Параллельные прямые в курсе основной школы

После этого следует решить задачу на построение. Через точку А вне данной прямой провести прямую, параллельную данной.

Запись задачи на доске: Дана прямая МN и вне ее точка А. провести через точку А прямую, параллельную данной.

Решение. Из данной точки А проводят к прямой МN при помощи линейки и чертежного Треугольника перпендикуляр АР. Затем проводят через точку А к прямой АР перпендикуляр АК также при помощи линейки и чертежного треугольника. Прямая АК параллельна прямой МN на основании теоремы: две прямые перпендикулярные к третьей, параллельны.

Необходимо предложить учащимся сделать несколько построений, различно расположив прямую МN относительно края доски или листа бумаги. Когда построение выполнено, преподаватель должен указать, что необходимо еще исследовать, нет ли помимо построенной прямой еще другой прямой, которая также проходит через точку А и параллельна данной прямой МN, и что если таковой нет, то проведенная прямая является единственной прямой, проходящей через точку А параллельно прямой МN. Учащимся разъясняется, что доказать это положение нельзя при помощи известных нам аксиом и теорем, и что вековой опыт человечества, приобретенный решением практических задач, привел еще древних геометров к заключению, что через данную точку вне прямой на плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. Последнее суждение есть аксиома о параллельных прямых.

Не лишнее указать учащимся, что начиная с древнейших времен, лучшими математиками все же делались попытки доказать аксиому о параллельных прямых., т.е. рассматривать как теорему, которая, как они предполагали, может быть доказана при помощи уже принятых аксиом. Однако их попытки были и остались безуспешными. В настоящее время рассуждениями, выводящими за пределы элементарного курса геометрии, установлено, что аксиому о параллельных прямых нельзя доказать без внесения дополнительных аксиом к числу тех, которые установлены Евклидом.

На аксиоме о параллельных прямых и следствиях из нее следует заострить внимание учащихся.

Учащиеся должны формулировать словами запись: на плоскости АВ¦CD и CD¦MN, уметь сделать к ней нужный чертеж и после соответствующего доказательства записать вывод, вытекающий из взаимного расположения прямых АВ, СD и МN. А именно, что АВ¦MN. К чтению такого рода записей и учению по записи сделать соответствующий вывод следует приучать учащихся.

Большинство учебников обычно приводит аксиому о параллельных прямых непосредственно перед рассмотрением обратной теоремы о параллельных прямых, т.е. теоремы: две параллельные прямые, пересеченные третьей, образуют равные внутренние накрест лежащие углы, так как доказательство этой теоремы основано на аксиоме параллельных прямых. Для прямой теоремы: две прямее, пересеченные третьей, параллельны, если внутренние накрест лежащие углы равны - нет необходимости в применении аксиомы параллельных прямых. Для доказательства прямой теоремы достаточно предшествующих аксиом.

Приводя все же аксиому о параллельных прямых ранее, а именно - в с вязи с анализом решения задачи о проведении прямой, параллельной данной прямой, полагаем, что при таком расположении материала учащимся более доступно понимание необходимости аксиомы о параллельных прямых.

2.2 Углы при параллельных прямых

Ознакомление учащихся с углами, образуемыми двумя параллельными и секущей, целесообразно начать с повторения свойств углов, образуемых двумя пересекающимися прямыми, рассмотреть получаемые противоположные и смежные углы и лишь затем перейти к рассмотрению углов, образуемых тремя попарно пересекающимися прямыми, из которых одна по отношению к двум другим, параллельным, называется секущей. Получаемым при этом восьми углам даются названия. Нужно указать, что не следует требовать от учащихся запоминания всех наименований углов, образуемых двумя параллельными прямыми и секущей. Достаточно, если учащиеся умеют четко разбираться в расположении соответственных и внутренних накрест лежащих углов. Доказывается, что определенная зависимость между углами какой-либо одной из следующих двенадцати пар углов - 3 и 5, 4 и 6, 1 и 7, 2 и 8, 1и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 5, 1 и 8, 3 и 6, 2 и 7 - влечет за собою определенную зависимость между углами каждой из остальных пар. Так, если первая пара углов равна, то равны и следующие семь пар углов, а последние четыре пары углов дополнительные и т.д. Небесполезно обратить внимание учащихся на следующее: углы, образуемые при пересечении двух параллельных третьей прямой, секущей, - в общем случае углы острые и тупые, при этом все острые углы между собой и все тупые углы между собой равны, а любая пара углов, из которых один острый, а другой тупой, - углы дополнительные. Если же хотя бы один из восьми углов - прямой, то все углы равны и все углы попарно дополнительные.

