Методы решения системы линейных уравнений. Интерполяция
Описание методов решения системы линейного алгебраического уравнения: обратной матрицы, Якоби, Гаусса-Зейделя. Постановка и решение задачи интерполяции. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов. Особенности метода релаксации.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.12.2011 |
| Размер файла | 4,9 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
23
Содержание
- 1. Постановка задачи
- 2. Описание методов решения
- 2.1 Метод обратной матрицы
- 2.2 Метод Якоби
- 2.3 Метод Гаусса-Зейделя
- 3. Результаты расчетов
- 3.1 Метод обратной матрицы
- 3.2 Метод Якоби
- 3.3 Метод Гаусса-Зейделя
- 5. Интерполяция
- 6. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов (МНК)
- 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
1. Постановка задачи
Найти решение системы линейных уравнений Ах=f, где
А=
|
36 |
-5 |
-11 |
-19 |
|
|
1 |
33 |
-11 |
-20 |
|
|
5 |
-1 |
26 |
-19 |
|
|
11 |
4 |
-5 |
21 |
f=
|
-9 |
|
|
-8 |
|
|
-7 |
|
|
-6 |
2. Описание методов решения
2.1 Метод обратной матрицы
х=АП№f,
где АП№ - обратная матрица от матрицы А, которая находится с помощью функции Excel МУМНОЖ и МОБР.
2.2 Метод Якоби
Точность е=0.001.
2.3 Метод Гаусса-Зейделя
Точность е=0.001.
3. Результаты расчетов
3.1 Метод обратной матрицы
3.2 Метод Якоби
Решение оформляем в виде таблицы.
система линейное алгебраическое уравнение
3.3 Метод Гаусса-Зейделя
Решение оформляем в виде таблицы.
Вывод:
Метод обратной матрицы требует значительного количества времени и трудоёмок в расчёте на бумаге, как и оба других метода, рассмотренных в данной работе, но в программе Excel этот метод является одним из самых простых, так как выполняется с помощью двух операций и даёт точный результат.
Т.е. метод обратной матрицы является точным методом - где корень находится за конечное число действий и представляется некоторой алгебраической формулой.
Оба других метода дают решение с необходимой точностью только при выполнении определённого числа приближений. Такие методы называются итерационными - процесс нахождения решения в таких методах бесконечен. Метод Гаусса-Зейделя достигает необходимой точности быстрее, чем метод Якоби.
5. Интерполяция
Постановка задачи интерполяции.
На интервале [a,b] задана система точек (узлы интерполяции) xi, i=0,1,…,N; a ? x i ? b, и значения неизвестной функции в этих узлах fn i=0,1,2,…,N. Могут быть поставлены следующие задачи:
1) Построить функцию F (x), принимающую в узлах интерполяции xi, заданные значения fi: F (xi) =fi, i=0,1,…, N (условия интерполяции);
2) Для данного значения z є [a,b] найти F (z);
Решение задачи интерполяции.
Задача имеет много решений: через заданные точки (xi, fi) можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Локальная интерполяция: на каждом интервале [xi-1, xi] строится своя функция. Глобальная интерполяция: одна функция для всего интервала [a,b].
Пример локальной интерполяции: Кусочно-постоянная. На каждом интервале [xi-1, xi] искомая функция является постоянной:, Fi (z) =fi, z [xi-1, xi], i=1,2,.,N. Условия интерполяция выполняются, однако найденная функция является разрывной.
Кусочно-линейная. На каждом интервале функция является линейной Fi (z) =kiz+ci; значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка: Fi (xi-1) = fi-1, Fi (xi) = fi. Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции.
Пример глобальной интерполяции: Полином Лагранжа Ln (z) = Уfili (z), полином Лагранжа
,
где
и т.д., или, в общем случае
, i=0,1,2,.,N.
Формулировка задания.
1. Задана исходная функция g (x) =1/ (1+х2) и интервал [2; 3]. Построить узлы интерполяции xi = a+h i, i=0,1,…,N, h= (b-a) /N, (N-параметр задачи), и вычислить в этих узлах значения fi= g (xi). Таким образом, получены исходные данные для задачи интерполяции. Построить график функции на отрезке [2; 3].
2. Вычислить значение в некоторой произвольной точке z є [a,b], не совпадающей ни с одним из узлов xi с помощью кусочно-линейной интерполяции. Найти погрешность метода |g (z) - F (z) | при N=10, N=20 и N=40. Вычисления оформлены в программе EXCEL.
3. Вычислить значение F (1.12) с помощью полинома Лагранжа LN (z), где z - произвольная точка из отрезка [2; 3], не совпадающая ни с одним из узлов xi. Найти погрешность метода |g (z) - F (z) | при N=10, N=20 и N=40. Расчёты провести при N=10, N=20 и N=40. Вычисления оформлены в программе EXCEL.
