Размещено на http://www.allbest.ru/

32

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Ростовский институт (филиал)

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Российский государственный торгово-экономический университет»

Кафедра высшей математики

Печенежская И.А., Дерезина Н.П.

Математика для экономических специальностей

Учебное пособие

Ростов-на-Дону

2008

УДК 517 (075.4)

ББК 22.1

П 158

Печатается по решению кафедры математики

Печенежская И.А., Дерезина Н.П. Математика для студентов экономических специальностей. Учеб. пособие. Ростов-на-Дону. Издательство Ростовского государственного педагогического университета. 2008 - 49 с.

В пособии дано простое и доступное изложение разделов математики, которые изучаются студентами экономических специальностей.

© Печенежская И.А., Дерезина Н.П. 2008 г.

Содержание

I. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Функция. Способы задания функции

2. Предел функции

3. Бесконечно малая величина

4. Бесконечно большая величина

5. Непрерывность функции

6. Производная функции, геометрический смысл производной

7. Производная сложной функции

8. Формулы дифференцирования

9. Понятие дифференциала функции, геометрический смысл дифференциала

II. Интегральное исчисление

1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл

2. Свойства неопределенного интеграла

3. Основные методы интегрирования

4. Таблица неопределенных интегралов

5. Определенный интеграл. Геометрический смысл

6. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла

7. Площади плоских фигур

III. Ряды

1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда

2. Свойства сходящихся рядов

3. Необходимый признак сходимости

4. Достаточные признаки сходимости ряда

5. Знакочередующиеся ряды

6. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости

IV. Дифференциальные уравнения

1. Порядок дифференциального уравнения, общее и частное решение

2. Уравнения с разделяющимися переменными

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

4. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

5. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

6. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

V. Аналитическая геометрия на плоскости

1. Уравнение линии

VI. Решение систем линейных алгебраических уравнений

1. Постановка задачи

2. Определители второго и третьего порядка, их вычисления и свойства

3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

4. Метод Гаусса

VII. Теория вероятностей

1. Случайные события и операции над ними

2. Классическое определение вероятности

3. Теоремы о вероятности суммы событий

4. Теоремы о вероятности произведения событий

5. Формула полной вероятности и формула Бейеса

6. Формула Бернулли

7. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

8. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики

I. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Функция. Способы задания функции

Определение. Если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторой области, соответствует определенное значение другой переменной y, то y есть функция от х: y=f(x).

Переменная х называется независимой переменной или аргументом. Зависимость переменных х и y называется функциональной зависимостью. Совокупность значений х, для которых определяются значения функции y в силу правила f(x), называется областью определения функции. Если функция y=f(x) такова, что большему значению аргумента х соответствует большее значение функции, то функция y=f(x) называется возрастающей. Аналогичным образом определяется убывающая функция.

Правила, которые определяют значения функции по заданному значению аргумента, могут быть заданы аналитически, графически или табличным способом.

При аналитическом способе функция задается в виде математической формулы y=f(x), где f(x) указывает, какие математические действия следует выполнить над аргументом х, чтобы получить соответствующее значение функции y.

Например, .

Графический способ задания функции состоит в том, что в прямоугольной системе координат задается некоторая кривая, абсцисса (координата х) каждой точки которой дает значение аргумента х, а ордината (координата y) соответствующее значение функции y.

Табличный способ задания функции заключается в том, что функциональная зависимость задается в виде таблицы, содержащей ряд числовых значений аргумента и соответствующих значений функции y.

Таковы, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Основные элементарные функции:

а) степенная функция у=хn

б) показательная функция у=ах

в) логарифмическая функция у=logqх

г) тригонометрическая функция у=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

д) обратные тригонометрические функции у=arctg x, y=arcctg x, y= arccos x, y=arcsin x

Предел функции

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к числу а, если для любого сколь угодно малого е>0 существует такое д>0, что для всех х?а, удовлетворяющих неравенству < д, будет выполняться неравенство < е.

Это записывается так: .

Смысл равенства простой: если значения аргумента х сколь угодно близко приближаются к числу а, то соответствующие значения функции f(x) сколь угодно близко приближаются к числу А.

В качестве примера покажем, что .

