В данной главе рассмотрены:

ь какие функции и в какой последовательности изучаются в девятилетней школе;

ь умственные действия, необходимые учащимся при работе с темой «Функция»; список умственных действий, который нужен при изучении свойств функций;

ь пример «работы» теории поэтапного формирования умственных действий.

§1. Обзор подходов к изучению свойств функций в девятилетней школе

В школьном курсе алгебры, начиная с VII класса, центральное место занимает функциональная линия, т.е. идет изучение понятия функции, свойств элементарных функций, построение графиков.

Большое образовательное и воспитательное значение имеет овладение учащимися понятием функция. Наличие прочной функциональной основы позволит учащимся осмыслить большой класс явлений, встречающихся в теории и практике, будет содействовать воспитанию диалектического мышления. Изучение функций дает возможность наглядно показать учащимся применимость математического аппарата к изучению различных явлений, встречающихся в практической жизни, науке и технике. Например, линейная функция с точки зрения моделирования реальных процессов соответствует равномерным процессам, квадратичная функция - моделирует равноускоренные процессы.

Систематическое использование функционального материала в курсе открывает учащимся возможность видеть внутренние связи между понятием функции и другими понятиями курса, содействует овладению алгебраическими знаниями. Так, свойство функции сохранять знак на данном промежутке или быть равной нулю важно для понимания решения многих уравнений и неравенств, в частности при графическом решении. Свойство функции быть возрастающей или убывающей на рассматриваемом промежутке используется при решении уравнений и неравенств и других задач.

В первую часть, наряду с понятием функции, в курсе вводятся и связанные с ним понятия - аргумент, область определения и область значений функции, график функции. Учащиеся знакомятся со способами задания функций - формулой, таблицей, графиком. Вводятся такие важные понятия, как возрастание и убывание функции, рассматриваются промежутки знакопостоянства, вводятся понятия четной и нечетной функции.

Общие сведения о функциях находят применение при рассмотрении конкретных видов функций. Изучаются свойства таких функций, как прямая и обратная пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, функция у=х, функция у=хⁿ, где n - натуральное число.

При изучении свойств функции исходной является работа с формулой, задающей функцию. Используя формулу, учащиеся по значению аргумента находят соответствующее значение функции и решают обратную задачу: определяют те значения аргумента, при которых функция принимает заданное значение. Формула позволяет находить, при каких значениях аргумента функция обращается в нуль, принимает положительные и отрицательные значения. На основе формулы определяется, обладает ли функция свойством четности или нечетности, исследуется вопрос о возрастании и убывании функции.

Особую роль при рассмотрении свойств функций играет использование графических представлений. Одна из важнейших задач изучения функционального материала состоит в формировании умения «читать» график: находить значение функции по заданному значению аргумента; находить, при каких значениях аргумента функция принимает указанное значение; определять промежутки знакопостоянства, а также промежутки возрастания или убывания функции. При изучении конкретных функций график является опорным образом для выяснения свойств функции, которые затем доказываются аналитически. В то же время обращение к аналитическим доказательствам используется для уточнения суждения о виде графика.

Переходя постепенно от первоначально индуктивного изложения материала (который присущ курсу алгебры 7 класса) к дедуктивному (в курсах 8-9 классов), учащиеся приобщаются к аналитическим методам исследования функций. Достижению этих целей содействует как рассмотрение теоретического материала, так и решение упражнений.

При изучении функционально-графической линии учителя сталкиваются со множеством проблем, в частности, каким из свойств функций нужно дать в школе точное определение, а какие достаточно лишь описать на наглядно-геометрическом уровне; когда давать то или иное определение. В реальной жизни употребление определенных терминов в речи со смутным их пониманием часто предшествует полноценному пониманию; понимание термина приходит после привыкания к нему. Поэтому полезно употребление школьникам, начиная с 7 класса, терминов без знания строгих математических употреблений. Геометрическая иллюстрация помогает учащемуся преодолеть логические трудности, связанные с кванторами «для любого», «существуют»,…, которые трудны для восприятия большинства школьников.