4. Решение:
Для N=10
|
a= |
0,3 |
b= |
1,5 |
N= |
10 |
h= |
0,12 |
|
i |
x (i) |
f (i) |
|
|
0 |
0,3 |
11,45053 |
|
|
1 |
0,42 |
6,014365 |
|
|
2 |
0,54 |
3,783067 |
|
|
3 |
0,66 |
2,660195 |
|
|
4 |
0,78 |
2,021828 |
|
|
5 |
0,9 |
1,629723 |
|
|
6 |
1,02 |
1,377243 |
|
|
7 |
1,14 |
1,211219 |
|
|
8 |
1,26 |
1,103173 |
|
|
9 |
1,38 |
1,037305 |
|
|
10 |
1,5 |
1,005029 |
Полином Лагранжа
Для N=20
|
a= |
0,3 |
b= |
1,5 |
N= |
20 |
h= |
0,06 |
|
i |
x (i) |
f (i) |
|
|
0 |
0,3 |
11,45053 |
|
|
1 |
0,36 |
8,058204 |
|
|
2 |
0,42 |
6,014365 |
|
|
3 |
0,48 |
4,689552 |
|
|
4 |
0,54 |
3,783067 |
|
|
5 |
0,6 |
3,136555 |
|
|
6 |
0,66 |
2,660195 |
|
|
7 |
0,72 |
2,299971 |
|
|
8 |
0,78 |
2,021828 |
|
|
9 |
0,84 |
1,803448 |
|
|
10 |
0,9 |
1,629723 |
|
|
11 |
0,96 |
1,490147 |
|
|
12 |
1,02 |
1,377243 |
|
|
13 |
1,08 |
1,285596 |
|
|
14 |
1,14 |
1,211219 |
|
|
15 |
1,2 |
1,15115 |
|
|
16 |
1,26 |
1,103173 |
|
|
17 |
1,32 |
1,065633 |
|
|
18 |
1,38 |
1,037305 |
|
|
19 |
1,44 |
1,017305 |
|
|
20 |
1,5 |
1,005029 |
Полином Лагранжа
|
z= |
0.560 |
||||
|
i |
Xi |
g (Xi) |
li |
li*fi (x) |
|
|
0 |
0.3 |
11.450531 |
8.65233E-06 |
9.91E-05 |
|
|
1 |
0.36 |
8.0582037 |
-0.000224961 |
-0.00181 |
|
|
2 |
0.42 |
6.0143652 |
0.003053037 |
0.018362 |
|
|
3 |
0.48 |
4.6895515 |
-0.032056887 |
-0.15033 |
|
|
4 |
0.54 |
3.7830666 |
0.544967083 |
2.061647 |
|
|
5 |
0.6 |
3.136555 |
0.871947333 |
2.734911 |
|
|
6 |
0.66 |
2.6601951 |
-0.871947333 |
-2.31955 |
|
|
7 |
0.72 |
2.2999707 |
1.089934166 |
2.506817 |
|
|
8 |
0.78 |
2.0218279 |
-1.288104015 |
-2.60432 |
|
|
9 |
0.84 |
1.8034481 |
1.349442301 |
2.433649 |
|
|
10 |
0.9 |
1.6297234 |
-1.222435967 |
-1.99223 |
|
|
11 |
0.96 |
1.4901468 |
0.944609611 |
1.407607 |
|
|
12 |
1.02 |
1.3772434 |
-0.616049746 |
-0.84845 |
|
|
13 |
1.08 |
1.2855956 |
0.335364359 |
0.431143 |
|
|
14 |
1.14 |
1.2112186 |
-0.150335747 |
-0.18209 |
|
|
15 |
1.2 |
1.1511496 |
0.054496708 |
0.062734 |
|
|
16 |
1.26 |
1.1031731 |
-0.015570488 |
-0.01718 |
|
|
17 |
1.32 |
1.0656335 |
0.003374409 |
0.003596 |
|
|
18 |
1.38 |
1.0373053 |
-0.00052125 |
-0.00054 |
|
|
19 |
1.44 |
1.0173047 |
5.11274E-05 |
5.2E-05 |
|
|
20 |
1.5 |
1.0050289 |
-2.3932E-06 |
-2.4E-06 |
|
|
f (z) = |
3.544104 |
||||
|
g (z) = |
3.544104 |
||||
|
[g (z) - f (z)] = |
7.73E-09 |
Для N=40
|
a= |
0,3 |
b= |
1,5 |
N= |
40 |
h= |
0,03 |
|
i |
x (i) |
f (i) |
|
|
0 |
0,3 |
11,45053 |
|
|
1 |
0,33 |
9,523457 |
|
|
2 |
0,36 |
8,058204 |
|
|
3 |
0,39 |
6,918345 |
|
|
4 |
0,42 |
6,014365 |
|
|
5 |
0,45 |
5,285552 |
|
|
6 |
0,48 |
4,689552 |
|
|
7 |
0,51 |
4, 196091 |
|
|
8 |
0,54 |
3,783067 |
|
|
9 |
0,57 |
3,434034 |
|
|
10 |
0,6 |
3,136555 |
|
|
11 |
0,63 |
2,881084 |
|
|
12 |
0,66 |
2,660195 |
|
|
13 |
0,69 |
2,468041 |
|
|
14 |
0,72 |
2,299971 |
|
|
15 |
0,75 |
2,152244 |
|
|
16 |
0,78 |
2,021828 |
|
|
17 |
0,81 |
1,906244 |
|
|
18 |
0,84 |
1,803448 |
|
|
19 |
0,87 |
1,711746 |
|
|
20 |
0,9 |
1,629723 |
|
|
21 |
0,93 |
1,556191 |
|
|
22 |
0,96 |
1,490147 |
|
|
23 |
0,99 |
1,430739 |
|
|
24 |
1,02 |
1,377243 |