2.3 Признаки параллельности прямых

В ряде учебников теорема о признаках параллельности двух прямых, пересеченных третьей, доказывается способом от противного. Это доказательство следующее: допустим, что прямые А В и CD не параллельны. Тогда они могут пересечься или в какой-нибудь точке О, лежащей права от секущей EF, или в какой-нибудь точке Ol, лежащей слева от секущей EF. Если АВ и CD пересекутся в точке О, то в полученном треугольнике OMN 1<2. Однако это противоречит условию, согласно которому 1 =2, а потому допущение, что прямые АВ и CD пересекутся в точке О, неверно. Итак, прямые АВ и CD не могут пересечься, следовательно, они параллельны: ABCD. К тому же заключению приводит допущение, что прямые Л В и CD пересекутся в некоторой точке 01, слева от секущей EF.

Прямой доказательство данной теоремы, приведенное в учебнике, следует предпочесть доказательствам от противного, изложенным выше, так как метод доказательства от противного всегда представляет для учащихся затруднения, обусловленные тем, что приходится принимать в качестве исходного условия для цепи заключений противоположное тому, что требуется доказать.

После проработки теоремы о признаках параллельности двух прямых следует вернуться к задаче на построение прямой, проходящей через данную точку А параллельно данной прямой MN.

Построение. Через точку А проводится под произвольным углом к прямой MN секущая EF, и при точке А строится угол, равный углу , как угол соответственный или внутренний накрест лежащий так, чтобы одна сторона угла совпала с секущей EF. Следует указать, что построение, ранее приведенное и сводящееся к построению двух перпендикуляров к третьей прямой, аналогично последнему построению.

Учащимся должны быть даны практические указания о проведении параллельных прямых при помощи линейки и чертежного треугольника. Указывается, что при параллельном перемещении чертежного треугольника вдоль ребра линейки прямые, проводимые вдоль одного из катетов или гипотенузы чертежного треугольника, образуют вместе с ребром линейки равные соответственные углы, в силу чего проводимые прямые параллельны. Теорема: две параллельные прямые, пересеченные третьей, образуют равные внутренние накрест лежащие углы - является теоремой, обратной теореме о признаках параллельности двух прямых. В учебниках она доказывается методом от противного, и как следствие из нее приведено суждение: прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой

Можно привести и прямое доказательство указанной теоремы, но тогда необходимо сперва доказать, как следствие из аксиомы о параллельных, что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой.

После проработки теоремы, обратной теореме о признаках параллельности двух прямых, можно вместе с учащимися составить в виде таблицы сводку признаков параллельности прямых.

2.4 Признаки не параллельности прямых

Для прямой теоремы, выражающей признаки параллельности двух прямых, и ей обратной также верны и противоположные теоремы: Если при пересечении двух прямых третьей 1) внутренние накрест лежащие углы не равны. 2) внешние накрест лежащие углы не равны. 3) соответственные углы не равны, 4) внутренние односторонние углы не дополнительны, т.е. сумма их больше или меньше 2d, и 5) внешние односторонние углы не дополнительны, то прямые не параллельны. Если две прямые не параллельны, то при пересечении их третьей прямой: 1) внутренние накрест лежащие углы не равны. 2) внешние накрест лежащие углы не равны, 3) соответственные углы не равны, 4) внутренние односторонние углы не составляют в сумме 2d и 5) внешние односторонние углы не составляют в сумме 2d.

