Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников
Анализ учебной и учебно-методической литературы по геометрии. Методика решения задач на построение. Развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике. Задачи проведения факультативных занятий. Методы геометрических преобразований.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.06.2009 |
| Размер файла | 1,8 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
3. Методика решения задач на построение
Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.
Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.
Найти решение задачи на построение - значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.
Одной из основных проблем методики обучения решению задач на построение является методика введения и изучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.
3.1 Анализ
Анализ -- это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру (если мы знаем, как строить искомую фигуру, то никакой анализ уже не нужен).
Анализ - подготовительный, предварительный этап решения задачи на построение.
Чтобы облегчить себе поиск связей между искомой фигурой и данными фигурами, обычно оказывается выгодным иметь перед глазами вспомогательный чертеж, чертеж-набросок, изображающий данные и искомые фигуры примерно в том расположении, которое предусмотрено условием задачи. Чертеж можно выполнить от руки, на глаз - это проект чертежа, который должен образоваться, когда задача уже решена.
На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения исходной фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанны в условии задачи.
Если вспомогательный чертеж не подсказывает способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена, и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры.
Также надо учитывать следующие моменты [2]:
1) если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т. д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым;
2) если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести в чертеж, то есть следует изобразить их на чертеже-наброске, если их еще нет на нем;
3) в процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.
В Приложении 3 приведен анализ задачи на построение: “Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон”.
Из данного примера видно, что при отыскании решения задачи на построение, как и для арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Следуя от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру.
Название этапа “анализ” не означает, что для отыскания решения применяется только аналитический метод, подобно тому, как и при доказательстве, которое иногда называют “синтезом”, не всегда применяется синтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.
3.2 Построение
Второй этап решения задач на построение состоит из двух частей:
1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;
2) непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов. Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов -- значит указать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов, построений, выполнение которых в определенной последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи.
Данный этап вводится при решении самой первой задачи на построение, которой обычно является задача о построении отрезка, равного данному, на данном луче с концом в начале этого луча. В беседе, сопровождающей введение этапа, необходимо отметить, в чем состоит решение любой задачи на построение и указать, что осуществление этого этапа как раз и состоит в перечислении конечного числа операций построения искомой фигуры.
Рис. 1
Рассмотрим решение задачи: “Построить квадрат по его диагонали”.
Анализ. Проведя диагональ А1С1 (рис. 1), мы видим, что построение квадрата сводится к построению равнобедренного прямоугольного треугольника А1В1С1 по его гипотенузе A1C1, который затем легко дополнить до квадрата.
Построение. Треугольник А1В1С1 можно строить различными способами. Например:
1) Строим угол B1A1C1, содержащий 45°, и на одной его стороне откладываем отрезок А1С1, и равный данной диагонали. Проведя C1B1A1B1, получим треугольник А1В1С1, который дополняем до квадрата A1B1C1D1, что можно сделать различными способами.
2) Проведем через середину А1С1 перпендикуляр В1О1А1С1 и отложим B1O1=A1O1 и соединим В1 с А1 и С1; получим треугольник A1B1C1.
3) На А1С1, как на диаметре, строим окружность и из точки О1 восставляем перпендикуляр О1В1А1С1 до пересечения с окружностью в точке B1. Соединив В1 с А1 и С1, получим треугольник A1B1C1. Проведя B1D1A1C1, мы сразу можем получить точки B1 и D1, как и в предыдущем случае. Очевидно, что построение треугольника A1B1C1 возможно и другими способами [11].
Решение одной и той же задачи несколькими способами усиливает интерес учащихся к задачам на построение и сознательное отношение к решению таких задач. Если решать задачи на построение все время по заранее указанным методам, то этим самым сковывается изобретательность и инициатива учащихся в нахождении различных и оригинальных способов решения и им трудно научиться самостоятельно решать конструктивные задачи. Они применяют в первую очередь знания изучаемого материала и навыки, полученные при решении задач, предшествующих данной. Если решались задачи, требующие применения определенного метода, то и для предложенной задачи они изберут тот же знакомый им путь решения, даже если он нерационален. Указание учителя на существование более простого способа не дает должного эффекта, так как предложенное учителем решение кажется учащимся искусственным, которого они сами не смогли бы найти.
