Равновеликие и равносоставленные многоугольники и многограники

На международном математическом конгрессе в Париже в 1900г. выдающийся немецкий математик Давид Гильберт выступил с докладом под названием «Математические проблемы». В докладе Гильберта было представлено 23 проблемы из разных областей математики. В этой курсовой работе будет рассмотрена третья проблема, вот как изложил ее Гильберт:

«Равенство объемов двух тетраэдров с равновеликими основаниями и равными высотами.

Гаусс в двух своих письмах к Герлингу выражает сожаление по поводу того, что некоторые положения стереометрии зависят от метода исчерпывания, т.е., говоря современным языком, от аксиомы непрерывности (или от аксиомы Архимеда).

Гаусс специально отмечает теорему Евклида, согласно которой объем треугольных пирамид, имеющих равные высоты, относятся к площади их оснований. Аналогичная задача планиметрии ныне полностью решена. Герлингу удалось также доказать равенство объемов симметричных многоугольников при помощи разбиения их на конгруэнтные части.

Тем не менее, как мне кажется, в общем случае доказательства упомянутой теоремы Евклида этим способом провести не возможно и это, по-видимому, может быть подтверждено строгим доказательством невозможности.

Такое доказательство можно было бы получить, если бы удалось указать такие два тетраэдра с равными основаниями и равными высотами, которые никаким способом не могут быть разложены на конгруэнтные тетраэдры и которые так же не могут быть дополнены конгруэнтными тетраэдрами до таких многогранников, для которых разложение на конгруэнтные тетраэдры возможно» [3. c. 28].

Когда доказывается равновеликость прямолинейных фигур в планиметрии, пределы не только не используются, а наоборот, используются наиболее элементарные средства. Именно для этой цели применяются два приема, из которых один называется методом разложения, а другой - методом дополнения. Метод разложения заключается в том, что для доказательства равновеликости двух фигур одну из них разрезают на части, из которых в другом расположении может быть составлена вторая фигура. Метод дополнения заключается в том, что к обоим многоугольникам различным образом присоединяются конгруэнтные многоугольники так, что в результате получаются конгруэнтные фигуры.

Казалось бы, что доказательство равновеликости многогранников следует вести методами разложения и дополнения. И действительно чаще всего это так, но, когда мы обращаемся к доказательству равновеликости пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты, то эти приемы не работают.

Если каждый многогранник может быть путем разложения и дополнения или просто путем разложения преобразован в любой равновеликий ему многогранник, то нужно будет только указать, как это выполнить по отношению к трехгранным пирамидам, и пределы будут изгнаны из этого раздела геометрии. Если же обнаружится, что многогранники в этом отношении коренным образом отличаются от многоугольников, т.е. если будет доказано, что существуют, скажем, равновеликие пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами, которые не могут быть преобразованы одна в другую разложением и дополнением, то тогда станет ясно, что именно заставило ввести пределы.

Через два года после I Международного Математического Конгресса ученик Гильберта М. Ден опубликовал в журнале “Mathematiscbe Annalen” статью, содержащую ответ на этот вопрос.

Он доказал, что многогранники, которые могут быть преобразованы один в другой путем разложения или дополнения, должны удовлетворять условию, заключающемуся в следующем: если двугранные углы одного многогранника, а - двугранные углы второго многогранника, выраженные в частях прямого угла, то существуют такие целые положительные числа и и такое целое число k, что . А так как, существуют многогранники, для которых условие не выполняется, то от сюда следует, что равновеликие многогранники не всегда могут быть этим путем преобразованы друг в друга; напротив, как мы увидим ниже, возможность такого преобразования является редким исключением.

Эта курсовая работа делится на две основные части: многоугольники и многогранники. В первой части будет доказана теорема Бойяи - Гервина. Во второй части будет доказана основная теорема (теореме Дена - Кагана) и теорема Дена, которая служит ответом на третью проблему Гильберта.

1. Многоугольники

Пусть имеется ряд линейных однородных уравнений, связывающих n неизвестных :

(1)

…………………………….

Если такая система имеет решения, отличные от нуля, точнее, если этим уравнениям удовлетворяют значения, которые не все равны нулю, то число независимых уравнений в этой системе меньше числа неизвестных (n); остальные же, если такие существуют, представляют собой следствия предыдущих. Если же допустить, что среди уравнений (1) имеется n независимых, то они имели бы только одну систему решений: . Если помимо нулевых решений имеются другие, которые не сводятся к нулю, то число независимых уравнений в системе (1) меньше n. Отсюда следует, что такая система уравнений имеет также бесчисленное множество систем целых решений, если только коэффициенты этих уравнений рациональны.