Теоремы эти доказываются методом от противного. Теоремы выражают признаки непараллельности двух прямых.

Приведем доказательство одного из признаков непараллельности: если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то прямые не параллельны, и он и следовательно, пересекаются. Допустим, что ABCD, тогда +=2d. Но это противоречит условию, а потому принятое допущение неверно. Если же прямая А В не параллельна прямой CD, то прямые пересекаются.

Рассмотренное доказательство одного из признаков непараллельности прямых, а также доказательства остальных признаков могут служить темами для самостоятельной работы учащихся.

Приведенный признак непараллельности прямых, дополненный утверждением, что прямые пересекутся по ту сторону секущей, на которой сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, был принят Евклидом как аксиома параллельных прямых и известен как V постулат Евклида. У Евклида аксиома гласит: если две прямые линии встречаются с третьей так, что сумма внутренних углов, лежащих по одну сторону третьей, меньше двух прямых углов, то две первые прямые при достаточном своем продолжении встретятся по ту сторону третьей прямой, на которой сумма внутренних углов меньше двух прямых.

В современных элементарных курсах геометрии V постулат Евклида заменяется равносильной ему аксиомой о параллельных, данной еще Проклом (412-485), одним из комментаторов Евклида.

Следует остановиться на одном из признаков непараллельности прямых, который используется при доказательстве теоремы: через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну.

Теорема (признак не параллельности). Перпендикуляры к двум пересекающимся прямым пересекаются.

Действительно, если допустить, что MN и KL не пресекаются, то MNKL. Но в таком случае прямая АВ, перпендикулярная к MN, будет перпендикулярна и к KL, так как MNKL. Итак, и CD и АВ перпендикулярны к KL, но CD и АВ пересекаются в некоторой точке Р, следовательно, из точки Р проведены к KL два перпендикуляра, А В и CD, что невозможно. А потому допущение, что MNKL неверно. Если же MN не параллельна KL, то MN и KL пересекаются.

Последняя теорема представляет для учащихся значительные трудности. Поэтому целесообразно рассмотреть ее позднее (на следующем году обучения геометрии) для обоснования вывода теоремы о проведении окружности через три точки, не лежащие на одной прямой.

2.5 Углы с взаимно параллельными сторонами, углы с взаимно перпендикулярными сторонами

Теорему о свойстве углов с соответственно параллельными сторонами следует рассмотреть для случаев, когда данные углы или оба острые, или оба тупые, или один из них острый, а другой тупой.

Теорема находит широкое применение при изучении свойств различных фигур и, в частности, четырехугольника.

Встречающееся иногда при формулировке теорем указание на то, что стороны углов с соответственно параллельными сторонами могут иметь или одинаковое или противоположное направление, считаем ненужным. Если пользоваться термином «направление», то следовало бы разъяснить, что должно понимать под этим словом. Достаточно обратить внимание учащихся на то, что углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые, если же один из углов тупой, а другой острый, то они в сумме составляют 2d.

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами может быть дана непосредственно после теоремы о свойстве углов с соответственно параллельными сторонами. Учащимся приводятся примеры использования свойств углов с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами в приборах и деталях машин.

2.6 Сумма углов треугольника

При выводе теоремы о сумме углов треугольника можно использовать наглядные пособия. Вырезают треугольник ABC, пронумеровываются его углы, затем обрывают их и прикладывают друг к другу. Получается l+2+3=2d. Проводят из вершины С треугольника ABC высоту CD и перегибают треугольник так, чтобы высота делилась пополам, т.е. вершина С упала в точку D - основание высоты. Линия перегиба MN есть средняя линия треугольника ABC. Затем перегибают равнобедренные треугольники AMD и DNB по их высотам, при этом вершины А и В совпадут с точкой D и l+2+3=2d.