Конечно, если это делать до того как ученики приобретут прочные навыки в отыскании решений различными способами, то результаты окажутся отрицательными. Внимание учащихся каждый раз будет распыляться между всеми способами, и они ни одного из них не усвоят основательно, чтобы применять его достаточно сознательно.
Различными способами хорошо решать задачи в конце учебного года, при повторении курса геометрии, когда учащиеся уже имеют достаточные навыки в решении задач на построение. Задачу, допускающую различные способы решения, лучше задавать на дом, чтобы они не только решили, но и нашли наиболее простое решение.
3.3 Доказательство
После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения. Одну и ту же задачу можно решать различными способами, в зависимости от намеченного при анализе плана построения, а поэтому, и доказательство в каждом случае будет свое. Доказательство представляет собой часть решения задачи, по своему логическому содержанию обратную анализу. Если в анализе устанавливается, что всякая фигура, удовлетворяющая поставленным условиям, может быть найдена таким-то и таким-то путем, то в этой, третьей части решения доказывается обратное положение. Это обратное положение в общем виде может быть сформулировано так: если некоторая фигура получена из данных элементов таким-то построением, то она действительно удовлетворяет поставленным условиям. В Приложении 3 приведено решение задачи: “Построить трапецию по четырем сторонам”.
При решении простейших задач, когда все условия задачи находят непосредственное отражение в плане построения, нет необходимости доказывать, что фигура, полученная из данных элементов таким построением, является искомой. Например: “Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними”. Здесь доказательство сводится к простой проверке, такие ли взяли стороны, как данные, и будет ли построенный угол равен данному. В подобных задачах доказательство является излишним, ибо правильность решения обеспечивается соответствием построения анализу и данным условия задачи.
Доказательство не просто зависит от анализа и построения, между ними существует взаимосвязь и взаимообусловленность. Построение проводится по плану, составленному при анализе. Таких планов можно указать несколько. Построение и доказательство являются своеобразным критерием правильности и рациональности составленного плана. Если план не осуществим имеющимися инструментами или же построение оказывается нерациональным, мы вынуждены искать новый план решения. Аналогичным образом и доказательство, и исследование влияют на анализ, предопределяя нередко выбор плана решения.
Хотя доказательство при решении задач на построение проводится аналогично доказательству теорем, с использованием аксиом, теорем и свойств геометрических фигур, между ними имеется и некоторое различие. При доказательстве теорем в большинстве случаев без труда выделяют условие и заключение. При решении задач на построение уже труднее найти данные, на основании которых можно доказать, что построенная фигура является искомой. Поэтому при решении конструктивных задач в классе целесообразно иногда специально выделять, что дано, и что требуется доказать. Например, при решении задачи: “Построить ромб по двум его диагоналям” предлагаем ученику записать, что дано (диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и что требуется доказать (стороны равны). В свою очередь при решении задач дома и в контрольных работах можно не требовать оформления доказательства с выделением отдельно условия и заключения. Нет надобности требовать проведения особого доказательства в задачах, где правильность решения очевидна [11].
3.4 Исследование
При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования [2].
Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений. Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, произвольно выбирая те или иные случаи, причем неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остается неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. Практически в большинстве случаев удается достигнуть необходимой полноты исследования, если проводить это исследование по ходу построения, что является наиболее доступным и целесообразным способом. Сущность этого приема состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли.
Рассмотрим решение и исследование задачи: “Построить окружность, касающуюся данной прямой PQ и данной окружности (О; ОА) в заданной на ней точке А”.
Рис. 2
Решение. Решаем эту задачу методом геометрических мест. Проводим прямую ОА (рис. 2). В точке А строим касательную АВ к данной окружности, а затем -- биссектрисы углов РВА и ABQ. Точки пересечения прямой ОА с прямыми ВМ и BN и будут центрами искомых окружностей.
Проводя исследование по построению, легко обнаруживаем, что наше решение не применимо, если OAPQ. Для такого случая рассматриваем решение задачи отдельно. В результате получим, что если ОА не перпендикулярна PQ, то задача имеет два решения, за исключением случая, когда окружность (О; ОА) пересекает PQ в точке А, так как тогда прямые ВМ, ВN и ОА пересекутся в точке А, и окружности не получим. Если же OAPQ, но А не лежит на PQ, то получаем одну окружность с центром на ОА и радиусом, равным половине расстояния от точки А до данной прямой PQ. Если же при этом А лежит на PQ, то задача неопределенная.
