Методика преподавания темы "Системы счисления" слабослышащим учащимся 10 классов

Образная память у глухих детей, так же как у слышащих, характеризуется осмысленностью. Процесс запоминания у них опосредуется деятельность по анализу воспринимаемых объектов, по соотнесению вновь воспринятого с удержанным ранее. В то же время специфические особенности развития зрительного восприятия, в первую очередь то, что глухие дети отмечают в окружающих предметах и явлениях контрастные признаки, часто - несущественные, влияют на эффективность их образной памяти. По характеру произвольного материала можно заключить, что в их памяти образы предметов в меньшей степени, чем у слышащих, организованы в систему. Глухие дети реже пользуются приемами опосредованного запоминания, что отрицательно сказывается на сохранении образов в памяти. Все особенности непроизвольного и произвольного запоминания наглядного материала глухими детьми накладывают отпечаток и на прочность запоминания, т.е. длительность хранения материала в памяти. У глухих детей изменение образов совершается одновременно в двух направлениях: в направлении потери своеобразия запомнившегося объекта и в направлении усиления этого своеобразия. При отсроченном воспроизведении у глухих детей наблюдается тенденция взаимоуподобления сходных объектов. Таким образом, для развития образной памяти детей с нарушениями слуха необходимо развивать речь, совершенствовать их познавательную деятельность, мыслительные операции - сравнение, абстракцию, анализ и синтез; развивать умение использовать средства для запоминания - группировку наглядных материалов на основе выделения существенных признаков объектов.

В развитии понятийного мышления у глухих детей наблюдается значительно большее отставание и своеобразные по сравнению с его развитием у нормально слышащих детей, чем в наглядно-образном. В подростковом возрасте они затрудняются в анализе и синтезе сведений, предъявленных в словесной форме, делают неверные умозаключения по тексту. Для глухих детей предложения и тексты не всегда выступают как целостные, иерархически организованные системы, как единые смысловые единицы. Это зависит от уровня и глубины понимания предложений и текстов. Часто дети могут вспоминать только часть предложения, переставляют слова. Недостаток прочно установившихся связей между словами, соответствующих нормам языка, приводит к тому, что глухим детям трудно бывает удержать в памяти предложение как целое и воспроизвести его в неизменном виде. Слабослышащие школьники не могут передать содержание текста своими словами, поэтому стремятся к дословному его воспроизведению. По мнению Л.В. Занкова и Д.М. Маянц, такое стремление объясняется не только недостаточным словарным запасом, но и тем, что слова, используемые слабослышащими школьниками, являются «инертными», «малоподвижными», застывшими в определенных сочетаниях.

Главной задачей развития словесной памяти является овладение запоминанием на длительный срок. Для этого необходимо обеспечить полное понимание текста, помочь детям с нарушениями слуха овладеть приемами произвольного запоминания: разбивкой текста на части, выделением в нем опорных смысловых пунктов, использованием наглядных средств для запоминания; необходимо научить их включать вновь запоминаемое в уже сложившуюся систему знаний. У детей с нарушениями слуха, которые овладевают словесной речью позже слышащих и на иной сенсорной основе, в развитии мышления наблюдается значительно больше специфических особенностей, чем в развитии других познавательных процессов.

Мышление в своем развитии происходит три стадии: наглядно-действенное, наглядно-образное и словесно-логическое.

Наглядно-действенное мышление обязательно включает в себя внешнее действие с предметом, при этом ребенок использует различные предметы в качестве средств для достижения цели. У глухого ребенка при решении практических задач возникает необходимость перенести принцип решения из одной ситуации в другую, что приводит к формированию соответствующих наглядно-действенных обобщений (А.В. Запорожец). Осмыслив вещь с определенной стороны, ребенок с большим трудом от этого отказывается, если только внешняя обстановка не приходит к нему на помощь. Сами же обобщения служат предпосылкой для осознанного овладения любым видом речи (жестовой или словесной). Глухие дети приобретают умение решать наглядно-действенные задачи в более старшем, чем слышащие, возрасте и более элементарными способами действия. Обучение глухого ребенка речи, играет важную роль в дальнейшем развитии его мышления, предусматривает предварительное знакомство с предметным содержанием высказывания. Это знакомство, по мнению А.В.Запорожца, может произойти только в результате специфического для ребенка практического опыта и сенсорного воспитания.

Наглядно-образное мышление обусловлено развитием речи. У глухих детей старшего школьного возраста своеобразие в развитии наглядно-образного мышления обнаруживается лишь при решении сложных задач.

Словесно-логическое мышление развивается с опорой на наглядно-образное. Развитое наглядно-образное мышление подводит детей к порогу логики, позволяет создавать обобщенные модельные представления, на которых будет строиться формирование понятий. В связи с более поздними сроками формирования наглядно-образного мышления, с замедленным развитием словесной речи у глухих детей переход на стадию словесно-логического мышления происходит в течение более длительного времени, чем у нормально слышащих. В развитии понятийного мышления у глухих детей наблюдается значительно большее отставание и своеобразие по сравнению с его развитием у нормально слышащих детей, чем в наглядно-образном. В подростковом возрасте они затрудняются в анализе и синтезе сведений, предъявленных в словесной форме, делают неверные умозаключения по тексту.