Следует помнить, что использованием наглядных пособий в систематическом курсе геометрии отнюдь не ставится задача подменить логическое доказательство какого-либо предложения опытной проверкой его. Наглядные пособия должны лишь содействовать пониманию учащимися того или иного геометрического факта, свойств той или иной геометрической фигуры и взаимно расположения отдельных ее элементов. При определении величины угла треугольника следует напомнить учащимся о рассмотренной ранее теореме о внешнем угле треугольника и указать, что теорема о сумме углов треугольника позволяет и построением и вычислением установить числовую зависимость между углами внешними и внутренними, не смежными с ними.

Как следствие из теоремы о сумме углов треугольника доказывается, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

По ходу изложения материала учащимся следует задать вопросы и простые задачи, содействующие лучшему усвоению нового материала. Например, Какие прямые называются параллельными?

При каком положении секущей равны все углы, образуемые двумя параллельными прямыми и этой секущей?

Прямая, проведенная в треугольнике параллельно основанию, отсекает от него малый треугольник. Доказать, что отсекаемый треугольник и данный равноугольны.

Вычислить все углы, образуемые двумя параллельными и секущей, если известно, что один из углов равен 72 градуса.

Внутренние односторонние углы соответственно равны 540 и 1230. На сколько градусов надо повернуть одну из прямых вокруг точки ее пересечения с секущей, чтобы прямые были параллельны?

Доказать, что биссектрисы: а) двух равных, но не противоположных углов, образуемых двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, б) двух неравных углов при тех же прямых и секущей - перпендикулярны.

Даны две параллельные прямые АВ и CD и секущая EF, пересекающая данные прямые в точках К и L. Проведенные биссектрисы КМ и KN углов AKL и BKL отсекают на прямой CD отрезок MN. Найти длину MN, если известно, что отрезок KL секущей, заключенный между параллельными, равен а.

Ответ: 2а

Каков вид треугольника, в котором: а) сумма двух любых углов больше d, б) сумма двух углов равна d, в) сумма двух углов меньше d? Ответ: а) остроугольный, б) прямоугольный, в) тупоугольный. Во сколько раз сумма внешних углов треугольника больше суммы внутренних его углов? Ответ: в 2 раза.

Могут ли все внешние угля треугольника быть: а) острыми, б) тупыми, в) прямыми? Ответ: а) нет, б) да, в) нет.

В каком треугольнике каждый внешний угол вдвое больше каждого из внутренних углов? Ответ: равносторонний.

Изучая методику параллельных прямых необходимо использовать историческую, теоретическую и методическую литературу для полного формирования понятия параллельные прямые.

Заключение

На первый взгляд данная тема показалась мне очень простой для изучения, но после того как я изучила историю вопроса, я поняла, что была не права.

В ходе проведения данной работы, было подтверждено, что параллельные прямые имеют очень важное значение при изучении данной темы.

В начале работы была поставлена цель: изучить историю, теорию вопроса и методику изучения понятия параллельные прямые.

Для ее реализации были поставлены и решены задачи:

изучение истории вопроса, теоретический материал был представлен в 1 главе ВКР.

изучение методической литературы.

разработаны конспекты уроков.

Работа над данной темой позволила мне более глубоко изучить параллельные прямые. Благодаря этому не только расширился запас моих теоретических знаний в этой области, но и благодаря детальному изучению методики изучения параллельных прямых у различных авторов.

Мне удалось построить для себя систему изучения данной темы в школе, что помогло безусловно мне в преддипломной практике и что я могу успешно использовать в своей профессиональной деятельности.

Список литературы

Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950

Атанасян Л.С. Курс элементарной геометрии, часть 1/Атанасян Л.С., Денисова НС, Силаев Е.В. - М.: «Сантакс-Пресс». 1997. - 304 с.

Атанасян Л.С. Изучение геометрии в 7-9 кл. Методика. - М.: «Просвещение». 2003. - 255 с.

Готман Э.Г.,Скопец З.А. Задача одна-решения разные.-К.: Рад. шк.,1988.-173 с.

Гусев В.А. Методика обучения геометрии - Учебное пособие для студентов высших педадогических учебных заведений, изд. Академия, 2004. - 368 с.

