Решение функциональных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1.Функциональное уравнение, определяющее показательную функцию

2.Функциональное уравнение, определяющее логарифмическую функцию

3.Функциональное уравнение, определяющее степенную функцию

Заключение

Список литературы

Введение

Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

f(x)+xf(x+1) = 1

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это f(x) = f(-x), f(-x) = - f(x), f(x+T) = f(x), которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 - 1857) нашёл общие решения

функциональный уравнение логарифмический степенной

этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским (1792 - 1856) из функционального уравнения , (2),

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

.

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792--1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) -- произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

(3)

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции: ,

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши f(x+y) = f(x)+f(y), (4)

f(x+y) = f(x)·f(y), (5)

f(xy) = f(x)+f(y), (6)

f(xy) = f(x)·f(y), (7)

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид , , ,

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) - класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д.

1.Функциональное уравнение, определяющее показательную функцию

Рассмотрим функциональное уравнение

(1)

где f определена на числовой прямой R, но неизвестная функция, и изучим свойства его решений.

Задача 1. Пусть функция , тождественно не равная нулю, определена на R и удовлетворяет уравнению (1) при любых R .Доказать, что

1) при всех R;

2) =1;

3) 1/.

Решение. По условию задачи функция при всех удовлетворяет уравнению (1).Следовательно, уравнение (1) в этом случае становится тождеством, т.е. равенством, которое справедливо при всех R.

1)По условию существует точка ₀ R такая, что ₀). Тогда для любого R в силу (1) имеем

₀)=(₀-+)=(₀ - )().

Отсюда следует, что (). На основании (1) функцию представим в виде

=2)Полагая в (1) =0, получим

=.

Отсюда =1, так как ) при всех R .

3)В тождестве (1) положим =. Тогда

=1= или .

Задача 2.Пусть функция является на R решением уравнения (1). Доказать, что если:

1) Функция непрерывна в точке =0, то она непрерывна в произвольной точке R;

2) Функция дифференцируема в точке =0, то она дифференцируема любое число раз в произвольной точке R .

Решение. 1) Пусть a - любая точка из R, отличная от нуля , и a.

Поскольку =1, то

=(a+())=(a)(). (2)

По условию функция непрерывна в точке =0, поэтому при a функция ()=1. Тогда из (2) при a получим, что , а это означает, что , т.е. функция непрерывна в точке .

2)Составим разностное отношение

==, где h , найдем предел отношения

==,

Так как по условию функция дифференцируема в точке =0.

А это значит, что существует конечный предел =

Тем самым доказана дифференцируемость функции в точке = и производная функции в любой точке R равна

= . (3)

Теперь нетрудно показать, что функция имеет производные любого порядка n N,n2.В самом деле, из равенства (3) имеем:

( )'=( )= =²,

=()'=(²)'=²=³,

Итак, при любом n N

=()'=ⁿ.

Задача 3. Если непрерывная в нуле функция является решением уравнения (1) и = , то она имеет вид = ^x.

Решение. Пусть = и в силу задачи 1 число . Покажем, что значения функции определяются однозначно на R. В самом деле, на основании задачи 1 и метода математической индукции при любом n N, получим

= ( ) =ⁿ=, = =.

Итак, для любого целого числа kZ имеем = ^k.

Далее, рассуждая аналогично, получим

===,

===.

Отсюда

== = ,= = = = .

Заметим, что если = (это значит ), то ,т.е. значение функции в рациональной точке r не зависит от представления рационального числа r в виде дроби .

Таким образом,= при всех = r из множества . Пусть =, т.е. - иррациональное число. Тогда, как известно, существует последовательность чисел , такая, что . По условию задачи функция непрерывна в точке =0. Тогда в силу задачи 2 она непрерывна всюду на R, в частности, в точке =. Отсюда следует, что

== =

Итак, при всех R: =.

Из этой задачи следует, что если = , то на R.