Если среди уравнений (1) имеется h независимых уравнений, а остальные представляют собой следствия, то из независимых уравнений можно определить h неизвестных в зависимости от остальных:

(2)

……………………………………

где коэффициенты A,B,C,…,G есть рациональные числа. Теперь мы можем дать неизвестным произвольные значения, и тогда система уравнений (2) определяет значение остальных неизвестных . Если мы дадим неизвестным рациональные значения, то при рациональных коэффициентах и остальные неизвестные получат рациональные значения. Значение всех неизвестных мы можем привести к одному знаменателю, так что получим:

…, …, (3)

Но если однородным уравнениям удовлетворяют некоторые значения неизвестных, то мы получим другие значения, удовлетворяющие тем же уравнениям, если умножим их на одно и то же число. Если умножить значения (3) на М, то получим целые числа

…,

удовлетворяющие тем же уравнениям (2).

Решениями уравнений (1) может являться иррациональные, рациональные и целые значения неизвестных. Но если можно подобрать какую либо систему решений, хотя бы иррациональных, но составленную исключительно из положительных чисел (не равных нулю), то уравнения имеют так же систему целых решений, составленную из положительных чисел. Если уравнения имеют систему рациональных положительных решений, то, умножив их на общий знаменатель, получим систему целых положительных решений. Положим, что уравнениям (1) удовлетворяют положительные значения

(4)

среди которых имеются и иррациональные. Это значит, что если известным дадим значение

,(5)

то неизвестные из уравнения (2) получат значения

(6)

В первой группе обязательно есть иррациональные значения, так как иначе все неизвестные получили бы рациональные значения. По формуле (2) видно, что значения неизвестных изменяются непрерывно, когда мы непрерывно изменяем значения известных . Если при положительных значениях (5) неизвестных первые неизвестные () получают положительные значения, то мы получим другие положительные значения для неизвестных , если возьмем для другие значения, достаточно близкие к (5). Но сколько угодно близко к иррациональному числу являются рациональные числа: мы можем второй группе неизвестных дать рациональные положительные значения, настолько мало отличающиеся от чисел (5), что остальные неизвестные сохраняют положительные значения, хотя и станут рациональными. Получив систему положительных рациональных решений, мы можем от них перейти к системе целых положительных решений.

Итак, если система однородных линейных уравнений имеет решения отличные от нуля, то она допускает так же систему целых решений. Если же она имеет хоть одну систему решений, составленную исключительно из положительных чисел, то она допускает систему целых решений, также составленную из положительных чисел.

2.2 Вспомогательные понятия для доказательства теоремы Дена-Кагана

Положим, что некоторый многогранник, каким - либо образом разбит на составляющие многогранники; ребра этих многогранников располагаются в исходном многограннике по отрезкам, совокупность которых мы будем называть скелетом разложения. Мы представляем себе этот скелет, как совокупность вытянутых и скрепленных между собой проволок, которые мы можем при желании отделить как от исходного многогранника, так и от составляющих многогранников. Рассмотрим это на примерах.

На рис. 10 изображена четырехгранная пирамида, разложенная на четыре трехгранные пирамиды (OABC, OACD, OADE, OAEB) и одну четырехгранную пирамиду (OBCCDE), которые имеют общую вершину в точке O. Ребра составляющих пирамид располагаются по 13 отрезкам, из которых 8 совпадают с ребрами исходной пирамиды, а остальные 5 сходятся в точке O и расположены внутри исходной пирамиды. Эти 13 отрезков изображены на рисунке; если представить, что нанесенные на рисунке линии реализованы в виде бесконечно тонких, скрепленных проволок, то скелет будет реализован: его можно будет отделить от многогранников, в него можно вложить составляющие многогранники, которые в совокупности составят исходный многогранник.