Даан Дальмедино А., Пейффер И. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. Перевод с французского. М: Мир. 1986г.

Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия.-М.: Гостехиздат, 1955.-237с.

Кельман Э. Великий русский мыслитель Н.И.Лобачевский.-М.: Гостехиздат, 1955-245с.

Киселев А.П. Геометрия. Учебник для 6-9 классов семилетней и средней школы. -М.: Учпедгиз, 1962.

Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., ч. 1, М. -- Л., 1937: Карл Фридрих Гаусс. Сб. ст., М., 1956

Колесников М. Лобачевский./. Серия «Жизнь замечательных людей». - М.: Молодая гвардия, 1965. - 320 стр. с илл.

Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г.

Лоповок Л.М. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов: Пособие для учителей. - К.: Рад. шк., 1990. - 128с.

Начаев М. Уроки по курсу "Геометрия-7": К учебнику А.В.Погорелова "Геометрия. 7-9 класс" (Уч.-метод.пос.д/учителей общеобр. Школы). Изд. ООО "5 за знания", 2008. - 139 с.

Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968

Погорелов А.В. Геометрия: учеб. Для 7 -- 9 кл. общеобразоват. учреждений /А.В. Погорелов. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 224 с.

Самин Д.К., "100 великих научных открытий". - М.: "Вече", 2002.

Смирнова И.М., Смирнов В.А. - Что такое абсолютная геометрия (с диска)

Смирнова И.М., Смирнов В.А. - М.: Мнемозина, 2007. - 32с.

Смирнова И.М. Геометрия. 7 - 9кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. - М.: Мнемозина, 2005. -376 с.

Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. - М.: Наука, 1983. - 76

Юшкевич А.П., История математики в России, «Наука», М., 1968

http://www.ibmh.msk.su/vivovoco/VV/Q_PROJECT/HEAP/82_11_1/82_11_11.НТМ

Приложения

Приложение 1

Мною на практике были проведены уроки по теме «Параллельные прямые». Мне очень тяжело было проходить практику, так как учитель вела программу по чисто традиционной системе и нельзя было отходить от ее конспектов, вводить элементы развивающей системы.

Тема: «Параллельность прямых».

Цель урока: вспомнить определение параллельных прямых; изучить первый признак параллельности прямых (Погорелов А.В. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А.В.Погорелов. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2008. -224 с).

ХОД УРОКА:

I. Опрос теоретического материала:

-Дать определение параллельным прямым? (Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются).

Поэтому признаки параллельности прямых необходимы (т.е. приметы, на основании которых можно будет делать выводы ор том, что прямые параллельны), т.к. прямые бесконечны, поэтому, невозможно непосредственно убедиться в том, что они не имеют общих точек.

-Сформулируйте аксиому параллельных прямых? (Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной).

II. Изучение нового материала:

I признак параллельности прямых

Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Дано: a||b, b||c

Доказать: а||с



Доказательство:

Докажем теорему «методом от противного».

- Вспомните, что значит доказать «методом от противного»? (Предположить обратное тому, что просят доказать).

(а+b)=>а пересекает b в точке С

(a||b, b||с)=> получили, что через точку С проходит сразу две прямые параллельные прямой с. А такого по аксиоме параллельных прямых быть не может (учащиеся проговаривают, аксиому параллельных прямых, для прямой с)=>Наше предположение неверно и прямые а и b параллельны, а||b

Что и требовалось доказать.

III. Решение задач с использованием первого признака параллельности прямых:

№ 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.

№3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.

IV. Домашнее задание:

Страница 42, пункт 29, теорему с доказательством выучить, №4 (разобрать по учебнику).

Приложение 2

УРОК 2. Тема: «Признак параллельности прямых».

Цель урока: закрепление понятия внутренние накрест лежащие углы, внутренние односторонние углы; изучение второго признака параллельности прямых.

ХОД УРОКА:

I.Опрос теоретического материала:

Какие прямые называются параллельными?

Сформулируйте первый признак параллельности прямых?

Сформулируйте аксиому параллельных прямых?

Сформулируйте свойство углов, образованных при пересечении двух прямых секущей?

Данное свойство распространяется, на какие прямые? П.Изучение нового материала:

Теорема 4.2 (Второй признак параллельности прямых).

Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: a, b - прямые,

АВ - секущая,

<САВ=<С₁ВА, <СВА=<С₁АВ

Доказать: a||b

(Пусть а и b не параллельны)=> а пересекает b в точке С, Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка С. Построим в ABACi=AABC, вершина Ci расположена в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы равны при параллельных прямых а и b и секущей АВ.

-Назовите внутренние накрест лежащие углы?

Т.к. соответственные углы ААВС и ABAC] с вершинами А и В равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами => АС₁ совпадает с а,

BC₁ совпадает с b

Получается через точки С и С] проходят две различные прямые. Это невозможно => а||b

Если у прямых а и b и секущей АВ сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны. По доказанному выше а||b

Что и требовалось доказать.

III. Примеры: Доказать, что a||b

Из данной теоремы, мы имеем, следствие: Две прямые перпендикулярные третьей, параллельны (Доказываем с классом).

V.Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Скажите <1 и <2, какие углы? <1 и <3 - соответственные углы.

Из равенства внутренних накрест лежащих углов => равенство соответственных углов, и наоборот.

Из этого получили свойство: Прямые параллельны, если соответственные углы равны.

VI.Решение задач:

№8, страница 44 - разобрана в учебнике.

Вывод: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

№10, страница 52.

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АВ и CD параллельны. VII. Домашнее задание: Пункт 31, №11.

Приложение 3

УРОК 3,4. Тема : «Сумма углов треугольника».

Цель урока З: разобрать свойство углов треугольника, выяснить свойство углов равностороннего треугольника.

ХОД УРОКА:

I. Объяснение нового материала:

Если новый материал вмещает много информации, достаточно сложной для восприятия, то начинают урок с нового материала.

Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°. Дано: ААВС, <1,<2, <3. Доказать: <1+<2+<3=180°

Доказательство:

1) Проведем через точку С прямую MN||AB Продолжим стороны АС и ВС за точку С

Рассмотрим <1 и <4 - соответственные при AB||MN и секущей АС => <1=<4

Рассмотрим <2 и <5 - вертикальные => <2=<5

Рассмотрим <3 и <6 - соответственные при AB||MN и секущей ВС => <3=<6

Т.к. <4, <5, <6 образуют развернутый угол, то <4+<5+<6=180° => <1+<2+<3=180°.

Что и требовалось доказать.

П.Решение задач:

№20

Выяснить сколько в треугольнике может быть острых, тупых и прямых углов?

Вывод: У любого треугольника, хотя бы два угла острые. №30

Чему равны углы равностороннего треугольника?

№18 (устно)

Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны:

1)50° и 30°; 2) 40° и 75°; 3) 65° и 80°; 4) 25° и 120°

№19(1)

Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 3. Ш.Домашнее задание: Пункт 33, №19 (2, 3)

Цель урока 4: закрепление теоремы ор сумме углов треугольника.

ХОД УРОКА:

Опрос теоремы о сумме углов треугольника с доказательством.

Проверка домашнего задания №19 (2)

Решение задач: №21 (устно)

Может ли быть тупым угол при основании равнобедренного

треугольника?

№22 (1)

Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 40° №23 (1)

Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами равен 80°

Домашнее задание: пункт 33, №22 (2), №23 (2).

Приложение 4

Сравнение темы «Параллельные прямые» по учебникам Л.С.Атанасяна, А.В.Погорелова, В.А.Смирнова и И.М.Смирновой.

Геометрию Евклида можно подразделить на две части. Одна часть включает в себя понятия, свойства и теоремы, определение и доказательство которых не использует аксиому параллельных. Она называется абсолютной геометрией. Этот термин был введен венгерским математиком Я.Бойяи в 30-х годах XIX века. Другую часть геометрии Евклида, использующую аксиому параллельных прямых, для удобства будем называть относительной геометрией.

