Высшая математика
Решение задач линейного программирования, построение графиков линий по точкам. Среднее время ожидания в очереди и исправленное среднее квадратичное отклонение для выборки. Корреляционный анализ связи между числом посетителей и выручкой магазина.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 13.11.2011 |
Размер файла | 609,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ»
Кафедра математики и информатики
Письменное контрольное задание
для студентов и слушателей дистанционного обучения
Решение задач по курсу высшей математики
Новосибирск 2011
1. Решить задачу линейного программирования
линейное программирование среднее отклонение выборка
№5.
х1 + 3х2 max
Решение. Изобразим графики линий, задавая точки
а).+=2 и
б). +2х2 =7 и
в). 4х1 - 3х2 = 6 и
F: х1+3х2 = 0 и
ОАВСД- многоугольник множества решений данной системы. Среди точек многоугольника ОАВСД выбираем такую, в которой целевая функция достигает максимального значения. Пересечем этот многоугольник прямой (задающей целевую функцию ) и перемещаем прямую параллельно самой себе, пока многоугольник условий не окажется ниже этой прямой. Предельное положение этой прямой - точка В - точка пересечения прямых а) и б). Получили В (1,3), значит
F= 1 + 3*3 = 10
Ответ. Максимальное значение функции равно 10
Задание 2. Составить и решить задачу линейного программирования
№ 5. Караван Марко Поло использует для перевозки сухого инжира из Багдада в Мекку дромадеров (одногорбых верблюдов) и Обычных (двугорбых) верблюдов. Верблюд может нести 1000 фунтов груза, а дромадер - 500 фунтов. За время пути верблюд потребляет 3 тюка сена и 100 галлонов воды, а дромадер 4 тюка сена и 80 галлонов воды. Вдоль пути Марко Поло имеются пункты снабжения, расположенные в оазисах. Общая емкость запасов на этих участках 1600 галлонов воды и 60 тюков сена. Верблюды и дромадеры нанимаются у пастуха около Багдада. Стоимость аренды верблюда 11 монет, а дромадера - 5 монет. Караван должен доставить из Багдада в Мекку не менее 10000 фунтов инжира.
Составить задачу линейного программирования о минимальных издержках на аренду верблюдов и дромадеров. Сколько потребуется верблюдов и дромадеров, чтобы арендная плата пастуху была минимальной?
Решение
Пусть х - число дромадеров, у - число верблюдов.
Согласно условию задачи получим систему неравенств
Целевая функция F: 5х + 11 у max
Изобразим графики линий, задавая точки
1. 500 х + 1000у=10000,
Х + 2у = 20 (0,10) и (10,5)
2. 4 х + 3 У = 60 (0,20) и (15,0)
3. 80 х + 100 у = 1600
4 х + 5 у = 80 (0,16) и (20,0)
Целевая функция F: 5х + 11у = 0 (0,0) и (11,-5)
АВС- многоугольник множества решений данной системы. Среди точек многоугольника АВС выбираем такую, в которой целевая функция достигает минимального значения. Пересечем этот многоугольник прямой (задающей целевую функцию ) и перемещаем прямую параллельно самой себе, пока многоугольник условий не окажется выше этой прямой.
Минимального значения целевая функция достигнет в точке С- точке пересечения прямых 1. И 2: 2х + у =20 и 3х + 4у +80. Решая систему двух уравнений получим С (12,4), т.е. для перевозки инжира потребуется 12 дромадеров и 4 верблюда . Минимальная плата за аренду составит
F(12,4) = 5*12 + 11*4 = 104 (монеты)
Ответ: минимальная плата за аренду 104 монеты
Для перевозки инжира потребуется 4 верблюда и
12 дромадеров.
Задание 3. Математическая статистика
№10. В супермаркете собрана информация о времени ожидания покупателей в очереди (в минутах)
3,6 1,9 2,1 0,3 0,8 0,2 1 1,4 1,8 1,6 1,1 1,8 0,3 1,1 0,5
1,2 0,6 1,1 0,8 1,7 1,4 0,2 1,3 3,1 0,4 2,3 1,8 4,5 0,9 0,7
Построить интервальную группировку данных по пяти интервалам равной длины и соответствующую гистограмму.