Действительно, в силу задачи (3) =1 при всех r . Пусть . Тогда существует последовательность рациональных чисел такая, что и в силу непрерывности функции в точке = и =1.

Отсюда, в силу единственности предела, =1 .

На основании решенных задач 1-3 можно сформулировать следующее утверждение.

Теорема. Для каждого положительного числа и существует единственная непрерывная в нуле функция , удовлетворяющая уравнению (1) при всех х и у из R и условию

= (4)

Эта функция имеет вид =.

Доказательство:

Существование. Пусть и . Нам известно, что на основании определения степени с рациональным показателем для каждого = r = p|q , p Z, q, однозначным образом определяется значение

= = (5)

Отметим, что определение (5) не зависит от записи рационального числа r в виде дроби p|q, т.е. при любом m верно равенство

= или = .

Теперь покажем, что функция = при любом r из удовлетворяют функциональному уравнению (1). Возьмем произвольные рациональные числа r и s и запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

r = , s = , p, t Z , qN.

Надо доказать, что

= (6) или на основании определения (5)

= . (7)

Обе части соотношения (7) возведем в q-ю степень:

= = = ,

= .

Отсюда, поскольку q - е степени обеих неотрицательных левой и правой частей соотношения (7) равны, следует справедливость равенства (7).

Пусть - любое иррациональное число. Тогда существуют последовательности рациональных чисел , сходящиеся к . В этом случае можно показать, что последовательность чисел также сходится.

Под символом будем понимать предел последовательности чисел при или , т.е.

= = (8)

Заметим, что определение (8) не зависит от выбора последовательности , сходящейся к числу .

Докажем, что функция = при всех R является решением уравнения (1). Пусть - произвольные действительные числа. Тогда существуют последовательности рациональных чисел ' и , такие, что ' и . В силу определения (8) существуют конечные пределы

= , = (9)

= . (10)

На основании (10),(6),(9) и свойства пределов последовательностей, имеем ====.

Тем самым доказано, что функция = удовлетворяет функциональному уравнению (1). Можно также показать, что функция , определенная по правилам (5) и (8), непрерывна в точке . Тогда в силу задачи 2 она непрерывна на всей числовой прямой.

Единственность. Пусть g() - непрерывная в нуле функция, удовлетворяющая уравнению (1) при всех R и условию (4). Тогда в силу задачи 3 функция g() = . Следовательно, функции g() = .

Таким образом, на основании выше изложенного можно дать следующее определение показательной функции.

Определение. Показательной функцией с основанием , и , называется функция , непрерывная в нуле, удовлетворяющая функциональному уравнению (1) при всех R и условию (4). Она обозначается символом = .

2. Функциональное уравнение, определяющее логарифмическую функцию

Рассмотрим функциональное уравнение

= (1) и изучим свойства его решений. Прежде всего, заметим, что если точка =0 принадлежит области определения решения уравнения (1), то функция =0 при всех . Поскольку мы рассматриваем нетривиальные решения уравнения (1), то ясно, что точка 0 .

Задача 1. Пусть функция при 0 является решением уравнения (1). Доказать, что:

а) ==0, б)=,

в) =, г).

Решение. Пусть функция при 0 является решением уравнения (1). Тогда равенство (1) выполняется при всех R \.

а) Полагая в тождестве (1) получим

или .

На основании последнего равенства, из(1) при имеем

=0.

б) Из тождества (1) при будем иметь

= = или =0.

Отсюда .

в) Заменяя в (1) на с учетом доказанного выше свойства б), получим

= = .

г) На основании (1) имеем

=+=.

Свойство г) означает, что решения уравнения (1) обладают свойством четности на множестве R \. Поэтому в дальнейшем уравнение (1) будем рассматривать при .

Задача 2. Пусть функция является при решением уравнения (1).Доказать, что если:

а) непрерывна в точке , то она непрерывна в любой точке ;

б) дифференцируема в точке , то она дифференцируема в любой точке .

Решение. Пусть любое положительное число, h0, + h.