В программе по математике 2001г. для средней школы в разделе «Требования к математической подготовке учащихся» для каждого предмета школьного математического цикла указаны те умения, которыми должен обязательно овладеть каждый ученик в результате соответствующего курса. По отношению к курсу алгебры основной школы, связанного с изучением функционально-графической линии в программе записано:

«В результате изучения курса математики по линии «Функция» все учащиеся должны овладеть следующими умениями, представляющими обязательный минимум.

· Понимать, что функция - это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций (прямая и обратная пропорциональности, линейная, квадратичная функции) описывают большое разнообразие реальных зависимостей;

· Правильно употреблять функциональную терминологию (значение функций, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.), понимать ее в тексте, в речи учителя, в формулировке задач;

· Находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком; решать обратную задачу;

· Находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения;

· Строить графики линейной функции, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции;

· Интерпретировать в несложных ситуациях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

Приведем таблицу «стратегии и тактики» изучения свойств функций в курсе алгебры 7-9, предложенную А.Г. Мордковичем. Стратегия определяет время введения понятия (класс), а тактика - формирование уровней строгости предъявления понятия. В таблице приняты условные обозначения: Н - это значит, что соответствующее свойство функции вводится на наглядно-интуитивном уровне; Р - это значит, что свойство функции изучается на рабочем уровне, на уровне словесного описания, не загнанного в жесткую формальную конструкцию; Ф - это означает формальное определение свойства.

Проанализировав содержания различных учебников алгебры 7-9 классов и связав их с программой по математике (разделы о свойствах функции), можно составить таблицу, в которой представлено, в какой последовательности идет изучение свойств функций в 7 - 9 классах.

В каждом последующем классе идет изучение новых более сложных функций и свойств. Причем увеличивается количество изучаемых функций и их свойств: новые функции исследуются не только на наличие свойств, изученных в данном классе, но и рассмотренных в предыдущих классах. Кроме этого, функции, изученные в предыдущих классах, исследуются на наличие новых свойств.

В школьных учебниках по алгебре 7-9 классов реализованы 2 основных подхода в изучении свойств функций:

Подход I. Изучение свойств функций идет путем прямого включения в курс алгебры большого числа понятий. Необходимые понятия, связанные и изучением свойств функций, вводятся по мере изучения конкретных функций, обладающих теми или иными свойствами.

Этот подход реализован в учебниках алгебры: Ш.А. Алимова и др., Ю.Н. Макарычева и др., А.Г. Мордковича.

Учебник алгебры Ю.Н. Макарычева и др.

В 7 классе идет изучение функций у = кх + в, у = кх, у = х², у = х³: построение графиков функций по точкам; нахождение по графику значений функций, соответствующие данному значению аргумента и наоборот.

Перед изучением линейной функции вводится «определение» области определения функции. И на данное свойство приведены задачи: найдите область определения функции, заданной формулой у = х² + 8; у = 1\(х - 7); у = (4х - 1)\5.

В 8 классе изучаются такие функции как у = к\х, у = х: построение графиков функций по точкам; нахождение по графику значений функций, соответствующие данному значению аргумента и наоборот.

В 9 классе рассматриваются все изученные функции и вводятся свойства функции (даются точные формулировки): область определения функции, область значений функции, четность, промежутки возрастания и убывания функции, нули функции, промежутки знакопостоянства.

Учебник алгебры Ш.А. Алимова и др.

В 7 классе изучаются функции у = кх, у = кх + в, построение графиков функций по точкам; нахождение по графику значений функций, соответствующие данному значению аргумента и наоборот.

В 8 классе рассматривается квадратичная функция. Вводится понятие - нули квадратичной функции: значения х, при которых функция принимает значение, равное 0, называют нулями квадратичной функции. При рассмотрении свойств квадратичной функции вводится «слово» возрастающая (убывающая») функция. По графику функции находят промежутки, в которых функция положительна и отрицательна. В зависимости от способа записи квадратичной функции находят наименьшее и наибольшее значения функции. (Квадратичная функция принимает наименьшее и наибольшее значение в точке х = -в\(2а), которая является абсциссой вершины параболы).