В ходе овладения системами конкретных понятий, логическими терминами и зависимостями в их соотнесенности между собой у глухих детей постепенно намечается переход от конкретно-понятийного мышления к абстрактно-понятийному. Нужно отметить, что среди глухих детей можно выделить тех, которые по результатам развития мышления не отличаются от слышащих. Это свидетельствует о больших возможностях компенсации интеллектуального развития детей с нарушениями слуха в условиях адекватного обучение и воспитания. [11]

Воображение - это познавательный процесс, который заключается в преобразовании представлений и созданий новых образов на основе имеющихся.

Благодаря развитию речи, а в связи с этим и понятийного мышления воображение детей развивается, освобождается от конкретных образных компонентов. Участие в воображении понятий освобождает личность от скованности конкретной ситуацией, обеспечивает возможность творческой переработки и преобразования имеющихся представлений создания новых образов. У детей с нарушениями слуха специфические особенности развития воображения обусловлены замедленным формированием их словесной речи и понятийного мышления. Образы у глухих детей отличаются яркостью и живостью, но отставанию от конкретного значения слова, что затрудняет формирование новых образов и воссоздание образов по словесному описанию. Исследования свидетельствуют об отставании в развитии комбинаторных механизмов воображения, которое проявляется в большей стереотипности, шаблонности, создаваемых глухими школьниками образов, меньшей оригинальности, их привязанности к заданным моделям, образцам действий, о трудностях трансформации имеющихся представлений (Е.Г. Речицкая, Е.А. Сошина). Образы, возникающие у глухих школьников при чтении литературных произведений, не всегда соответствуют описанию. Такое несоответствие часто является причиной непонимания детьми с нарушениями слуха смысла прочитанного произведения. Больше расхождения между текстом и создаваемой иллюстрацией к нему возникают у глухих школьников из-за того, что они вносят в рисунки много подробностей из своего прошлого опыта, так как текст произведения актуализирует образы хорошо знакомых предметов, больше относящиеся к образам памяти, чем воображения (М.М. Нудельман).

Важнейшими условиями развития воображения у детей с нарушениями слуха являются, во-первых, обогащение их опыта, знаний и представлений о мире, например, за счет использования на уроках и во внеклассной работе широкого ассортимента разнообразных природных и синтетических материалов; во-вторых, формирование умений мысленно оперировать представлениями и образами, преобразовывать их, т.е. способствовать развитию операциональных компонентов творческого воображения. При оптимальной организации обучения этих детей, при развитии их мышления и речи совершается компенсаторное развитие воображения[17].

Учитывая психолого-педагогической особенности слабослышащих детей, рассматриваем особенности использования некоторых методов в обучении.

Опыт работ показывает, что глухие дети в состоянии усвоить абстрактные понятия только при постепенном отвлечении от свойств и признаков конкретных предметов, их особенностей, конкретных фактов и явлений, изучаемых на уроке. Большое значение при этом имеет специальная система наглядности, обеспечивающая постепенный переход от наглядно-чувственного восприятия к обобщенному, абстрактному мышлению. Поэтому понятны особые требования к наглядными пособиями, которые должны направлять мысль учеников от конкретного к общему, от явления к его сущности, от многообразия явлений к закономерностям. Очень важно, чтобы в наглядных пособиях, отображающих явления или предметы одного и того же класса, четко выделялись их основные существенные стороны и признаки, на которых педагог и должен концентрировать внимание учеников от основные существенные стороны и признаки, на которых педагог должен концентрировать внимание учащихся в процессе работы. Поэтому не следует использовать наглядные пособия, содержащие обилие деталей, отвлекающих внимание учеников от основных свойств и признаков изучаемых объектов, или имеющие прямого отношении к рассматриваемому на уроке вопросу. Это рассеивает внимание учащихся, не позволяет уяснить главное, без чего нельзя прийти к правильному пониманию закономерностей, к обобщениям и выводам. Важно чтоб весь учебный материал, используемый на уроке для формирования понятий, полно и доказательно раскрывал наиболее типичные стороны изучаемых предметов и явлений, наиболее существенные объективные связи и отношения. Это, несомненно, облегчит аналитическую работу учащихся с нарушениями слуха, будет способствовать развитию у них абстрактного мышления. Кроме того, необходимо в ходе всего урока умело переводить мысли учеников от конкретного к абстрактному и наоборот. Последовательно реализуя принцип развивающего обучения, нужно продумывать соотношение на уроке вербальной (устной) и практической деятельности. Целенаправленный рассказ или проблемно построенная лекция учителя развивает мышление учащихся в большей мере, чем беседа. Однако в школе для детей с нарушениями слуха нельзя вовсе отрицать большую роль метода беседы в процессе обучения: при умелой постановке любая из устных форм может развивать коммуникативные умения и навыки, мышление школьников, стать надежным способом овладения знаниями. Для этого учитель должен целенаправленно отбирать материал, акцентируя внимание учеников на существенных сторонах изучаемых предметов, явлений, фактов. Необходимо также, чтобы каждый учитель выполнял программный минимум практических работ. Практические работы должны использоваться в качестве одного из методов закрепления новых знаний. Особенно целесообразно проводить фронтальные кратковременные опыты, чтобы получить исходный материал для формирования новых представлений или понятий у учащихся. Главное здесь - соотносить характер заданий, отбор материала, уровень требования к ученикам с их возрастными особенностями и с познавательными психофизическими возможностями.