а) Составим приращение функции в точке

= -

и покажем, что при . А это будет означать непрерывность функции в точке . Действительно, в силу задачи (1) имеем -= = .

Отсюда на основании непрерывности функции в точке , получим = = =0 .

б) Составим отношение

(2)

По условию функция дифференцируема в точке , поэтому из (2) получим

= = =

= .

Таким образом, функция дифференцируема в точке и ее производная равна

= = , .

Отсюда следует, что функция дифференцируема любое натуральное число раз при . При этом производная n-го порядка находится по формуле

() = , 0.

Задача 3. Пусть функция непрерывна в точке и на промежутке (0,+) является решением уравнения (1).Доказать, что для любого и любого R справедливо равенство

= (3)

Решение. а) Равенство (3) при следует из равенства

(4)

что на основании (1) доказывается методом математической индукции.

Тогда, полагая в (4) , получим

б) На основании задачи 1 имеем

Итак, для любого целого , . Тогда

Отсюда

г) Пусть =, , В этом случае

===

д) Если , т.е. является иррациональным числом, то существует последовательность рациональных чисел , такая, что . По условию функция непрерывна в точке . В силу задачи 2 она непрерывна на промежутке (0,+). Тогда в силу непрерывности показательной функции и функции на (0,+) имеем

(5)

с другой стороны

. (6)

Из (5) и (6) следует справедливость (3).

Теорема. Для каждого действительного числа и существует единственная непрерывная в точке функция , удовлетворяющая уравнению (1) при всех из промежутка (0,+) и условию =1. Этой функцией является логарифмическая функция =.

Доказательство:

Единственность решения. Пусть существуют две непрерывные в точке функции и , удовлетворяющие уравнению (1) на (0,+) и условию ==1. На основании задачи 2 функции и непрерывны на (0,+). Как известно, для любого t R показательная функция и в силу ее непрерывности принимает значения от 0 до , если t пробегает множество действительных чисел. Тогда в силу задачи 3 для t R

= t= t и = t= t.

Отсюда следует, что = при и функция является обратной для показательной функции .

Существование решения. Из теоремы единственности следует, что если функция непрерывна в точке , удовлетворяет на (0,+) функциональному уравнению (1) и =1, то является обратной для показательной функции , t R . Поскольку показательная функция строго монотонна на R , то для нее существует обратная функция, которая называется логарифмической и обозначается

. (7)

Покажем, что функция (7) удовлетворяет функциональному уравнению (1). Пусть и y произвольные положительные действительные числа t и s, такие, что и по определению логарифмов

и ,

причем

== t, = = s,

==, ==.

На основании того, что показательная функция удовлетворяет уравнению

, имеем

====.

Отсюда, поскольку показательная функция строго монотонна, следует

=+, (8)

т.е. функция (7) является решением уравнения (1) при всех и y из промежутка (0,+). Нетрудно видеть, что ==1. Непрерывность функции (7) в точке следует из непрерывности показательной функции в нуле.

Таким образом, функциональное уравнение (1) на промежутке (0,+) в классе непрерывных в единице функций при начальном условии =1 определяет единственную функцию, которая является логарифмической функцией, и можно дать следующее определение логарифмической функции.

Определение. Логарифмической функцией с основанием , называется функция , непрерывная в точке , удовлетворяющая функциональному уравнению (1) при всех и y из (0,+) и условию =1. Она обозначается символом = .

3.Функциональное уравнение, определяющее степенную функцию

Рассмотрим функциональное уравнение

, (1)

где - определенная на = (0,+) функция.

Задача 1. Пусть функция на промежутке является решением уравнения (1) и тождественно не равна нулю на промежутке . Тогда

а) при всех ; б) ;

в) = ; г) = .

Решение. Пусть функция при всех и y из удовлетворяет функциональному уравнению (1). Тогда уравнение (1) является тождеством. а) Поскольку тождественно не равна нулю, то существует точка , такая, что . Тогда из уравнения (1) при всех имеем = = .

