Аналитическая математика

Задача № 1

Пусть . Найти: .

Решение.

Задача № 2

Исследовать функцию и построить ее график: .

Решение.

1) Область определения данной функции - вся числовая ось, т.к. дискриминант знаменателя , то он не обращается в нуль ни при каких значениях x.

2) Исследуем функцию на четность: , т.е. , т.е. данная функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

- точка пересечения с осью , - с осью .

4) Асимптоты.

Т.к. функция определена на всей числовой прямой, то- вертикальных асимптот нет.

- наклонных асимптот нет.

Горизонтальные асимптоты:

- горизонтальная асимптота при

5) Экстремумы, промежутки возрастания и убывания.

Исследуем ее на возрастание и убывание на каждом промежутке:

6) Промежутки выпуклости, точки перегиба.

Уравнение не имеет рациональных корней. Корни ищем приближенно. Подбирая первый корень, получим, что при остаток равен 0,00005385, т.е. практически равен нулю.

Разделим трехчлен на :

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

Вычислим значение функции в каждой полученной точке и округлим полученные значения:

Устанавливаем промежутки выпуклости графика функции и находим точки его перегиба.

Схематичный график данной функции:

Задача № 3

Найти пределы.

Решение.

а)

т.к.

б)

т.к.

Задача № 4

Найти производные.

Решение.

Задача № 5

Вычислить площадь фигуры ограниченной кривой и осью .

Решение.

Данная кривая является параболой с вершиной в точке , осью симметрии и пересекает ось в точках .

Чтобы найти площадь, выразим сначала y через x:

Площадь найдем как удвоенный интеграл по верхней части кривой:

.

Ответ: Площадь фигуры ограниченной кривой и осью равна .

Задача № 6

Вычислить интегралы.

Решение.

Задача № 7

Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

Решение.

Задачу решим по формуле Бернулли .

У нас: .

Значит .

Ответ. Вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы, равна 0,2304.

Задача № 8

Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше 3; в) не меньше 3; г) не меньше 5.

Решение.

а)

б) .

в) .

г) .

Задача № 9

Используя данные распределения по возрасту лиц, осужденных за тяжкие телесные преступления, вычислить следующие характеристики вариационного ряда: объем совокупности, относительные частоты, среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, максимальное и минимальное значение ряда, вариационный размах.

Таблица 1.

Решение.

Объем совокупности равен 61, максимальная величина - 30, минимальная - 16, вариационный размах: 30 - 16 = 14.

При нахождении остальных характеристик, результаты вычислений будем заносить в таблицу 2. Чтобы найти относительную частоту, делят частоту данной варианты (графа 1) на объем совокупности, т.е. на . Результаты заносим в графу 3. Сумма относительных частот равна 1.

Таблица 2.

Дисперсию находим по формуле . Для этого в графу 6 заносим квадраты разностей отклонений, умноженные на соответствующие частоты и поделенные на объем совокупности. (Разность графы 1 и среднего значения возводим в квадрат, умножаем на графу 2 и делим на 61). Например, первая строка: . Затем суммируем по столбцу и получаем значение дисперсии: .

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, у нас .

Коэффициент вариации найдем по формуле: . В графу 5 будем заносить результаты деления на объем совокупности абсолютной величины отклонения, умноженную на соответствующую частоту. (Абсолютную величину разности графы 1 и среднего значения умножаем на графу 2 и делим на 61).Например, первая строка: .

Получили

Ответ. Объем совокупности равен 61, максимальная величина - 30, минимальная - 16,

вариационный размах - 14, относительные частоты - графа 3 таблицы 2, дисперсия ,

среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации .