Аксіоматика шкільного курсу геометрії

Даючи на контрольні запитання і виконуючи тести, треба переосмислити, узагальнити й систематизувати відомості, вивчені у розділі, привести у систему отримані навички й уміння. Навчальні тексти написані так. щоб залучити учнів до співпраці. Тексти позбавлені надмірної повчальності, а сповнені повагою до школяра, який долучається до нелегкої справи - пізнання нового, невідомого, не завжди простого. Поради щодо того, як діяти учню у тій чи іншій навчальній ситуації, сформульовані у підручнику у вигляді правил. Теоремам та їх доведенням приділяється особлива увага. Це дозволятиме учню точніше зрозуміти суть її умови і вимоги. Доведення здебільшого є лаконічним, щоб учень мав змогу не заплутатись у багатослівних міркуваннях. В основному тексті кожного параграфа наводиться типова задача та її розв'язання. Підручник добре ілюстрований. Кольорові фотографії та ілюстрації несуть ретельно продумане дидактичне навантаження. Зокрема вони слугують створенню випереджального уявлення про суть змісту нового розділу, параграфа, полегшенню сприйняття і розуміння учнями нового навчального матеріалу і змісту задач.

3.2 Аксіоматика за підручником Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія

Розглянемо як в підручнику Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. автори подають аксіоми.

Перша аксіома: Існують точки, що лежать на прямій, і точки, що їй не належать.

Автори дану аксіому пояснюють так: «Якщо на аркуш паперу натиснути добре загостреним олівцем, то залишиться слід, який дає уявлення про точку (мал. 1). Прямі проводять за допомогою лінійки (мал.2). На малюнку звичайно зображають лише частину прямої, а всю пряму уявляють необмеженою, продовженою в обидва боки.

Точки позначають великими латинськими буквами A, B, C, D,…, а прямі - малими латинськими буквами a, b, c, d,…

На мал. 2 ви бачите пряму а і точки A, B, C, D. Точки А і В лежать на прямій а, точки C і D не лежать на цій прямій. Можна також сказати , що пряма а проходить через точки А і В, але не проходить через точки C і D.» [1, 9].

Друга аксіома: Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну.

Розглянемо, які пояснення надають автори до цієї аксіоми. «Завдяки цій властивості пряму можна позначити двома її точками, наприклад пряма АВ на малюнку 3. Якщо дві прямі мають спільну точку, то говорять, що вони перетинаються в цій точці. Прямі с і d перетинаються в точці Р (мал. 4).» [1, 10].

Мал. 4

Третя аксіома: З трьох будь - яких точок прямої одна і тільки одна точка лежить між двома іншими.

Цю аксіому автори підручника подають, як властивість розміщення точок на прямій.

« Точки А, В, С прямої лежать з одного боку від точки X (мал. 5). Це означає, що точка X не лежить між будь - якими двома з них.» [1, 10].

Мал. 5

Ось ми розглянули три аксіоми. Перейдемо до наступних аксіом - четвертої та п'ятої, що вивчається у § 2 Відрізки та їх вимірювання. Спочатку автори формулюють означення «відрізок», а також, які відрізки називаються рівними. Після цього вони формулюють наступні аксіоми, які вони подають, як властивості вимірювання відрізків.

Четверта аксіома: Довжина кожного відрізка більша за нуль.

П'ята аксіома: Довжина кожного відрізка дорівнює сумі довжин відрізків, на які він розбивається будь - якою його точкою.

Відразу сформулюємо наступну аксіому - властивість відкладання відрізків.

Шоста аксіома: На будь - якому промені від його початку можна відкласти тільки один відрізок даної довжини.

Перейдемо до § 3 Кути та їх вимірювання. На початку автори формулюють означення «кут», «сторона кута» та «вершина кута».

Сьома аксіома: Градусна міра кожного кута більша за нуль.

Восьма аксіома: Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь - яким променем, що проходить між його сторонами.

Дев'ята аксіома: Від променя по один бік від нього можна відкласти тільки один кут даної градусної міри.

Наступну аксіому автори формулюють у §7 Паралельні прямі.