Таким образом, для задачи имеются лишь 4 характерные конфигурации исходных данных:
1) ОА не перпендикулярна PQ и А не принадлежит PQ -- 2 решения;
2) OA не перпендикулярна PQ и A принадлежит PQ -- нет решений;
3) OAPQ, но A не принадлежит PQ -- 1 решение;
4) OAPQ и А принадлежит PQ -- бесконечное множество решений [11].
В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности и однозначности построения искомой фигуры данным способом. Но остается еще открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ построения? Иногда удается доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений. Если же это не удается, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях надо тщательно проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведенным анализом.
3.5 Методические рекомендации по обучению решению задач на построение
Как и в каком месте курса геометрии следует знакомить учащихся с общей схемой решения задач на построение? Здесь возникает два различных методических вопроса [10]. Первый из них -- это вопрос о том, с какого времени в преподавании геометрии при решении задач должны фактически производиться анализ, построение, доказательство, исследование? Второй вопрос, отличный от первого, -- это вопрос, когда учащийся должен быть ознакомлен с логической схемой решения задачи.
Обращаясь к первому вопросу, заметим, что первым по времени вводимым элементом лучше выбрать построение в смысле перечисления и описания тех или иных операций. Здесь имеется в виду самое описание процесса употребления инструмента (“прикладываем два острия ножек циркуля к точкам М и N, затем, не изменяя расстояния между остриями, помещаем одно из них в точку О” и т. п.). На более высокой ступени отдельные операции просто называются (“описываем из точки О окружность радиусом MN” или “опускаем из точки С перпендикуляр на прямую АВ”). Наконец, последней ступенью можно было бы считать ту, когда в качестве элементов построения могут называться и довольно сложные по своему выполнению, но хорошо известные учащимся задачи (“строим треугольник по гипотенузе и катету”, “проводим из точки М касательную к окружности” и т. п.).
Вторым моментом по времени появления в школьном курсе лучше выбрать исследование задачи. Первый элемент исследования появляется при решении задачи о построении треугольника по трем сторонам, в виде вопроса о том, можно ля выбрать все три стороны произвольно. К этому должно скоро прибавиться знакомство с возможностью существования нескольких решений одной задачи. Этому моменту нужно придавать весьма большую принципиальную значимость. Дело в том, что слова “найти точку” обозначают требование “найти все точки, которые...” (а не просто “какую-либо точку, которая...”). Аналогично “решить уравнение” значит “найти все числа, которые удовлетворяют уравнению” (а не просто “какое-либо число, которое...”). “Построить окружность” - это “построить, все окружности, которые...” (а не просто “построить какую-либо окружность, которая...”) и т. д.
Задачи на геометрические построения с двумя решениями (или более) - первый случай, когда учащийся встречается с такого рода выражениями в математике, и чрезвычайно важно, чтобы учащийся привыкал к ним с самого начала, с 7-8 класса. Иначе совершенно неизбежно возникновение в дальнейшем вопросов такого типа, как “зачем при извлечении корня брать оба знака”. Сам термин “исследование” должен появиться много раньше, чем, скажем, термин “анализ”.
Третьим моментом, появляющимся, примерно, в одно время с элементами исследования, является доказательство правильности выполнения построения. Уже такие задачи в 7 классе как построение угла, равного данному, построение перпендикуляров с помощью циркуля и линейки и т. д. ставят на очередь вопрос о том, будет ли построенный угол действительно равен данному, будет ли построенная прямая перпендикулярна к данной? Однако и на этой стадии работы и на последующих нет большой необходимости (только для соблюдения формального однообразия изложения) требовать проведения доказательства в тех задачах, где правильность построения усматривается непосредственно. Некоторые, даже сравнительно сложные, задачи на построение, могут, как кажется, оставляться без особого доказательства. Например, задача, решаемая методом геометрических мест: построить треугольник по основанию, противолежащему углу и медиане, проведенной к основанию.