В школьных учебниках геометрии по-разному решается вопрос о соотношении абсолютной и относительной геометрии. Так в учебниках Л.С.Атанасяна и др., А.В.Погорелова аксиома параллельных вводится с самого начала изучения геометрии.

В учебниках А.П.Киселева под редакцией Н.А.Глаголева сначала излагается абсолютная геометрия, рассматриваются понятия и доказываются свойства и теоремы, не использующие аксиому параллельных прямых, и только после этого вводится аксиома параллельных прямых. Аналогичный метод изложения используется в учебнике геометрии И.М.Смирновой, В.А.Смирнова, где аксиома параллельных прямых вводится в начале 8-го класса, а до этого, в 7-м классе, излагается абсолютная геометрия.

Такое разделение школьного курса геометрии на абсолютную и относительную позволяет сформировать более четкие представления о роли аксиомы параллельных прямых о том, какие понятия, свойства и теоремы зависят от нее, а какие нет, закладывает основу дальнейшего знакомства со сферической геометрией, с неевклидовыми геометриями Лобачевского и Римана.

Таблица

Л.С.Атанасян	А.В.Погорелов	В.А.Смирнов, И.М.Смирнова
Глава III «Параллельные прямые» §1 Признаки параллельных прямых П.24 Определение параллельных прямых - определение параллельных прямых - понятие параллельных отрезков П.25 Признаки параллельности двух прямых - понятие секущей -понятие накрест лежащих углов -понятие односторонних углов - понятие соответственных углов - теорема(1 признак параллельности прямых) - теорема(2 признак параллельности прямых) - теорема(3 признак параллельности прямых) П.26 Практические способы построения параллельных прямых - способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины (малки) §2 Аксиома параллельных прямых П.27 Об аксиомах геометрии - понятие аксиомы (примеры некоторых аксиом) П.28 Аксиома параллельных прямых - аксиома параллельных прямых - понятие следствия - следствие 1 (если прямая пересекает одну из 2-х параллельных прямых, то она пересекает и другую) - следствие 2 (если 2 прямые параллельны третьей, то они параллельны) П.29 Теорема об углах, образованных 2-мя параллельными прямыми и секущей - понятие условия и заключения теоремы - понятие теоремы, обратной данной - теорема (если параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны) - теорема обратная первому признаку параллельности прямых - следствие (если прямая перпендикулярна одной из 2-х параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой) - теорема обратная второму признаку параллельности прямых - теорема обратная третьему признаку параллельности прямых - замечание (не всегда обратное утверждение верно, необходима проверка) §20 Сумма углов треугольника 1. Теорема о сумме углов треугольника - теорема о сумме углов треугольника - следствие 1 (о сумме углов равностороннего треугольника) - следствие 2 ( внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним) 2. Некоторые свойства и признаки прямоугольных треугольников - следствие 1 ( сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90?) - следствие 2 (медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы) - следствие 3 (катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы тогда и только тогда, когда угол, лежащий против этого катета, равен 30?) - следствие 4 (треугольник является прямоугольным, если выполнено хотя бы одно из условий: а) один из его углов равен сумме двух других углов; б) медиана, проведенная к одной стороне, равна половине этой стороны) §21 Углы с соответственно параллельными сторонами - углы с соответственно параллельными сторонами - теорема 1 (если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого, то такие углы либо равны, либо их сумма равна 180?) - углы с соответственно параллельными сторонами не лежащие на одной прямой либо параллельны, либо перпендикулярны §22 Абсолютная геометрия Абсолютная геометрия Постулат Евклида Предложения эквивалентные аксиоме параллельных прямых Н.И.