«Перерабатывать» в сознании получаемую информацию ученик может, если он умеет сравнивать (противопоставлять) изучаемые предметы или явления; выявлять объективные связи и отношения; классифицировать и обобщать фактический материал, чтобы выяснить важнейшие закономерности, лежащие в основе формируемых понятий. Наиболее интенсивная мыслительная «переработка» нового материала осуществляется на этапе его первичного восприятия и осмысления. Мыслительная активность школьников возрастает, если не преподносить им готовые выводы, а вооружать материалом для самостоятельных умозаключений, побуждать к познавательному поиску. Выполнение всех этих видов работ позволит глухим и слабослышащим школьникам делать правильные выводы на основе самостоятельного анализа предложенного фактического материала, а также обосновать и доказывать свои суждения и выводы, реализовывать ранее усвоенное для приобретения новых знаний или для овладения новыми навыками, использовать ранее усвоенные умении и навыки для решения вариативных по содержанию и характеру практических задач.

Современный учебный процесс требует создания новой образовательной среды для детей с нарушениями слуха, которая имеет в своей основе социальную направленность, саморазвитие и самореализацию личности слабослышащих учащихся.

На огромном рынке отечественной программной продукции, создаваемой для средней школы, практически полностью отсутствуют специальные программы для коррекционных школ. Программы же для массовой школы зачастую неприменимы или мало применимы для обучения детей с нарушениями развития. Тексты заданий, инструкции, сами задания во многих случаях не соответствуют речевым, интеллектуальным и образовательным возможностям этих учащихся. Учителя специальных школ испытывают острую нехватку специальных учебников, методических пособий и рекомендаций, а их ученики с нарушениями слуха - существенные трудности при изучении информатики.

Одним из важнейших принципов в обучении детей с нарушениями слуха является принцип наглядности. Прежде всего, он предполагает построение учебного процесса с опорой на конкретные предметы, образы и действия, непосредственно воспринимаемые ими.

Руководствуясь идеей о единстве развитии мышления и речи, сурдопедагоги и сурдопсихологи считают, что формирование у глухих детей словесной речи должно протекать в единстве с развитием словесно-логического мышления [12]. Таким образом, все функции процесса обучения в школе глухих могут быть успешно осуществлены лишь при условии опоры на научные данные об особенностях психического развития глухих учащихся и создания условий для целенаправленной работы по обеспечению этого развития. Исходными при этом являются выводы ученых о том, что у глухих детей имеются большие возможности для всестороннего их развития. Мышление глухого ребенка развивается медленнее, но интеллект остается сохранным в любом возрасте. Это значит, что потенциальные возможности глухого ребенка те же, что и у слышащего. Реализация этих возможностей достигается в специально организованном процессе обучения, который нацелен не только на вооружение знаниями, умениями и навыками, не только на развитие слуха и речи, но и на формирование всей познавательной деятельности в целом.

Надо учитывать, что дополнительные (коррекционные) цели образования глухих и специфика их познавательной деятельности (восприятия, речи, мышления) обуславливают ряд отличительных черт, характеризующих процесс обучения:

§ Преобладание наглядных средств, преподнесения учебного материала (особенно при формировании первичных представлений);

§ Рациональное дозирование учебного материала;

§ Адекватный возможностям восприятия учащихся темп подачи материала;

§ Систематическая словарная работа (введение новых слов, раскрытие их смысла, включение в активную речь учащихся);

§ Использование адаптированных учебных текстов (короткие и простые предложения, минимальное количество новых слов и пр.);

При этом за школами для детей с нарушенным слухом сохраняется статус цензовых образовательных учреждений, т.е. подразумевается подготовка выпускников в соответствии с общими для всех программными требованиями, сдача государственных экзаменов на общих основаниях и получение аттестата зрелости общего образца.

В настоящее время особое внимание уделяется развитию мышления школьника. Мышление человека неразрывно связано с речью и не может существовать вне её. У неслышащих детей, которые овладевают словесной речью гораздо позже слышащих, именно в развитии мыслительной деятельности наблюдается больше специфических особенностей, чем в других познавательных процессах [1].

Глухие дети слабо замечают общее, сходное в сравниваемых объектах. Они больше говорят о различиях. Ученик массовой школы отмечает сходство сравниваемых объектов, наличие в них общих частей, черт  и тут же переходит к поиску отличительных свойств. Глухим школьникам  младших классов трудно в одно и то же время видеть и сходство, и различие в сравниваемых объектах: если они увидели сходство в объектах, то забывают об их различии, и наоборот. Это может быть объяснено тем, что им трудно одни и те же признаки рассматривать под двумя различными углами зрения [12].

Глухие и слабослышащие школьники с трудом овладевают обобщенными способами ориентации в сфере научных технических понятий, в выявлении внутренних существенных связей и отношений внутри и между объектами [7].

Мы видим, что в педагогической литературе проблема мышления глухих школьников отмечена как специфическая. Мышление школьников немного отличается и отстаёт от нормы (особенно речь идёт о словесно-логическом мышлении - в силу отсутствия слуха и нарушения речи), тем не менее, к старшему школьному возрасту мышление обычно становится соответственной по возрасту: формируется понятийный подход к решению задач, формируется словесно-логическое мышление.

