Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Z1,Z2 - комплексные числа. Выполнить действия А)Z1+Z2, Б)Z1*Z2, В)Z1/Z2

Задание: Z1=3+2i, Z2=-3+4i

Решение:

А) Z1+Z2=(3+2i)+(-3+4i)=(3-4)+(2+4)i=-1+6i

Б) Z1*Z2=(3+2i)*(-3+4i)=3*(-3)-6i+12i+8i2=(-9-8)+(-6+12)i=-17+6i

В) Z1/Z2=(3+2i)/(-3+4i)=(3*(-3)+2*4)/((-3)2+42)+((2*(-3)-3*4)/(-3)2+42))i= (-9+8)/(9+16)+((-6-12)/(9+16))i=-1/25-(18/25)i

Задание 2

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.

Решение: комплексное число на комплексной плоскости находится в 4 четверти.

Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

|Z|=v(x2+y2) = v(12 +(-1)2 ) = v2 ,

argZ=arctg x/y= arctg(-1)=-р/4

Z=1-i=v2(cos(-р/4)+isin(-р/4))

Запишем комплексное число в показательной форме:

e iц = cos ц + i sin ц

z = |z|·e i arg z = |z|·e i arg z = |z|·e i·ц

Так, Z = v2e(-р/4)i



Задание 3

Вычислить указанные пределы, не используя правило Лопиталя.

Задание:

Решение:

Задание 4

Найти производные функции.

y=3x2-arcsin x+1/x5



Решение:

Б) y = ln(x3+3x)

Решение:

tgx

В) y = -----

x2

Решение:

г) y=(3x-4)6

Решение:

((3x-4)6)` = 6(3x-4)5 * (3x-4)` = 6(3x-4)5 8 ((3x)`+ (-4)`) = 63x (3x-4)5ln3

Задание 5

С помощью дифференциала найти приближенное значение функции



Решение:

А)Ln0.13

f(x+?x) ? f(x)+f `(x)?x

ln0.13 ? f(1)+f `(1)*(-0.87) =0+1*(-0.87) = -0.87

Б)sin610

f(x+?x) ? f(x)+f `(x)?x

sin 610 ? sin 600+(sin 600)`* (sin 10) = sin р/3 + cos р/3 * р/180 = v3/2+1/2*р/180 = v3/2+р/360 = 0.8746

Задание 6

Для функции z=f(x,y) найти частные производные первого и второго порядков.

Задание:

5x+2y

Z = -----------

3x-y

Решение:



Задание 7

Вычислить неопределенные интегралы.

А) ?xe-3xdx

Решение:

?xe-3xdx = ?(- 1/3•xe-3x)d(-3x) = -1/3?xe-3xd(-3x) = 1/3?xd(e-3x) = -1/3•xe-3x+1/3?e-3xdx = -1/3•xe-3x+1/3?(-1/3•e-3x)d(-3x) = -1/9?e-3xd(-3x)-1/3•xe-3x = -1/9•e-3x-1/3•xe-3x = -1/9•e-3x(1+3x)

Задание 8

Решить задачи комбинаторики.

Коллектив, включающий 4 женщин и 3 мужчин, разыгрывает 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

Решение:

Пусть А - событие, которое необходимо найти.

C47 число сочетаний из 7 элементов по 4.

2 женщин из 4 можно выбрать С24 способами.

2 мужчин из 3 можно выбрать С23 способами.



Задание 9

комбинаторика производная материальный затраты

Рассчитать с помощью межотраслевого балансового метода следующие показатели:

Коэффициенты прямых материальных затрат.

Коэффициенты полных затрат.

Коэффициенты косвенных затрат.

Сбалансированные объемы производства в каждом цехе (валовой оборот), исходя из запланированного объема конечной продукции.

Трудовые затраты в каждом цехе на плановый период.

Затраты сырья и материалов на плановый период.

Величины материальных потоков между цехами.

На следующий год планируется выпуск товарной продукции 1-го цеха увеличить на 50%, а в остальных цехах оставить без изменения.

Построить баланс производства и распределения продукции на плановый период.

Проверить выполняется ли основное соотношение баланса.