В 9 классе идет изучение степенной функции и функции у = к\х. Вводятся новые свойства и даются точные формулировки свойствам функций: область определения функции, возрастание и убывание функции, четность и нечетность функции.

Учебник алгебры А.Г. Мордковича

В 7 классе рассматриваются функции: у = кх + в, у = кх, у = х². На описательном, наглядно-интуитивном уровнях вводятся такие понятия, как область определения функции, непрерывность функции, наибольшее и наименьшее значения функции, возрастание и убывание.

Область определения функции - это те значения х, для которых можно вычислить значение функции;

Наибольшее (наименьшее) значение функции - самая большая (меньшая) ордината из точек;

Функция возрастающая (убывающая) - если график функции на рассматриваемом промежутке идет слева направо, как бы «в горку» («под горку»).

Эти свойства считываются с графика функций. Данные понятия постепенно формируются с помощью кусочных функций, которые рассматриваются на определенных промежутках.

В 8 классе идет изучение следующих функций: у = ах² + вх + с, у = к\х, у = х. Проводится изучение новых свойств - ограниченность функции, область значений функций.

Свойство ограниченности функции вводится при рассмотрении функции у = кх². Функцию у = f(х) называют ограниченной снизу (сверху), если все значения функции больше (меньше) некоторого числа.

«Область значений» вводится при изучении функции у = х. Множество всех значений функции называют обычно областью значений функции.

Также рассматриваются свойства, изученные в 7 классе, причем некоторые свойства изучаются на более высоком уровне: на рабочем или формальном уровне. Такие свойства как область определения функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, область значений функций изучаются на рабочем уровне - на уровне словесного описания.

Дается точное определение свойству возрастания и убывания функции, т.е. данное свойство изучается на формальном уровне. Функцию у = f(х) называют возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

В 9 классе идет рассмотрение числовых (степенных) функций. Вводится новое свойство - четность функции. Все свойства изучаются на формальном уровне, т.е. дается четкая формулировка того или иного свойства функции. Причем свойства функции считываются с графика функции в определенном порядке: область определения функции, четность, монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывность, область значений, выпуклость.

Подход II. В основной школе не вводятся точные определения свойств функций, свойства изучаются на наглядно-интуитивном уровне. Точные формулировки свойств функций даются в старшей школе.

Данный подход был реализован в учебнике алгебры 6 - 8 А.Н. Барсукова (1967 г.).

В 8 классе рассматриваются функции: у = кх, у = х³; графики функции у = х² + n, у = (х + m)², у = ³х; график трехчлена у = х² + px + q, график трехчлена у = х² + px + q.

§2. Умственные действия в содержании темы «Функции и их свойства» в 7-9 классах

Каковы этапы формирования понятия? Какие умственные действия адекватны каждому этапу? Эти вопросы исследуются в психологии, где, в частности, отмечается значимость овладения следующими умственными действиями: подведение объекта под понятие (распознавание), отыскание следствий (из факта принадлежности объекта понятию). Так, Н. Ф. Талызина к компонентам указанных умственных действий относит: перечисление необходимых и достаточных свойств объектов данного класса; установление того, обладает ли данный объект выделенными свойствами или не обладает; заключение о принадлежности объекта к данному понятию; выведение следствий, классификацию; конструирования объектов с учетом варьирования отношений. Ряд психологов (Н.А. Менчинская, Е. Н. Кабанова-Меллер и др.) рекомендуют при формировании понятий осуществлять варьирование несущественных признаков, тем самым, способствуя усвоению существенных [8, с.28].

В результате изучения курса математики основной школы по линии «Функция» учащиеся должны владеть следующими понятиями: область определения, область значений функции, график функции, промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства функции, нули функции, четность и нечетность функции.