Найти среднее время ожидания в очереди и исправленное среднее квадратичное отклонение для выборки. Построить доверительные интервалы надежности 90% и 98% для среднего времени ожидания в очереди..
Решение. Разобьем множество элементов выборки п = 30 на пять равных интервалов. Имеем Х мин = 0,2, Х макс =4,5, тогда длина одного интервала h = = 0,86
Занесем данные в таблицу:
(хi ; хi+1) |
(0,2; 1,06) |
(1,06; 1,92) |
(1,92; 2,78) |
(2,78; 3,64) |
(3,64;4,5) |
|
ni |
12 |
13 |
2 |
2 |
1 |
ni - частота попадания элемента выборки в интервал, n - количество элементов выборки
wi = пi/п - относительная частота.
Вычислим относительные частоты для каждого интервала
W1 = 12/30=0,4
W2 = 13/30=0,43
W3 =2/30=0,067
W4 = 2/30 = 0,067
w 5 = 1/30 = 0,033
Получили интервальное распределение относительных частот признака Х:
хi |
(0,2; 1,06) |
(1,06; 1,92) |
(1,92; 2,78) |
(2,78; 3,64) |
(3,64;4,5) |
|
wi |
0,4 |
0,43 |
0,067 |
0,067 |
0,033 |
На основании этой таблицы строим гистограмму частот:
Для нахождения характеристик выборки рассмотрим таблицу:
хi |
0,63 |
1,47 |
2,35 |
3,21 |
4,07 |
|
ni |
12 |
13 |
2 |
2 |
1 |
Xi - середина интервала.
Найдем среднее время ожидания Хв=
Хв= ( 0,63*10 + 1,47*13 + 2,35* 2 + 3,21*2 + 4,07*1) = 1,35
Выборочная дисперсия Dв = ? (Xi-Xв)2ni*.
Получим
D в =(0,63 - 1,35)2х12+ (1,47-1,35)2х13++ (2,35 - 1,35)2х2+(3,21 - 1,35)2х2 +(4,07 - 1,35)2х1)) = (6,2208 + 0,1872 + 2 + 6,9192 + 7,3984)= 22,7256/30 =0,758
Среднее квадратичное отклонение == 0,87
Исправленная выборочная дисперсия S2= Dв = х0,758 = 0,784
Исправленное среднее квадратичное отклонение
Построим доверительные интервалы Х в - tm X в + t
1. Надежность 90% : =0,9, Ф(t)= = 0,45, тогда t=1,65 и значит доверительный интервал 1,35 - х1,65m1,35 +х1,65
1,081,62
2. Надежность 98 %: =0,98, Ф(t)= 0,49, t=2,32 и тогда доверительный интервал
1,35 - х2,32m1,35 +х2,32
0,97
Ответ: Среднее время ожидания Хв = 1,35,
Исправленное кв. отклонение 0,89
Интервалы ( 1,08; 1,62) и ( 0,97; 1,73).
Задание 4. Корреляционный анализ
№9. Исследовать связь между числом посетителей и выручкой магазина за сутки основании следующих данных.
Х, посетит |
334 |
494 |
680 |
933 |
841 |
390 |
523 |
772 |
399 |
412 |
643 |
880 |
|
У выручка, тыс руб |
79 |
114 |
188 |
251 |
220 |
101 |
137 |
202 |
98 |
130 |
161 |
240 |
Находим выборочные средние: Хв = и Ув =
Получим Хв= = = 608,42
Ув = = = 160,08
= , ХУ = = = 108676,25
= , = = 411180,75
= , = = 28782,08
Средние квадратичные отклонения х = и
Получим = = 202,499
= = 56,183.
Тесноту линейной связи оценим по коэффициенту корреляции
=, и тогда коэффициент корреляции rв = =0,992 . Связь между Х и У прямая, т.к. коэффициент корреляции положителен. Это говорит о том, что чем больше посетителей в магазине, тем больше выручка. Связь между величинами прочная, т.к. коэффициент корреляции близок к единице.
