Изучение детей пятилетнего возраста, пришедших в старшую группу из разных семей и дошкольных учреждений, а также воспитывающихся в однокомплектных детских садах, показывает значительную пестроту их знаний. Но все дети этого возраста проявляют интерес к математическим знаниям, в частности к счету. Они считают все, что попадается им на глаза (этажи домов и окна, трамваи и машины и др.).

Дети, не изучавшие программу предшествующих групп, часто называют слова-числительные (иногда даже в пределах 15), но при счете предметов совокупности не соотносят числительное точно с объектом или пропускают числительные, не умеют назвать итоговое число, не дифференцируют итог числа от процесса счета и т.д. Не умеют дети отсчитывать указанное количество из большей совокупности (забывают заданное число и др.). Это свидетельствует о том, что они не овладели еще сознательно счетной деятельностью, не поняли значения числа как показателя мощности множества; заданное число воспринимается ими лишь как сигнал к остановке, т.е. как бы указание, что надо прекратить счет или отсчет. Дети не овладели приемом практического сравнения множеств путем установления между ними взаимно-однозначного соответствия, они не замечают пространственных отношений между элементами множества на образце, укладывают предметы, тесно прижимая их друг к другу, а потому не всегда могут правильно воспроизвести столько же.

Дети не умеют упорядочивать множества по разным признакам. Если лежат пять карандашей двух цветов, дети определяют их количество лишь раздельно по признаку цвета («три красных и два синих»), не умея обобщить по более общему предметному их признаку (карандаши). Это значит, что дети не владеют операциями обобщения множеств и выделения из множества его подмножеств.

Нередко дети устно правильно называют числа в последовательности и указывают, что число восемь больше семи, однако объясняют эти отношения лишь тем, что «число восемь дальше, а число семь ближе», т.е. на основе лишь последовательности в их назывании, а не по составу данного числа из единиц.

Чаще всего дети считают предметы правой рукой лишь в одном направлении - справа налево.

Дети не видят численного равенства совокупностей, если элементы одной из них более крупного размера, чем элементы другой, или если равные по численности множества занимают разные по площади участки или представлены в разной форме. Это говорит о том, что количественная сторона еще не отдифференцировалась в сознании детей от качественных особенностей множества.

Большое количество ошибок допускают дети еще при счете звуков, предметов по осязанию, своих движений.

Многие дети, пришедшие из семьи в старшую группу, не знают названий основных геометрических фигур, не разбираются в различных параметрах протяженности, путают ширину и толщину, не отличают ширины и длины; высотой считают лишь верхнюю точку, а не всю протяженность предмета по вертикали. Они испытывают значительные затруднения в правильном использовании предлогов и наречий для обозначения пространственных отношений, недостаточно развиты бывают у них и временные представления.

Конечно, не у всех детей, пришедших из семьи, обязательно окажутся все указанные недочеты, но в начале нового учебного года воспитательница должна прежде всего выявить пробелы в знаниях и навыках у детей своей группы. Ей необходимо также выровнять знания детей, чтобы успешно вести работу с ними в соответствии с программой старшей группы.

Целесообразно первый месяц работы (сентябрь) отвести на повторение программы предшествующей группы. Это дает возможность выяснить необходимость дополнительных занятий с теми или иными детьми.

В программе старшей группы очерчивается круг знаний и умений, который способствует дальнейшему умственному и математическому развитию детей.

Дети средней группы практически познакомились с множеством и научились выделять в нем части по тем или иным признакам (цвету, размеру, форме).

Дети уже умеют сравнивать между собою выделенные части большого множества, устанавливая соответствие между элементами этих частей, и определять, какая из частей множества по численности больше, меньше или они равны. Умея уже считать до пяти, дети могут сосчитать элементы каждой из частей и выразить численность этих частей числом, указать, какая из частей больше, какая меньше.

