть в результате некоторого опыта могут произойти события Н1,Н2,…,Нn. Рассматриваемое событие А может произойти только с одним из них. События Н1,Н2,…,Нn называют гипотезами.

Теорема. Полная вероятность события А, которое может произойти с одним из событий Н1,Н2,…,Нn, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей этих событий на условные вероятности события А.

Предположим, что опыт произведен, и в результате этого опыта рассматриваемое событие уже произошло, но неизвестно, с какой из указанных гипотез Н1,Н2,…,Нn. Пусть событие А произошло вместе с гипотезой Нi.

Полученная формула называется формулой Бейеса.

Формула Бернулли

Рассмотрим последовательность n идентичных повторных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1.Каждое испытание имеет два исхода, называемые успех и неуспех.

Эти два исхода - взаимно несовместные и противоположные события.

2. Вероятность успеха, обозначаемая p, остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха обозначается q.

3. Все n испытаний - независимы. Это значит, что вероятность наступления события в любом из n повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний.

Вероятность того, что в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно m раз (в любой последовательности), равна

где q=1-р.

Иногда в задаче требуется определить вероятность того, что в серии из n опытов рассматриваемое событие А произойдет не менее k(k<n) раз. Эту вероятность можно найти следующим образом

Pn(m?k)=Pn(k)+Pn(k+1)+…+Pn(n).

При небольших значения «k» удобно пользоваться формулой

Pn(m?k)=1-Pn(m<k).

Наивероятнейшее число k0 наступление события А в n опытах, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью р, определяется из двойного неравенства

np-g<k0<np+p.

Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать значение, причем заранее, до опыта, не известно какое именно.

Дискретной называют случайную величину, принимающую отдельные (конкретные) значения с определенными вероятностями. То есть возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать, их число может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называется счетным).

Законом распределения дискретной случайной величины Х называется перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Он может быт задан в виде таблицы, в первой строке которой перечисляются возможные значения х1,х2,…,хn, а во второй их вероятности p1,p2,…,pn.

В таблице

Функцией распределения (интегральным законом распределения) случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности Р(X<x) того, что случайная величина будет меньше х:

F(x)= Р(X<x).

Для дискретной случайной величины имеем

суммирование ведется по всем i, для которых xi<x.

Иногда вместо закона распределения случайной величины удобно знать среднее значение случайной величины. Для этого вводится понятие математического ожидания случайной величины, которое определяется по формуле

Можно показать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому случайной величины. Поэтому иногда математическое ожидание называют среднее значение случайной величины и обозначают М(Х)=а.

М(Х) представляет собой среднее ожидаемое значение случайной величины. Оно обладает следующими свойствами:

М(С)=С, где С=const

M (CX)=CM (X)

M (X+Y)=M(X)+M(Y), для любых Х и Y.

M (XY)=M (X)M(Y), если Х и Y независимы.

Поскольку различные случайные величины имеют одинаковые средние значения, а разброс значений величин относительно среднего значения различен, то вводят еще одну характеристику, определяющую степень рассеяния случайной величины около среднего значения - дисперсию. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата среднего отклонения случайной величины. Средним отклонением называется разность ДЧ=X-a, поэтому дисперсия равна

Можно показать, что дисперсия вычисляется по формуле

Для оценки рассеяния случайной величины наряду с дисперсией используется среднеквадратичное отклонение случайной величины

Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения:

1) D(C)=0, где С=сonst

2) D(CX)=C2D(X), (CX)= C(X)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать значения всех действительных чисел из некоторого промежутка.

При изучении непрерывных случайных величин основным является понятие плотности вероятности.

Плотность вероятности (дифференциальный закон распределения) f(x) случайной величины Х определяется следующим образом

где в числителе стоит вероятность попадания случайной величины в интервал Используя понятие функции распределения, можно получить

Поэтому f(x) часто называют дифференциальной функцией распределения, а F(x) - интегральной функцией распределения, поскольку

Дифференциальной функцией распределения может служить только такая функция, для которой выполняется соотношение

Числовые характеристики для непрерывной случайной величины определяются через плотность распределения вероятностей следующим образом

Наиболее известным распределением вероятностей непрерывной случайной величины является нормальный закон распределения, плотность вероятности которой задается функцией , где

При решении практических задач возникает необходимость определения вероятности попадания нормальной случайной величины Х с параметрами а и в интервале или вероятность того, что случайная величина Х будет принимать значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания М(х)=а не более, чем на величину :, где Ф0(z) - функция Лапласа:

Локальная теорема Муавра-Лапласа. При р и p1 и достаточно большом n биноминальное распределение близко к нормальному закону (причем их математические ожидания и дисперсии совпадают), т.е. имеет место равенство:

, где , a=nр

Тогда: для достаточно больших n (здесь (х) - плотность вероятностей стандартной нормальной случайной величины и ).

Пример На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш - случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 950 кг и неизвестным средним квадратическим отклонением. Каким должно быть среднее квадратическое (стандартное) отклонение, чтобы с вероятностью 0,81648 можно было утверждать, что абсолютное отклонение веса случайно отобранной туши от математического ожидания не превысит 200 кг?

Решение. По условию задачи: а=950; =200; P(X-950<200)=0,81648; =?

Используем формулу (5.11) расчета вероятности попадания заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания.

Тогда получим:

P(X - 950< 200) = 2Ф0(200 / ) = 0,81648;

2Ф0(200 / = 0,81648;

Ф0(200 / ) = 0,81648 / 2;

Ф0(200 / ) = 0,40824.

По таблице функции Лапласа найдем, при каком

z = 1,33, т.е.

Отсюда:

= 200 / 1,33 = 150.

Ответ. Чтобы с вероятностью 0,81648 можно было утверждать, что абсолютное отклонение веса случайно отобранной туши от математического ожидания не превысит 200 кг, среднее квадратическое отклонение веса туш должно составлять 150 кг.

Пример. Пусть вероятность того, что покупателю необходимо купить обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 покупателей не более 100 потребуется обувь этого размера.

Решение. По условию, n = 400; p = 0,2; q = 0,8; k1=0; k2 =100; ; . Согласно формуле (3), искомая вероятность есть

Размещено на Allbest.ru