Лобачевский и его геометрия	§1 Основные свойства простейших геометрических прямых П.11 Параллельные прямые - определение параллельных прямых - основное свойство: IX. через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одно прямой, параллельной данной §4 Сумма углов треугольника П.29 Параллельность прямых - теорема 4.1 (две прямые параллельные третьей, параллельны) П.30 Углы образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей - понятие секущей - внутренние односторонние углы -внутренние накрест лежащие углы П.31 Признак параллельности прямых - теорема 4.2 (признак параллельности прямых) - следствие (две прямые параллельные третьей, параллельны) - понятие соответственных углов - признак параллельности прямых по соответственным углам - единственность прямой параллельной данной, проведенной через точку не лежащую на данной прямой П.32 Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей - теорема 4.3 обратная теореме 4.2 о признаке параллельных прямых - следствие из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей (если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой) П.33 Сумма углов треугольника - теорема 4.4 ( сумма углов треугольника равна 180? - следствие (у любого треугольника хотя бы два угла острые) П.34 Внешние углы треугольника - внешний угол треугольника - теорема 4.5 (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, е смежных с ним) - следствие (внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла не смежного с ним) П.35 Прямоугольный треугольник Определение прямоугольного треугольника - понятие гипотенузы, катета - признак равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету) П.36 Существование и единственность перпендикуляра к прямой - теорема 4.6 (о единственности перпендикуляра к прямой, опущенного из точки не принадлежащей данной прямой) - расстояние от точки до прямой - расстояние между параллельными прямыми П.37 из истории возникновения геометрии	Глава V «Параллельность» §27 Параллельные прямые - повторение понятия параллельных прямых - понятие секущая -понятие соответственных углов - понятие внутренних накрест лежащих углов - понятие внутренних односторонних углов - теорема (признак параллельности двух прямых) - следствие 1 (если при перес0435ении двух прямых третьей, соответственные углы равны, то прямые параллельны) - следствие 2 (если при пересечении двух прямых третьей внутренние односторонние углы составляют в сумме 180?, то эти прямые параллельны) - следствие 3 (если две прямые перпендикулярны третьей, то эти прямые параллельны) - аксиома параллельных прямых - теорема обратная признаку параллельности двух прямых - следствие 1 ( если две параллельные прямые пересечены третьей, то соответственные углы равны) - следствие 2 (если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние односторонние углы составляют в сумме 180?) - исторические сведения (о количестве прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой…) §28 Сумма углов многоугольника - теорема о сумме углов произвольного треугольника - следствие 1 (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним) - следствие 2 (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90?) - теорема о сумме углов произвольного n-угольника §29 Параллелограмм -определение параллелограмма - свойства параллелограмма §30 Признаки параллелограмма - теорема (первый признак параллелограмма) - теорема (второй признак параллелограмма) §31 Прямоугольник, ромб, квадрат - определение прямоугольника - теорема (признак прямоугольника) - определение ромба - теорема (признак ромба) - определение квадрата §32 Средняя линия треугольника - средняя линия треугольника - теорема о средней линии треугольника §33 Трапеция - определение трапеции - понятие основания трапеции - понятие боковой стороны трапеции -равнобедренная трапеция - прямоугольная трапеция - средняя линия трапеции - теорема о средней линии трапеции - следствие (прямая, проходящая через середину боковой стороны трапеции и параллельная основаниям, делит боковую сторону пополам) - теорема (Фалеса) - теорема (о пропорциональных отрезках) - следствие (если стороны угла А пересекаются параллельными прямыми в точках В, С и Е, F имеет место равенство ЕВ/АЕ=FC/AF - Исторические сведения

Вывод: На мой взгляд, тема «Параллельные прямые» рассмотрена более широко и полно в учебнике Л.С. Атанасяна, и только в этом учебнике эта тема выделена в отдельную главу. В учебнике А.В.Погорелова эта тема рассмотрена в параграфе «Сумма углов треугольника», этой теме отведена лишь небольшая часть этого параграфа. В учебнике Смирновых выделена глава «Параллельность», но эта тема «Параллельные прямые» рассмотрена в одном параграфе, на мой взгляд, там выделено самое главное, но компактно, не так объемно как в учебнике Л.С.Атаносяна.

Размещено на Allbest.ru