Для этого зададим произвольное число е>0 и посмотрим, для каких значений х будет выполняться неравенство < е.

Имеем < е, откудa , следовательно, < е, а потому <. Обозначим . Таким образом, для всех х, удовлетворяющих неравенству <, выполняется неравенство <, т.е. .



Если аргумент х неограниченно возрастает и становится больше любого наперед заданного числа, то говорят, что х стремится к «+?» и записывают х> +?.

Если х неограниченно убывает и становится меньше любого наперед заданного отрицательного числа, то говорят, что х стремится к «-?»: х> -?.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х> ?, если для всех достаточно больших «х» соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличается от числа А:

.

Аналогично можно дать определение предела функции при х> -?.

Перечислим основные свойства пределов функции, которые понадобятся при решении примеров.

1. Если С - константа, то

2.

3.

4.

5. здесь предполагается, что .

6.

Заметим, что все формулы верны тогда, когда все пределы, входящие в левую и правую части равенств, существуют.

Бесконечно малая величина

Определение. Функция б(х) называется бесконечно малой величиной при х, стремящейся к «а», если

Для бесконечно малых величин справедливы следующие утверждения:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина:

2. Произведение констант на бесконечно малую величину есть бесконечно малая величина:

3. Если f(x) - ограниченная функция, то произведение функции f(x) на бесконечно малую величину есть бесконечно малая величина:

)

4. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

Бесконечно большая величина

Определение. Функция Z(x) называется бесконечно большой величиной при x>a, если для любого сколь угодно большого числа N>0 существует такое число д>0, что для всех х?а, удовлетворяющих неравенству < д, будет выполняться неравенство

Иначе говоря, при приближении аргумента х к числу «а» модуль функции Z(x) неограниченно возрастает и становится больше любого наперед заданного числа.

Если необходимо подчеркнуть, что функция стремится к положительной или же к отрицательной бесконечности, то это записывают следующим образом:

Отметим некоторые свойства бесконечно больших величин и их связь с бесконечно малыми величинами.

1. Произведение бесконечно больших величин есть бесконечно большая величина

2. Произведение постоянного числа с?0 на бесконечно большую величину есть бесконечно большая величина

3. Если бесконечно большие величины одного знака, то их сумма - бесконечно большая величина того же знака

если

4. Если б(х) - бесконечно малая величина, то - бесконечно большая величина, т.е. если , то

5. Если в(x) - бесконечно большая величина, то бесконечно малая величина, т.е. если , то .

Примеры эквивалентных бесконечно малых

При х>0: sin x~x, arctg x ~x, arcsin x ~x, ex- 1~x, ln (1+x) ~x,

(1+x)m~mx, 1-cosx~x2/2.

Замечательные пределы

- первый замечательный предел

- второй замечательный предел

Непрерывность функции

Введем понятие одностороннего предела.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке а справа, если для любого е>0 существует такое число >0 , что для всех х , удовлетворяющих условию 0<x-a< , следует < е : .

Другими словами, если х сколь угодно близко приближается к числу «а» справа, то соответствующие значения функции f(x) сколь угодно близко приближаются к числу А.

Аналогично вводится понятие предела функции f(x) в точке «а» слева: B=.

Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0 при следующих условиях:

1) функция y=f(x) определена в точке х0, т.е. существует точка y0=f(x0);

2) существуют и

3) выполняется условие

Иначе говоря, функция f(x) непрерывна в точке х0, если пределы функции слева и справа равны и совпадают со значением функций в точке х0.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, то она называется непрерывной на этом интервале.

Графиком непрерывной функции является непрерывная кривая.

Если в точке х0 нарушено хотя бы одно из условий 1-3, то функция f(x) называется разрывной в точке х0, а точка х0 называется точкой разрыва функции f(x).

Точки разрыва и их классификация

Определение: Точка хо называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва: первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х>хо, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует). К точкам разрыва первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при х>хо существует, но не равен значению функции в этой точке. Пример: на рис.1 а) - точка разрыва второго рода, б) - точка разрыва первого рода, в)- точка устранимого разрыва.