Ответ: связь между посетителями и выручкой
магазина прямая, тесная, коэффициент
корреляции 0,992
Задание 5. Теория вероятности
№ 9. Считается, что вероятность сдачи экзамена на хорошую оценку составляет 60%. Составить закон распределения количества студентов, получивших хорошие оценки, среди четырех случайно выбранных. Построить многоугольник распределения.
Решение
Вероятность получить хорошую оценку р=0,6 , тогда вероятность не получить хорошую оценку ответа q= 1-р=0,4. По формуле Бернулли имеем Р= Спкркqп-к, тогда
Р0 =С40(0,6)0(0,4)4= *1*0,0256= 0,0256
Р1 = С41(0,6)1(0,4)3=0,1536
Р2= С42 (0,6)2 (0,4)2 =0,3456
Р3= С43 (0,6)3 (0,4)1= 0,3456
Р4 = С44 (0,6)4 (0,4)0 = 0,1296
Контроль =1.
Закон распределения :
Хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
рi |
0,0256 |
0,1536 |
0,3456 |
0,3456 |
0,1296 |
Многоугольник распределения:
Задание 6. Матрицы и операции над ними
№7. Выполнить умножение матриц А В-1с.
А=, В = , С =
Решение
Найдем В-1 = , где - определитель матрицы В, - транспонированная матрица , составленная из алгебраических дополнений.
Имеем, В11= (-1)1+1(-4)=-4 , В12= (-1)1+2(3)= - 3, В21 = - 4, В22= - 2,
= 8 - 15 = - 7
Тогда В-1 = =
Найдем АВ-1= =
Находим АВ-1С== =
Ответ: АВ-1С ==
Задание 7. Решить систему уравнений методом Крамера
№5.
Решение
Находим определители третьего порядка
= = 1(-3+2) - 1(-2 -1) - 2(-4-3) = -1 + 3+14=16
х ==48
у == - 32
z = = 0
По формулам Крамера получим х = 48/16 = 3, у = -2, z = 0
Т.о. тройка чисел (3,-2, 0) есть решение данной системы.
Ответ: (3;-2;0)
Размещено на Allbest
Подобные документы
Среднее значение показателя (среднее арифметическое). Показатели вариации - размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициент вариации. Максимальное и минимальное значение статистического показателя.
контрольная работа [159,7 K], добавлен 14.11.2008Основные методы измерения деревьев. Наука о математических методах систематизации. Определение дисперсии случайной величины. Выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение. Метод наименьших квадратов. Свойства параболической регрессии.
курсовая работа [840,1 K], добавлен 15.06.2011Операция объединения множеств. Перестановки без повторений, правило произведения. Вероятности извлечения предмета из урны. Вероятность наивероятнейшего числа попаданий в десятку. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
контрольная работа [165,5 K], добавлен 23.09.2011Предназначена библиотеки "simplex" для оптимизации линейных систем с использованием симплексного алгоритма. Построение экономико-математической модели формирования плана производства. Основные виды транспортных задач, пример и способы ее решения.
курсовая работа [477,9 K], добавлен 12.01.2011Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.
контрольная работа [212,0 K], добавлен 01.05.2010Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [165,5 K], добавлен 03.01.2012Поиск участков возрастания и убывания функций, классификация экстремума. Умножение матриц АВ–1С. Теория вероятности события и случайных величин. Построение интервальной группировки данных. Решение задачи линейного программирования, построение графика.
контрольная работа [127,1 K], добавлен 11.11.2012Область определения функции. Точки пересечения графика функции с осями координат. Экстремумы, промежутки возрастания и убывания. Корни полученного квадратного уравнения. Среднее квадратическое отклонение. Коэффициент вариации, максимальное значение ряда.
контрольная работа [91,0 K], добавлен 08.01.2011Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает разделы высшей математики, изучение которых применяется для решения прикладных экономических и управленческих задач - это аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ.
дипломная работа [468,8 K], добавлен 24.04.2009Задачи которые решает корреляционный анализ. Определение формы связи - установление математической формы, в которой выражается связь. Измерение тесноты, т.е. меры связи между признаками с целью установления степени влияния данного фактора на результат.
реферат [67,3 K], добавлен 09.11.2010