Итак, какие же умственные действия (следуя Н.Ф. Талызиной) необходимы учащимся при изучении этих свойств функций?

На основе анализа различных решений и обобщения методов решения задач, связанных со свойствами функций, нами разработаны списки умственных действий, которые необходимы при изучении свойств функций.

Анализ учебников и сборников задач по математике показывает, что задания на тему «Свойства функции» могут быть представлены как на «алгебраическом» языке, так и на «графическом» языке. В зависимости от способа задания функции (формула, график) можно выделить умственные действия, относящиеся к «алгебраическому» и к «графическому» способам решения задач.

Нахождение «Области определения функции». Это умственное действие может иметь следующую структуру.

«Графический» способ.

1) выдели (найди) ось ОХ;

2) отметь точки, в которых функция не определена, если они есть;

3) выдели на числовой прямой промежутки, в которых функция определена.

4) запиши полученные промежутки.

«Алгебраический» способ.

1) «выдели» формулу, задающую функцию;

2) изучи особенности данной формулы ( выясни, чем является стоящее в правой части формулы выражение: многочленом, дробью, …,из какого исходного выражения получена данная формула);

3) найди те значения переменной, при которых данное выражение не существует.

4) Запиши в ответе все значения, кроме тех, при которых данное выражение не существует.

Нахождение «Области значений функции». Структуру этого умственного действия можно определить так.

«Графический» способ.

1) выдели (найди) ось ОУ;

2) выдели на оси ординат промежутки, которые составляют значения функции;

3) запиши полученные промежутки.

«Алгебраический» способ.

1) «выдели» формулу, задающую функцию;

2) изучи особенности данной формулы ( выясни, чем является стоящее в правой части формулы выражение: многочленом, дробью, …,из какого исходного выражения получена данная формула);

3) найди те значения выражения, которые данное выражение может принимать.

Отыскание «Промежутков возрастания и убывания функции». Структуру этого умственного действия можно определить так.

«Графический» способ.

1) выдели ось ОХ;

2) найди точки графика, в которых график функции при «взгляде» слева направо поднимается вверх;

3) отметь (цветом) промежутки на оси Ох, на которых направление графика одинаковое;

4) запиши полученные промежутки, в которых график функции имеет одинаковое направление, отдельно.

Нахождение «Промежутков знакопостоянства». Это умственное действие может иметь следующую структуру:

«Графический» способ.

1) найди точки, в которых функция обращается в ноль;

2) выдели те части графика, которые находятся выше (ниже) оси ОХ;

3) определи промежутки оси абсцисс, на которых находятся части графика цвета;

4) запиши промежутки, в которых функция положительна, и промежутки, в которых функция отрицательна.

«Алгебраический» способ.

1) изучи особенности формулы, задающую функцию;

2) приравняй выражение, стоящее в правой части формулы, задающее функцию, к нулю;

3) реши полученное уравнение;

4) отметь на числовой прямой корни уравнения;

5) на полученных промежутках определи знак функции («+» или «-»);

6) запиши отдельно промежутки, в которых функция положительна, и промежутки, в которых функция отрицательна.

Отыскание «Нулей функции». Структуру этого умственного действия можно определить так.

«Графический» способ.

1) выдели ось ОХ;

2) найди точки пересечения графика функции с осью абсцисс;

3) запиши в ответе абсциссы найденных точек.

1) изучи особенности формулы, задающую функцию;

2) приравняй выражение, стоящее в правой части формулы, задающее функцию, к нулю;

3) реши полученное уравнение (ответ: у=0, если х=…);

Определение «Четности и нечетности» функции. Это умственное действие может иметь следующую структуру:

«Графический» способ».

«Алгебраический способ»

Для того, чтобы учащиеся быстрее и лучше запомнили структуру этих умственных действий, необходимо в начале изучения каждого из них, проговаривать все этапы, входящие в структуру. Затем учащиеся будут проговаривать про себя и для себя и впоследствии данные действия должны будут дойти у них до автоматизма. Если же класс очень слабый, то необходимо держать его на этапе громко речевого действия немного дольше, чем это требовалось бы в более сильном классе.