|
|
25 |
1,05 |
1,32904 |
|
|
26 |
1,08 |
1,285596 |
|
|
27 |
1,11 |
1,246454 |
|
|
28 |
1,14 |
1,211219 |
|
|
29 |
1,17 |
1,179549 |
|
|
30 |
1,2 |
1,15115 |
|
|
31 |
1,23 |
1,125765 |
|
|
32 |
1,26 |
1,103173 |
|
|
33 |
1,29 |
1,083184 |
|
|
34 |
1,32 |
1,065633 |
|
|
35 |
1,35 |
1,05038 |
|
|
36 |
1,38 |
1,037305 |
|
|
37 |
1,41 |
1,026308 |
|
|
38 |
1,44 |
1,017305 |
|
|
39 |
1,47 |
1,010229 |
|
|
40 |
1,5 |
1,005029 |
Полином Лагранжа
|
z= |
0.560 |
||||
|
i |
Xi |
g (Xi) |
li |
li*fi (x) |
|
|
0 |
0.3 |
11.450531 |
1.7477E-10 |
2E-09 |
|
|
1 |
0.33 |
9.5234572 |
-7.90265E-09 |
-7.5E-08 |
|
|
2 |
0.36 |
8.0582037 |
1.77217E-07 |
1.43E-06 |
|
|
3 |
0.39 |
6.9183454 |
-2.64088E-06 |
-1.8E-05 |
|
|
4 |
0.42 |
6.0143652 |
2.96628E-05 |
0.000178 |
|
|
5 |
0.45 |
5.2855515 |
-0.000271819 |
-0.00144 |
|
|
6 |
0.48 |
4.6895515 |
0.002180213 |
0.010224 |
|
|
7 |
0.51 |
4.1960913 |
-0.016943366 |
-0.0711 |
|
|
8 |
0.54 |
3.7830666 |
0.174728462 |
0.661009 |
|
|
9 |
0.57 |
3.4340335 |
1.242513507 |
4.266833 |
|
|
10 |
0.6 |
3.136555 |
-0.962947968 |
-3.02034 |
|
|
11 |
0.63 |
2.8810843 |
1.500698131 |
4.323638 |
|
|
12 |
0.66 |
2.6601951 |
-2.538681005 |
-6.75339 |
|
|
13 |
0.69 |
2.4680414 |
4.206098707 |
10.38083 |
|
|
14 |
0.72 |
2.2999707 |
-6.590806456 |
-15.1587 |
|
|
15 |
0.75 |
2.1522437 |
9.620264862 |
20.70515 |
|
|
16 |
0.78 |
2.0218279 |
-12.9818915 |
-26.2472 |
|
|
17 |
0.81 |
1.9062437 |
16.12809109 |
30.74407 |
|
|
18 |
0.84 |
1.8034481 |
-18.40010393 |
-33.1836 |
|
|
19 |
0.87 |
1.7117463 |
19.24357219 |
32.94011 |
|
|
20 |
0.9 |
1.6297234 |
-18.42289043 |
-30.0242 |
|
|
21 |
0.93 |
1.5561913 |
16.12299291 |
25.09046 |
|
|
22 |
0.96 |
1.4901468 |
-12.88007275 |
-19.1932 |
|
|
23 |
0.99 |
1.4307391 |
9.376797147 |
13.41575 |
|
|
24 |
1.02 |
1.3772434 |
-6.20873072 |
-8.55093 |
|
|
25 |
1.05 |
1.3290396 |
3.730306783 |
4.957725 |
|
|
26 |
1.08 |
1.2855956 |
-2.027940448 |
-2.60711 |
|
|
27 |
1.11 |
1.2464536 |
0.994168785 |
1.239185 |
|
|
28 |
1.14 |
1.2112186 |
-0.437703622 |
-0.53015 |
|
|
29 |
1.17 |
1.179549 |
0.172211261 |
0.203132 |
|
|
30 |
1.2 |
1.1511496 |
-0.060184248 |
-0.06928 |
|
|
31 |
1.23 |
1.1257646 |
0.018544978 |
0.020877 |
|
|
32 |
1.26 |
1.1031731 |
-0.004992242 |
-0.00551 |
|
|
33 |
1.29 |
1.0831842 |
0.001160505 |
0.001257 |
|
|
34 |
1.32 |
1.0656335 |
-0.000229496 |
-0.00024 |
|
|
35 |
1.35 |
1.0503804 |
3.78482E-05 |
3.98E-05 |
|
|
36 |
1.38 |
1.0373053 |
-5.06437E-06 |
-5.3E-06 |
|
|
37 |
1.41 |
1.0263077 |
5.28176E-07 |
5.42E-07 |
|
|
38 |
1.44 |
1.0173047 |
-4.02766E-08 |
-4.1E-08 |
|
|
39 |
1.47 |
1.0102291 |
1.99737E-09 |
2.02E-09 |
|
|
40 |
1.5 |
1.0050289 |
-4.83407E-11 |
-4.9E-11 |
|
|
f (z) = |
3.544104 |
||||
|
g (z) = |
3.544104 |
||||
|
[g (z) - f (z)] = |
3.55E-14 |
Поведение погрешности при КПИ: Поведение погрешности при КЛИ:
|
N |
EPS |
|
|
10 |
0,883908697 |
|
|
20 |
0,407548782 |
|
|
40 |
0,110070296 |
|
|
N |
EPS |
|
|
10 |
0,051817518 |
|
|
20 |
0,023458914 |
|
|
40 |
0,006274056 |
При увеличении N погрешность уменьшается.
Поведение погрешности метода полинома Лагранжа для z=0,56 принадлежащему отрезку [a; b] в трёх точках этого отрезка при N=10, 20, 40:
|
z=0.56 |
||||
|
N |
[a; b] |
z |
EPS |
|
|
0,400 |
0,002772 |
|||
|
10 |
0.3-1.5 |
1,000 |
3,34E-05 |
|
|
1,400 |
0,000713 |
|||
|
0,400 |
8,55E-07 |
|||
|
20 |
0.3-1.5 |
1,000 |
2, 19E-10 |
|
|
1,400 |
2,30E-07 |
|||
|
0,400 |
5,80E-11 |
|||
|
40 |
0.3-1.5 |
1,000 |
1,11E-15 |
|
|
1,400 |
9,10E-11 |
Поведение погрешности при методе Лагранжа:
|
Для z=0.56 |
|||||
|
N |
EPS |
||||
|
10 |
0,000253334 |
||||
|
20 |
7,72803E-09 |
||||
|
40 |
3,55271E-14 |
Вывод: Из таблицы видно, что при увеличении N погрешность убывает при КПИ и КЛИ, а в методе Лагранжа при увеличение значений N погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что данный метод не сходиться. Наименьшую погрешность получаем при интерполяции методом Лагранжа, далее идет кусочно-линейная интерполяция и затем кусочно-постоянная интерполяция.
6. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов (МНК)
Формулировка задания.
Задана система точек (узлы интерполяции) xi, i=1,2,…,N; a ? xi ? b, и значения fn i=1,2,…,N. Требуется построить полиномы:
а) 1-й степени P1 (x) =a1+a2x,
б) 3-й степени P3 (x) =a1+a2x+a3xІ+a4xі,
Краткое описание метода Задана система точек (узлы интерполяции) xi, i = 1,2,.,N; a xi b, и значения fi, i = 1,2,.,N. Требуется построить многочлен 3-ей степени P3 (x) =a1+a2x+a3x2+a4x3, имеющий в узлах интерполяции минимальное отклонение от заданных значений fi. Искомыми величинами являются коэффициенты полинома (a1,a2,a3,a4). В отличие от точной задачи интерполяции, здесь не требуется точное выполнение условий интерполяции. Искомый многочлен должен быть самым близким к заданным точкам из всех возможных многочленов третьей степени в смысле МНК. В i-ой точке полином P3 (x) отклоняется от значения fi на величину (P3 (xi) - fi). Суммируя квадраты отклонений полинома по всем точкам i=1,2,…N, построим функционал квадратов отклонений, зависящий от коэффициентов полинома:
Потребуем, чтобы min. Это будет выполняться, если
Собирая коэффициенты при неизвестных ai, получим систему линейных алгебраических уравнений.
(1)
имеющие в узлах интерполяции минимальное отклонение от заданных значений fi. Искомыми величинами являются коэффициенты полинома (a i). Полиномы должны быть самым близким к заданным точкам из всех возможных полиномов, соответствующей степени в смысле МНК, т.е. сумма квадратов отклонений N
У (fi-Pk (xi)) І должна быть минимальной.
i=1
1. Получить систему нормальных уравнений для каждого полинома.
2. Вычислить коэффициенты a i.
3. Определить какой из полиномов имеет минимальную сумму квадратов отклонений.
Вычисления оформлены в программе Excel:
|
Xi |
Fi |
|
|
-1 |
-1 |
|
|
-0,9 |
-1,8 |
|
|
-0,7 |
-3,1 |
|
|
-0,6 |
-3,5 |
|
|
-0,3 |
-4,2 |
|
|
-0,1 |
-4,2 |
|
|
0 |
-4 |
|
|
0,2 |
-3,4 |
|
|
0,3 |
-3,1 |
|
|
0,4 |
-2,6 |
|
|
0,5 |
-2,1 |
|
|
0,7 |
-1 |
|
|
0,8 |
-0,4 |
|
|
0,9 |
0,3 |
|
|
1 |
1 |
|
Для полинома 3й степени P3 (x) =a1+a2*x+a3*x^2+a4*x^3 |
||||||||
|
B= |
15 |
1,2 |
6,24 |
0,492 |
c= |
-33,1 |
||
|
1,2 |
6,24 |
0,492 |
4,4376 |
5,12 |
||||
|
6,24 |
0,492 |
4,4376 |
0,29172 |
-6,516 |
||||
|
0,492 |
4,4376 |
0,29172 |
3,628224 |
4,3802 |
|
a= |
a1 |
|
|
a2 |
||
|
a3 |
||
|
a4 |
Метод Крамера:
|
Д= |
15 |
1,2 |
6,24 |
0,492 |
77,90012 |
|
|
1,2 |
6,24 |
0,492 |
4,4376 |
|||
|
6,24 |
0,492 |
4,4376 |
0,29172 |
|||
|
0,492 |
4,4376 |
0,29172 |
3,628224 |
|||
|
Д1= |
-33,1 |
1,2 |
6,24 |
0,492 |
-311,1236121 |
|
|
5,12 |
6,24 |
0,492 |
4,4376 |
|||
|
-6,516 |
0,492 |
