Методы решения системы линейных уравнений. Интерполяция

Описание методов решения системы линейного алгебраического уравнения: обратной матрицы, Якоби, Гаусса-Зейделя. Постановка и решение задачи интерполяции. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов. Особенности метода релаксации.

Рубрика Математика
Вид лабораторная работа
Язык русский
Дата добавления 06.12.2011
Размер файла 4,9 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

Содержание

  • 1. Постановка задачи
  • 2. Описание методов решения
  • 2.1 Метод обратной матрицы
  • 2.2 Метод Якоби
  • 2.3 Метод Гаусса-Зейделя
  • 3. Результаты расчетов
  • 3.1 Метод обратной матрицы
  • 3.2 Метод Якоби
  • 3.3 Метод Гаусса-Зейделя
  • 5. Интерполяция
  • 6. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов (МНК)
  • 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

1. Постановка задачи

Найти решение системы линейных уравнений Ах=f, где

А=

36

-5

-11

-19

1

33

-11

-20

5

-1

26

-19

11

4

-5

21

f=

-9

-8

-7

-6

2. Описание методов решения

2.1 Метод обратной матрицы

х=АП№f,

где АП№ - обратная матрица от матрицы А, которая находится с помощью функции Excel МУМНОЖ и МОБР.

2.2 Метод Якоби

Точность е=0.001.

2.3 Метод Гаусса-Зейделя

Точность е=0.001.

3. Результаты расчетов

3.1 Метод обратной матрицы

3.2 Метод Якоби

Решение оформляем в виде таблицы.

система линейное алгебраическое уравнение

3.3 Метод Гаусса-Зейделя

Решение оформляем в виде таблицы.

Вывод:

Метод обратной матрицы требует значительного количества времени и трудоёмок в расчёте на бумаге, как и оба других метода, рассмотренных в данной работе, но в программе Excel этот метод является одним из самых простых, так как выполняется с помощью двух операций и даёт точный результат.

Т.е. метод обратной матрицы является точным методом - где корень находится за конечное число действий и представляется некоторой алгебраической формулой.

Оба других метода дают решение с необходимой точностью только при выполнении определённого числа приближений. Такие методы называются итерационными - процесс нахождения решения в таких методах бесконечен. Метод Гаусса-Зейделя достигает необходимой точности быстрее, чем метод Якоби.

5. Интерполяция

Постановка задачи интерполяции.

На интервале [a,b] задана система точек (узлы интерполяции) xi, i=0,1,…,N; a ? x i ? b, и значения неизвестной функции в этих узлах fn i=0,1,2,…,N. Могут быть поставлены следующие задачи:

1) Построить функцию F (x), принимающую в узлах интерполяции xi, заданные значения fi: F (xi) =fi, i=0,1,…, N (условия интерполяции);

2) Для данного значения z є [a,b] найти F (z);

Решение задачи интерполяции.

Задача имеет много решений: через заданные точки (xi, fi) можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Локальная интерполяция: на каждом интервале [xi-1, xi] строится своя функция. Глобальная интерполяция: одна функция для всего интервала [a,b].

Пример локальной интерполяции: Кусочно-постоянная. На каждом интервале [xi-1, xi] искомая функция является постоянной:, Fi (z) =fi, z [xi-1, xi], i=1,2,.,N. Условия интерполяция выполняются, однако найденная функция является разрывной.

Кусочно-линейная. На каждом интервале функция является линейной Fi (z) =kiz+ci; значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка: Fi (xi-1) = fi-1, Fi (xi) = fi. Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции.

Пример глобальной интерполяции: Полином Лагранжа Ln (z) = Уfili (z), полином Лагранжа

,

где

и т.д., или, в общем случае

, i=0,1,2,.,N.

Формулировка задания.

1. Задана исходная функция g (x) =1/ (1+х2) и интервал [2; 3]. Построить узлы интерполяции xi = a+h i, i=0,1,…,N, h= (b-a) /N, (N-параметр задачи), и вычислить в этих узлах значения fi= g (xi). Таким образом, получены исходные данные для задачи интерполяции. Построить график функции на отрезке [2; 3].

2. Вычислить значение в некоторой произвольной точке z є [a,b], не совпадающей ни с одним из узлов xi с помощью кусочно-линейной интерполяции. Найти погрешность метода |g (z) - F (z) | при N=10, N=20 и N=40. Вычисления оформлены в программе EXCEL.

