Нахождение обратной матрицы

Классификация способов нахождения обратной матрицы, полученной в системе MathCAD с помощью миноров и алгебраических дополнений: разбиения ее на клетки и на произведение 2-х треугольных матриц; с помощью модели Гаусса. Вычисление погрешности методов.

Рубрика Математика
Вид лабораторная работа
Язык русский
Дата добавления 31.10.2012
Размер файла 380,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

Нахождение обратной матрицы

Задание

Цели работы: научиться находить обратную матрицу и составлять алгоритм программы.

1. Обратить матрицу А:

Методом разбиения ее на клетки;

Методом разбиения ее на произведение 2-х треугольных матриц;

С помощью метода Гаусса.

2. Вычислить определитель методом Гаусса.

1. Решение

Метод разбиения на клетки.

Для данного метода представим исходную матрицу в виде

, где

Обратная матрица будет иметь вид

где

а - единичная матрица 2х2.

Последовательно вычислим:

а) :

б) :

в) :

г) :

Окончательно матрица D будет иметь вид:

Метод L-U факторизации.

Матрицу А также можно представить в виде произведения треугольных матриц L и U:

где

Элементы этих треугольных матриц находятся по формулам:

Найдем элементы и :

В итоге получим:

Для нахождения обратной матрицы воспользуемся формулой:

Найдем матрицы, обратные треугольным.

Теперь найдем искомую обратную матрицу:

Метод Гаусса

обратный матрица алгебраический погрешность

Запишем расширенную матрицу:

Проведем линейные преобразования. Умножим первую строку последовательно на 2 и 6 и вычесть соответственно из второй и четвертой строки.

Поделим вторую строку на 3 и умножим ее последовательно на 1, 6, -7 и вычтем соответственно из первой, третьей и четвертой строки.

Разделим третью строку на -10. Умножим получившуюся третью строку последовательно на -5.333, 2.333, 33.333 и вычтем соответственно из первой, второй и четвертой строки.

Разделим четвертую строку на -0,333. Умножим получившуюся четвертую строку последовательно на 0.933, -0.033, 0.3 и вычтем соответственно из первой, второй и третьей строки.

Окончательно матрица будет иметь вид:

2. Вычисление определителя методом Гаусса

Умножим последовательно первую строку на 2 и 6 и вычтем последовательно из второй и четвертой строки, получим

.

Отбросим первый столбец и первую строку, получим

.

Поделим первую строку на 3, получим

.

Умножим первую строку на 6 и -7 и вычтем последовательно из второй и третьей строки, получим

.

Отбросим первый столбец и первую строку, и умножим первую строку на -3,333 и вычтем из второй. Получим

Получив нули под главной диагональю, посчитаем определитель

3. Проверка в MathCAD

Подсчет погрешности методов.

За абсолютный результат примем обратную матрицу, полученную в системе MathCAD с помощью миноров и алгебраических дополнений. Погрешность будем вычислять с помощью наиболее отличающихся элементов матрицы.

Вычислим погрешность метода клеточного разбиения.

Вычислим погрешность метода L-U факторизации.

Вычислим погрешность метода Гаусса.

При вычислении определителя результат получился абсолютно одинаковым.

Вывод: я научился находить обратную матрицу различными способами. Наибольшую погрешность дал метод L-U факторизации, а наименьший метод клеточного разбиения.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.

    контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016

  • Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.

    презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013

  • Вычисление определителя 4-го порядка, математическое решение системы методами матрицы, Крамера и Гаусса. Характеристика понятий невырожденной и обратной, транспонированной и присоединенной матрицы, нахождение алгебраических дополнений элементов таблицы.

    контрольная работа [64,5 K], добавлен 12.06.2011

  • Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

    учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009

  • Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.

    презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013

  • Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.

    презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014

  • Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.

    контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015

  • Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.

    контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012

  • Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.

    контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009

  • Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.

    контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.