На рис. 11 изображена четырехгранная пирамида ABCDE. Она разложена на четыре трехгранные пирамиды: ABCF, ACDF, ADEF, AEBF; из них ABCF в свою очередь, разложена на две трехгранные пирамиды (BACH и BCHF), а ADEF на три пирамиды сходящиеся в вершине G (GFED, GEKLD, GAKL). Таким образом, всего получается 7 пирамид, на которые разбивается наша исходная пирамида. Глядя на этот рисунке, мы представляем себе исходную и составляющие пирамиды. Но если мы представим себе просто проволоки, натянутые по всем линиям рисунка, то они составят скелет разложения.

Рассматривая эти скелеты, мы видим, что на ребре составляющего многогранника могут находиться вершины и другие составляющие многогранников. Все точки, в которых находятся вершины составляющих многогранников, мы будем называть сочленениями скелета: в этих точках должны быть скреплены наши воображаемые проволоки, чтобы скелет представлял собой единое целое. На наших рисунках сочленения отмечены буквами, в разложении на рис. 10, их 6 (A, B, C, D, E, O), а в разложении на рис. 11, их 10 (A, B, C, D, E, F, G, H, K, L).

Сочленения разбивают каждый отрезок скелета на части, которые мы будем называть звеньями скелета. В разложении на рис. 10 каждый отрезок образует одно звено, в разложении на рис. 11 отрезок AF распадается на 3 звена (AH, HG, GF), отрезок AE распадается на два звена (AK и KE), отрезок AD - также на два звена (AL и LD). Весь скелет всегда состоит из звеньев, скрепленных в сочленениях.

К каждому звену скелета прилегают ребра или части ребер составляющих многогранников. В разложении, изображенном на рис. 10, к звену ОА, прилегают 4 составляющих многогранника, к каждому из звеньев BC, CD, DE, EB и боковых звеньев AB, AC, AD, AE прилегают по 2 многогранника. В разложении, изображенном на рис.11 звено GH окружено четырьмя многогранниками, к звену CH прилегают ребра двух многогранников, и в то же время оно само лежит на грани (ACF) одного из составляющих многогранников.

Мы будем относить звено к первому типу, если многогранники, ребра которого к нему прилегают, окружают это звено со всех сторон, так что прилегающие к нему двугранные углы составляют в сумме 4d. Таковы внутренние звенья (OA, OB, OC, OD, OE) на рис. 10, таковы звенья AH, HG, GF на рис. 11.

Рис. 12 и рис. 13 предназначены для лучшего выяснения условий, при которых мы относим звено к первому типу. Рис. 12 изображает часть разложения некоторого многогранника на составляющие многогранники, именно ту часть, которая прилегает к звену АВ. К этому звену прилегают своими ребрами 4 составляющих многогранника: передняя трехгранная призма ADFCKG, задняя трехгранная призма AEBMPN, с правой стороны - трехгранная пирамида BADE, с левой стороны - трехгранная пирамида ACGL. Чтобы это можно было отчетливее различить, на рис. 13 изображено то же разложение, причем составляющие многогранника раздвинуты. Внутри жирным штрихом отмечена часть скелета и на не звено АВ. Здесь отчетливо видны двугранные углы, прилегающие к этому звену и образующие в совокупности 4d, как это и отмечено кружком на рис. 12.

Относительно каждого ребра первого типа мы будем говорить, что оно имеет аргумент 4d, это есть лишь иное выражение того факта, что облегающее звено двугранные углы составляющих многогранников образуют в сумме 4d.

Но иногда двугранные углы составляющих многогранников, прилегая к звену, образуют в совокупности не 4d, а только 2d. Это имеет место в том случае, когда звено лежит на грани составляющего или исходного многогранника. Таковы на рис. 11 звенья FB, FC, FD, FE, GE, GD и др. Такого рода звено АВ изображенное на рис. 14, к нему прилегает трехгранная пирамида ABCD и две трехгранные призмы AHKBCL и AGFBDE. Их двугранные углы, прилегающие к звену АВ, составляют в сумме 2d.

В этом случае мы будем говорить, что звено принадлежит ко второму типу и имеет аргумент 2d.

Еще ребро может лежать на ребре разлагаемого многогранника. Если двугранный угол исходного многогранника при этом ребре равен а, то сумма двугранных углов составляющих многогранников, прилегающих к этому звену, также равна а. такого рода звено BF изображено на рис. 13, к нему прилегают ребра двух составляющих призм, так что сумма двугранных углов при этих ребрах равна двугранному углу а, образуемому заштрихованными гранями исходного многогранника.