Рис.1 Примеры точек разрыва

Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых и бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:

Производная функции, геометрический смысл производной

Известные ранее свойства функции y=f(x) недостаточно характеризуют ее изменение и поведение графика в окрестности каждой точки из области определения функции. Для более полного изучения поведения функции в каждой точке введем понятие производной функции. Введем понятие: 1) приращение аргумента - это разность между двумя значениями аргумента ;

2) приращение функции y=f(x) - разность между двумя значениями функции , .

Определение. Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю

Если указанный предел в точке х0 для заданной функции не существует, то и производная этой функции в точке х0 не существует.

Нахождение производной функции y=f(x) называется дифференцированием.

Выясним геометрический смысл производной. Для этого рассмотрим график функции y=f(x).

На рис. показаны приращение ?х=МN и приращение функции y=f(x), ?y=BС, из которых видно, что отношение где б - угол наклона хорды M1N к оси Ох. При условии ?х >0 хорда M1N будет поворачиваться вокруг точки А и в предельном положении займет положение касательной MN1. Отсюда видно, что отношение в предельном случае станет равным тангенсу угла б1 наклона касательной MN1 к оси Ох. Из этого вытекает геометрический смысл производной функции y=f(x): производная функции y=f(x) в точке х0 численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику кривой y=f(x) в точке M(х0,y0) кривой, соответствующей значению х=х0 , y0=f(x0).



Производная сложной функции

Функция вида называется сложной функцией, составленной из функций f и g, или суперпозицией функций f и g.

Например, функция есть сложная функция, составленная из функций u=3x2-2 и cosu. Можно показать, что если функция f и g непрерывны, то и сложная функция непрерывна.

Сложную функцию часто пишут в виде y=g(u), где u=f(x), при этом аргумент х называют независимой переменной, а u - промежуточным аргументом.

Теорема. Если функция u=f(x) дифференцируема в некоторой точке х, а функция y=g(u) определена на множестве значений функции «u» и дифференцируема в точке u=f(x), то сложная функция в данной точке «х» имеет производную, которая находится по формуле

или

Например, найти производную функции . Обозначим u=3x2-2, получим y=cosu. Найдем: По формуле имеем

Формулы дифференцирования

Нахождение производной функции непосредственно по определению занимает много времени и часто связано с большими трудностями. Поэтому выводится ряд формул, с помощью которых можно проще и с минимальной затратой времени дифференцировать различные функции. Приведем без вывода основные формулы дифференцирования. Условимся буквами U, V - обозначать дифференцируемые функции независимой переменной х, а буквами С, б , а - константы.

(C)?=0

где y=g(u), u=f(x).

Таблицу производных приведем для сложной функции:

.

.

Понятие дифференциала функции, геометрический смысл дифференциала

Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке х0, то из определения производной следует, что , где б - бесконечно малая при ?х >0. Тогда и является линейной функцией от ?х. Поэтому говорят, что величина составляет главную часть приращения функции y=f(x) в точке х0.

Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке х0 называется линейная относительно ?х функция , составляющая главную часть приращения функции в точке х0.

Дифференциал dx независимого переменного х совпадает с его приращением ?х, т.е.dx=?х, поэтому

 или

Основные свойства дифференциала непосредственно вытекают из свойств производной:

d

d

d

d

d

Пусть y=f(x) - дифференцируемая в точке х0 функция. М0Т - касательная к графику функции y=f(x) в точке М0. Из прямоугольного треугольника M0NT находим , но . Поэтому

Таким образом, дифференциал функции y=f(x) точке х0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке (х0,f(x0), соответствующему приращению ее абсциссы х0 на ?х.

II. Интегральное исчисление

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция F(x), требуется найти ее производную. Однако часто приходится решать и обратную задачу: дана функция f(x), требуется найти функцию F(x) такую, что F.

Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение. Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если при каждом значении х в рассматриваемом интервале производная функции F(x) равна f(x): F.

Так, для функции f, первообразной является

F

Нетрудно заметить, что первообразная х3 не является единственной для функции 3х2. В самом деле, в качестве первообразной можно взять и функции:

х3+5, х3-2 и вообще х3+с, где с - произвольная постоянная, потому что (х3+с)ґ=3х2.

Теорема. Если F(x) и две разные первообразные одной функции f(x), то они отличаются на постоянную величину.