3. Вычислить значение F (1.12) с помощью полинома Лагранжа LN (z), где z - произвольная точка из отрезка [2; 3], не совпадающая ни с одним из узлов xi. Найти погрешность метода |g (z) - F (z) | при N=10, N=20 и N=40. Расчёты провести при N=10, N=20 и N=40. Вычисления оформлены в программе EXCEL.

4. Решение:

Для N=10

a=

0,3

b=

1,5

N=

10

h=

0,12

i

x (i)

f (i)

0

0,3

11,45053

1

0,42

6,014365

2

0,54

3,783067

3

0,66

2,660195

4

0,78

2,021828

5

0,9

1,629723

6

1,02

1,377243

7

1,14

1,211219

8

1,26

1,103173

9

1,38

1,037305

10

1,5

1,005029

Полином Лагранжа

Для N=20

a=

0,3

b=

1,5

N=

20

h=

0,06

i

x (i)

f (i)

0

0,3

11,45053

1

0,36

8,058204

2

0,42

6,014365

3

0,48

4,689552

4

0,54

3,783067

5

0,6

3,136555

6

0,66

2,660195

7

0,72

2,299971

8

0,78

2,021828

9

0,84

1,803448

10

0,9

1,629723

11

0,96

1,490147

12

1,02

1,377243

13

1,08

1,285596

14

1,14

1,211219

15

1,2

1,15115

16

1,26

1,103173

17

1,32

1,065633

18

1,38

1,037305

19

1,44

1,017305

20

1,5

1,005029

Полином Лагранжа

z=

0.560

i

Xi

g (Xi)

li

li*fi (x)

0

0.3

11.450531

8.65233E-06

9.91E-05

1

0.36

8.0582037

-0.000224961

-0.00181

2

0.42

6.0143652

0.003053037

0.018362

3

0.48

4.6895515

-0.032056887

-0.15033

4

0.54

3.7830666

0.544967083

2.061647

5

0.6

3.136555

0.871947333

2.734911

6

0.66

2.6601951

-0.871947333

-2.31955

7

0.72

2.2999707

1.089934166

2.506817

8

0.78

2.0218279

-1.288104015

-2.60432

9

0.84

1.8034481

1.349442301

2.433649

10

0.9

1.6297234

-1.222435967

-1.99223

11

0.96

1.4901468

0.944609611

1.407607

12

1.02

1.3772434

-0.616049746

-0.84845

13

1.08

1.2855956

0.335364359

0.431143

14

1.14

1.2112186

-0.150335747

-0.18209

15

1.2

1.1511496

0.054496708

0.062734

16

1.26

1.1031731

-0.015570488

-0.01718

17

1.32

1.0656335

0.003374409

0.003596

18

1.38

1.0373053

-0.00052125

-0.00054

19

1.44

1.0173047

5.11274E-05

5.2E-05

20

1.5

1.0050289

-2.3932E-06

-2.4E-06

f (z) =

3.544104

g (z) =

3.544104

[g (z) - f (z)] =

7.73E-09

Для N=40

a=

0,3

b=

1,5

N=

40

h=

0,03

i

x (i)

f (i)

0

0,3

11,45053

1

0,33

9,523457

2

0,36

8,058204

3

0,39

6,918345

4

0,42

6,014365

5

0,45

5,285552

6

0,48

4,689552

7

0,51

4, 196091

8

0,54

3,783067

9

0,57

3,434034

10

0,6

3,136555

11

0,63

2,881084

12

0,66

2,660195

13

0,69

2,468041

14

0,72

2,299971

15

0,75

2,152244

16

0,78

2,021828

17

0,81

1,906244

18

0,84

1,803448

19

0,87

1,711746

20

0,9

1,629723

21

0,93

1,556191

22

0,96

1,490147

23

0,99

1,430739

24

1,02

1,377243

25

1,05

1,32904

26

1,08

1,285596

27

1,11

1,246454

28

1,14

1,211219

29

1,17

1,179549

30

1,2

1,15115

31

1,23

1,125765

32

1,26

1,103173

33

1,29

1,083184

34

1,32

1,065633

35

1,35

1,05038

36

1,38

1,037305

37

1,41

1,026308

38

1,44

1,017305

39

1,47

1,010229

40

1,5

1,005029

Полином Лагранжа

z=

0.560

i

Xi

g (Xi)

li

li*fi (x)