Таким образом, при обучении информатике слабослышащих школьников, нужно употреблять как можно больше наглядных пособий, практических занятий, широко использовать информационные технологии - применять компьютеры, презентации, программы и т.д.. Слабослышащий школьник воспринимает устное слово не только зрительно, но и старается уловить произношение, но вопросы лучше формулировать в печатном виде или отобразить их на презентации, а при устном формулировании вопроса необходимо дактилировать каждую букву, особенно когда проговариваем окончания слов, потому что они не выговаривают до конца слов и поэтому плохо знают окончание.

Чтоб слабослышащие дети не оставались знанием, и мышление соответствовала к возрасту от нормальных школьников, нужно подобрать специальные формы, методы и средства обучения.

Итак, формы организации обучения представляют собой внешнее выражение согласованной деятельности учителя и учеников, осуществляемой в установленном порядке и определенном режиме.

Основные формы организации обучения выделяем нетрадиционные формы обучения в школах это урок-лекция, урок-беседа, практическое занятие это и есть основная форма, которые будем использовать в практикуме, фронтальный опрос, лучше письменный фронтальный опрос, так как письменный фронтальный опрос требует значительных временных затрат на проведение, а устный фронтальный опрос занимает много времени на уроке.

Вводный урок лучше всего провести комбинированный урок, который содержит следующие структурные элементы это

ь Организационный момент

ь Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала

ь Усвоение нового материала

ь Первичное закрепление нового материала

ь Выявление домашних заданий

ь Подведение итога и оценивание учащихся[9]

Для изложения теоретических основ темы «Системы счисления» лучше выбрать урок-лекцию. Для выполнения заданий учащимися использовать групповую форму обучения, а для индивидуальной формы обучения - выполнение самостоятельных работ. Во время урока стоит активно применять технологии мультимедиа: использовании презентации при объяснении нового материала и закрепление нового материала. Такая форма работы является результатом поиска новых возможностей, позволяющих реализовывать принцип наглядности.

Так как наглядность не только способствует более успешному восприятию и запоминанию учебного материала, но и «позволяет активизировать умственную деятельность, глубже проникать в сущность изучаемых явлений. Изучение закономерностей визуального мышления показывает его связь с творческими процессами принятия решений, утверждает регулирующую роль образа в деятельности человека. Процесс визуализации представляет собой свертывание мыслительных содержаний, включая различные виды информации, в наглядный образ. Будучи воспринятым, этот образ, может быть, развернут и служить опорой адекватных мыслительных и практических действий»[13].

Активизация учащихся на уроке осуществляется за счет организации их самостоятельной деятельности.

Самостоятельная работа - это средство обучения познавательной деятельности учащихся. Важна самостоятельная работа, потому что у учащихся формулируется самостоятельности к поиску информации, ее осмысление, закрепление знаний, формирование умений и т.д.[9]

Во время обучения учеников необходимо сформировать устойчивую потребность к самостоятельному изучению научной, учебной и методической литературы. Для этого ученик должен быть поставлен в ситуацию необходимости собственной познавательной активности. Именно поэтому, в процессе обучения важна организация эффективной самостоятельной работы учащихся.

Методы обучения. Под методами обучения в школе будем понимать способы совместной деятельности учителя и ученика, направленные на достижение задач обучения, воспитания и развития.

При обучении глухих школьников основной упор лучше делать на словесно-наглядный метод обучения - это когда учитель сообщает информацию разными методами, используя, в том числе, информационные технологии - например, показ слайдов, и в то же время учитель всё это объясняет словами, поясняет на примерах.

Средства обучения. Средства обучения - это «материальные» условия, в которых происходит обучение. К ним относятся природное и социальное окружение, оборудование, учебники, научная помощь.

Существуют разные классификации средств обучения. Одна из них - это классификация по дидактическим функциям:

* технические средства обучения (аудиовизуальные средства, компьютер, средства телекоммуникаций);

* информационные средства (учебные пособия, учебники, наглядные пособия);

На уроках лучше использовать интерактивную доску, программное обеспечение которой позволяет писать и делать пометки прямо поверх всех видов документов и презентационных материалов. Интерактивные доски не требуют много места. Если проектор для доски прямой проекции прикрепить к потолку, не нужно дополнительно размещать подставку для аппаратуры посреди класса. Интерактивные доски подходят для учащихся всех возрастов: высоту доски можно регулировать под любой рост. Инновационные методы и технические средства обучения сегодня доступны каждому.

Вышеописанные формы, методы и средства обучения стали основой для разработки методических рекомендаций по использованию средств информационных технологий в процессе обучения темы «Системы счисления» слабослышащих учащихся 10 класса.

2. Методика преподавания темы «Системы счисления»

2.1 Перечень вопросов

Вышеописанные формы, методы и средства обучения стали основой для разработки методики преподавания темы «Система счисления» слабослышащим учащимся, которые находятся в приложениях нашей работы.

Содержание темы обучение в школьном курсе информатики в разделе «Системы счисления» входит: Система счисления. Позиционная и непозиционная система счисления. Двоичная система счисления. Перевод чисел из десятичной в двоичную систему счисления. Перевод чисел из различной системы счисления в другую и наоборот. Арифметические операции в системах счислениях.

1. цели обучения систем счисления:

ь дать представление о системах счисления;

ь научить переводить числа в различные позиционные системы счисления;

ь выполнять арифметические операции в различных системах счислениях;

ь показать возможности использования двоичной системы счисления.

