Тривимірні перетворення

Наочне представлення про об'єкт та його зображення в тривимірному просторі. Порядок тривимірний зміни масштабу фігури, її зсуву та обертання. Особливості відображення елементів у просторі, просторовий перенос та тривимірне обертання навколо довільної осі.

Рубрика Математика
Вид лабораторная работа
Язык украинский
Дата добавления 19.03.2011
Размер файла 701,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Для кращого сприйняття форми об'єкта необхідно мати його зображення в тривимірному просторі. У багатьох випадках наочне представлення про об'єкт можна одержати шляхом виконання операцій обертання і переносу, а також побудови проекцій. Введемо однорідні координати. Точка в тривимірному просторі задається чотиримірним вектором чи . Перетворення з однорідних координат описується співвідношеннями

(4.1)

де T - деяка матриця перетворення.

Ця матриця може бути представлена у вигляді 4 окремих частин

Матриця 3x3 здійснює лінійне перетворення у виді зміни масштабу, зсуву й обертання. Матриця-рядок 1х3 робить перенос, а матриця-стовпець 3х1 - перетворення в перспективі. Останній скалярний елемент виконує загальну зміну масштабу. Повне перетворення, отримане шляхом впливу на вектор положення матрицею 4x4 і нормалізації перетвореного вектора, будемо називати білінійним перетворенням. Воно забезпечує виконання комплексу операцій зсуву, часткової зміни масштабу, обертання, відображення, переносу, а також зміни масштабу зображення в цілому.

Тривимірна зміна масштабу

Діагональні елементи основної матриці перетворення 4х4 здійснюють часткову і повну зміну масштабу. Розглянемо перетворення

,(4.2)

яке робить часткову зміну масштабу. На рис.4.1а показане перетворення паралелепіпеда в одиничний куб шляхом зміни масштабу. Загальна зміна масштабу виходить за рахунок використання четвертого діагонального елемента, тобто

. (4.3)

Це перетворення ілюструє рис.4.1б. Такий же результат можна отримати при рівних коефіцієнтах часткових змін масштабів. У цьому випадку матриця перетворення повинна бути рівна

. (4.4)

Вектори положення точок А і В рівні і .

Рис.4.1. Тривимірні перетворення iз зміною масштабів.

Тривимірний зсув

Недіагональні елементи верхньої лівої підматриці 3х3 від загальної матриці перетворення розміру 4х4 здійснюють зсуви в трьох вимірах, тобто

. (4.5)

Простий тривимірний зсув одиничного куба показаний на рис.4.1в.

Тривимірні обертання

Раніше було показано, що матриця 3х3 забезпечувала комбінацію операцій зміни масштабу і зсуву. Однак, якщо визначник матриці 3х3 дорівнює +1, то має місце чисте обертання навколо початку координат. Перед розглядом загального випадку тривимірного обертання навколо довільної осі дослідимо кілька окремих випадків. При обертанні навколо осі х розміри уздовж осі х не змінюються. Таким чином, матриця перетворень буде мати нулі в першому рядку і першому стовпці, за винятком одиниці на головній діагоналі. Це приводить до матриці перетворення, що відповідає повороту на кут навколо осі х і задається співвідношенням

(4.6)

Обертання вважається додатнім, тобто за годинниковою стрілкою, якщо дивитися з початку координат вздовж осі обертання. На рис.4.2а показаний поворот на -90° навколо осі x.

Для обертання на кут Ф навколо осі y - нулі ставлять у другому рядку і другому стовпці матриці перетворення, за винятком одиниці на головній діагоналі. Повна матриця задається виразом

(4.7)

Рис.4.2. Тривимірні обертання.

На рис.4.2б показаний поворот на 90 навколо осі y. Аналогічно матриця перетворення для обертання на кут навколо осі z має вид

(4.8)

Аналіз визначників для матриць (4.6)-(4.8) показує, що для будь-якої матриці обертання детермінант дорівнює +1.

Тому що обертання описуються множенням матриць, то тривимірні обертання некомутативні, тобто порядок множення буде впливати на кінцевий результат. Для того щоб показати це, розглянемо обертання навколо осі х, за яким слідує обертання на такий же кут навколо осі y. Використовуючи рівняння (4.6) і (4.7) при = Ф, одержимо

Рис.4.3. Некомутативність тривимірних обертань.

(4.9)

Зворотна послідовність дій, тобто обертання навколо осі y і наступне за ним обертання на такий же кут навколо осі x при = Ф дає

(4.10)

На рис.4.3 для лівого верхнього зображення штриховими лініями показані результати двох послідовних обертань, описаних матрицею перетворення (4.9). Зображення, отримане обертаннями, виконаними в іншій послідовності, описаними рівняннями (4.10), показані суцільною лінією. З порівняння отриманих зображень видно, що при зміні порядку обертання виходять різні результати.