Но помимо качества отдельных умственных действий и типа ориентировки в предмете, возможности мышления определяется следующими обстоятельствами. Во-первых, наличием эвристических способов действия. Рассмотрим это на примере определений. Несмотря на все их многообразие, способ работы с ними и адекватная им деятельность всегда одна и та же:

1) распознается, могут ли быть указанные объекты обозначены данным термином; проверяется, ли рассматриваемый объект к родовому понятию; обладает ли он включенным в определение видовыми отличиями.

2) Выводятся следствия из того факта, что рассматриваемый объект можно (или нельзя) обозначить введенным определенным термином; следствиями здесь являются принадлежности к родовому понятию и о видовых отличиях.

Как уже говорилось выше, надо прежде всего обеспечить ориентировку в определение, которое надо усвоить, и способах работы с ним. Определение достаточно представить в схематичной форме.

Умственные действия в содержании школьных учебников по алгебре

Целенаправленное формирование умственных действий в процессе обучения -- один из эффективных способов развития мышления.

Учитель очень часто на уроках предлагает ученикам что-то сравнить, провести анализ или сделать вывод, обобщить, но при этом, к сожалению, не сообщает учащимся, как же это правильно выполнить.

При изучении свойств функций часто приходится выполнять операции (умственные действия) сравнения (например, сравниваются множества значений функций, промежутки возрастания-убывания и т.д.). При ее выполнении учащиеся часто испытывают затруднения, связанные с тем, что в обучении алгебре специально не выделяется структура этой операции (ориентировочная основа этого умственного действия). Нами выделена следующая ориентировочная основа умственного действия сравнения:

1) Определите цель сравнения;

2) Выделите различные признаки сравниваемых объектов соотнесенные с целью;

3) Определите возможные линии сравнения в соответствии с поставленной целью и обнаруженными признаками.

4) Установить общие признаки по каждой из намеченных линий сравнения.

5) Определить степень существенности общих и особенных признаков по каждой линии сравнения.

6) Соотнести полученные данные по всем линиям.

7) Сформулировать вывод о сходстве и различии данных объектов в соответствии с поставленной целью.

На основе общей структуры этого действия нами разработана ориентировочная основа сравнения свойств функций, которая часто используется на этапе повторения свойств. Например, требуется сравнить области значений функций у = (х - 1)2 и у = 1 - (х - 1)2.

1) целью действия сравнения - определить, совпадают ли области значений данных функций;

2) определи вид функции (квадратичная, линейная функция, … ) и расположение графика (парабола, прямая,…);

3) определи область значений каждой из функций *;

4) сделай вывод о сходстве и различии области значения этих функций.

Вызывают также затруднение такое умственное действие как обобщение, связанное с незнанием как его выполнять. Нами выделена следующая ориентировочная основа умственного действия обобщения:

1.Определи, для чего должно быть совершено обобщение.

2. Определи различные признаки обобщаемых объектов.

3. Выдели общие признаки обобщаемых объектов в соответствии с намеченной целью.

4. Определи степень существенности выделенных общих признаков в соответствии с поставленной целью.

5. Сформулируй вывод об общности объектов или о возможности включения данного объекта в систему родственных по существенному признаку объектов.

При изучении свойств функций приходится выполнять операцию классификации. При ее выполнении учащиеся часто используют затруднения, связанные с тем, что в обучении алгебре специально не выделяется структура этой операции. Нами выделена следующая ориентировочная основа умственного действия классификации:

1. Определи, для чего должна быть проведена классификация, какова ее цель.

2. Определи различные признаки объектов.

3. Сравни между собой объекты по общим и особенным признакам (выполнение этой операции включает в себя систему операций умственного действия сравнения) в соответствии с поставленной целью.

4. Выдели линии или основания для классификации в соответствии с намеченной целью и обнаруженными общими или особенными признаками и назвать их.