2. Требования к результатам обучения учащихся:

Знать / понимать:

ь отличие позиционных и непозиционных систем счисления;

ь правила перевода в различные позиционные системы счисления;

ь взаимосвязь и правила перевода чисел между системами счисления с основанием 2^р;

ь правила выполнения арифметических действий в различных системах счисления;

ь знать правила двоичной арифметики.

Уметь:

ь записывать числа позиционных систем счисления в развернутой форме;

ь приводить примеры использования двоичной, шестнадцатеричной системы счисления;

ь перечислять особенности и преимущества двоичной системы счисления;

ь переводить числа в различные системы счисления;

ь переводить числа между системами счисления с основанием 2^р;

ь выполнять арифметические действия в двоичной системе счисления.

Изучаемые вопросы:

ь системы счисления

ь непозиционные и позиционные системы счисления

ь алфавит системы счисления

ь основание позиционно системы счисления

ь базис позиционной системы счисления

ь свернутая и развернутая форма представления чисел в позиционной системе счисления

ь двоичная система счисления

ь двоичная арифметика

2.2 Методические рекомендации по преподаванию вопросов, рассматриваемые по теме «Системы счисления»

Систему счисления можно рассмотреть как формальные языки, имеющие алфавиты и позволяющие не только именовать объекты, но и выполнять над ними арифметические операции по определенным правилам. Хотя понятие «система счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел, его изучают в школьном курсе информатики как искусственную систему, созданную человеком для удобного способа записи чисел. Изучение позиционной систем счисления начинается с десятичной системы, для демонстрации механизма построения чисел и для проведения аналогии с другими системами счислениями. Основное внимание уделяется двоичной системе счисления, двоичной арифметике и возможности перевести любое число в эту систему счисления, тем самым единообразно представить числовую информацию, в том числе и в компьютере. Также рассматриваются 16-ричная и 8-ричная системы счисления, поскольку их используют для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти компьютера. Учащиеся должны понять возможность и преимущества двоичного представления данных в компьютере, целесообразность использования 16-ричной или 8-ричной системы счисления для внешнего представления содержимого и адресов ячеек памяти. Таким образом, наибольшее внимание уделяем двоичной, 16-ричной и 8-ричной системам счисления, двоичной арифметике, правилам перевода чисел между позиционными системами счисления.

Нужно рассказать учащимся о необходимость изучения темы «Система счисления» и что связана с тем фактом, что различная информация в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную.

Перед тем как начать излагать новую тему, нужно детям дать знать для чего система счисления и как она возникла, а потом вводить понятие «система счисления».

С методической точки зрения бывает очень эффектным прием, когда учитель подводит учащихся к самостоятельному открытию, чтобы учащиеся сами подошли к формулировке различия между позиционным и непозиционным принципом записи чисел.

Учитель приводит свой пример с использованием презентации в приложениях 1 во втором слайде.

Здесь учащимся предлагается проанализировать запись числа с использованием арабские цифр, например, 111 и запись числа с использованием римских цифр, например III. Учителем ставится отправной вопрос: «Чем отличается принцип (правило) получения значения многоразрядных чисел, записанных арабскими и римскими цифрами?» Если учащиеся не могут ответить на него, то предлагается серия наводящих вопросов и в, то же время указывает на отдельные цифры римского числа:

1. Какое количество обозначает римская цифра, стоящая в младшем разряде?

2. Какое количество обозначает римская цифра, стоящая в среднем разряде?

3. Какое количество обозначает римская цифра, стоящая в старшем разряде?

4. Как получается значение трехразрядного числа?

Аналогичная серия наводящих вопросов задается о числе, записанном арабскими цифрами.

В процессе беседы с учащимися, заполняется таблица, позволяющая представить результаты анализа различной записи чисел:

Номер вопроса	Ответы учащихся
	Для записи числа римскими цифрами	Для записи числа арабскими числами
1. 2. 3. 4.	Один Один Один 1+1+1=3	Одна единица Один десяток Одна сотня 1+10+100=111

Делаем вывод, что и в том и в другом способе записи числа используют определенные цифры и имеются правила, которые позволяют понять значение числа по их записи, позволяют выполнять операции с числами.

На основании этого формулируем определение:

Система счисления - это способ представления чисел с помощью цифр и соответствующие правила действия над числами.

Определение систем счисления учащиеся должны записать в тетрадь.

Однако в римском способе записи чисел значение цифры не зависит от ее позиции, а в арабском - зависит. И на основании указанного различия разводим понятия «непозиционная» и «позиционная». После этого формулируем определения:

В непозиционной системе счисления значение цифры не зависит от ее позиции.

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее позиции. Все эти данные показывается в презентациях в приложении 2.

Приводим примеры различные непозиционных систем счисления.