По определению производной F и

Тогда или , т.е. производная функции , следовательно, g(x) постоянная, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если F(x) есть некоторая первообразная функции f(x), то выражение F(x)+C, где С - постоянная, определяет любую первообразную функцию f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции.

Неопределенный интеграл обозначается ,

где f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал - подынтегральному выражению

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Действительно, с другой стороны,

3. Интеграл от конечной алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от этих функций

x.

Действительно, с другой стороны

4. Вид интеграла не меняется при переходе от переменной х к переменной u, где u -дифференцируемая функция х. Поэтому, если , то и

Основные методы интегрирования

1) Метод разложения. Этот метод основан на третьем свойстве неопределенного интеграла. При этом подынтегральная функция представляется в виде алгебраической суммы нескольких функций, интегралы от которых вычисляются достаточно просто.

2) Метод подстановки (замены переменной).

Пусть необходимо вычислить интеграл Введем новую переменную х=ц(t), где ц(t) - дифференцируемая функция аргумента t. Тогда f(x)=f(ц(t)) и dx= цґ(t)dt, а все подынтегральное выражение f(x)dx=f(ц(t))цґ(t)dt. Следовательно,

Исходный интеграл сведен к интегралу, который при удачном выборе ц(t) будет более простым.

3) Метод интегрирования по частям.

Если u(x) и v(x) есть дифференцируемые функции, то d(uv)=udv+vdu, откуда udv=d(uv)-vdu. Интегрируя последнее равенство, получим

Эта формула выражает суть метода, позволяющего переходить от к интегралу , который часто оказывается более простым.

4. Таблица неопределенных интегралов

Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то для того, чтобы проверить, правильно ли найден данный интеграл, достаточно продифференцировать найденную первообразную. Если при этом получим подынтегральную функцию, то интеграл найден верно.

Используя формулы дифференцирования, можно составить таблицу основных интегралов:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

5. Определенный интеграл. Геометрический смысл

Пусть требуется вычислить площадь S фигуры, ограниченной прямыми x=a и x=b, осью 0х, графиком функции y=f(x).

Разобьем произвольно отрезок точками a=x0<x1<x2<…<xn=b. Из точек разбиения восстановим перпендикуляры к оси 0х до пересечения с графиком функции f(x), ограничивающим рассматриваемую фигуру сверху. Тогда площадь фигуры разделится на “n” узких трапеций с основаниями, равными где i=1,2,…,n. Эти трапеции тоже являются криволинейными. Заменим каждую из них соответствующим прямоугольником с основанием ?xi и с высотой, равной значению функции в произвольно взятой точки из интервала . Тогда площадь такого прямоугольника .

Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади исходной фигуры:

Выполняя дробление отрезка на более мелкие интервалы так, чтобы длина наибольшего из них (обозначим через л) стремилась к нулю и, суммируя площади полученных прямоугольников, получим в пределе точное значение площади исходной фигуры:

Эта величина называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку и обозначается .

Итак, .

Если интегрируемая на отрезке функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, т.е.

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла

Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, а числа a и b принадлежат этому промежутку.

Определение. Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x)+C при изменении аргумента от x=a до x=b называется определенным интегралом от a до b функции f(x):

Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Числа a и b называются пределами интегрирования, а - нижним, b - верхним. Отрезок называется отрезком интегрирования.

Следует заметить, что определенный интеграл зависит только от интегрируемой функции f(x) и пределов интегрирования a и b, но не от того, какой буквой обозначается переменная интегрирования.

Основные свойства определенного интеграла рассматриваются лишь для непрерывных и, следовательно, интегрируемых на отрезке функций.

1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

2) Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

3) Если то

4) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:

Площади плоских фигур

1. Если функция f (х) неотрицательна на отрезке [а, b], то площадь S под кривой у =f (х) на [а, b] (площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у =f (х) и прямыми х = а, х = b, у = 0) ( рис.1) численно равна определенному интегралу от/(х) на данном отрезке:

(геометрический смысл определенного интеграла).

2. Если функция у =f (х) -- неположительна на отрезке [а, b], то площадь S над кривой у =f (x) на [а, b] (см. рис. 2) равна определенному интегралу от f (х) на [а, b], взятому со знаком «минус»:

Рис 1.