Такого рода звенья мы будем относить к третьему типу, и каждому такому звену мы отнесем аргумент, равный двугранному углу а исходного многогранника, на ребре которого оно лежит.

Итак, звенья скелета разлагаются на три типа. Звенья первого типа имеют аргумент 4d, звенья второго типа имеют аргумент 2d, звенья третьего типа имеют аргументы, равные двугранным углам исходного многогранника.

Ребра составляющих многогранников прилегают к звеньям скелета. Иногда ребро целиком прилегает к одному звену, иногда же ребро разбивается сочленениями на несколько частей. Эти части мы будем называть отрезками разложения. Если мы раздвинем составляющие многогранника, то звенья останутся на скелете, а отрезки разложения отойдут вместе с ребрами. Это хорошо видно на рис. 13. На скелет АВС, отмеченном жирным штрихом, мы видим звенья АВ и ВС. Ребро АВ правой пирамиды целиком примыкает к звену АВ, это ребро содержит поэтому только один отрезок разложения. Ребро АС левой пирамиды разлагается звеньями на 2 отрезка разложения АВ и ВС. Точно также ребро АС передней призмы состоит из двух отрезков разложения, а ребро АВ задней призмы имеет только один отрезок разложения. Если мы сдвинем снова составляющие многогранника, то к звену АВ на скелет примкнет 4 равных ему отрезка разложения на четырех прилегающих к этому звену многогранниках.

Положим теперь, что мы имеем два многогранника, которые составлены из соответственно конгруэнтных многогранников. Можно сказать, что второй многогранник составлен из тех же составляющих многогранников, что и первый, но только иначе расположенных. Два исходных многогранника будем называть большими многогранниками, а те многогранники, из которых они составлены, малыми многогранниками.

Каждому разложению соответствует свой скелет, звенья каждого из скелетов разделяют ребра малых многогранников на отрезки разложения. Возьмем какое - либо ребро АВ одного из малых многогранников, оно фигурирует в одном и в другом разложении. В первом разложении это ребро разделяется звеньями, скажем, на два отрезка АС и СВ (рис. 16), в другом разложении то же самое ребро разделяется на другое число частей, - на три (AK, KL и LB на рис. 16). Нанесем теперь на ребра точки деления, соответствующие одному и другому разложению, как это показано на третьем отрезке АВ на рис. 16. Тогда отрезки разобьются на более мелкие отрезки, которые мы будем называть элементарными отрезками. Эти элементарные отрезки определяются уже не одним, а обоими разложениями.

Представим теперь, что на каждом ребре каждого из малых многогранников нанесены элементарные отрезки, определяемые на этом ребре обоими разложениями. Эти элементарные отрезки располагаются на ребрах малых многогранников в одном и другом разложении, причем в обоих разложениях мы имеем те же элементарные отрезки.

Рис. 17 воспроизводит рис. 13 с тем различием, что на отрезке разложения АВ каждого из малых многогранников нанесены элементарные отрезки. На ребре АВ правой пирамиды мы видим четыре элементарных отрезка. На передней призме отрезок АВ имеет два элементарных отрезка, а на каждом из остальных многогранников отрезок АВ разбит на три элементарных отрезка.

Каждому элементарному отрезку мы вновь припишем аргумент. Все элементарные отрезки, лежащие на одном и том же ребре, имеют один и тот же аргумент, двугранный угол при этом ребре.

Каждому элементарному отрезку отнесем некоторое положительное число, которое мы будем называть массой этого элементарного отрезка. Эти положительные числа мы выберем совершенно произвольно с одним только условием: если к одному и тому же звену, в том или другом разложении, прилегает на одном отрезке разложения элементарные отрезки с массами на другом отрезке разложении - элементарные отрезки с массами на третьем отрезке разложения - элементарные отрезки с массами и т.д., то наше требование будет заключаться в том, чтобы были равны их суммы:

. (7)

Это группе уравнений должны удовлетворять массы элементарных отрезков, прилегающих к одному звену, общее значение М этих сумм мы примем за массу самого звена. Звено АВ на рис. 17 потребует следующих уравнений:

; (8)

общее же значение каждой из этих сумм представит массу звена АВ.

Каждому звену соответствует, таким образом, группа уравнений вида (7). Таких групп получится столько, сколько есть звеньев в обоих разложениях вместе.

