Основные приемы интегрирования
Рассмотрение основных способов решения задач на вычисление неопределенных и определенных интегралов по формулам Ньютона-Лейбница и Симпсона. Ознакомление с примерами нахождения области, ограниченной линиями, и объема тела, ограниченного поверхностями.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.03.2014 |
| Размер файла | 194,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1
Найти неопределенные интегралы
Решение:
Сделаем замену
Воспользуемся формулой интегрирования по частям.
Вычислим получившиеся интегралы по отдельности:
Для последующих действий вычислим производную знаменателя
Значит, можем воспользоваться формулой:
Воспользуемся формулой интегрирования по частям.
Задание 2
Вычислить определенный интеграл:
- по формуле Ньютона-Лейбница;
- по формуле Симпсона с точностью 0,01, n = 10;
Решение:
Формула Ньютона-Лейбница
Сделаем замену
Формула Симпсона:
Разобьем интервал на 10 промежутков
|
х |
f(x) |
(xi+xi+1)/2 |
f((xi+xi+1)/2) |
|
|
0 |
0,5 |
|||
|
0,7 |
0,456 |
0,35 |
0,475 |
|
|
1,4 |
0,428 |
1,05 |
0,440 |
|
|
2,1 |
0,407 |
1,75 |
0,416 |
|
|
2,8 |
0,391 |
2,45 |
0,398 |
|
|
3,5 |
0,377 |
3,15 |
0,384 |
|
|
4,2 |
0,366 |
3,85 |
0,371 |
|
|
4,9 |
0,356 |
4,55 |
0,361 |
|
|
5,6 |
0,348 |
5,25 |
0,352 |
|
|
6,3 |
0,340 |
5,95 |
0,344 |
|
|
7 |
0,333 |
Формула Симпсона:
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Симпсона:
Разобьем интервал на 10 промежутков
|
х |
f(x) |
(xi+xi+1)/2 |
f((xi+xi+1)/2) |
|
|
1 |
5,745 |
|||
|
2 |
6,000 |
1,5 |
5,852 |
|
|
3 |
6,403 |
2,5 |
6,185 |
|
|
4 |
6,928 |
3,5 |
6,652 |
|
|
5 |
7,550 |
4,5 |
7,228 |
|
|
6 |
8,246 |
5,5 |
7,890 |
|
|
7 |
9,000 |
6,5 |
8,617 |
|
|
8 |
9,798 |
7,5 |
9,394 |
|
|
9 |
10,630 |
8,5 |
10,210 |
|
|
10 |
11,489 |
9,5 |
11,057 |
|
|
11 |
12,369 |
Формула Симпсона:
Задание 3
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение:
Значит, можем воспользоваться формулой:
Воспользуемся формулой интегрирования по частям.
Интеграл расходится.
Задание 4
1. Вычислить площадь фигуры ограниченной кардиоидой
Решение:
Сделаем чертеж:
|
0 |
||||||||||
|
6 |
5,598 |
5,121 |
4,5 |
3 |
1,5 |
0,879 |
0,402 |
0 |
|
0,402 |
0,879 |
1,5 |
3 |
3,776 |
4,5 |
5,598 |
6 |
На промежутке
Вычислим площадь фигуры с пределами интегрирования а= и b= 0.
Ответ:
Задание 5
интеграл ньютон симпсон линия
Вычислить криволинейный интеграл
,
где L - путь, соединяющий точки А(1; 0) и В(0; 1) по
1) прямой ;
2) ломаной линии АСВ, где С(1; 1);
3) окружности
Решение:
1.
2.
Разбиваем замкнутый путь АСВА на три участка АС, СВ, ВА
На участке ОВ принимаем за параметр ординату, при этом х=1, dx=0, на участке СВ, абсциссу, при этом у=1, dy=0, на участке ВА ординату, при чем х=у, dx=dy
3. окружности
Задание 6
В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.
Решение:
Сделаем чертеж области D:
I способ:
Расставим пределы интегрирования:
II способ:
Задание 7
С помощью двойного интеграла в полярных координатах найти область ограниченной данными линиями. Сделать чертеж.
Решение:
Сделаем чертеж:
Ответ:
Задание 8
Найти объем тела, ограниченного поверхностями с помощью тройного интеграла:
Решение:
Сделаем чертеж:
Ответ:
Список использованной литературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ: Астрель, 2006. - 991с.
2. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Под ред. А. И. Кирилова. - 3-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 368с.
3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 509с.
4. Красс М.С., Чупрыков Б.П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер 2007. - 464с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015Изменение порядка интегрирования функции. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск предела интегрирования. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [249,8 K], добавлен 28.03.2014Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.
контрольная работа [166,9 K], добавлен 28.03.2014Рассмотрение задач численного интегрирования по простейшим формулам. Понятие тройных интегралов и их применение для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 17.12.2013Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011Расчет неопределенных интегралов по частям и по формуле Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственного интеграла или доказательство его расходимости. Расчет площади фигуры, ограниченной кардиоидой. Расстановка пределов двумя альтернативными способами.
контрольная работа [251,2 K], добавлен 28.03.2014Изменение порядка интегрирования функции. Поиск предела интегрирования. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций. Поиск объема тела, ограниченного поверхностями. Определение производной скалярного поля в точке по направлению вектора.
контрольная работа [233,2 K], добавлен 28.03.2014Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.
контрольная работа [111,8 K], добавлен 28.03.2014Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
контрольная работа [25,8 K], добавлен 27.05.2004Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010