Работа над множествами в старшей группе должна быть продолжена дальше. В этой группе можно разнообразить выделение частей (подмножеств) множества (по их признакам и по количеству частей). Например, множество игрушек сгруппировать по признаку материала: часть деревянных, часть резиновых, часть глиняных, часть пластмассовых - в едином множестве игрушек четыре части. Можно сосчитать общее количество игрушек (10) и количество игрушек в каждой части (5, 2, 2 и 1), признав за основную первую часть (5), дополнять до всего множества остальные части 2, 2 и 1. Соединение всех частей вместе вновь образует единое целое множество. Такие упражнения позволят подвести детей к пониманию того, что множество как структурно-целостное единство, обладая общим признаком, не всегда состоит из одинаковых по своим качествам элементов. В нем можно сосчитать не только количество отдельных элементов, его образующих, но и количество отдельных частей. Расчленение множества на части и объединение этих частей в единое целое будет знакомить детей и с отношениями между частью и целым. Все это развивает мышление детей, упражняет их сообразительность, углубляет понятие единицы, готовит к пониманию сущности арифметических действий.

Упражнять детей в понимании того, что множество может быть составлено из разных по качеству элементов; элементом множества может быть как отдельный предмет, так и целая группа.

Упражнять детей в выделении нескольких частей множеств по тому или иному признаку, устанавливать отношения между конечным множеством и его частями: целое больше своей части; устанавливать между одинаковыми по численности частями взаимно-однозначное соответствие, определять большую, меньшую часть или их равномощность и вновь воссоединять эти части в единое целое, познакомив с операцией объединения множеств.

Познакомить с операцией удаления части множества.

Познакомить со значением слова один (одна, одно), которое обозначает не только один предмет, но и целую группу предметов как одну часть множества.

Количество и счет. Учить детей считать в пределах 10. Закреплять и формировать умения и навыки отсчитывания предметов в пределах 10 по образцу и заданному числу. Уметь определять равное количество в группах разных предметов, правильно обобщать множества числом на основе счета и сравнения множеств (здесь всех предметов по 5, по 8, по 10).

Уметь считать предметы при разном пространственном их расположении (а не только при линейном).

Уточнить представление, что число не зависит от характера элементов, их качественных признаков (от величины предметов, от расстояния между ними, от пространственного расположения), а также от направления счета (слева - направо, справа - налево, с середины в стороны и др.).

Знать количественный состав числа из единиц в пределах пяти (пять - это один, еще один, еще один, еще один и еще один) на конкретном материале.

Учить сравнивать смежные числа в пределах 10, опираясь на сравнение конкретных множеств; знать, как из неравенства сделать равенство (восемь больше семи; если к семи добавить один, будет по восемь, поровну; семь меньше восьми, в множестве семь не хватает одного, значит, если из восьми вычесть один, то будет в обеих группах по семь, поровну).

Учить детей порядковому счету в пределах 10; уметь различать значение вопросов «какой», «который», «сколько» и правильно отвечать на них.

Начать формировать понятие, что предмет можно разделить на несколько равных частей (на две, четыре). Например, одно яблоко можно разделить пополам, т.е. на две равные части, каждая из частей называется одной половинкой; яблоко можно разделить на четыре равные части, каждая из частей называется одной четвертью яблока. Точно так же можно разделить квадрат, круг на несколько равных частей и получить половину квадрата, одну четверть квадрата и т.д. (дети сами делят яблоко, круги др.).

Величина. Уточнять представления об изменениях протяженности предметов по длине, ширине, высоте, толщине, приучая детей правильно отражать эти умения в речи («Стало длиннее», «Это тоньше», «Веревка толще нитки» и т.д.).

Развивать глазомер детей, учить на глаз определять длину или толщину палки, ширину ленты, высоту забора, дерева, оценивая воспринимаемые размеры путем сопоставления с длиной известных ребенку предметов или отрезков (толщиной с палец, высотой с человека, тонкая, как нитка, толстая, как веревка, длиной в два шага и др.).

Форма. Закреплять представления о шаре, кубе, цилиндре, конусе, брусе (прямоугольный параллелепипед), квадрате, прямоугольнике, треугольнике, круге, овале, трапеции и правильно называть их.

Учить считать количество вершин, сторон, углов в разных плоских фигурах.

Познакомить с различием некоторых геометрических фигур (прямоугольника и трапеции, конуса и пирамиды).

Учить видеть геометрическую форму в жизненных предметах: что похоже на шар (мячик, арбуз и др.), на цилиндр (стакан, банка и др.), на конус (воронка, пирамидка и др.), на круг (блюдце, тарелка и др.), на прямоугольник (крышка стола, стена, пол, потолок, дверь и др.). на квадрат (платочек), на треугольник (косынка), на овал (очертания продольного разреза яйца, край блюда и др.), на трапецию (детский стол, крыша домов и др.).

Ориентировка в пространстве. Закреплять умения определять словом положение того или иного предмета по отношению к себе (впереди меня идет Андрюша, слева от меня стол); по отношению к другому (справа от куклы сидит заяц, а впереди куклы стоит петух).

Упражнять в пространственной ориентировке во время движения, учить изменять направление движения во время ходьбы, бега, гимнастических упражнений.

Упражнять в определении своего положения среди окружающих предметов (например, я стою за стулом, я стою около стула, я стою среди кубиков, я стою перед Мишей, напротив Миши, сзади Миши, справа от Лены и слева от Коли. Значит, Коля от меня справа, а Лена от меня слева и т.д.).

Ориентировка во времени. Научить последовательно называть дни недели. Определять, какой день сегодня, какой был вчера и какой будет завтра.

Развивать у детей «чувство времени» - знакомя практически с длительностью отдельных временных отрезков, учить определять, что можно сделать за какой-либо из этих отрезков.

Ориентировка в весе. Развивать у детей барическое чувство («чувство веса»), находить равные и неравные по весу предметы, взвешивая их па ладонях, сначала на контрастных показателях. Определять по весу предметы, раскладывая их в восходящем или убывающем порядке.

Ознакомление с множеством.

В предшествующих группах дети много раз практически имели дело с множествами. Они знакомы с тем, что всякие конкретные совокупности состоят из отдельных предметов, но можно в этих совокупностях (множествах) выделить и отдельные части, обладающие теми или иными признаками.

Перед воспитателем старшей группы стоит задача - углубить представления детей о множестве, раскрыть значение терминов множество, элементы множества и приучить пользоваться ими.

Воспитательница предлагает детям привести примеры множеств. «Множество квадратов», «Множество дверей в комнате», «Множество домов на улице», - называют дети. Воспитательница

стучит несколько раз по столу и спрашивает: «А как можно назвать это?» - «Множество звуков», «Множество движений», - отвечают дети. Воспитательница предлагает подумать, из чего составляется всякое множество. Дети отвечают, что множество составляется из отдельных предметов, отдельных звуков, отдельных движений. Воспитательница, обобщая, говорит, что эти отдельные предметы, отдельные звуки, отдельные движения, входящие в состав множества, называются элементами множеств. Она называет несколько множеств и просит сказать, что в том или другом случае будет именоваться множеством и его элементом (множество карандашей, множество детей, множество столов в группе, множество игрушек и др.).

Далее с помощью воспитателя дети обнаруживают, что не все элементы в множествах бывают однородными, например элементами множества «мебель» будут: столы, стулья, шкаф, полка, буфет и другое, т.е. одни элементы одинаковые, как столы, стулья, а другие разные, как полка, буфет шкаф. «Что же можно сказать об элементах множества?» - спрашивает воспитательница, подводя детей к обобщению: множество может состоять из элементов разного качества. Она предлагает самим детям составить какое-либо множество из элементов разного качества. Дети приносят игрушечных мишку, петуха, лошадку. «Как можно назвать это множество?» - ставит новый вопрос воспитательница. Одни дети говорят, что это множество игрушек, а другие - что это множество животных. Оба ответа верны.

2.3 Методика работы по развитию представлений о величине и способах измерения

Дети уже на предшествующем этапе усвоили, что предметы могут изменяться по длине, ширине, высоте, толщине. Но важно, чтобы дети не только определяли эти изменения на готовом материале, но и сами производили их. Например, им предлагается нарисовать или Бырезать два-три прямоугольника одинаковой длины, но разной ширины; нарисовать две морковки: одну - длиннее, а другую - короче; вырезать из бумаги квадраты: один - большой, а другой - маленький.