Для того чтоб учащиеся понимали различие понятие цифра и числа, наглядно рассматриваем два числа 5 2 и 2 5. И говорим что цифры одни и те же - 5и 2, задаем такой вопрос «А чем же числа отличаются?», сделав ударение «позиция», говорим позиция цифры в числе, то есть цифры поменяли местами. Все эти данные показывается в презентациях в приложении 2

Далее рассказываем краткую историю возникновение непозиционной системы счисления «Непозиционные системы счисления появились в древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Сначала количество предметов отображали равным количеством каких-нибудь значков: черточек, точек и т.д. и рисовали на палочке, на стенах, делали зарубки на костях животных или ветках деревьев. Вот единичная система счисления возникла за 10-11тысяч лет до н.э. в период Палеолита. Для записи чисел применялся только один вид знаков - палочка. Такую систему счисления было неудобно применять, потому что чем больше число надо записать, тем длиннее строки из палочек, возможно, допустить ошибку при большой записи числа, то есть нанести лишнее количество палочек или наоборот не дописать палочки. Самым простым инструментом счета были пальцы рук, то первым появились знаки для обозначения групп предметов из 5 и 10 штук, если взять еще одну руку, таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел». В приложениях наглядный пример древнеегипетской системы счисления, алфавитная славянская и римская. Уделяем внимание римской системы счисления, а также не забываем о единичной системы счисления.

Учитель должен рассказать, что самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр используются буквы:

I	V	X	L	С	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется. Для понимания используем наглядный пример, и существует в приложении 3:

В числе XXX цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - 10. Так как величина используемой цифры одинакова, то получаем: XXX= 10+10+10=30.

В числе VII использованы цифры V,I,I. В данном случае меньшая цифра стоит справа от большей, поэтому мы прибавляем значение данных цифр и получаем: VII = 5+1+1=7.

В числе IV тоже использованы цифры V,I, но в данном случае меньшая цифра расположена слева от большей, поэтому мы вычитаем из большего значения меньшее и получаем: IV= 5-1=4.

Рассматриваем следующие примеры MCMXCVII= 1000+(1000-100)+(100-10)+5+1+1=1000+900+90+7=1997 ,для самостоятельности задан следующий примерMMIX, ответ должен быть 2009.

Следует сказать, что рассматривание различных чисел в римской системе счисления, выполнение арифметические вычисления над этими числами, сделаем вывод, что в непозиционных системах счисления выполнять вычисления неудобно, потому что запись больших чисел требует введения новых символов, невозможно представлять дробные и отрицательные числа, сложно выполнять простейшие арифметические операции. Все эти данные показывается на слайдах презентации, чтоб дети лучше понимали какие недостатки у непозиционной системы счисления.

Нужно рассказать для общего развития учащихся, что первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, так как в ней использовалось 60 цифр. При измерении времени мы до сих пор используем основание равно 60 - это в 1часе-60минут, в минуте -60секунд. Наиболее известна десятичная позиционная система счисления. В 595 нашей эры в Индии впервые появилась знакомая всем нам сегодня десятичная система счисления. Знаменитый персидский математик аль-Хорезми выпустил учебник, в котором изложил основы десятичной системы индусов. После перевода этого учебника с арабского языка на латынь и выпуска книги Леонардо Пизано (Фибоначчи) эта система счисления - это система счисления, которой мы все с вами пользуемся. Рассказать с помощью наглядного материала вавилонскую систему счисления, то есть данные показываются на слайдах нашей презентации.

Далее нужно дать понять учащимся, что позиционные системы счисления существует множество и отличаются они друг от друга алфавитом - это упорядоченное множество цифр и основанием, то есть это количество цифр в алфавите. Вопросы на понимание могут быть следующими: «Почему арабская система счисления называется десятичной системой?», «Почему арабская система, которую мы используем, является позиционной?», то наверняка будет ответ про десять цифр в алфавите и в арабские цифры зависит от ее позиции. Делаем вывод, что основание арабской системы счисления равно десяти, поэтому называется десятичной. Следует показать алфавиты различных позиционных систем счисления.

Основание	Название	Алфавит
10	Десятичная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
2	Двоичная	0,1
8	Восьмеричная	0,1,2,3,4,5,6,7
16	Шестнадцатеричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)
3	…	…

Нужно указать, что с основанием не больше 10 используют только арабские цифры, а если основание больше 10, то используют латинские буквы в алфавитном порядке, это и есть шестнадцатеричная система счисления.

Для указания на основание системы, которой относится число, водим индексное обозначение. Например, 25₁₀ - это число указывает, что это десятичная система счисления и следует обратить внимание что нельзя «двадцать пять», а «два пять».

В4₁₆ - шестнадцатеричное число, то есть шестнадцатеричная система счисления. Индекс всегда записывается десятичным числом, так как в любой системе счисления ее основание будет равно 10 (один, ноль).

Понять сущность позиционного представления чисел можно на примере любого многозначного числа. Например, число 555 цифра 5 встречается трижды, причем самая первая цифра обозначает пять единиц, вторая правая - пять десятков и третья - пять сотен. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Число 555 записано в свернутой форме. Для записи развернутой формы числа необходимо над каждым числом определить степень основания, в которую данное основание системы будет возводиться (начиная с нулевого), с самого крайнего целого числа. В развернутой форме запись числа в десятичной системе счисления будет выглядеть таким образом:

555₁₀= 5*10² + 5*10¹ + 5*10⁰, то есть позиция цифры показывает, в какую степень надо возвести основание в развернутой форме. А теперь сформулируем правило позиционной системы счисления: Чтобы получить значение числа надо цифры умножить на основание в степени позиции и сложить.

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 555, 25 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

555,25₁₀ = 5*10² + 5*10¹ + 5*10⁰ + 2*10^-1 + 5*10^-2. Данные показывается в приложении 4.