1. Раздели объекты по намеченным линиям или основаниям.

2. Сформулируй вывод о том, что разделение объектов по намеченным основаниям и объединение их в группы произведено в соответствии с поставленной целью.

На основе общей структуры этого действия нами разработана ориентировочная основа классификации свойств функций. Например, требуется классифицировать свойства функций у =4х, у = 1/2х2, у = х2+4х+7.

1) цель данного действия - классифицировать функции, имеющие общие свойства;

2) определи вид функции (квадратичная, линейная функция, … ) и расположение графика (парабола, прямая,…);

3) основаниями для классификации могут служить свойства этих функций;

4) раздели представленные функции можно на следующие группы: 1. группа функций, графики которых проходят через начало координат, 2. группа функций с общим способом их задания 3. группы функций, графики которых имеют одинаковый вид

5) Сделай вывод о том, что данная классификация проведена в соответствии с поставленной целью.

Операции в каждом умственном действии можно предъявлять постепенно, но систематически на разных учебных предметах, и тогда каждая последующая операция будет усваиваться быстрее и успешнее. При этом важно донести до ученика, что если он четко научится выполнять то или иное действие, то будет глубже понимать учебный материал и лучше учиться, у него будет активно развиваться мышление, память, воображение [7, с.58-60].

Рассмотрим поэтапное формирование умственных действий (этапы смотри на с….) на примере изучения свойств функций (построение графика квадратичной функции).

Первым этапом формирования умственных действий является действие с предметами.

На этапе ознакомления учащихся с ориентировочной основой действия раскрывается назначение действия на примере построения графика квадратичной функции, перечисляются операции (команды, действия) и указывается последовательность их выполнения. Здесь следует исходить из того, что ориентировочная основа состоит из 2-х частей: содержательной и процессуальной. В данном случае содержательная часть определяется наличием формулы, задающую функцию, а процессуальная - соответствующим алгоритмом построения графика квадратичной функции.

На 2-ом этапе - этапе перевода предметных действий в громкую речь, учащимся предлагается самостоятельно выполнить действие, проговаривая все операции вслух. В итоге выполнения нескольких заданий учащийся запоминает функцию (и ее график) и алгоритм действия (без заучивания). Для выражения действия в форме речи характерно:

1) устное проговаривание всех команд алгоритма построения графика функции;

2) проговаривание про себя каждой в отдельности операции;

3)запись основных результатов.

На 3-ем этапе учащиеся получают задание в письменном виде, по памяти называет алгоритм действия и затем записывает результаты выполненных операций.

На 4-ом этапе задания даются так же в письменном виде, но при выполнении действий учащимся проговариваются про себя каждая в отдельности операция. На этих этапах контролируется правильность выполнения каждой операции и результат действия. Правильность выполнения действия является условием его перевода на пятый заключительный этап. Учащимся предоставляется возможность самостоятельно выполнять и контролировать действия, здесь завершается становление умственного действия. На этом этапе контроль предусматривается, но только конечного результата.

Рассмотрим задачу «Отыскания нулей функции». Для ее решения уже необходимы действия, связанные с поиском, с выбором нужных шагов. Можно сформулировать следующий прием решения задачи «Найти нули функции»:

1) изучи особенности формулы, задающую функцию;

2) приравняй выражение, стоящее в правой части формулы, задающее функцию, к нулю;

3) реши полученное уравнение (ответ: у=0, если х=…);

Пример использования этого приема. Пусть нужно найти нули функции у = 2х2 - 3.

1) Выражение, стоящее в правой части формулы, задающее функцию, является многочленом второй степени;

2) чтобы найти нули функции (пересечения с осью ОХ), нужно приравнять этот многочлен к нулю, и решить полученное уравнение:

3) 2х2 - 3 = 0, 2х2 = 3, х2 =3/2, х = 3/2.

4) ответ: у = 0, х = 3/2.