Отсюда для любого из .

Полагая в уравнении (1) , получим

= = .

Если принимает значения от нуля до бесконечности, то также пробегает промежуток (0,+). Поэтому при всех .

б) При из уравнения (1) получим

.

Откуда или . В силу пункта а) .

в) При всех имеем:

= =1.

Отсюда

г) Пусть и y - произвольные положительные действительные числа. Тогда в силу в)

Задача 2. Пусть функция является на решением уравнения (1). Доказать, что если:

а) функция непрерывна в точке , то она непрерывна в любой точке ;

б) функция дифференцируема в точке , то она дифференцируема в любой точке .

Решение.

а) Пусть - любая точка из , отличная от единицы, и . Тогда в силу уравнения (1)

== . (2)

По условию функция непрерывна в точке , поэтому при функция . Тогда из равенства (2) при получим, что . А это означает, что , т.е. функция непрерывна в точке .

б) Составим разностное отношение

Где , . Найдем предел отношения

так как дифференцируема в точке . А это значит, что существует конечный предел

Следовательно, функция дифференцируема в точке и ее производная равна

=.

Задача 3. Если функция непрерывна в точке и является на решением уравнения (1), то для любого и любого справедливы равенства

=, (3)

, (4)

где , .

Решение. Пусть - произвольное, фиксированное положительное действительное число и пусть =b. В силу задачи 1 число b. Тогда на основании уравнения (1) и метода математической индукции при любом nN имеем

==. (5)

В силу задачи 1

=====,

=.

Итак, для любого kZ

==. (6)

Далее на основании (5):

=.

Отсюда

==. (7)

Пусть r = , Z, nN.Тогда в силу (6) и (7) получим

=====.

Итак, для любого r

=. (8)

Пусть любое иррациональное число. Тогда существует последовательность рациональных чисел , такая, что . По условию функция непрерывна в точке . В силу задачи 2 она непрерывна всюду на промежутке . Тогда на основании непрерывности показательной функции и теоремы о непрерывности сложной функции существует конечный предел

==. (9)

С другой стороны на основании равенства (8) имеем

==. (10)

Из (9) и (10) в силу единственности предела вытекает справедливость равенства (3).

В равенстве (3) произведем замену: =t, y= Тогда

====.

Тем самым доказано равенство (4).

Теорема. Для произвольных положительных действительных чисел и существует единственная функция f , определенная на промежутке и удовлетворяющая следующим условиям:

1) f непрерывна в точке ;

2) f на является решением функционального уравнения (1);

3) .

Эта функция имеет вид: ,.

Доказательство:

Единственность решения. Пусть существуют две функции f и g, удовлетворяющие условиям 1)3) теоремы. Тогда на основании задачи 3

= при всех , где .

Существование решения. Для обоснования существования функции f , удовлетворяющей условиям 1)3), воспользуемся задачей 4. В параграфе 1 было показано, что функциональное уравнение (11) при любом и имеет единственное непрерывное на R решение = Тогда в силу задачи (4) функция

= == ==

является на решением функционального уравнения (1), непрерывна на и ===. Теорема доказана.

На основании этой теоремы можно сформулировать следующее определение степенной функции.

Определение. Пусть a и b заданные положительные числа и и . Степенной называется функция , определенная на и удовлетворяющая следующим условиям:

1) f непрерывна в точке ;

2) f на является решением функционального уравнения (1);

3) . Она обозначается символом ,.

Заключение

В данной работе были рассмотрены функциональные уравнения и некоторые способы их решения. В ходе работы мы убедились, что функциональные уравнения - это общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях. Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

Список литературы

1. Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. - Самара: В мире науки, 1999

2. Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. - К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. - 96 с

3. Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, с. 116 - 120

4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.- СПб.: Лань, 1997. - 160 с

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах: том 1. - М.: Наука, 1968, c. 157 - 162

6. Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения.М.:''Высшая школа'',2005,с.190199

Размещено на Allbest.ru