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А₁₀ , которое содержит n целых разрядов числа и m дробных числа, производится следующим образом: A₁₀ = a_n-1*10^n-1 + a_n-2*10^n-2 + …+ a₀*10⁰ + a_-1*10^-1 + a_-2*10^-2 +…+ a_-m*10^-m. Эту общую форму записи числа в десятичной системе счисления учащиеся должны записать в тетради.

Аналогично можно получить развёрнутую форму чисел в других системах счисления. Например, для двоичного числа. В двоичной системе счисления основание = 2, а ее алфавит состоит из двух цифр - 0 и 1. Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы разряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Рассмотрим пример двоичной системы счисления, в свернутой форме в двоичной системе выглядит таким образом:

A₂ = 101,01₂.

В развернутой форме число в двоичной системе выглядит так: A₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-2 (Приложение 4).

В общем случае в двоичной системе счисления запись числа A₁₀ , которое содержит n целых разрядов числа и m дробных числа, производится следующим образом:

A₂ = a_n-1 *2^n-1 + a_n-2 *2^n-2 +…+ a₀ *2⁰ + a_-1 *2^-1 + a_-2 *2^-2 +…+ a_-m *2^-m .

Так в восьмеричной системе основание равно 8, тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число A₈ = 673,2₈ в развёрнутой форме будет выглядеть так: A₈ = 6*8² + 7*8¹ + 3*8⁰ + 2*8^-1.

Также в шестнадцатеричной системе счисления основание равно 16, тогда записанное в развернутой форме число A₁₆ = 8A,F₁₆ будет иметь вид:

A₁₆ = 8*16¹ + A*16⁰ + F*16^-1. Итак, в общем случае в системе счисления с произвольным основанием q запись числа A_q , которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, производится следующим образом: A_q = a_n-1 *q^n-1 + a_n-2 *q^n-2 +…+ a₀ *q⁰ + a_-1 *q^-1 + a_-2 *q^-2 +…+ a_-m *q^-m (Приложение 5).

Сказать, что произвольное основание это могут быть любое основание позиционной системы счисления - это могут быть и пятеричная, троичная система счисления и т.д. Можно задать учащихся привести свои примеры троичной, пятеричной и записать эти числа в развернутой форме.

Следующий вопрос, изучаемый в этом разделе - методы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Основная идея заключается в следующем: перевод чисел неизбежно связан с выполнением вычислений. Поскольку нам хорошо знакома десятичная арифметика, то любой перевод следует свести к выполнению вычислений над десятичными числами.

Объяснения методов перевода следует начать с перевода десятичных чисел в двоичные системы счисления. Для этого взять любое двоичное число, например 1110₂. Сначала записать его в развернутой форме и произвести вычисления: 1110₂ = 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 14₁₀. Затем задать пример учащимся перевод десятичных дробей.

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления. Возьмем любое восьмеричное число, например 67,5₈. Запишем его развернутой форме и произведем вычисления: 6*8¹ + 7*8⁰ + 5*8^-1 = 6+7+5/8 = 55,625₁₀ (Приложение 6)

То же самое и перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему. Например, число 19F₁₆ запишем в развернутой форме и произведем вычисление: 19F₁₆ = 1*16² +9*16¹ +F*16⁰ = 1*256 + 9*16 + 15*1= 415₁₀.

Теперь перевод чисел из десятичной системы счисления. Сначала рассмотрим перевод целого числа из десятичной системы счисления. Перевод чисел из десятичной системы счисления происходит также через развернутую форму записи числа. Только эта задача более сложная, поскольку теперь необходим алгоритм перевода. Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в новую систему, необходимо выполнять последовательное деление нацело десятичного числа на основание новой системы счисления, а затем выписать остатки от деления . Следует знать алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления:

1. Выполнять последовательное деление нацело десятичного числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

2. Записать остатки от деления в обратном порядке, заменив их цифрами новой системы счисления.

Учитель объясняет на примерах алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления.

Приводим примеры перевода числа 20₁₀ в двоичную систему счисления и полученные остатки записываются в обратном порядке, начиная с последнего частного:



Следовательно: 20₁₀ = 10100₂

Потом уже записываем алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления.

Также перевод числа в восьмеричную систему счисления: 173₁₀ = X₈

173	8
5	21	8
	5	2

Следовательно: 173₁₀ = 255₈

Дать пример перевода числа в шестнадцатеричную систему счисления (Рассматриваем на примерах). Берем 173₁₀ = Х₁₆

(Приложение 9)

Следующие данные будут находиться в Приложение 10.

Затем можно рассмотреть перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Необходимо последовательно выполнять умножение исходной дроби и полученных дробных частей произведения на основание требуемой системы счисления до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута точность вычисления, а целые части записываются по порядку после запятой. Учащиеся должны знать алгоритм перевода правильной конечной дроби из десятичной системы счисления:

1. Выполнять последовательное умножение дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не выделится период.

2. Запись последовательность целых частей произведений, начиная с первой.

Рассмотрим данный алгоритм на примерах:

Перевод дроби 0,5625₁₀ в двоичную систему счисления.

0,5625₁₀ = 0,1001₂.

0	, 5625	Ч2
1	,1250	Ч2
0	,2500	Ч2
0	5000	Ч2
1	,0000

Теперь попробуем перевести дроби в восьмеричную систему счисления:

0,65625₁₀ = 0,52₈

0	, 65625	Ч8
5	,25000	Ч8
2	0000

И перевод дроби в шестнадцатеричную систему счисления:

0,65625₁₀ = 0,A8₁₆

0	, 65625	Ч16
10	,50000	Ч16
8	00000

Очень хорошо, когда на каждом примере, после объяснение, вызванный к интерактивной доске учителем ученик решает на доске, так у них развивается мотивация, соображение и остальным учащимся четко видно и возможно вместе разобраться в ошибке, если ученик не правильно решил.

