Нахождение обратной матрицы
Классификация способов нахождения обратной матрицы, полученной в системе MathCAD с помощью миноров и алгебраических дополнений: разбиения ее на клетки и на произведение 2-х треугольных матриц; с помощью модели Гаусса. Вычисление погрешности методов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.10.2012 |
| Размер файла | 380,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лабораторная работа
Нахождение обратной матрицы
Задание
Цели работы: научиться находить обратную матрицу и составлять алгоритм программы.
1. Обратить матрицу А:
Методом разбиения ее на клетки;
Методом разбиения ее на произведение 2-х треугольных матриц;
С помощью метода Гаусса.
2. Вычислить определитель методом Гаусса.
1. Решение
Метод разбиения на клетки.
Для данного метода представим исходную матрицу в виде
, где
Обратная матрица будет иметь вид
где
а - единичная матрица 2х2.
Последовательно вычислим:
а) :
б) :
в) :
г) :
Окончательно матрица D будет иметь вид:
Метод L-U факторизации.
Матрицу А также можно представить в виде произведения треугольных матриц L и U:
где
Элементы этих треугольных матриц находятся по формулам:
Найдем элементы и :
В итоге получим:
Для нахождения обратной матрицы воспользуемся формулой:
Найдем матрицы, обратные треугольным.
Теперь найдем искомую обратную матрицу:
Метод Гаусса
обратный матрица алгебраический погрешность
Запишем расширенную матрицу:
Проведем линейные преобразования. Умножим первую строку последовательно на 2 и 6 и вычесть соответственно из второй и четвертой строки.
Поделим вторую строку на 3 и умножим ее последовательно на 1, 6, -7 и вычтем соответственно из первой, третьей и четвертой строки.
Разделим третью строку на -10. Умножим получившуюся третью строку последовательно на -5.333, 2.333, 33.333 и вычтем соответственно из первой, второй и четвертой строки.
Разделим четвертую строку на -0,333. Умножим получившуюся четвертую строку последовательно на 0.933, -0.033, 0.3 и вычтем соответственно из первой, второй и третьей строки.
Окончательно матрица будет иметь вид:
2. Вычисление определителя методом Гаусса
Умножим последовательно первую строку на 2 и 6 и вычтем последовательно из второй и четвертой строки, получим
.
Отбросим первый столбец и первую строку, получим
.
Поделим первую строку на 3, получим
.
Умножим первую строку на 6 и -7 и вычтем последовательно из второй и третьей строки, получим
.
Отбросим первый столбец и первую строку, и умножим первую строку на -3,333 и вычтем из второй. Получим
Получив нули под главной диагональю, посчитаем определитель
3. Проверка в MathCAD
Подсчет погрешности методов.
За абсолютный результат примем обратную матрицу, полученную в системе MathCAD с помощью миноров и алгебраических дополнений. Погрешность будем вычислять с помощью наиболее отличающихся элементов матрицы.
Вычислим погрешность метода клеточного разбиения.
Вычислим погрешность метода L-U факторизации.
Вычислим погрешность метода Гаусса.
При вычислении определителя результат получился абсолютно одинаковым.
Вывод: я научился находить обратную матрицу различными способами. Наибольшую погрешность дал метод L-U факторизации, а наименьший метод клеточного разбиения.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013Вычисление определителя 4-го порядка, математическое решение системы методами матрицы, Крамера и Гаусса. Характеристика понятий невырожденной и обратной, транспонированной и присоединенной матрицы, нахождение алгебраических дополнений элементов таблицы.
контрольная работа [64,5 K], добавлен 12.06.2011Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.
презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009