0

0.3

11.450531

1.7477E-10

2E-09

1

0.33

9.5234572

-7.90265E-09

-7.5E-08

2

0.36

8.0582037

1.77217E-07

1.43E-06

3

0.39

6.9183454

-2.64088E-06

-1.8E-05

4

0.42

6.0143652

2.96628E-05

0.000178

5

0.45

5.2855515

-0.000271819

-0.00144

6

0.48

4.6895515

0.002180213

0.010224

7

0.51

4.1960913

-0.016943366

-0.0711

8

0.54

3.7830666

0.174728462

0.661009

9

0.57

3.4340335

1.242513507

4.266833

10

0.6

3.136555

-0.962947968

-3.02034

11

0.63

2.8810843

1.500698131

4.323638

12

0.66

2.6601951

-2.538681005

-6.75339

13

0.69

2.4680414

4.206098707

10.38083

14

0.72

2.2999707

-6.590806456

-15.1587

15

0.75

2.1522437

9.620264862

20.70515

16

0.78

2.0218279

-12.9818915

-26.2472

17

0.81

1.9062437

16.12809109

30.74407

18

0.84

1.8034481

-18.40010393

-33.1836

19

0.87

1.7117463

19.24357219

32.94011

20

0.9

1.6297234

-18.42289043

-30.0242

21

0.93

1.5561913

16.12299291

25.09046

22

0.96

1.4901468

-12.88007275

-19.1932

23

0.99

1.4307391

9.376797147

13.41575

24

1.02

1.3772434

-6.20873072

-8.55093

25

1.05

1.3290396

3.730306783

4.957725

26

1.08

1.2855956

-2.027940448

-2.60711

27

1.11

1.2464536

0.994168785

1.239185

28

1.14

1.2112186

-0.437703622

-0.53015

29

1.17

1.179549

0.172211261

0.203132

30

1.2

1.1511496

-0.060184248

-0.06928

31

1.23

1.1257646

0.018544978

0.020877

32

1.26

1.1031731

-0.004992242

-0.00551

33

1.29

1.0831842

0.001160505

0.001257

34

1.32

1.0656335

-0.000229496

-0.00024

35

1.35

1.0503804

3.78482E-05

3.98E-05

36

1.38

1.0373053

-5.06437E-06

-5.3E-06

37

1.41

1.0263077

5.28176E-07

5.42E-07

38

1.44

1.0173047

-4.02766E-08

-4.1E-08

39

1.47

1.0102291

1.99737E-09

2.02E-09

40

1.5

1.0050289

-4.83407E-11

-4.9E-11

f (z) =

3.544104

g (z) =

3.544104

[g (z) - f (z)] =

3.55E-14

Поведение погрешности при КПИ: Поведение погрешности при КЛИ:

N

EPS

10

0,883908697

20

0,407548782

40

0,110070296

N

EPS

10

0,051817518

20

0,023458914

40

0,006274056

При увеличении N погрешность уменьшается.

Поведение погрешности метода полинома Лагранжа для z=0,56 принадлежащему отрезку [a; b] в трёх точках этого отрезка при N=10, 20, 40:

z=0.56

N

[a; b]

z

EPS

0,400

0,002772

10

0.3-1.5

1,000

3,34E-05

1,400

0,000713

0,400

8,55E-07

20

0.3-1.5

1,000

2, 19E-10

1,400

2,30E-07

0,400

5,80E-11

40

0.3-1.5

1,000

1,11E-15

1,400

9,10E-11

Поведение погрешности при методе Лагранжа:

Для z=0.56

N

EPS

10

0,000253334

20

7,72803E-09

40

3,55271E-14

Вывод: Из таблицы видно, что при увеличении N погрешность убывает при КПИ и КЛИ, а в методе Лагранжа при увеличение значений N погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что данный метод не сходиться. Наименьшую погрешность получаем при интерполяции методом Лагранжа, далее идет кусочно-линейная интерполяция и затем кусочно-постоянная интерполяция.

6. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов (МНК)

Формулировка задания.