3. Если f2 (x) ?f1 (x) на отрезке [а,

b], то площадь S фигуры, заключенной между кривыми у =f2(х) и у = f1(х) на этом отрезке ( рис. 3) определяется формулой

Рис.2

Рис. 3

III. Ряды

Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда

Совокупность чисел, каждое из которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью: u1, u2,….,un,…

Бесконечным числовым рядом (или просто числовым рядом) называется бесконечная последовательность чисел, соединенных между собой знаками сложения:

u1+u2+…..+un+… =

Числа u1, u2, … называются членами ряда, а член un - общим членом ряда

Сумма первых «n» членов числового ряда называется его n-й частичной суммой и обозначается через Sn:

Если существует конечный предел последовательности его частичных сумм то этот ряд называется сходящимся и число S называется суммой ряда, и пишут

Если же конечного предела частичных сумм не существует или он бесконечен, то числовой ряд называется расходящимся. Расходящиеся ряды суммы не имеют.

Теория числовых рядов преследует две цели:

1) Установление сходимости или расходимости числовых рядов.

2) Вычисление суммы сходящегося ряда.

В принципе обеих целей можно достигнуть, опираясь непосредственно на определение сходимости и суммы ряда.

Рассмотрим ряд из членов бесконечной геометрической прогрессии, для которой а1?0: .

Если |q|<1, то и

то при и

Следовательно, ряд сходится при |q|<1 и расходится при |q|?1.

Свойства сходящихся рядов

1) Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд , где с=const, также сходится и имеет сумму сS.

2) Если ряды и сходятся и имеют соответственно суммы S и , то ряд также сходится и его сумма равна .

3) Если отбросить (приписать) конечное число членов в начале сходящегося ряда, то полученный ряд также будет сходящимся.

3. Необходимый признак сходимости

Рассмотрим сходящийся ряд .

перейдя в этом равенстве к пределу при , получим

Мы пришли к важному заключению: если числовой ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при . Условие необходимо для сходимости ряда, т.е. если оно не выполнено (), то ряд заведомо расходится. Однако необходимый признак не является достаточным для сходимости ряда, т.е. при его выполнении ряд может расходиться.

Достаточные признаки сходимости ряда

Теорема 1. Пусть для двух рядов и известно, что , начиная с некоторого номера.

Тогда: 1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Теорема 2. Если существует предел =А?0, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Рассмотрим пример:

гармонический ряд , сходящийся при и расходящийся для

геометрический ряд (при |q| <1 он сходится, а при |q| ?1 - расходится).

Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует тогда

если D<1, то ряд сходится;

если D>1 - расходится;

D=1, то ряд может как сходиться, так и расходиться (для исследования сходимости следует применить другие признаки сходимости).

Теорема 4 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд и пусть функция f(x) такая, что f(1)=u1, f(2)=u2, f(n)=un, …, непрерывна и возрастает при х?1. Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл при некотором а?1.

Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно то положительны, то отрицательны: u1-u2+u3-…+(-1)n+1un+…, где un > 0 .

Для исследования сходимости таких рядов существует признак Лейбница: если члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают и общий член ряда стремится к 0: то данный ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена ряда, т.е.

Определение. 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение. 2. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.

Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости

Степенным рядом называется ряд вида где аn - коэффициенты степенного ряда. Полагая x-a=t, получим ряд который и будем изучать в дальнейшем. Все результаты для него легко переносятся на ряд обратной заменой t=x-a.

Областью сходимости степенного ряда называется совокупность всех значений, при которых ряд сходится.

Число R -- такое, что при |х| < R ряд сходится, а при |х| > R - расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда.

Интервал (-R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда. При х = -R, х = R ряд может как сходиться, так и расходиться

Используя признак Даламбера, можно получить радиус сходимости

Степенной ряд сходится абсолютно в области -R<t<R, которая называется интервалом сходимости и расходится при t<-R и t>R. В точках ряд может как сходиться, так и расходиться.

Обращаем внимание на то, что при исследовании сходимости степенного ряда на концах интервала сходимости в ситуации, когда полeчаемый ряд -- с положительными членами, применять признак Даламбера не имеет смысла, так как при этом всегда будем получать с нерешенным вопросом о сходимости ряда: в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости (например, признак сравнения, интегральный, необходимый признаки и т.д.)