Приобретенные детьми знания о различных параметрах протяженности должны правильно отражаться в речи: «Нитка белая толще черной нитки» или «Мне нужна длинная нитка для нанизывания бус» (а не большая, как часто говорят дети). Нужно также, чтобы эти знания дети использовали в различных видах деятельности: в рисовании, лепке, аппликации, в играх и т.д. Например, для игры «в поезд» дети рисуют на площадке железнодорожный путь, обозначают станции, находящиеся на разном расстоянии от Ленинграда (по одну сторону от него): одна - ближе, другая - дальше. Дети могут и более точно определить эти расстояния, например станция Удельная - ближе к Ленинграду, и дети отсчитывают четыре шага, а станция Левашово - дальше, и дети отсчитывают от начала пути шесть шагов. «А на сколько дальше до станции Левашово?», - ставит вопрос воспитательница. И считая расстояние между станциями Удельной и Левашово шагами, дети говорят, что Левашово дальше на два шага. Так шаг становится мерой измерения в игре детей.

Другой пример. Соревнуясь в бросании мяча в цель или в метании мешочков на расстояние, дети хотят узнать, кто из них бросает дальше и на сколько. Это можно определить на глаз или более точно, подсчитав количество шагов от исходной линии до места падения мешочка. Таким образом возникает жизненная потребность в практическом измерении расстояния.

У детей старшей группы необходимо сформировать четкие представления об отношениях по величине между предметами, которые отражаются в словах, указывающих место предмета в ряду других: длинный, короче, еще короче, самый короткий. Уже в средней группе дети были подведены к распознаванию отношений между двумя-тремя предметами. В старшей группе дети должны освоить отношения между пятью - десятью предметами, которые образуют ряд возрастающих и убывающих величин, т.е. овладеть «сериацией». Усвоение этих отношений является относительно сложной задачей, связанной с развитием у детей аналитического восприятия предмета (выделение длины, ширины, высоты) и умением соизмерять предметы путем сопоставления их по данным параметрам. Большую роль в этом играет развитие глазомера.

В целях проверки знаний, усвоенных в средней группе, можно предложить детям подобрать ленту в соответствии с образцом, величину которого следует запомнить. Материалом могут служить два набора по пять парных лент одинаковой ширины, но разного цвета и разной длины (от 12 до 20 см), при этом в каждой паре одинаковой длины цвет лент может быть разным. Задача состоит в том, чтобы абстрагировать в предъявленном образце лишь одну длину и в соответствии с ней найти парную ленту. Выполненное задание должно быть проверено самим ребенком. «Как доказать, что твоя красная лента одинаковой длины с моей синей?» Ребенок сначала указывает приемы проверки, потом доказывает это практически.

Другой вариант занятия. Всем детям раздаются по пять разноцветных полосок одинаковой ширины, но разной длины (с разницей в 2 см). Предлагается разложить их по порядку (рис. 15), но кто как хочет (в возрастающей или убывающей последовательности). Затем дети объясняют: «У меня самая длинная полоска - красная, покороче - розовая, еще покороче - синяя, еще короче - голубая и самая короткая - зеленая». Другой ребенок называет цвет и размер своих полосок, расположенных в возрастающем порядке. Это упражнение способствует уточнению восприятия размера и цвета и совершенствованию речи детей.

Задание может быть предложено детям и по-другому: разложенные по порядку четыре ленты сопоставляются по длине друг с другом, и дети практически знакомятся с транзитивностью отношений. Например, дети говорят, что красная лента длиннее розовой, розовая длиннее желтой, а желтая длиннее зеленой. «Значит, красная лента длиннее каких лент?» - ставит вопрос воспитательница, стимулируя мысль детей. Сначала дети называют лишь отдельные ленты («Красная лента длиннее желтой», «Красная лента длиннее зеленой» и т.д.). Воспитательница предлагает подумать и перечислить сразу все ленты, длиннее которых красная лента. Посмотрев еще раз на ряд лент, ребенок отвечает: «Красная лента длиннее розовой, желтой и зеленой. Она самая длинная из всех лент». - «А какая лента самая короткая?» - ставит новый вопрос воспитательница. Дети называют зеленую ленту. «А какой же ленты она немного короче?» - «Желтой». Так сначала сравниваются по порядку все смежные ленты, затем делается обобщение: «Каких же лент короче зеленая лента?»