4,4376 |
0,29172 |
|||
|
4,3802 |
4,4376 |
0,29172 |
3,628224 |
|||
|
Д2= |
15 |
-33,1 |
6,24 |
0,492 |
154,5667 |
|
|
1,2 |
5,12 |
0,492 |
4,4376 |
|||
|
6,24 |
-6,516 |
4,4376 |
0,29172 |
|||
|
0,492 |
4,3802 |
0,29172 |
3,628224 |
|||
|
Д3= |
15 |
1,2 |
-33,1 |
0,492 |
311,0849 |
|
|
1,2 |
6,24 |
5,12 |
4,4376 |
|||
|
6,24 |
0,492 |
-6,516 |
0,29172 |
|||
|
0,492 |
4,4376 |
4,3802 |
3,628224 |
|||
|
Д4= |
15 |
1,2 |
6,24 |
-33,1 |
-77,8243 |
|
|
1,2 |
6,24 |
0,492 |
5,12 |
|||
|
6,24 |
0,492 |
4,4376 |
-6,516 |
|||
|
0,492 |
4,4376 |
0,29172 |
4,3802 |
|
а1= |
-3,993878302 |
|
|
а2= |
1,984165613 |
|
|
а3= |
3,993380955 |
|
|
а4= |
-0,999027153 |
|
Сумма МНК= |
0,00020633 |
|
|
0,000278823 |
||
|
0,000276515 |
||
|
0,000959182 |
||
|
7,56232E-06 |
||
|
0,002365652 |
||
|
3,74752E-05 |
||
|
0,002052286 |
||
|
0,001142571 |
||
|
0,000635486 |
||
|
0,000802512 |
||
|
8,332E-05 |
||
|
0,001422504 |
||
|
3,17364E-06 |
||
|
0,000235895 |
||
|
Сумма= |
0,010509288 |
Для полинома 1й степени P (x) =a0+a1*x
|
B= |
15 |
1,2 |
|
|
1,2 |
6,24 |
||
|
c= |
-33,1 |
||
|
5,12 |
|
a= |
a1 |
|
|
a2 |
Метод Крамера:
|
Д= |
15 |
1,2 |
92,16 |
|
|
1,2 |
6,24 |
|
Д1= |
-33,1 |
1,2 |
-212,688 |
|
|
5,12 |
6,24 |
|
Д2= |
15 |
-33,1 |
116,52 |
|
|
1,2 |
5,12 |
|
а1= |
-2,30781 |
|
|
а2= |
1,264323 |
|
Сумма МНК= |
6,615880602 |
|
|
2,708338776 |
||
|
0,008618995 |
||
|
0,18800354 |
||
|
2,288838043 |
||
|
3,117891456 |
||
|
2,863498535 |
||
|
1,809165107 |
||
|
1,372375641 |
||
|
0,636671007 |
||
|
0,180072038 |
||
|
0,178748389 |
||
|
0,803450792 |
||
|
2,160670319 |
||
|
4,175849677 |
||
|
Сумма МНК= |
29,10807292 |
Сумма квадратов отклонений для полинома 3-й степени меньше чем 1-й, поэтому
График полинома 3-й степени более точный к заданному графику.
7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод релаксации.
I. ОПИСАНИЕ МЕТОДА.
Задана СЛАУ ,
которую можно записать также в матричном виде: , где - матрица системы, - вектор правых частей, - вектор неизвестных. Предположим, что система имеет решение, т.е. det B0. Для решения СЛАУ существуют точные (прямые) и приближенные (итерационные) методы. Точные методы позволяют получить решение за конечное число арифметических операций. В приближенных методах решение получается в результате бесконечного повторения единообразных вычислений (итераций). Примеры точных методов: метод Гаусса, метод обратной матрицы, метод Крамера.
С итерационными методами познакомимся на примере метода простой итерации решения СЛАУ.
Запишем исходную систему в виде , где D, - новые матрица и вектор, построенные по исходным B и . Одним из возможных вариантов такой записи является релаксационный метод: ????? - параметр, значение которого подбирается таким образом, чтобы построенный итерационный метод сходился.
Зададим точность метода ?>0, введем - вектор начального приближения к решению. Вектор может быть произвольным, часто в качестве начального приближения используют нулевой вектор:
Следующее приближение для метода релаксации находится следующим образом: , или в скалярном виде:
Вычислим вектор невязки: , или, , показывающий, насколько полученное приближение отличается от точного решения.
Вычислим норму вектора невязки . Если невязка большая, т.е. , то необходимо вычислить еще по крайней мере одно приближение. Для этого занесем вычисленные значения в вектор и повторим шаги 3_5, которые образуют итерационный цикл. Условием выхода из цикла является .
Итерационный процесс сходится не для всякой матрицы D. В случае метода релаксации сходимость метода можно обеспечить выбором значения параметра ?.