Задана система точек (узлы интерполяции) xi, i=1,2,…,N; a ? xi ? b, и значения fn i=1,2,…,N. Требуется построить полиномы:

а) 1-й степени P1 (x) =a1+a2x,

б) 3-й степени P3 (x) =a1+a2x+a3xІ+a4xі,

Краткое описание метода Задана система точек (узлы интерполяции) xi, i = 1,2,.,N; a xi b, и значения fi, i = 1,2,.,N. Требуется построить многочлен 3-ей степени P3 (x) =a1+a2x+a3x2+a4x3, имеющий в узлах интерполяции минимальное отклонение от заданных значений fi. Искомыми величинами являются коэффициенты полинома (a1,a2,a3,a4). В отличие от точной задачи интерполяции, здесь не требуется точное выполнение условий интерполяции. Искомый многочлен должен быть самым близким к заданным точкам из всех возможных многочленов третьей степени в смысле МНК. В i-ой точке полином P3 (x) отклоняется от значения fi на величину (P3 (xi) - fi). Суммируя квадраты отклонений полинома по всем точкам i=1,2,…N, построим функционал квадратов отклонений, зависящий от коэффициентов полинома:

Потребуем, чтобы min. Это будет выполняться, если

Собирая коэффициенты при неизвестных ai, получим систему линейных алгебраических уравнений.

(1)

имеющие в узлах интерполяции минимальное отклонение от заданных значений fi. Искомыми величинами являются коэффициенты полинома (a i). Полиномы должны быть самым близким к заданным точкам из всех возможных полиномов, соответствующей степени в смысле МНК, т.е. сумма квадратов отклонений N

У (fi-Pk (xi)) І должна быть минимальной.

i=1

1. Получить систему нормальных уравнений для каждого полинома.

2. Вычислить коэффициенты a i.

3. Определить какой из полиномов имеет минимальную сумму квадратов отклонений.

Вычисления оформлены в программе Excel:

Xi

Fi

-1

-1

-0,9

-1,8

-0,7

-3,1

-0,6

-3,5

-0,3

-4,2

-0,1

-4,2

0

-4

0,2

-3,4

0,3

-3,1

0,4

-2,6

0,5

-2,1

0,7

-1

0,8

-0,4

0,9

0,3

1

1

Для полинома 3й степени P3 (x) =a1+a2*x+a3*x^2+a4*x^3

B=

15

1,2

6,24

0,492

c=

-33,1

1,2

6,24

0,492

4,4376

5,12

6,24

0,492

4,4376

0,29172

-6,516

0,492

4,4376

0,29172

3,628224

4,3802

a=

a1

a2

a3

a4

Метод Крамера:

Д=

15

1,2

6,24

0,492

77,90012

1,2

6,24

0,492

4,4376

6,24

0,492

4,4376

0,29172

0,492

4,4376

0,29172

3,628224

Д1=

-33,1

1,2

6,24

0,492

-311,1236121

5,12

6,24

0,492

4,4376

-6,516

0,492

4,4376

0,29172

4,3802

4,4376

0,29172

3,628224

Д2=

15

-33,1

6,24

0,492

154,5667

1,2

5,12

0,492

4,4376

6,24

-6,516

4,4376

0,29172

0,492

4,3802

0,29172

3,628224

Д3=

15

1,2

-33,1

0,492

311,0849

1,2

6,24

5,12

4,4376

6,24

0,492

-6,516

0,29172

0,492

4,4376

4,3802

3,628224

Д4=

15

1,2

6,24

-33,1

-77,8243

1,2

6,24

0,492

5,12

6,24

0,492

4,4376

-6,516

0,492

4,4376

0,29172

4,3802

а1=

-3,993878302

а2=

1,984165613

а3=

3,993380955

а4=

-0,999027153

Сумма МНК=

0,00020633

0,000278823

0,000276515

0,000959182

7,56232E-06

0,002365652

3,74752E-05

0,002052286

0,001142571

0,000635486

0,000802512

8,332E-05

0,001422504

3,17364E-06

0,000235895

Сумма=

0,010509288

Для полинома степени P (x) =a0+a1*x

B=

15

1,2

1,2

6,24

c=

-33,1

5,12

a=

a1

a2

Метод Крамера:

Д=

15

1,2

92,16

1,2

6,24

Д1=

-33,1

1,2

-212,688

5,12

6,24

Д2=

15

-33,1

116,52

1,2

5,12

а1=

-2,30781

а2=

1,264323

Сумма МНК=

6,615880602

2,708338776

0,008618995

0,18800354

2,288838043

3,117891456

2,863498535

1,809165107

1,372375641

0,636671007

0,180072038

0,178748389

0,803450792

2,160670319

4,175849677

Сумма МНК=

29,10807292

Сумма квадратов отклонений для полинома 3-й степени меньше чем 1-й, поэтому

График полинома 3-й степени более точный к заданному графику.