интеграл дифференциальный уравнение вероятность

IV. Дифференциальные уравнения

Порядок дифференциального уравнения, общее и частное решение

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию этой переменной y=y(x) и ее производные и т.д.

Определение. Порядок старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Таким образом, общий вид дифференциального уравнения n-го порядка

Решением дифференциального уравнения называется функция которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Различают общее и частное решение дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция зависящая от “n” произвольных постоянных с1,с2,..,сn и являющаяся при любых значениях этих постоянных решением данного дифференциального уравнения.

Определение. Решение дифференциального уравнения, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Для того, чтобы из множества решений дифференциального уравнения, определяемого общим решением, выделить вполне определенное частное решение, нужно на решение наложить “n” дополнительных условий. Чаще всего такие условия являются начальными условиями: в заданной точке х0 задаются значения искомого решения и его производных до (n-1)-го порядка включительно:

где - заданные числа.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Для решения разделим обе части уравнения на произведение полагая, что

Тогда

- уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть записано в виде

для некоторой функции g. Уравнение

является однородным, если функция f(x,y) однородна степени ноль по переменным x,y. Замена переменной z=y/x сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка F(x,y,yґ)=0 или

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида где P(x), Q(x) - непрерывные функции от х.

При Q(x)?0 уравнение называется линейным неоднородным, а при Q(x)=0 - линейным однородным.

Линейное дифференциальное уравнение можно решать методами Бернулли и вариации произвольных постоянных.

Метод Бернулли состоит в том, что решение уравнения ищется в виде y=u(x)v(x), где u(x), v(x) - неизвестные функции. Тогда уравнение можно привести к виду или

Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно (поскольку лишь произведение u v должно удовлетворять исходному уравнению), за v(x) примем любое частное решение уравнения vґ+P(x)v=0.

Тогда уравнение примет вид

или

Из него находится u(x). Тогда, умножая u(x) на v(x), находим решение уравнения.

В некоторых случаях дифференциальное уравнение первого порядка удобно записывать в виде

или

где - известные функции.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка существенно зависит от одной произвольной постоянной С: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка заключается в том, чтобы найти решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Построенный на плоскости x0y график решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению дифференциального уравнения первого порядка на плоскости x0y соответствует семейство интегральных кривых, зависящие от произвольной постоянной С.

Частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0)=y0, соответствует кривая этого семейства, проходящая через заданную точку M0(x0;y0).

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Если дифференциальное уравнение имеет вид

G (x, y',y'')= 0,

т.е. в запись уравнения не входит искомая функция у = у (х), то понижение порядка достигается с помощью замены z = у'. Если уравнение имеет вид

G(у,у',у') = 0,

пользуется замена z = у', причем z рассматривается как функция переменной у.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида yґґ+a1yґ+a2y=f(x).

Если f(x)?0, то уравнение называется линейным неоднородным, если же f(x)?0 - однородным.

Рассмотрим решение линейного однородного уравнения. Для нахождения его общего решения составим характеристическое уравнение:

k2+a1k+a2=0

и найдем его корни. Возможны три случая, в зависимости от дискриминанта:

1) если k1,k2 - действительные, различные, т.е. D=a21-4a2>0, то общее решение уравнения имеет вид

2) если k1=k2=k - корни характеристического уравнения действительные и равные, то в этом случае общее решение уравнения имеет вид

3) если D<0; k1=a+ib, k2=a-ib - корни комплексные, сопряженные, то общее решение уравнения имеет вид

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения определяется формулой

где y0(x) - общее решение соответствующего однородного уравнения, y(x) - некоторое частное решение данного неоднородного линейного уравнения.

Частное решение линейного неоднородного уравнения может быть найдено методом неопределенных коэффициентов или методом вариации произвольных постоянных.

Метод неопределенных коэффициентов можно применять к уравнениям лишь со специальным видом правой части, а именно

где - многочлен степени n.

Тогда частное решение уравнения примет вид

,

где Qn(x) - многочлен той же степени n, но с неопределенными коэффициентами; S - кратность «б» как корня характеристического уравнения, т.е. S=0, если б не является корнем характеристического уравнения;

S=1, если б=k1 или б=k2;

S=2, если б=k1=k2.