|
N |
tau |
n |
а1 |
а2 |
а3 |
а4 |
EPS |
|
|
15 |
0,1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
1 |
-3,31 |
0,512 |
-0,6516 |
0,43802 |
3,31 |
|||
|
2 |
-1,33139 |
0,939394965 |
1,013426 |
0,671772 |
1,978608 |
|||
|
3 |
-3,42246 |
0,677013532 |
0,677081 |
0,485133 |
2,091068 |
|||
|
4 |
-2,12638 |
0,928657304 |
1,813174 |
0,595338 |
1,296081 |
|||
|
5 |
-3,51896 |
0,7629455 |
1,620763 |
0,456979 |
1,392581 |
|||
|
6 |
-2,67591 |
0,938612329 |
2,394897 |
0,516484 |
0,843048 |
|||
|
7 |
-3,6045 |
0,839003982 |
2,28906 |
0,412384 |
0,928591 |
|||
|
8 |
-3,05709 |
0,964384492 |
2,817568 |
0,439031 |
0,547412 |
|||
|
9 |
-3,67694 |
0,908010927 |
2,763014 |
0,35802 |
0,619851 |
|||
|
10 |
-3,32223 |
0,999829981 |
3,124593 |
0,363506 |
0,361579 |
|||
|
11 |
-3,7365 |
0,971563497 |
3,099696 |
0,298256 |
0,414273 |
|||
|
12 |
-3,50722 |
1,040828256 |
3,347648 |
0,290333 |
0,247952 |
|||
|
13 |
-3,7845 |
1,030675949 |
3,339325 |
0,236033 |
0,277281 |
|||
|
14 |
-3,63678 |
1,084637746 |
3,509802 |
0,219825 |
0,170477 |
|||
|
15 |
-3,8227 |
1,086005557 |
3,510266 |
0,173311 |
0,185918 |
|||
|
16 |
-3,7279 |
1,129448482 |
3,627827 |
0,152199 |
0,117561 |
|||
|
17 |
-3,85283 |
1,137992278 |
3,632546 |
0,111376 |
0,124929 |
|||
|
18 |
-3,79233 |
1,174079788 |
3,713897 |
0,087581 |
0,081351 |
|||
|
19 |
-3,87651 |
1,186944806 |
3,720313 |
0,051056 |
0,084174 |
|||
|
20 |
-3,83817 |
1,217775801 |
3,776839 |
0,026028 |
0,056526 |
|||
|
21 |
-3,89508 |
1,233093079 |
3,783572 |
-0,00714 |
0,056909 |
|||
|
22 |
-3,87103 |
1,260067032 |
3,823042 |
-0,03246 |
0,03947 |
|||
|
23 |
-3,90967 |
1,276619894 |
3,829404 |
-0,0629 |
0,038644 |
|||
|
24 |
-3,89481 |
1,300676539 |
3,857129 |
-0,08793 |
0,027726 |
|||
|
25 |
-3,9212 |
1,317679675 |
3,862823 |
-0,11609 |
0,028162 |
|||
|
26 |
-3,91221 |
1,339456296 |
3,882441 |
-0,14045 |
0,024357 |
|||
|
27 |
-3,93036 |
1,356409388 |
3,887385 |
-0,16664 |
0,026198 |
|||
|
28 |
-3,92512 |
1,376344015 |
3,901391 |
-0, 19011 |
0,023467 |
|||
|
29 |
-3,93772 |
1,392934741 |
3,905613 |
-0,21458 |
0,024465 |
|||
|
30 |
-3,93484 |
1,411333846 |
3,915721 |
-0,23703 |
0,022454 |
|||
|
31 |
-3,94369 |
1,427373603 |
3,919297 |
-0,25994 |
0,022909 |
|||
|
32 |
-3,94229 |
1,444456494 |
3,926688 |
-0,28132 |
0,021384 |
|||
|
33 |
-3,9486 |
1,459837801 |
3,929711 |
-0,30281 |
0,02149 |
|||
|
34 |
-3,94812 |
1,475765751 |
3,935199 |
-0,32311 |
0,020297 |
|||
|
35 |
-3,9527 |
1,490434026 |
3,937761 |
-0,34329 |
0,020184 |
|||
|
36 |
-3,95278 |
1,505329383 |
3,941909 |
-0,36251 |
0,01922 |
|||
|
37 |
-3,95617 |
1,519264259 |
3,944093 |
-0,38149 |
0,018974 |
|||
|
38 |
-3,95657 |
1,533222991 |
3,947291 |
-0,39966 |
0,01817 |
|||
|
39 |
-3,95915 |
1,546425946 |
3,949167 |
-0,4175 |
0,017845 |
|||
|
40 |
-3,95974 |
1,5595259 |
3,951688 |
-0,43466 |
0,017158 |
|||
|
41 |
-3,96174 |
1,572012089 |
3,953314 |
-0,45145 |
0,01679 |
|||
|
42 |
-3,96243 |
1,584318422 |
3,955345 |
-0,46764 |
0,016188 |
|||
|
43 |
-3,96403 |
1,596111292 |
3,956769 |
-0,48344 |
0,015801 |
|||
|
44 |
-3,96476 |
1,607680071 |
3,958444 |
-0,4987 |
0,015264 |
|||
|
45 |
-3,96608 |
1,61880782 |
3,959703 |
-0,51358 |
0,014873 |
|||
|
46 |
-3,96681 |
1,629688407 |
3,961113 |
-0,52796 |
0,014386 |
|||
|
47 |
-3,96792 |
1,640181674 |
3,962237 |
-0,54196 |
0,014 |
|||
|
48 |
-3,96863 |
1,650418332 |
3,963449 |
-0,55552 |
0,013555 |
|||
|
49 |
-3,96959 |
1,660308697 |
3,964462 |
-0,5687 |
0,01318 |
|||
|
50 |
-3,97028 |
1,669941666 |
3,965522 |
-0,58147 |
0,012769 |
|||
|
51 |
-3,97113 |
1,679260691 |
3,96644 |
-0,59388 |
0,012408 |
|||
|
52 |