Неоднократно упражняясь в сравнении лент, полосок и других предметов, расположенных в убывающем или возрастающем порядке, дети по сути дела практически знакомятся с транзитивностью отношений (Л > В, В > С, С > > D, значит, А > D).

Весьма важно также привлечь внимание детей к тому, на сколько одна полоска длиннее другой в сериационном ряду. Из предложенных пяти полосок одинакового цвета, одинаковой ширины и разной длины дети образуют сериационный ряд. Это «лесенка», а это «ступеньки», говорят дети, двигая пальчиком по лесенке «вверх» и «вниз». Воспитательница предлагает подумать, что надо сделать, чтобы две смежные полоски сделать равными по длине. Она вносит несколько прямоугольников разной длины, но той же ширины, что полоски, и предлагает выбрать прямоугольник, который дополнил бы одну из смежных полосок, чтобы сделать их равными. Подставляя выбранный прямоугольник к своим полоскам, дети устанавливают равенство между смежными полосками. Далее педагог предлагает детям подумать и догадаться, на сколько одна полоска длиннее другой. Дети показывают маленький прямоугольник, который они подставляли ко всем полоскам, уравнивая смежные полоски. «На сколько же одна ступенька лестницы больше другой?» Подкладывая прямоугольник ко всем полоскам по порядку, дети приходят к выводу, что ширина «ступенек лестницы» всюду одинакова. «Что же надо сделать, чтобы все полоски были одинаковой длины?» - ставит новый вопрос воспитательница. Дети задумываются. Воспитательница каждому дает по четыре-пять полосок и предлагает подумать, какие из этих полосок куда дети должны положить, чтобы превратить лестницу в прямоугольник. Дети выполняют задание и подсчитывают, из скольких малых прямоугольников состоит полоска, которую они подложили ко второй ступеньке лестницы, к третьей и к четвертой. «А что означает каждый малый прямоугольник на полосках?» - спрашивает воспитательница, обращая внимание детей на размер той полоски, которая показывает разность длин смежных ступенек.

Можно также предложить детям расположить в ряд пять длинных полосок, после чего дать дополнительно еще пять полосок промежуточного размера, которые нужно включить в построенный ряд. Детям предлагают объяснить, чем отличается первая лестница от второй. Дети говорят, что в первой лестнице было пять ступенек и они были очень высокими, а во второй лестнице десять ступенек, но они стали низкими.

Можно предложить детям и задание на сообразительность. Дается шесть - восемь полосок разной длины, из которых нельзя построить строго ритмичный сериационный ряд, поскольку среди этих полосок две равной длины. Многие дети сразу же обнаруживают, что у них две полоски равной длины, и просят заменить одну из них. Другие замечают это, лишь построив лестницу. И наконец, имеются дети, которые не замечают нарушения ритмичности в расположении полосок и обнаруживают ошибку лишь в результате последующего анализа построенной ими лестницы с помощью воспитателя и детей.

Аналогичные упражнения рекомендуется проводить и на отношения ширины и высоты.

В обучении детей сенсорному восприятию величины целесообразно использовать ряд дидактических материалов, предложенных М. Монтессори (длинную лестницу, широкую лестницу; бруски с цилиндрами: большой - маленький, высокий - низкий, толстый - тонкий).

Необходимо упражнять детей не только на занятиях, но и в процессе дидактических игр, используя, например, игру «Угадай, что в мешочке» (мешочек наполняют предметами разной формы и размера). Ряд игр может быть взят из книги Ф.Н. Блехер «Дидактические игры и дидактические материалы».