Рассмотрим частные случаи:

т.е. б=0, n=0.

Тогда y(x)=Bxs, где B - некоторая константа; S - кратность корня б=0 как корня характеристического уравнения.

, т.е. n=0, тогда , где С - некоторая константа, S - кратность корня б.

где S - кратность корня б.=0, Qn(x) - многочлен той же степени, но с неопределенными коэффициентами.

Если тогда частное решение будет иметь вид

где S=0, если б±нв является корнем уравнения,

S=1, если б±нв является корнем уравнения.

Рассмотрим частный случай f(x)=Mcos вx+Nsin вx, б =0, тогда

S - кратность корня

V. Аналитическая геометрия на плоскости

Уравнение линии

Пусть на плоскости задана некоторая линия ?. Выберем какую-либо декартову прямоугольную систему координат 0xy. Уравнение

F(x,y)=0

называют общим уравнением линии ? в системе координат 0xy, если ему удовлетворяют координаты любой точки М, принадлежащей линии ?, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой линии.

Прямая на плоскости задается различными уравнениями:

Общее уравнение прямой: Ах+Ву+C=0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx + b,

где к - угловой коэффициент

Уравнение прямой в отрезках на осях:

где а и b - величины отрезков отсекаемых прямой на осях Ох и Оу.

4.Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1,y1) в данном направлении, определямом угловым коэффициентом к:

у-у1=k(х-х1)

Это уравнение определяет прямые, не параллельные оси Оу, проходящие через точку А(х1у1).

5.Уравнение прямой, проходящей через две точки А(х1у1) и В(х2,у2), записывается так:

<=>

где угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле:

6. Параметрические уравнения прямой:

7.Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:

у=k1x + bb

у=k2х + b2,

то угол между ними б определиться по формуле:

Условие параллельности двух прямых: k1=k2

Условие перпендикулярности двух прямых:

k1k2=-1 или

10.Расстояние d от данной точки A1(x1,y1) до данной прямой Ах+By+С=0 вычисляется по формуле:

VI. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Постановка задачи

Систему уравнений вида

…………………………

будем называть системой m линейных уравнений с n неизвестными х1,х2,..,хn.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы

называемой матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений системы, образуют столбец, называемый столбцом свободных членов.

Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и обозначается

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, система называется однородной.

Совокупность чисел называется решением системы, если каждое уравнение системы обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел вместо соответствующих неизвестных xi для всех i=1,2,…,n.

Задача состоит в нахождении решений системы, причем заранее не делается никаких предположений относительно коэффициентов, свободных членов, числа уравнений и числа неизвестных. Поэтому могут представиться различные случаи: 1) система может вообще не иметь решения; 2) система может иметь бесконечное множество решений; 3) система имеет единственное решение.

Системы, не имеющие решений, называются несовместными, а имеющие решения - совместными.

Определители второго и третьего порядка, их вычисления и свойства

Определителем второго порядка называется число, равное разности и обозначается

Определитель второго порядка имеет две строки, два столбца, главную (11, 22) и побочную (21, 12) диагонали.

Определитель третьего порядка определяется равенством:

Выражение в правой части называют разложением определителя по элементам первой строки.

Если в определители третьего порядка вычеркнуть одну (любую) строку и любой столбец, то получим определитель второго порядка. Последний называется минором элемента, стоящего на пересечении вычеркнутых строки и столбца. Например, если вычеркнуть первую строку и второй столбец, то найдем минор элемента а12.

Алгебраическое дополнение Аij элемента аij определяется так:

где i+j - сумма номеров строки и столбца (вычеркнутых), содержащих элемент аij. Например, алгебраическое дополнение элемента а12 равно

Оперируя понятием алгебраического дополнения, определитель третьего порядка можно рассматривать как сумму произведений элементов первой строки определителя на их алгебраические дополнения.

Важными свойствами определителей являются следующие: 1) определитель можно разложить по элементам любой строки или столбца; 2) величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число; 3) определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (или столбца) матрицы; 4) определитель не меняется при транспонировании матриц.