-3,97179 |
1,688326935 |
3,967382 |
-0,6059 |
0,012027 |
|||
|
53 |
-3,97254 |
1,69710556 |
3,968221 |
-0,61758 |
0,011681 |
|||
|
54 |
-3,97317 |
1,705639289 |
3,969068 |
-0,62891 |
0,011326 |
|||
|
55 |
-3,97385 |
1,713907462 |
3,96984 |
-0,63991 |
0,010998 |
|||
|
56 |
-3,97444 |
1,721940507 |
3,970609 |
-0,65057 |
0,010665 |
|||
|
57 |
-3,97506 |
1,729726976 |
3,971321 |
-0,66093 |
0,010354 |
|||
|
58 |
-3,97562 |
1,737289057 |
3,972026 |
-0,67097 |
0,010043 |
|||
|
59 |
-3,9762 |
1,744621257 |
3,972687 |
-0,68072 |
0,009748 |
|||
|
60 |
-3,97672 |
1,751740205 |
3,973336 |
-0,69017 |
0,009456 |
|||
|
61 |
-3,97725 |
1,758644214 |
3,973951 |
-0,69935 |
0,009177 |
|||
|
62 |
-3,97775 |
1,765346132 |
3,974553 |
-0,70825 |
0,008903 |
|||
|
63 |
-3,97824 |
1,771846669 |
3,975126 |
-0,71689 |
0,00864 |
|||
|
64 |
-3,97871 |
1,778156069 |
3,975686 |
-0,72528 |
0,008382 |
|||
|
65 |
-3,97917 |
1,784276519 |
3,976222 |
-0,73341 |
0,008134 |
|||
|
66 |
-3,97961 |
1,790216442 |
3,976744 |
-0,7413 |
0,007892 |
|||
|
67 |
-3,98004 |
1,795978898 |
3,977245 |
-0,74896 |
0,007658 |
|||
|
68 |
-3,98045 |
1,80157101 |
3,977733 |
-0,75639 |
0,00743 |
|||
|
69 |
-3,98085 |
1,806996322 |
3,978204 |
-0,7636 |
0,00721 |
|||
|
70 |
-3,98124 |
1,812261008 |
3,978661 |
-0,7706 |
0,006995 |
|||
|
71 |
-3,98162 |
1,817368839 |
3,979102 |
-0,77738 |
0,006788 |
|||
|
72 |
-3,98199 |
1,822325281 |
3,979531 |
-0,78397 |
0,006586 |
|||
|
73 |
-3,98234 |
1,82713417 |
3,979945 |
-0,79036 |
0,00639 |
|||
|
74 |
-3,98269 |
1,831800421 |
3,980347 |
-0,79656 |
0,0062 |
|||
|
75 |
-3,98302 |
1,836327835 |
3,980737 |
-0,80258 |
0,006016 |
|||
|
76 |
-3,98334 |
1,840720888 |
3,981114 |
-0,80841 |
0,005837 |
|||
|
77 |
-3,98366 |
1,844983284 |
3,98148 |
-0,81408 |
0,005664 |
|||
|
78 |
-3,98396 |
1,849119135 |
3,981836 |
-0,81957 |
0,005496 |
|||
|
79 |
-3,98426 |
1,853132012 |
3,98218 |
-0,82491 |
0,005332 |
|||
|
80 |
-3,98454 |
1,857025721 |
3,982514 |
-0,83008 |
0,005174 |
|||
|
81 |
-3,98482 |
1,860803678 |
3,982837 |
-0,8351 |
0,00502 |
|||
|
82 |
-3,98509 |
1,864469421 |
3,983151 |
-0,83997 |
0,004871 |
|||
|
83 |
-3,98535 |
1,868026203 |
3,983456 |
-0,8447 |
0,004726 |
|||
|
84 |
-3,9856 |
1,871477328 |
3,983751 |
-0,84928 |
0,004586 |
|||
|
85 |
-3,98585 |
1,87482588 |
3,984038 |
-0,85373 |
0,00445 |
|||
|
86 |
-3,98609 |
1,87807495 |
3,984316 |
-0,85805 |
0,004317 |
|||
|
87 |
-3,98632 |
1,88122746 |
3,984586 |
-0,86224 |
0,004189 |
|||
|
88 |
-3,98655 |
1,884286306 |
3,984847 |
-0,86631 |
0,004065 |
|||
|
89 |
-3,98676 |
1,887254249 |
3,985101 |
-0,87025 |
0,003944 |
|||
|
90 |
-3,98698 |
1,890134007 |
3,985347 |
-0,87408 |
0,003827 |
|||
|
91 |
-3,98718 |
1,892928187 |
3,985586 |
-0,87779 |
0,003713 |
|||
|
92 |
-3,98738 |
1,895639343 |
3,985818 |
-0,88139 |
0,003603 |
|||
|
93 |
-3,98757 |
1,898269932 |
3,986043 |
-0,88489 |
0,003496 |
|||
|
94 |
-3,98776 |
1,900822357 |
3,986261 |
-0,88828 |
0,003392 |
|||
|
95 |
-3,98794 |
1,903298933 |
3,986473 |
-0,89157 |
0,003291 |
|||
|
96 |
-3,98812 |
1,905701919 |
3,986678 |
-0,89476 |
0,003193 |
|||
|
97 |
-3,98829 |
1,908033498 |
3,986877 |
-0,89786 |
0,003098 |
|||
|
98 |
-3,98846 |
1,910295795 |
3,98707 |
-0,90087 |
0,003006 |
|||
|
99 |
-3,98862 |
1,912490866 |
3,987258 |
-0,90378 |
0,002917 |
|||
|
100 |
-3,98877 |
1,91462071 |
3,98744 |
-0,90661 |
0,00283 |
|||
|
101 |
-3,98892 |
1,916687265 |
3,987617 |
-0,90936 |
0,002746 |
|||
|
102 |
-3,98907 |
1,918692412 |
3,987788 |
-0,91202 |
0,002664 |
|||
|
103 |
-3,98921 |
1,920637975 |
3,987954 |
-0,91461 |
0,002585 |
|||
|
104 |
-3,98935 |