Чтобы удовлетворить всем уравнениям надо принять за массу каждого элементарного отрезка его длину. Но возможен и другой выбор. Согласно нашему требованию, массы должны удовлетворять только системам уравнений вида (7). Но это есть однородные линейные уравнения с целыми коэффициентами, и раз они удовлетворяются одной системой положительных значений, то им можно удовлетворить также целыми положительными значениями для неизвестных. Вот такую систему целых положительных значений мы примем за массы элементарных отрезков. Вместе с тем массы звеньев также выразятся целыми числами.

2.3 Теорема Дена-Кагана

Под весом элементарного отрезка или звена мы будем понимать произведение из его массы на аргумент. Под весом нескольких отрезков или звеньев мы будем понимать сумму весов этих отрезков или звеньев. Под весом скелета мы будем понимать сумму весов всех его звеньев.

Мы имеем два больших многогранника составленных из одних и тех же малых многогранников.

Основная теорема: Если два многогранника составлены из одних и тех же составляющих многогранников, то скелеты обоих разложений имеют один и тот же вес.

Доказательство: Чтобы доказать эту теорему, мы покажем предварительно, что вес каждого звена в скелете равна сумме весов всех прилегающих к нему элементарных отрезков.

Возьмем звено АВ на рис. 17, к нему прилегают четыре отрезка АВ на ребрах четырех составляющих многогранников. На ребре правой пирамиды отрезок АВ состоит из четырех элементарных отрезков с массами и общим аргументом . Поэтому сумма весов этих элементарных отрезков равна:

,

где М есть масса звена АВ. Точно так же сумма весов всех элементарных отрезков, прилегающих к звену АВ и лежащих на ребре передней призмы, равна:

.

Сумма весов элементарных отрезков, прилегающих к тому же звену со стороны левой пирамиды, равна , а сумма весов элементарных отрезков, прилегающих к АВ со стороны задней призмы равна .

Таким образом, сумма всех весов элементарных отрезков, прилегающих к звену АВ, равна: , где М есть масса звена, а сумма равна 4d, т.е. аргумент звена. Правая часть последнего равенства представляет вес звена. Если вес звена равняется сумме весов всех прилегающих к нему элементарных отрезков, то вес всего скелета равен сумме весов всех элементарных отрезков этого разложения. С другой стороны, элементарные отрезки в обоих разложениях одни и те же, так как они определяются совокупностью двух разложений, при этом каждый элементарный отрезок имеет в обоих разложениях одну и ту же массу, один и тот же аргумент и, следовательно, один и тот же вес. Отсюда следует, что вес обоих скелетов может быть представлены в виде суммы одинаковых слагаемых, а потому вес первого скелета и второго равны.

2.4 Теорема Дена

Теорема Дена: Многогранники, которые могут быть преобразованы один в другой путем разложения или дополнения, должны удовлетворять условию, заключающемуся в следующем: если двугранные углы одного многогранника, а - двугранные углы второго многогранника, выраженные в частях прямого угла, то существуют такие целые положительные числа и и такое целое число k, что . Доказательство: Пусть будут двугранные углы первого большого многогранника. В таком случае мы видим, что звенья его скелета имеют аргументами эти двугранные углы, а также 2d и 4d. Пусть будет сумма масс всех таких звеньев, которые имеют аргумент . Пусть будет сумма масс всех таких звеньев с аргументом и т.д. Пусть будет суммой масс каких звеньев, которые имеют аргумент . Через обозначим сумму масс таких звеньев, которые имеют аргумент 2d, а через сумму масс таких звеньев, которые имеют аргумент 4d. В таком случае весь скелет в разложении этого многогранника равен:

,

где . Здесь это целые положительные числа. Число М может иногда обращаться в нуль, т. к. звеньев с аргументами 2d и 4d иногда может и не быть. Таким же образом весь скелет в разложении второго многоугольника выражается через: , где коэффициенты это целые положительные числа, а N это целое положительное число или нуль. В силу нашей основной теоремы следует, что:

. (9)

Итак, если две многогранника с двугранными углами и могут быть составлены из одних и тех же многогранников, т.е. иного расположения частей, то существуют целые положительные числа и и целые не отрицательные числа M и N , при которых имеет место равенство (3). Если мы обнаружим, что двугранные углы некоторых двух многогранников не могут быть связаны соотношением (9), то они не могут быть составлены из одинаковых многогранников, хотя они и равновеликие.

3. Решение задач