Применение этих свойств в совокупности позволяет упростить вычисление определителя. Идея состоит в том, чтобы в какой-либо строке или столбце получить два нуля и затем воспользоваться разложением определителя по элементам выбранной строки или столбца.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Рассмотрим простейший случай, когда число неизвестных равно числу уравнений, n=m. При этом наложим определенные условия на коэффициенты системы, чтобы все уравнения системы были в определенном смысле независимы. Известно, что если одно уравнение системы умножить на число б, а второе на число в и затем сложить эти уравнения почленно, то полученное уравнение, называемое линейной комбинацией исходных уравнений, является их следствием.

Поставим условие, чтобы в исходной системе ни одно уравнение не являлось линейной комбинацией остальных. В этом случае будем говорить, что уравнения линейно независимы.

В случае n=m для линейной независимости уравнений системы достаточно потребовать, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Теорема (правило Крамера). Система «n» уравнений с «n» неизвестными в случае, когда определитель матрицы системы отличен от нуля, имеет решение, и притом только одно. Это решение находится по формулам

где D - определитель матрицы системы;

Di - определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменной i-го столбца столбцом свободных членов, т.е.



Метод Гаусса

В случае, когда система содержит три и более трех уравнений, используют метод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных и приведении исходной системы к так называемому ступенчатому виду.

Покажем применение этого метода на системе трех уравнений с тремя неизвестными:

Пусть 11 ? 0, (если 11 = 0, то, изменив порядок уравнений, можно выбрать первым такое уравнение, в котором коэффициент при х1 не равен нулю). Путем последовательных исключений приводим исходную систему к ступенчатому виду.

Первый шаг: делим первое уравнение системы на 11; умножаем полученное уравнение на 21 и вычитаем из второго; затем умножаем на 31 и вычитаем из третьего. В результате получаем систему:

где коэффициенты получаются из aij по формулам:



=- (i=2,3; j=2,3).

Второй шаг: с полученными уравнениями поступаем точно так же, как и с уравнениями на первом шаге. В результате исходная система преобразуется к виду:

Из преобразованной системы неизвестные определяются последовательно обратным ходом.

Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система приводится к треугольному виду, в котором последнее уравнение содержит одно неизвестное. В случае неопределенной системы, в которой число неизвестных больше числа линейно независимых уравнений, треугольная система не получается, так как последнее уравнение содержит более одного неизвестного.

Если система уравнений несовместна, то после ее приведения к ступенчатому виду она содержит хотя бы одно уравнение вида 0=1, т.е. уравнение, в котором при неизвестных стоят нулевые коэффициенты, а правая часть отлична от нуля. Такая система не имеет решений.

VII. Теория вероятностей

Случайные события и операции над ними

Теория вероятностей изучает эксперименты со случайными исходами. Например: подбрасывание монеты, подбрасывание игральной кости; выстрел по цели. Случайные исходы этих опытов: выпадение герба, выпадение шести очков, попадание в цель и т.д.

Определение. Случайным событием называется такой исход эксперимента или наблюдения, который при реализации опыта (некоторого комплекса условий) может произойти, а может и не произойти.

Событие, которое в результате реализации опыта обязательно произойдет, называется достоверным и обозначается U, а событие, которое произойти не может, называется невозможным и обозначается V. Например, при подбрасывании монеты событие U: монета обязательно упадет; событие V: монета повиснет в воздухе.

Виды событий

Достоверное событие - это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания.

Невозможное событие - это событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания).

Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными.

Совместные события. Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других.

Несовместные события. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появления других.

Единственно возможные события. События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два, или ... или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут; одно точно произойдет).

Противоположные события. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными.

Равновозможные события. Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие.

Множество всех возможных исходов данного опыта называется пространством элементарных событий. Например, подбрасываем монету. Элементарных событий два: Г - выпал «герб», Р - выпала «решка». Пространство элементарных событий U= {Г,Р}. Поскольку какое-нибудь из событий Г и Р обязательно произойдет. то множество U представляет собой универсальное множество и достоверное событие.

Над событиями можно производить операции, аналогичные операциям над множествами.

Определение. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и, наоборот.

Например, при бросании двух игральных костей равными оказываются события: А1 - выпадает четная сумма очков и А2 - на каждой грани выпадают очки одной и той же четности.

Определение. Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.