Создание сериационного ряда по длине, ширине и высоте предметов вполне доступно детям старшего и среднего дошкольного возраста. При этом старшие дети уже не только размещают предметы в убывающем или возрастающем порядке, но и осознают разностные отношения между элементами сериационного ряда. Эти факты опровергают утверждение Ж - Пиаже и Б. Инельдер, что восприятие равенства разностных отношений между элементами сериационного ряда доступно лишь детям 10-12 лет.

Развитие представлений о величине и измерении.

Дети уже в предшествующих группах учились различать и сравнивать между собою различные параметры протяженности, отражая это в своей речи, в разных видах деятельности (рисовали прямоугольники, круги и другие фигуры и предметы разных размеров; определяли небольшие расстояния шагами и т.д.).

В подготовительной группе эта работа продолжается и усложняется. Дети упражняются в выделении разных параметров в окружающих предметах (длины стола, ширины доски, высоты шкафа; находят длину, ширину, высоту коробки в раз: ном положении; ширину, длину картины, висящей на стене или лежащей на столе, и т.д.).

Дети сравнивают на глаз предметы по длине, ширине, высоте, проверяют свои суждения приемом накладывания, прикладывания одного предмета к другому. Например, что шире, что длиннее: книга или тетрадь? И т.д.

Дети раскладывают предметы разной длины, разной высоты в возрастающем и убывающем порядке, определяют практически разностную величину между смежными элементами сериационного ряда.

Новой задачей в подготовительной группе является обучение детей приемам измерения условными мерками (расстояний, длины, ширины и высоты предметов, а также масс, объемов сыпучих и жидких тел и т.д.).

На что же следует обратить внимание при обучении измерению расстояния?

Способ измерения шагами в основном известен детям и использовался ими в играх. Он применим при измерении сравнительно больших расстояний (длины и ширины комнаты, дорожки сада и т.д.). В комнате дети уже различают длину и ширину пола, высоту стен. Воспитательница на занятии предлагает показать ширину и длину пола в комнате и на глаз определить, что больше чего или они равны. При таком способе определения результаты могут быть противоречивыми, могут даже возникнуть споры между детьми. Воспитательница разъясняет, что спор легко разрешить, если измерить длину и ширину комнаты шагами. Она обращает внимание детей па то, что отсчитывать шаги надо обязательно по прямой линии. Возможно, что количество шагов у разных детей будет различным. Причину дети склонны видеть в неправильном подсчете. Воспитательница не спешит с разъяснением, а предлагает сосчитать количество ее шагов при измерении длины той же комнаты. Количество шагов оказывается меньше, а считали дети правильно. «У всех получилось разное количество шагов. От чего же это зависит?» - «У вас шаги большие», - говорят дети. «У Миши тоже большие шаги, но поменьше ваших, а у Лены совсем маленькие, вот и получилось по-разному», - догадываются дети. «А что такое шаг?» - ставит вопрос воспитательница. «Это расстояние от одной ноги до другой при ходьбе». - «Верно. Но чтобы сосчитать их количество, какими должны быть шаги?» - «Большими и одинаковыми», - отвечают дети. «Правильно. Шаг - это мерка, а мерка должна быть одинаковой при измерении. А может ли наша мерка (шаг) быть одинаковой у всех детей?» Дети говорят, что шаги у людей разные. «Вон как шагает мой папа - он высокий, а мама всегда отстает от него, у нее шаги короткие». - «Что же можно сказать об измерении шагами?» - подводит к обобщению воспитательница. «Такое измерение возможно, но оно не точное». - «Кто знает, какой меркой более точно измеряют люди расстояния?» - «Километром, метром», - отвечают дети. «Правильно. Но что такое метр и километр, вы узнаете в школе, а пока будем учиться измерять длину и ширину комнаты шагами, выбрав прямо перед собой точку на противоположной стене комнаты и идя по прямой линии… А почему для измерения надо идти по прямой линии?» Дети задумываются. Воспитательница предлагает попробовать измерять не по прямой, а потом сравнить с тем количеством шагов, которое получилось раньше. Дети убеждаются, что шагов стало больше; значит, отрезок прямой линии - самое короткое расстояние между двумя точками (концами этого отрезка).