Содержание учения с переходом из класса в класс усложняется, и для усвоения более сложного содержания требуется выполнять все более сложные умственные действия.

Этап применения приема создает ориентировочную основу учебной деятельности, необходимой для решения разнообразных задач, усложнение и количественное накопление приемов затрудняют их запоминания и использование, и возникает необходимость обобщения приемов. На основе обобщенных приемов учебной деятельности осуществляется обучение учащихся их переносу, т.е. использованию в новых ситуациях. Например, усвоив прием нахождения нулей функций, учащиеся легко могут обобщить его и перенести на задачу нахождения промежутков знакопостоянства. Самостоятельный перенос приемов деятельности - показатель их усвоения, и теперь можно создавать ситуации для закрепления обобщенных приемов: самостоятельную учебную деятельность всех видов; в том числе меж предметного характера. Чем больше учащихся самостоятельно применяют усвоенные обобщение приемы, тем больше закрепляются в их сознании не только основные существенные действия, входящие в состав приема, но и вариации этих действий. Это дает возможность с накоплением опыта изменять и находить эти существенные действия, т.е. находить новые приемы на основе изученных [9,с.29].

§3. Пример «работы» теории поэтапного формирования умственных действий

Возьмем в качестве примера фрагмент урока введения нового свойства «Промежутки возрастания и убывания функции» для 7 класса по учебнику А.Г. Мордковича.

Рассматривается функция, график которой изображен на рисунке.

Учитель: если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек пересечения все время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание (убывание аналогично - «спускаемся с горки»).

Учитель записывает на доске: возрастание - «движение в горку»

убывание - «движение с горки»

Далее разъясняется цель действия нахождения промежутков возрастания (убывания) по графику. Чтобы найти промежутки возрастания (убывания) нужно найти на оси абсцисс точки, в которых происходит «движение в горку». Рассматриваются различные графики функций, действие развернутое, в ходе которого происходит знакомство учащихся с алгоритмом.

Задания: 1) по графику функции определите промежутки возрастания и убывания функции

а б

Далее учащиеся выполняют материальное действие: выделяют цветом части графика, который «идет в горку», потом - точки оси абсцисс (промежутки), в которых происходит «движение в горку». В результате выполнения заданий, учащиеся запоминают алгоритм без заучивания.

Задание: найти по графику промежутки возрастания и убывания функции

На следующем этапе учащиеся получают задания в письменном виде, по памяти называют алгоритм отыскания промежутков возрастания и убывания и затем записывают результаты выполненных операций (этап внешней речи): для того чтобы отыскать промежутки возрастания функции надо найти на оси абсцисс точки, в которых происходит «движение в горку».

После этапа «внешней речи» аналогичные задания также выполняются письменно, но при выполнении действия каждая операция уже проговаривается про себя.

На этих этапах контролируется правильность выполнения каждой операции и результат действия.

Последний этап - действия выполняются автоматически, в уме.

Задания:

1) найти по графику промежутки возрастания и убывания функции

2) По графику найдите промежутки, в которых

все функции возрастают (убывают)

3) Найди промежутки убывания функции

у = -3х + в, где в>0.

Заключение

Изучена психолого-педагогическая литература о методике формирования умственных действий и об использовании компьютера в обучении. Согласно исследованиям П.Я. Гальперина и его учеников процесс формирования полноценного умственного действия должен содержать ряд обязательных этапов, включающих в себя: действие с предметами, перевод этих действий в громкую речь, проговаривание про себя, перевод во внутреннюю речь, интериоризация процессов мышления. Каждый из этих этапов можно последовательно реализовать с помощью информационных технологий. Компьютер активно включает учащихся в учебный процесс, позволяет им сосредоточить внимание на наиболее важных аспектах изучаемого материала, не торопит с решением.

Дан анализ учебного материала по теме «Функция» в 7-9 классах. Анализ показывает, что в 7-8 классах изучение функций и их свойств идет на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях обучения, а в 9-ом классе большинство свойств функций - на формальном уровне.