Следующее, это перевод чисел между системами счисления с основанием 2, 8, 16.

Следует напомнить, что в компьютере используется двоичная система счисления. Рассказать что двоичные числа для восприятия человеком не очень удобны, так как их запись довольно длинная. Поэтому нужны системы счисления, которые позволили бы существенно сократить запись числа, и в них легко было бы перевести двоичные числа. С этой целью используются 8-ричная и 16-ричная система счисления, то есть системы с основанием 2³ и 2⁴ соответственно. Основание этих систем счисления позволяют каждую 8-ричную или 16-ричную цифру заменить тремя или четырьмя двоичными цифрами, и наоборот, три или четыре двоичные цифры можно осуществить различными способами: воспользоваться таблицей соответствия натуральных чисел, перевести цифру из одной системы счисления в другую через десятичную систему.

Алгоритм перевода целых чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2ⁿ .

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2ⁿ) может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (2 = 2¹), восьмеричной (8 = 2³) и шестнадцатеричной (16 = 2⁴) системами счисления. Сказать ученикам алгоритм:

1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную часть - слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последней левой или правой группе окажется меньше n разрядов, то эту группу необходимо дополнить до нужного числа разрядов нулями.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать его соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2ⁿ.

Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

Необходимо сказать, что основание восьмеричной системы счисления можно представить в виде 2³ , n = 3. Таким образом, для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления его нужно разбить на группы по три цифры в каждой, а затем преобразовать каждую группу двоичных триад в восьмеричную цифру. Триад это если n=3, а если n=4, то тетрадом называются.

С помощью таблиц соответствия двоичных триад и цифр восьмеричной системы счисления можно решить примеры.

Двоичные триады	000	001	010	011	100	101	110	111
8-ричные цифры	0	1	2	3	4	5	6	7

Переведем 110101110₂ двоичной системы счисления в число восьмеричной системы счисления. Для перевода разделим число на группы по три разряда в число справа налево - получим двоичные триады, затем по таблице соответствия найдем для каждой двоичной триады число 8-ричной системы счисления.

Получим: 110 101 110₂ = 656₈.

Перевод целых чисел двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

Теперь рассмотрим перевод шестнадцатеричной системы счисления. Итак, основание шестнадцатеричной системы счисления можно представить в виде 2⁴, n = 4. Таким образом, для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления его нужно разбить на группы по четыре цифры в каждой, а затем преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру.

С помощью таблиц соответствия двоичных тетрад и цифр шестнадцатеричной системы счисления можно решить примеры:

Двоичные тетрады	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-ричные цифры	0	1	2	3	4	5	6	7
Двоичные тетрады	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-ричные цифры	8	9	A	B	C	D	E	F

Приведем примеры вместе с учениками. Берем число 10010110₁₆ =? ₂ и переведем в число восьмеричной системы счисления. Для перевода разделим число на группы по четыре разряда в число справа налево - получим двоичные тетрады, затем по таблице соответствия найдем для каждой двоичной тетрады число 16-ричной системы счисления. Получим ответ: 9F₁₆. Все эти данные и примеры в приложение 11.

Следующий алгоритм будет перевод дробных чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2ⁿ .

Для того, чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ , то есть алгоритмы перевода чисел между двоичной (2=2¹) , 8-ричной (8 = 2³) и 16-ричной (16 = 2⁴)системами счисления нужно:

1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последней правой группе может оказаться меньше n разрядов, то нужно добавить нуля.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

(Алгоритм дробных чисел также в Приложение 11)

Сначала рассмотрим перевод в 8-ричную систему счисления. Для перевода дробных двоичного числа в восьмеричную систему счисления его нужно разбить на группы по три цифры в каждой, а затем преобразовать каждую группу двоичных триад в восьмеричную цифру.

Берем дробное число 0,10110001₂ и переведем в 8-ричную систему счисления. Как вы видите, не хватает разряда, поэтому добавляем справа нуля. Затем можно задать учащимся попробовать перевести сами в 16-ричную систему счисления. (Примеры будут в Приложение 12)

Перевод произвольных чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2ⁿ

Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2ⁿ , то есть алгоритмы перевода чисел между двоичной (2=2¹) , 8-ричной (8 = 2³) и 16-ричной (16 = 2⁴)системами счисления нужно:

1. Целую часть данного двоичное число разбить справа налево, а дробную - слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

Рассмотрим пример перевод произвольных чисел из двоичной системы счисления в 8-ричную и 16-ричную систему счисления.

Взять число 11010,110111₂ и перевести в 8-ричную систему счисления, следуем по алгоритму и получаем 11010,110111₂ = 011|010,110|111|000₈ = 32, 670₈ . Переведем число 11010,110111₂ двоичной системы счисления в число шестнадцатеричной системы счисления. Для перевода опять так же разделим данное число на группы, только по четыре разряда. справа налево и слева направо и получим двоичные тетрады, затем по таблице соответствия находим для каждой двоичной тетрады число 16-ричной системы счисления.