1,922525726 |
3,988115 |
-0,91712 |
0,002508 |
|||
|
105 |
-3,98949 |
1,924357381 |
3,988272 |
-0,91955 |
0,002434 |
|||
|
106 |
-3,98962 |
1,926134607 |
3,988424 |
-0,92191 |
0,002362 |
|||
|
107 |
-3,98975 |
1,927859023 |
3,988571 |
-0,92421 |
0,002291 |
|||
|
108 |
-3,98987 |
1,929532197 |
3,988714 |
-0,92643 |
0,002223 |
|||
|
109 |
-3,98999 |
1,931155652 |
3,988853 |
-0,92859 |
0,002157 |
|||
|
110 |
-3,9901 |
1,932730865 |
3,988987 |
-0,93068 |
0,002093 |
|||
|
111 |
-3,99021 |
1,93425927 |
3,989118 |
-0,93271 |
0,002031 |
|||
|
112 |
-3,99032 |
1,935742259 |
3,989244 |
-0,93468 |
0,001971 |
|||
|
113 |
-3,99043 |
1,937181179 |
3,989367 |
-0,93659 |
0,001912 |
|||
|
114 |
-3,99053 |
1,938577341 |
3,989487 |
-0,93845 |
0,001855 |
|||
|
115 |
-3,99063 |
1,939932016 |
3,989602 |
-0,94025 |
0,0018 |
|||
|
116 |
-3,99073 |
1,941246436 |
3,989715 |
-0,942 |
0,001747 |
|||
|
117 |
-3,99082 |
1,942521798 |
3,989824 |
-0,94369 |
0,001695 |
|||
|
118 |
-3,99091 |
1,943759262 |
3,989929 |
-0,94533 |
0,001644 |
|||
|
119 |
-3,991 |
1,944959953 |
3,990032 |
-0,94693 |
0,001596 |
|||
|
120 |
-3,99109 |
1,946124966 |
3,990131 |
-0,94848 |
0,001548 |
|||
|
121 |
-3,99117 |
1,94725536 |
3,990228 |
-0,94998 |
0,001502 |
|||
|
122 |
-3,99125 |
1,948352164 |
3,990322 |
-0,95144 |
0,001457 |
|||
|
123 |
-3,99133 |
1,949416376 |
3,990413 |
-0,95285 |
0,001414 |
|||
|
124 |
-3,9914 |
1,950448964 |
3,990501 |
-0,95422 |
0,001372 |
|||
|
125 |
-3,99148 |
1,951450869 |
3,990586 |
-0,95556 |
0,001331 |
|||
|
126 |
-3,99155 |
1,952423002 |
3,990669 |
-0,95685 |
0,001292 |
|||
|
127 |
-3,99162 |
1,953366247 |
3,99075 |
-0,9581 |
0,001253 |
|||
|
128 |
-3,99168 |
1,954281463 |
3,990828 |
-0,95932 |
0,001216 |
|||
|
129 |
-3,99175 |
1,965169483 |
3,990904 |
-0,9605 |
0,00118 |
|||
|
130 |
-3,99181 |
1,966031116 |
3,990978 |
-0,96164 |
0,001145 |
|||
|
131 |
-3,99187 |
1,976867144 |
3,991049 |
-0,97275 |
0,001111 |
|||
|
132 |
-3,99193 |
1,97767833 |
3,991118 |
-0,97383 |
0,001078 |
|||
|
133 |
-3,99199 |
1,978465411 |
3,992186 |
-0,98488 |
0,001046 |
|||
|
134 |
-3,99205 |
1,982229103 |
3,993251 |
-0,98589 |
0,001015 |
|||
|
135 |
-3,99298 |
1,983970102 |
3,993314 |
-0,99898 |
0,000985 |
Подбор коэффициента ??
|
tau |
Сходимость процесса |
|
|
1,5 |
расходится |
|
|
0,5 |
расходится |
|
|
0,2 |
расходится |
|
|
0,1 |
сходится |
Количество итераций для е=10-3 =135
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.
курсовая работа [322,7 K], добавлен 27.04.2011Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Сущность итерационного метода решения задачи, оценка его главных преимуществ и недостатков. Разновидности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений: Якоби, Хорецкого и верхней релаксации, их отличия и возможности применения.
курсовая работа [39,2 K], добавлен 01.12.2009Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Способы решения системы линейных алгебраических уравнений: по правилу Крамера, методом матричным и Жордана-Гаусса. Анализ решения задачи методом искусственного базиса. Характеристика основной матрицы, составленной из коэффициентов системы при переменных.
контрольная работа [951,8 K], добавлен 16.02.2012Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.
курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014Методы решения систем линейных уравнений. Метод Якоби в матричной записи. Достоинство итерационного метода верхних релаксаций, вычислительные погрешности. Метод блочной релаксации. Разбор метода релаксаций в системах линейных уравнений на примере.
курсовая работа [209,1 K], добавлен 27.04.2011