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод релаксации.

I. ОПИСАНИЕ МЕТОДА.

Задана СЛАУ ,

которую можно записать также в матричном виде: , где - матрица системы, - вектор правых частей, - вектор неизвестных. Предположим, что система имеет решение, т.е. det B0. Для решения СЛАУ существуют точные (прямые) и приближенные (итерационные) методы. Точные методы позволяют получить решение за конечное число арифметических операций. В приближенных методах решение получается в результате бесконечного повторения единообразных вычислений (итераций). Примеры точных методов: метод Гаусса, метод обратной матрицы, метод Крамера.

С итерационными методами познакомимся на примере метода простой итерации решения СЛАУ.

Запишем исходную систему в виде , где D, - новые матрица и вектор, построенные по исходным B и . Одним из возможных вариантов такой записи является релаксационный метод: ????? - параметр, значение которого подбирается таким образом, чтобы построенный итерационный метод сходился.

Зададим точность метода ?>0, введем - вектор начального приближения к решению. Вектор может быть произвольным, часто в качестве начального приближения используют нулевой вектор:

Следующее приближение для метода релаксации находится следующим образом: , или в скалярном виде:

Вычислим вектор невязки: , или, , показывающий, насколько полученное приближение отличается от точного решения.

Вычислим норму вектора невязки . Если невязка большая, т.е. , то необходимо вычислить еще по крайней мере одно приближение. Для этого занесем вычисленные значения в вектор и повторим шаги 3_5, которые образуют итерационный цикл. Условием выхода из цикла является .

Итерационный процесс сходится не для всякой матрицы D. В случае метода релаксации сходимость метода можно обеспечить выбором значения параметра ?.