Часто буває необхідно обертати зображення навколо однієї з осей декартової системи координат.

Відображення в просторі

Іноді потрібно виконати дзеркальне відображення тривимірного зображення. У трьох вимірах найпростіше відображення здійснюється щодо площини. Для відображення без зміни масштабів необхідно, щоб визначник перетворення дорівнював -1,0. При відображенні щодо площини xy змінюється тільки знак координати z. Отже, матриця перетворення для відображення щодо площини xy має вигляд

(4.11)

Відображення одиничного куба щодо площини ху показане на рис.4.4. Для відображення щодо площини уz

(4.12)

Рис.4.4. Просторове відображення щодо площини xy.

(4.12)

а для відображення щодо площини xz

(4.13)

Відображення щодо інших площин можна одержати шляхом комбінації обертання і відображення.

Просторовий перенос

Тривимірний лінійний перенос зображення задається виразом

(4.14)

Після перемножування одержимо

(4.15)

Тривимірне обертання навколо довільної осі

тривимірне обертання фігура відображення

Метод двовимірного плоского обертання навколо довільної осі був розглянений раніше. Узагальненням цього методу є спосіб обертання навколо довільної осі в тривимірному просторі. Як і для плоского випадку, розглянена процедура полягає в переносі зображення і заданої осі обертання, що забезпечує обертання навколо осі, що проходить через початок координат. Метод тривимірного обертання полягає в лінійному переносі, обертанні навколо початку координат і зворотньому лінійному переносі у вихідне положення. Якщо вісь, навколо якої виконується обертання, проходить через точку А = , то матриця перетворення визначається наступним виразом:

(4.16)

де елементи матриці обертання R розміру 4х4 визначаються в загальному випадку співвідношенням

(4.17)

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Розгляд представлення і перетворення точок та прямих ліній. Правило здійснення обертання та відображення фігури на площині. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів. Двовимірний зсув і однорідні координати. Побудування матриці перетворення векторів.

    лабораторная работа [281,6 K], добавлен 19.03.2011

  • Поняття і сутність нарисної геометрії. Геометричні фігури як формоутворюючі елементи простору. Розв'язання метричних задач шляхом заміни площин проекцій. Плоскопаралельне переміщення та обертання навколо ліній рівня. Косокутне допоміжне проектування.

    контрольная работа [324,9 K], добавлен 03.02.2009

  • Сутність основних способів перетворення проекцій: заміни площин проекцій та обертання. Перетворення креслення так, щоб площина загального положення стала паралельною одній з площин проекцій нової системи. Основні положення плоско-паралельного переміщення.

    реферат [3,4 M], добавлен 11.11.2010

  • Поняття правильної піраміди, її висоти і радіусу описаного навколо неї прямого конуса. Особливості комбінацій геометричних тіл: твірної конуса, розміщення центра його основи та висоти. Властивості правильного трикутника і розрахунок об'єму тіла обертання.

    контрольная работа [454,7 K], добавлен 07.07.2011

  • Сутність методу проекціювання. Центральні та паралельні проекції. Переваги ортогонального проекціювання перед центральним та косокутним. Положення геометричної фігури в просторі і виявлення її форми по ортогональних проекціях. Закони побудови зображень.

    реферат [749,6 K], добавлен 11.11.2010

  • Головні властивості прямого циліндра, визначення площі його бічної поверхні і радіусу основи. Розрахунок осьового перерізу прямого конуса та об'єму кулі. Площа поверхні тіла обертання рівнобедреного трикутника навколо прямої, що містить його основу.

    контрольная работа [302,8 K], добавлен 07.07.2011

  • Обчислення власного інтеграла та встановлення його збіжності. Визначення площі фігури, яка обмежена лініями та координатними віссями; аркою циклоїди і віссю абсцис, кардіоїдою. Розрахунок об’ємів тіла, утворених обертанням фігури навколо осей Ох та Оу.

    контрольная работа [923,7 K], добавлен 07.07.2013

  • Просторова декартова прямокутна система координат. Рівняння прямої та площини у просторі. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі. Доказ координатним методом теореми про три перпендикуляри.

    курсовая работа [59,7 K], добавлен 22.09.2003

  • Рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору. Опис прямої лінії у просторі. Взаємне розташування прямої та площини. Поверхні другого порядку. Параметричні рівняння ліній. Приклади їх побудови в полярних координатах.

    лекция [252,5 K], добавлен 30.04.2014

  • Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень, її простота, значення; історичні відомості. Теорема Піфагора на площині та у просторі, її стереометричний аналог; цілочислові прямокутні трикутники. Доведення теореми, класифікація задач.

    курсовая работа [2,5 M], добавлен 16.05.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.