Прямолинейные образущие гиперболического параболоида

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГАОУ ВО «Северо-Восточный Федеральный Университет им. М.К. Аммосова»

Институт математики и информатики

Кафедра алгебры и геометрии

ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА

КУРСОВАЯ РАБОТА

(специальность: 01.03.01 Математика)

Выполнил: студент 1 курса

Тимофеева Светлана Владимировна

Руководитель:

Никитина Екатерина Семеновна

к.ф.-м.н. и заведующая кафедры алгебры и геометрии

ИМИ СВФУ

Якутск - 2019



Введение

Поверхности второго порядка аналитической геометрии является неотъемлемой частью обучения в высших учебных заведениях, а также находят широкое применение в нашей жизни. Многочисленное количество задач решаются с помощью этих знаний и формул.

Задачи исследования:

изучить специальную литературу по рассматриваемой теме;

рассмотреть ключевые понятия;

научиться решать типовые задачи по данной теме.

Цель данной работы заключается в том, чтобы рассмотреть и объяснить - как решаются задачи по данной теме.

гиперболический параболоид поверхность



1.Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка -- геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют общему уравнению вида:

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Причем aij=aji(2)

Одним из примеров поверхностей второго порядка является гиперболический параболоид:

Рис.1



2.Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется всякая поверхность, которая в некоторой (канонической для данной поверхности) прямоугольной системе координат имеет уравнение

(1)

при этом pи q- положительные числа («параметры» параболоидов).[1]

Свойства гиперболического параболоида:

Гиперболический параболоид симметричен относительно плоскостей Oxz, Oyzи относительно оси Oz. Он не симметричен относительно плоскости Oxy, осей Ox, Oyи начала координат.

Гиперболический параболоид - неограниченная фигура.

Сечения:

а) плоскость z=hпри h>0 пересекает гиперболический параболоид по гиперболе с действительной осью Ox:

б) плоскость z=h при h<0 пересекает гиперболический параболоид по гиперболе с действительной осью Oy:

в) плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум пересекающимся в начале координат прямым

г) плоскость x=h пересекает гиперболический параболоид по параболе

д) плоскость y=h пересекает гиперболический параболоид по параболе

Гиперболический параболоид не может быть представлена как деформация поверхности вращения.

Гиперболический параболоид расположена по обе стороны от плоскости Oxy. Точка О - точка пересечения гиперболического параболоида с осью Oz - называется вершиной гиперболического параболоида.[2]

Рис.2



3. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида

Прямая, лежащая на поверхности, называется прямолинейной образующей этой поверхности.[2]

Обратимся к разысканию прямолинейных образующих гиперболического параболоида

Из плоскостей, параллельных плоскости Oxy только сама плоскость Oxy пересекает поверхность (2) по прямым; остальные пересекают ее по гиперболам. Значит, всякая прямолинейная образующая поверхности (1) пересекает плоскость Oxy (или расположена на ней). Поэтому в параметрическом представлении образующей

мы можем всегда считать , взяв за точку () точку образующей, находящуюся на плоскости Oxy.

В соответствии с этим уравнения

примут вид

Последнее из этих уравнений дает

или, обозначая через л общее значение этих отношений:

(3)

Далее, первое из уравнений (2) дает

Видно, что ни X, ниYне могут быть равны нулю, ибо иначе из предыдущего уравнения и второго уравнения (2) следовало бы X=Y=Z=0, что невозможно. Так как нас интересуют только отношения величин X, Y, Z, то мы можем считать тогда в силу последней формулы будем иметь

(3а)

Исключим временно случай, когда Z = 0 (которому соответствуют две образующие, расположенные в плоскости Oxy). Тогда, очевидно, в формулах (3) и (3а) надо одновременно брать либо верхние, либо нижние знаки, ибо иначе, в силу средней формулы (2), получилось бы Z = 0.

Подставляя значения (3) и (3а) в среднее уравнение (2), получим

Итак, окончательно получаем



где одновременно берутся верхние или нижние знаки.

Для каждого данного значения л будем иметь две образующие:

И

Исключая t, получим приведенные уравнения образующих

И

Исключили случай Z = 0, которому соответствуют две образующие, расположенные в плоскости Oxy. Но легко видеть, что и эти образующие мы получим, положим л = 0 в уравнениях (4) и (5), которые при этом дают

И



Или

Условимся считать, что и уравнения (4а), (5а) изображают те же самые образующие при л = 0. Тогда можно утверждать, что, придавая л все возможные значения в (4а) и (5а), получим все возможные образующие нашего параболоида.

Будем называть образующие (4а) образующими первой системы, а образующие (5а) - образующими второй системы.

В противоположность случаю гиперболоида, все образующие одной и той же плоскости. Именно, образующие первой и второй систем соответственно параллельны плоскостям

которые проходят через ось параболоида и через две образующие, проходящие через вершину.

Чтобы доказать это, например, относительно образующих первой системы, достаточно разделить уравнения (4а) соответственно на и и сложить. Тогда получим уравнение плоскости

которая необходимо содержит нашу образующую и, очевидно, параллельна первой из плоскостей (6). Аналогично для образующих второй системы.

Отсюда, следует, что образующие первой и второй систем различны, ибо они параллельны различным плоскостям (6).

Далее, доказать следующие свойства образующих (4а), (5а), аналогичные свойствам образующих гиперболоида (рис.3).

Рис.3

Две образующие одной и той же системы не пересекаются и не параллельны. Действительно, если бы две образующие первой системы

И

пересекались или были параллельны, то мы имели бы



но это может быть только при л = µ.