N

tau

n

а1

а2

а3

а4

EPS

15

0,1

0

0

0

0

0

1

-3,31

0,512

-0,6516

0,43802

3,31

2

-1,33139

0,939394965

1,013426

0,671772

1,978608

3

-3,42246

0,677013532

0,677081

0,485133

2,091068

4

-2,12638

0,928657304

1,813174

0,595338

1,296081

5

-3,51896

0,7629455

1,620763

0,456979

1,392581

6

-2,67591

0,938612329

2,394897

0,516484

0,843048

7

-3,6045

0,839003982

2,28906

0,412384

0,928591

8

-3,05709

0,964384492

2,817568

0,439031

0,547412

9

-3,67694

0,908010927

2,763014

0,35802

0,619851

10

-3,32223

0,999829981

3,124593

0,363506

0,361579

11

-3,7365

0,971563497

3,099696

0,298256

0,414273

12

-3,50722

1,040828256

3,347648

0,290333

0,247952

13

-3,7845

1,030675949

3,339325

0,236033

0,277281

14

-3,63678

1,084637746

3,509802

0,219825

0,170477

15

-3,8227

1,086005557

3,510266

0,173311

0,185918

16

-3,7279

1,129448482

3,627827

0,152199

0,117561

17

-3,85283

1,137992278

3,632546

0,111376

0,124929

18

-3,79233

1,174079788

3,713897

0,087581

0,081351

19

-3,87651

1,186944806

3,720313

0,051056

0,084174

20

-3,83817

1,217775801

3,776839

0,026028

0,056526

21

-3,89508

1,233093079

3,783572

-0,00714

0,056909

22

-3,87103

1,260067032

3,823042

-0,03246

0,03947

23

-3,90967

1,276619894

3,829404

-0,0629

0,038644

24

-3,89481

1,300676539

3,857129

-0,08793

0,027726

25

-3,9212

1,317679675

3,862823

-0,11609

0,028162

26

-3,91221

1,339456296

3,882441

-0,14045

0,024357

27

-3,93036

1,356409388

3,887385

-0,16664

0,026198

28

-3,92512

1,376344015

3,901391

-0, 19011

0,023467

29

-3,93772

1,392934741

3,905613

-0,21458

0,024465

30

-3,93484

1,411333846

3,915721

-0,23703

0,022454

31

-3,94369

1,427373603

3,919297

-0,25994

0,022909

32

-3,94229

1,444456494

3,926688

-0,28132

0,021384

33

-3,9486

1,459837801

3,929711

-0,30281

0,02149

34

-3,94812

1,475765751

3,935199

-0,32311

0,020297

35

-3,9527

1,490434026

3,937761

-0,34329

0,020184

36

-3,95278

1,505329383

3,941909

-0,36251

0,01922

37

-3,95617

1,519264259

3,944093

-0,38149

0,018974

38

-3,95657

1,533222991

3,947291

-0,39966

0,01817

39

-3,95915

1,546425946

3,949167

-0,4175

0,017845

40

-3,95974

1,5595259

3,951688

-0,43466

0,017158

41

-3,96174

1,572012089

3,953314

-0,45145

0,01679

42

-3,96243

1,584318422

3,955345

-0,46764

0,016188

43

-3,96403

1,596111292

3,956769

-0,48344

0,015801

44

-3,96476

1,607680071

3,958444

-0,4987

0,015264

45

-3,96608

1,61880782

3,959703

-0,51358

0,014873

46

-3,96681

1,629688407

3,961113

-0,52796

0,014386

47

-3,96792

1,640181674

3,962237

-0,54196

0,014

48

-3,96863

1,650418332

3,963449

-0,55552

0,013555

49

-3,96959

1,660308697

3,964462

-0,5687

0,01318

50

-3,97028

1,669941666

3,965522

-0,58147

0,012769

51

-3,97113

1,679260691

3,96644

-0,59388

0,012408

52

-3,97179

1,688326935

3,967382

-0,6059

0,012027

53

-3,97254

1,69710556

3,968221

-0,61758

0,011681

54

-3,97317

1,705639289

3,969068

-0,62891

0,011326

55

-3,97385

1,713907462

3,96984

-0,63991

0,010998

56

-3,97444

1,721940507

3,970609

-0,65057

0,010665

57

-3,97506

1,729726976

3,971321

-0,66093

0,010354

58

-3,97562

1,737289057

3,972026

-0,67097

0,010043

59

-3,9762

1,744621257

3,972687

-0,68072

0,009748

60

-3,97672

1,751740205

3,973336

-0,69017

0,009456

61

-3,97725

1,758644214

3,973951

-0,69935

0,009177

62

-3,97775

1,765346132

3,974553

-0,70825

0,008903

63

-3,97824

1,771846669

3,975126

-0,71689

0,00864

64

-3,97871

1,778156069

3,975686

-0,72528

0,008382

65

-3,97917

1,784276519

3,976222

-0,73341

0,008134

66

-3,97961

1,790216442

3,976744

-0,7413

0,007892

67

-3,98004

1,795978898

3,977245

-0,74896

0,007658

68

-3,98045

1,80157101

3,977733

-0,75639

0,00743

69

-3,98085

1,806996322

3,978204

-0,7636

0,00721

70

-3,98124

1,812261008

3,978661

-0,7706

0,006995

71

-3,98162

1,817368839

3,979102

-0,77738

0,006788

72

-3,98199

1,822325281

3,979531

-0,78397

0,006586

73

-3,98234

1,82713417

3,979945

-0,79036

0,00639

74

-3,98269

1,831800421

3,980347

-0,79656

0,0062

75

-3,98302

1,836327835

3,980737

-0,80258

0,006016

76

-3,98334

1,840720888

3,981114

-0,80841

0,005837

77

-3,98366

1,844983284

3,98148

-0,81408

0,005664

78

-3,98396

1,849119135

3,981836

-0,81957

0,005496

79

-3,98426

1,853132012

3,98218

-0,82491

0,005332

80

-3,98454

1,857025721

3,982514

-0,83008

0,005174

81

-3,98482

1,860803678

3,982837

-0,8351

0,00502

82

-3,98509

1,864469421

3,983151

-0,83997

0,004871

83

-3,98535

1,868026203

3,983456

-0,8447

0,004726

84

-3,9856

1,871477328

3,983751

-0,84928

0,004586

85

-3,98585

1,87482588

3,984038

-0,85373

0,00445

86