Десята аксіома: Аксіома паралельних прямих - через точку, яка не лежить на даній прямій можна провести тільки одну пряму паралельну даній.

Наступні три аксіоми планіметрії автори пояснюють у § 12 Рівність геометричних фігур.

Одинадцята аксіома: Будь-яка фігура F накладанням суміщається сама із собою.

Дванадцята аксіома: Якщо фігура F1 накладанням суміщається з фігурою F2, то і фігура F2 накладанням суміщається з фігурою F1.

Тринадцята аксіома: Якщо фігура F1 накладанням суміщається з фігурою F2, а фігура F2 - з фігурою F3, то фігура F1 накладанням суміщається з фігурою F3.

Ми розглянули всі тринадцять аксіом планіметрії, які пропонують для вивчення у 7 класі автори даного підручника. Перейдемо до аксіом стереометрії. Дані аксіоми представлені в підручнику Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія. Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів.

Пояснення матеріалу автори починають так: «Ви вже знаєте, що у стереометрії вивчають властивості фігур у просторі. Для цього, як і в планіметрії, використовують аксіоматичний метод.

Спочатку обирають основні поняття - основні фігури та основні відношення. Їх тлумачать через приклади, не даючи означень. Також приймають без доведення вихідні істинні твердження - аксіоми. Всі інші поняття визначають, а всі інші твердження доводять.

Основними фігурами у просторі є точка, пряма і площина, а основними відношеннями - відношення «належати», «лежати між» і «накладання».

Як і в планіметрії, точки позначають великими латинськими буквами А, В, С, .., прямі - малими латинськими буквами а, b, c, … . Площини позначають малими грецькими буквами б (альфа), в (бета), г (гамма) ... . Введення у просторі нової геометричної фігури - площини - потребує уточнення основних відношень та розширення системи аксіом планіметрії.

Відношення «належати» розглядають не лише для точки і прямої - точка лежить на прямій, але й для точки і площини та прямої і площини - точка (пряма) лежить у площині.

Відношення «лежати між» для трьох будь - яких точок прямої не залежить від її розміщення в просторі, тому це відношення є основним і в стереометрії. Відношення «накладання» у просторі розуміють як суміщення фігур відповідно всіма своїми точками (мал. 6).

Мал. 6

Система аксіом стереометрії складається з двох частин. Перша з них включає всі аксіоми планіметрії. Вони виконуються в кожній площині простору.» [2, 28].

Отже, сформулюємо аксіоми стереометрії за підручником Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія. Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів.

Аксіома 1 (належності точки площині). Існують точки, що лежать у даній площині, і точки, що не лежать у ній.

Коротко записуємо: A ? б, B ? б.

Аксіома 2 (існування і єдиності площини). Через будь - які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.

Завдяки цій властивості площину можна позначати трьома її точками.

Аксіома 3 (належності прямої площині). Якщо дві точки прямої лежать у площині, то й кожна точка цієї прямої лежить у даній площині.

Записуємо: якщо A ? б і B ? б, то AB лежить в б.

Аксіома 4 (про перетин площин). Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.

Ми проаналізували систему аксіом за підручниками Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія. Підручник для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів та Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія. Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів і виявили, що вона складається з 13 аксіом планіметрії, які вивчаються у 7 класі та 4 аксіом стереометрії, які вивчаються у 10 класі.

Висновок

Математика, а, отже, й геометрія - дедуктивна наука, яка забезпечує сходження від загального до конкретного. Аксіоматика будь-якої дедуктивної наукової теорії є кістяком її розвитку. Уся ця логічно-дедуктивна аксіоматична система стала підготовчим етапом для побудови однієї з могутніх галузей сучасної математичної науки - алгоритмізації, програмування та обчислюваних засобів без яких немислимий сучасний науково - технічний прогрес.

Аксіоматичний метод (грец. ахіоmа - значиме, прийняте положення) -- спосіб побудови теорії, при якому деякі істинні твердження обираються в якості вихідних положень (аксіом), з яких потім логічним шляхом виводяться і доводяться інші істинні твердження (теореми) цієї теорії.