На основе теории П.Я. Гальперина были разработаны умственные действия, которые необходимы учащимся при работе с темой «Функция».

Разработан комплект задач по темам «Область определения функции» и «Четность, нечетность функции», который ориентирован на компьютерную программу «Graph 16».

Проведена исследовательская работа в школе № 1691 в 7- ом классе по теме «Область определения функции». В ходе данной работы получены следующие результаты: полностью с работой справилось - 95% учащихся. Исследовательская работа показала, что использование теории поэтапного формирования умственных действий повышает не только успеваемость учащихся, но и культуру их математической речи.

Вот почему в системе современных методов и форм обучения математике данному методу должна отводиться одна из важнейших ролей. Каким бы ни был выбранный учителем комплекс средств, способов и приемов для реализации той или иной конкретной цели обучения, невозможно себе представить, чтобы в нем не нашли место задачи, решение которых органически связано с изученным материалом; направленное не только на его эффективное усвоение школьниками, но и способствующее их воспитанию и развитию.

Литература

Алгебра: Учебник для 7 кл. сред. шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвешение, 1993.

Алгебра: Учебник для 8 кл. сред. шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвешение, 1994.

Алгебра: Учебник для 9 кл. сред. шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвешение, 1995.

Алгебра: Учебник для 6-8 кл. сред. шк./А.Н. Барсуков. - М.: Просвещение, 1967.

Алгебра: Учебник для 7 кл. сред. шк./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др. - М.: Просвешение, 1995.

Алгебра: Учебник для 8 кл. сред. шк./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др. - М.: Просвешение, 1994.

Алгебра: Учебник для 7 кл. сред. шк./А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2000.

Алгебра: Учебник для 8 кл. сред. шк./А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2001.

Алгебра: Учебник для 9 кл. сред. шк./А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2001.

Волович М.Б. «Математика без перегрузок». - М.: Педагогика, 1991.

Гершунский В.С. Компьютеризация в сфере образования: проблемы и перспективы. М.: Педагогика, 1987.

Епишева О.Б. «Формирование приемов учебной деятельности// Мат-ка в школе -№3, 1998, с. 62-67

Зависимость обучения от типа ориентировочной деятельности (сборник статей). Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968.

Изучение основ информатики и вычислительной техники в средней школе. опыт и перспективы. М.: Просвещение 1987

Липков А.И. На пороге видеокомпьютерной эры. М.: Знание, 1998.

Машбиц Е.И. Компьютеризация обучения: проблемы и перспективы. "Знание" 1986/1.

Машбиц Е.И. «Психолого-педагогические проблемы компьютеризации обучения» - М.: Педагогика, 1988.

Мироненко В.В. Хрестоматия по психологии. Учебное пособие для студентов пед. ун-тов. Под ред. проф. А.В. Петровского. - М.: Просвещение,1977.

Мордкович А.Г. «Беседы с учителями математики». - М.: «Школа-Пресс», 1995.

Мордкович А.Г. Алгебра 7-9 кл. Методическое пособие для учителя. - М.: Мнемозина, 2000.

Программа для общеобразовательных школ, гимназий: Математика -5-11 кл/ Сост. Т.М. Кузнецова, Н.Т. Миндюк. - М.: Дрофа, 2001.

Саранцев Г.И. «Формирование математических понятий в средней школе// Мат-ка в школе №6, 1998, с. 27-30.

Талызина Н.Ф. «Проблема управления процессом воспитания». (Материалы симпозиума) - М.: Просвещение,1971.

Талызина Н.Ф. «Формирование познавательной деятельности учащихся» - М.: Знание, 1983.

Управляемое формирование психических процессов. Под ред. П.Я. Гальперина. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977

«Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного формирования умственных действий». Под ред. П.Я. Гальперина и Н.Ф. Талызиной. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968.

Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии. Работы советских психологов периода 1946 - 1980 гг/ Под ред. И.И. Ильясова, В.Я. Ляудис. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981.

Размещено на Allbest.ru