-3,98609

1,87807495

3,984316

-0,85805

0,004317

87

-3,98632

1,88122746

3,984586

-0,86224

0,004189

88

-3,98655

1,884286306

3,984847

-0,86631

0,004065

89

-3,98676

1,887254249

3,985101

-0,87025

0,003944

90

-3,98698

1,890134007

3,985347

-0,87408

0,003827

91

-3,98718

1,892928187

3,985586

-0,87779

0,003713

92

-3,98738

1,895639343

3,985818

-0,88139

0,003603

93

-3,98757

1,898269932

3,986043

-0,88489

0,003496

94

-3,98776

1,900822357

3,986261

-0,88828

0,003392

95

-3,98794

1,903298933

3,986473

-0,89157

0,003291

96

-3,98812

1,905701919

3,986678

-0,89476

0,003193

97

-3,98829

1,908033498

3,986877

-0,89786

0,003098

98

-3,98846

1,910295795

3,98707

-0,90087

0,003006

99

-3,98862

1,912490866

3,987258

-0,90378

0,002917

100

-3,98877

1,91462071

3,98744

-0,90661

0,00283

101

-3,98892

1,916687265

3,987617

-0,90936

0,002746

102

-3,98907

1,918692412

3,987788

-0,91202

0,002664

103

-3,98921

1,920637975

3,987954

-0,91461

0,002585

104

-3,98935

1,922525726

3,988115

-0,91712

0,002508

105

-3,98949

1,924357381

3,988272

-0,91955

0,002434

106

-3,98962

1,926134607

3,988424

-0,92191

0,002362

107

-3,98975

1,927859023

3,988571

-0,92421

0,002291

108

-3,98987

1,929532197

3,988714

-0,92643

0,002223

109

-3,98999

1,931155652

3,988853

-0,92859

0,002157

110

-3,9901

1,932730865

3,988987

-0,93068

0,002093

111

-3,99021

1,93425927

3,989118

-0,93271

0,002031

112

-3,99032

1,935742259

3,989244

-0,93468

0,001971

113

-3,99043

1,937181179

3,989367

-0,93659

0,001912

114

-3,99053

1,938577341

3,989487

-0,93845

0,001855

115

-3,99063

1,939932016

3,989602

-0,94025

0,0018

116

-3,99073

1,941246436

3,989715

-0,942

0,001747

117

-3,99082

1,942521798

3,989824

-0,94369

0,001695

118

-3,99091

1,943759262

3,989929

-0,94533

0,001644

119

-3,991

1,944959953

3,990032

-0,94693

0,001596

120

-3,99109

1,946124966

3,990131

-0,94848

0,001548

121

-3,99117

1,94725536

3,990228

-0,94998

0,001502

122

-3,99125

1,948352164

3,990322

-0,95144

0,001457

123

-3,99133

1,949416376

3,990413

-0,95285

0,001414

124

-3,9914

1,950448964

3,990501

-0,95422

0,001372

125

-3,99148

1,951450869

3,990586

-0,95556

0,001331

126

-3,99155

1,952423002

3,990669

-0,95685

0,001292

127

-3,99162

1,953366247

3,99075

-0,9581

0,001253

128

-3,99168

1,954281463

3,990828

-0,95932

0,001216

129

-3,99175

1,965169483

3,990904

-0,9605

0,00118

130

-3,99181

1,966031116

3,990978

-0,96164

0,001145

131

-3,99187

1,976867144

3,991049

-0,97275

0,001111

132

-3,99193

1,97767833

3,991118

-0,97383

0,001078

133

-3,99199

1,978465411

3,992186

-0,98488

0,001046

134

-3,99205

1,982229103

3,993251

-0,98589

0,001015

135

-3,99298

1,983970102

3,993314

-0,99898

0,000985

Подбор коэффициента ??

tau

Сходимость процесса

1,5

расходится

0,5

расходится

0,2

расходится

0,1

сходится

Количество итераций для е=10-3 =135

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.

    курсовая работа [322,7 K], добавлен 27.04.2011

  • Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.

    курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011

  • Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.

    контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015

  • Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.

    контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010

  • Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

    реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009

  • Сущность итерационного метода решения задачи, оценка его главных преимуществ и недостатков. Разновидности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений: Якоби, Хорецкого и верхней релаксации, их отличия и возможности применения.

    курсовая работа [39,2 K], добавлен 01.12.2009

  • Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

    контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010

  • Способы решения системы линейных алгебраических уравнений: по правилу Крамера, методом матричным и Жордана-Гаусса. Анализ решения задачи методом искусственного базиса. Характеристика основной матрицы, составленной из коэффициентов системы при переменных.

    контрольная работа [951,8 K], добавлен 16.02.2012

  • Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.

    курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014

  • Методы решения систем линейных уравнений. Метод Якоби в матричной записи. Достоинство итерационного метода верхних релаксаций, вычислительные погрешности. Метод блочной релаксации. Разбор метода релаксаций в системах линейных уравнений на примере.

    курсовая работа [209,1 K], добавлен 27.04.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.