Наименование показателей	Внутрипроизводственное потребление по цехам	Внутризаводской оборот	Товарная продукция	Валовой оборот
	№1	№2	№3
Цех №1	10	10	20	40	60	100
Цех №2	30	25	0	55	45	100
Цех №3	20	0	30	50	150	200
Сырье и основные материалы, тыс. руб.	200	400	500
Затраты труда, тыс. нормо-час.	100	150	200

Найдем матрицу полных затрат В=(Е-А)-1



Матрица косвенных затрат первого порядка А(1) = А2. Используя правило умножения матриц, получим:



Так как планируется увеличить выпуск продукции 1-го цеха на 50%, то вектор-столбец объемов конечного потребления имеет вид:

Найдем объемы производства:

Найдем распределение продукции каждого цеха по другим цехам:

138=0,1*138+0,1*116+0,1*211+90

116=0,3*138+0,25*116+0*211+45

211=0,2*138+0*116+0,15*211+150

137=14+12+21+90

116=42+29+0+45

210=28+0+32+150

Таким образом, баланс производства и распределения продукции на плановый период имеет вид:

Наименование показателей	Внутрипроизводственное потребление по цехам	Внутризаводской оборот	Товарная продукция	Валовой оборот
	№1	№2	№3
Цех №1	14	12	21	47	90	137
Цех №2	42	29	0	71	45	116
Цех №3	28	0	32	60	150	210



Рассчитаем затраты труда на плановый период по каждому цеху:

L = (100,150,200) - вектор затрат труда за отчетный период

100

X= 100 - валовой оборот отчетного периода

200

Коэффициенты затрат труда

t1 = 100/100=1

t2 = 150/100 = 1.5

t3 = 200/200 = 1

Следовательно, вектор коэффициентов затрат труда имеет вид:

t=(1;1,5;1)

137

X`= 116 - валовой оборот планового периода

210

L1` = 1*137=137

L2` = 1.5*116 = 174

L3` = 1*210 = 210

L` = (137;174;210) - вектор затрат труда на плановый период.

Рассчитаем затрат сырья и материалов на плановый период в каждом цехе.

Ф = (200;400;500) - вектор затрат сырья и материалов за отчетный период.



100

X= 100 - валовой оборот отчетного периода.

200

Коэффициенты затрат сырья и материалов:

f1 = 200/100 = 2

f2 = 400/100 = 4

f3 = 500/200 = 2.5

Вектор коэффициентов затрат сырья и материалов имеет вид:

f =(2;4;2,5)

137

X`= 116 - валовой оборот планового периода

210

Затраты сырья и материалов:

Ф1`= 137*2 = 274

Ф2`= 116*4 = 464

Ф3`= 210*2.5 = 525

Окончательный баланс на плановый период имеет вид:

Наименование показателей	Внутрипроизводственное потребление по цехам	Внутризаводской оборот	Товарная продукция	Валовой оборот
	№1	№2	№3
Цех №1	14	12	21	47	90	137
Цех №2	42	29	0	71	45	116
Цех №3	28	0	32	60	150	210
Сырье и основные материалы, тыс. руб.	274	464	525
Затраты труда, тыс. нормо-час.	137	174	210

Задание 10

Определить, используя оптимальное планирование (симплексный метод), какой ассортимент товара надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной.

Вид ресурса	Затраты ресурса на единицу товара	Запас ресурса
	1	2	3
Сырье, кг.	4	2	2	200
Рабочая сила, ч.	2	0	4	200
Оборудование, станко-час.	6	4	8	500
Прибыль, руб.	5	2	4

Определим максимальное значение целевой функции

F(X) = 5x1+2x2+4x3 4x1+2x2+2x3?200

2x1+4x3?200

6x1+4x2+8x3?500

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x6.

4x1 + 2x2 + 2x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 200

2x1 + 0x2 + 4x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 200

6x1 + 4x2 + 8x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 500



Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

422100

А = 204010

648001

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x4, x5, x6,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,200,200,500)

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	200	4	2	2	1	0	0
x5	200	2	0	4	0	1	0
x6	500	6	4	8	0	0	1
F(X0)	0	-5	-2	-4	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	200	4	2	2	1	0	0	50
x5	200	2	0	4	0	1	0	100
x6	500	6	4	8	0	0	1	83.33
F(X1)	0	-5	-2	-4	0	0	0	0

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	50	1	0.5	0.5	0.25	0	0
x5	100	0	-1	3	-0.5	1	0
x6	200	0	1	5	-1.5	0	1
F(X1)	250	0	0.5	-1.5	1.25	0	0

Итерация №1.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.



Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x1	50	1	0.5	0.5	0.25	0	0	100
x5	100	0	-1	3	-0.5	1	0	33.33
x6	200	0	1	5	-1.5	0	1	40
F(X2)	250	0	0.5	-1.5	1.25	0	0	0

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	33.33	1	0.67	0	0.33	-0.17	0
x3	33.33	0	-0.33	1	-0.17	0.33	0
x6	33.33	0	2.67	0	-0.67	-1.67	1
F(X2)	300	0	0	0	1	0.5	0

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план. Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x1	33.33	1	0.67	0	0.33	-0.17	0
x3	33.33	0	-0.33	1	-0.17	0.33	0
x6	33.33	0	2.67	0	-0.67	-1.67	1
F(X3)	300	0	0	0	1	0.5	0

Оптимальный план можно записать так:

x1 = 33.33, x3 = 33.33, x6 = 33.33

F(X) = 5*33.33 + 4*33.33 = 300



Задача 11

Составить план выпуска продукции, удовлетворяющий принятым ограничениям и приносящий максимум прибыли после реализации выпущенной продукции.

Номер ресурса	Объем ресурса (запас)	Номер продукции
		1	2
1	133	1	7
2	25	1	1
3	64	4	1
Ограничения по выпуску	15	18
Прибыль	8	6

Оценка ресурсов

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

y1+y2+4y3?8

7y1+y2+y3?6

133y1+25y2+64y3 => min

y1 ? 0

y2 ? 0

y3 ? 0

Отметим, что решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Для решения двойственной задачи используем вторую теорему двойственности.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:



1*13 + 7*12 = 97 < 133

1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y1 = 0

1*13 + 1*12 = 25 = 25

2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y2>0).

4*13 + 1*12 = 64 = 64

3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y3>0).

С учетом найденных оценок, новая система примет вид:

y2+4y3?8

y2+y3?6

25y2+64y3 => min

y1 ? 0

y2 ? 0

y3 ? 0

Решая систему, находим оптимальный план двойственной задачи:



y1 = 0

y2 = 5.33

y3 = 0.67

Z(Y) = 0*0+25*5.33+64*0.67 = 176

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Обоснование эффективности оптимального плана

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x1>0)

0*0 + 1*5.33 + 4*0.67 = 8 = 8

2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x2>0)

0*0 + 1*5.33 + 1*0.67 = 6 = 6

Задача 12

Найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки была бы минимальной.



Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	Запасы
1	1	4	5	180
2	5	2	2	300
3	6	3	8	120
Потребности	110	350	140

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

?a = 180 + 300 + 120 = 600

?b = 110 + 350 + 140 = 600

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	Запасы
1	1	4	5	180
2	5	2	2	300
3	6	3	8	120
Потребности	110	350	140

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

	1	2	3	Запасы
1	1[110]	4	5[70]	180
2	5	2[300]	2	300
3	6	3[50]	8[70]	120
Потребности	110	350	140

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть m + n - 1 = 5. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 1*110 + 5*70 + 2*300 + 3*50 + 8*70 = 1770

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

	v1=1	v2=0	v3=5
u1=0	1[110]	4	5[70]
u2=2	5	2[300]	2
u3=3	6	3[50]	8[70]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;3): 2

Для этого в перспективную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	Запасы
1	1[110]	4	5[70]	180
2	5	2[300][-]	2[+]	300
3	6	3[50][+]	8[70][-]	120
Потребности	110	350	140

Цикл приведен в таблице (2,3; 2,2; 3,2; 3,3; ).

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 3) = 70. Прибавляем 70 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 70 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	1[110]	4	5[70]	180
2	5	2[230]	2[70]	300
3	6	3[120]	8	120
Потребности	110	350	140

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

	v1=1	v2=5	v3=5
u1=0	1[110]	4	5[70]
u2=-3	5	2[230]	2[70]
u3=-2	6	3[120]	8

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;2): 4

Для этого в перспективную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	Запасы
1	1[110]	4[+]	5[70][-]	180
2	5	2[230][-]	2[70][+]	300
3	6	3[120]	8	120
Потребности	110	350	140

Цикл приведен в таблице (1,2; 1,3; 2,3; 2,2; ).

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 3) = 70. Прибавляем 70 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 70 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	1[110]	4[70]	5	180
2	5	2[160]	2[140]	300
3	6	3[120]	8	120
Потребности	110	350	140

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

	v1=1	v2=4	v3=4
u1=0	1[110]	4[70]	5
u2=-2	5	2[160]	2[140]
u3=-1	6	3[120]	8

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi <= cij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 1*110 + 4*70 + 2*160 + 2*140 + 3*120 = 1350



Список использованной литературы

1. Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики. - М., 2007.

2. Архангельский Ю.С. и др. Межотраслевой баланс. - Киев, 1998.

3. И.Ю. Колпаков, Н.В. Рогова. Элементы математического программирования: учебно-методическое пособие для студентов заочной формы обучения. - Пермь, 2009.

Размещено на Allbest.ru