Две образующие различных систем всегда пересекаются (или параллельны). Действительно, пусть даны образующие двух систем:

И

словие пересечения состоит в равенстве нулю определителя

Но легко проверить, что этот определитель действительно равен нулю при всяких л и µ.

Через каждую точку параболоида проходит по одной образующей каждой системы. Действительно, пусть () - какая-либо точка параболоида. Чтобы образующая (4а) проходила через нее, л должно удовлетворять условиям

Деля первое из этих уравнений на , а второе - на и складывая, получаем

легко непосредственной подстановкой убедиться, что это значение л удовлетворяет обоим предыдущим уравнениям, в силу соотношения

Совершенно аналогично для образующих второй системы.

Из сказанного вытекает, что если взять три какие-либо образующие одной системы, то прямая, пересекающая эти три образующие, будет сама образующей второй системы и при своем движении опишет всю поверхность.

В нашем случае вместо этого способа образования поверхности можно указать и другой, более простой.

Пусть - две какие-нибудь одной системы, скажем, первой. Тогда любая образующая второй системы пересекает обе образующие , и параллельна неподвижной плоскости

Отсюда заключаем, что гиперболический параболоид может быть образован движением прямой, пересекающей две неподвижные прямые и остающейся параллельной неподвижной плоскости.

Таких способов образования данной поверхности - два, в зависимости от того, что мы можем описывать ее движением образующей первой или второй системы. В первом и втором случаях движущаяся прямая будет, соответственно, параллельна одной или другой из плоскостей (6), которые поэтому называются направляющими плоскостями параболоида.[3]

4.Решение типовых задач

Пример 1. Убедившись, что точка М(1,3,-1) лежит на гиперболическом параболоиде:составить уравнения его прямолинейных образующих, проходящих через точку М.

Решение:

1) Запишем уравнение гиперболического параболоида в виде:

2)Запишем уравнения прямолинейных образующих для заданной поверхности:

3)Подставляя в полученные уравнения координаты заданной точки M

(1,3,-1), получаем:

- для образующейсоотношение;

- для образующей соотношение.

4)Используя полученные значения паризапишем уравнения образующих:



5) Найдём канонические уравнения образующей :

- из системы выделяем произвольную точку, принадлежащую : (0,-1,1);

- используя нормали:=(2, -1, -1), =(2,0, 1) плоскостей, вычисляем направляющий вектор образующей: =Ч=(1,4,-2).

- записываем каноническое уравнение образующей:.

6)Найдём канонические уравнения образующей:

- из системы выделяем произвольную точку, принадлежащую: (0,-9, -3);

- используя нормали:=(2, 0,-1),=(6,-1, 3) плоскостей, вычисляем направляющий вектор образующей:=Ч=(1, 12, 2).

- записываем каноническое уравнение образующей:.

Ответ: уравнения образующих: и .[4]

Пример 2. Доказать, что плоскость пересекает гиперболический параболоид по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямолинейных образующих.

Решение: Известно, что для прямолинейные образующие суть

Очевидно, искомая плоскость принадлежит пучкам заданными первыми двумя плоскостями и последними двумя плоскостями. Очевидно, искомая плоскость принадлежит пучку.

Для имеем:



или

-условие принадлежности пучку

Мы видим, что эта система имеет четыре уравнения с тремя неизвестными: б, в, ??. Если эта система совместна,а найденные три неизвестные удовлетворяют всем четырем уравнениям, это и будет означать, что данная плоскость принадлежит пучку.

Решая систему уравнений, получаем, что Решение существует, и это доказывает, что наша плоскость принадлежит пучку.

Далее для имеем:

или

- уравнение пучка

Точно также имеем неопределенную систему из четырех уравнений и тремя неизвестными. Решая систему, получаем, И эти три значения удовлетворяют всем четырем уравнениям. Таким образом, искомая плоскость принадлежит и второму пучку.

Следовательно, искомая плоскость принадлежит обоим пучкам плоскостей, а значит, пересекает гиперболическую параболу по прямолинейным образующим ч.т.д.

Подставляем б, в в системы уравнений и получаем искомые уравнения:

Ответ: уравнения образующих[5]

Пример 3. Убедившись, что точка А(-2; 0; 1) лежит на гиперболическом параболоиде , определить острый угол, образованный его прямолинейными образующими, проходящими через А.

Решение: Очевидно, точка А принадлежит искомому гиперболическому параболоиду, так как ч.т.д.

Уравнения прямолинейных образующих суть

Но точка А(-2; 0; 1) принадлежит параболоиду, так что, пойдет, координата точки в уравнение образующих, получим , тогда, подставляя и сокращая на , получаем координаты направляющих векторов:

Таким образом,

Ответ: .[5]



Заключение

Проделав данную курсовую работу, я научилась понимать поверхности второго порядка, а также строить и анализировать задачи по данной теме.

В процессе написания данной работы мною было изучено много литературы: история, формулы, рассмотрены ключевые понятия и множество примеров прямолинейных образующих гиперболического параболоида, а также особенности решения задач.

Исследовав данную тему, я поняла то, что это очень важный и нужный аспект в изучении всей математики и является неотъемлемой частью аналитической геометрии.



Литература

Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. ? М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 512с.

Жафяров А.Ж. Геометрия: Учеб. пособие: В 2-х ч. Ч.1. - 2-е изд., адаптированное под стандарты IIпоколения. - Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002. ? 271 с.

Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. 5-е изд., стер. ? СПб.: Издательство «Лань», 2002. ? 656 с.

Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. 33-е изд., стер. ? СПб.: Издательство «Лань», 2007. ? 336 с.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч. пособие для втузов. ? 17-е изд. ? СПб., Изд-во «Профессия», 2007. ? 200 с.

Размещено на Allbest.ru