Наконец, последним по времени элементом решения, на котором фиксируется внимание учащихся, является анализ. Началом этого вида работы следует считать обращение к ученикам, “придумавшим” то или иное решение задачи, с вопросом: “А как ты это решение нашел?”. Потом постепенно надо подвести учащихся к мысли о том, чтобы фиксировать свое внимание на самом процессе отыскания метода решения, этот процесс и получает название анализа.
Из выше сказанного следует, что в деле введения понятий анализа, построения, доказательства и исследования следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, - настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.
Перейдем теперь ко второму вопросу - о введении в курсе геометрии схемы деления решения задач на построение на четыре части. Несомненно, что изучение этого вопроса на том месте, на котором он поставлен в учебниках, следует считать несвоевременным и не достигающим цели. Тем не менее, схема решения должна быть сообщена учащимся, но лишь значительно позднее. В течение учебного года, с начала систематическою курса геометрии в 7 классе до середины курса 8 класса, или даже несколько дольше, должна идти та систематическая, иногда даже незаметная для учащихся работа учителя по ознакомлению учеников с элементами общей схемы решения, о которой говорилось выше. Лишь в 8 классе учитель на примере специально подобранной задачи полностью излагает учащимся всю схему решения. Задачу следует, конечно, подобрать так, чтобы она допускала один наиболее естественный ход решения (при анализе задачи мысль учащихся должна легко пойти по вполне определенному пути), чтобы она требовала исследования, и в то же время, чтобы это исследование не было слишком сложным. Вместе с тем задача не должна быть слишком простой, так как в этом случае способ решения может оказаться очевидным для учащихся, и тогда анализ задачи покажется им чем-то искусственным. Наиболее подходящими для этой цели являются задачи, решаемые методом геометрических мест. Хорошим примером для иллюстрации общей схемы решения задач на построение является задача: “Построить треугольник по двум сторонам и острому углу, лежащему против одной из них”.
Сделав чертеж произвольного треугольника, учащиеся составляют план построения и при соответствующем выборе данных получают два решения. Они видят необходимость доказательства (проверки, какой из полученных треугольников является искомым), а также и необходимость исследования (всегда ли получим два решения?). Здесь естественно выделяются все этапы и очевидна их целесообразность. Если учащиеся хорошо владеют основными построениями, больших затруднений в оформлении решений они не испытывают.
Эта задача на построение является хорошим примером, показывающим связь между числом решений задачи на построение треугольника по определенным данным и признаками равенства треугольников.
При решении задач на построение параллелограммов хорошим примером для повторения общей схемы будет задача: “Построить параллелограмм по стороне и двум диагоналям”.
После того как схема решения задачи на построение объяснена учащимся, этой схемы следует придерживаться при решении всех дальнейших задач на построение.
Тем не менее, необязательно все задачи решать, строго придерживаясь схемы с подробным описанием всех этапов. Ученики проводят анализ лишь тогда, когда решение задачи не очевидно, доказательство - когда в нем есть необходимость.
Усвоение учащимися общей схемы имеет большое значение не только для решения задач на построение. С методической точки зрения и при решении арифметических задач, и при решении задач на составление уравнений мы пользуемся теми же четырьмя этапами, что и при решении задач на построение.
Остановимся более подробно на рассмотрении этапа “исследование”. Каждая задача на построение включает в себя требование построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую определенным условиям, которые в большинстве своем задаются размерами или положением некоторых геометрических образов. Условия задач формулируются в самом общем виде, а поэтому исходные данные являются как бы параметрами, принимающими всевозможные допустимые значения. Необходимо учить школьников видеть эти допустимые значения.
Они определяются наиболее естественным образом. Например, в задаче: “Построить треугольник по двум сторонам а и b и углу С между ними” допустимыми значениями для а и b будут всевозможные отрезки, которые можно характеризовать положительными числами, их длинами, а угол С может принимать всевозможные значения от 0° до 180°.
Рассмотрим задачу: “Построить окружность, касающуюся данной окружности в данной на ней точке и данной прямой”. В ней прямая может занимать любое положение на плоскости. Окружностью также может быть любая окружность на плоскости. Но так как окружность характеризуется положением центра и величиной радиуса, то можно сказать, что центром данной окружности может быть любая точка плоскости, а радиусом - любой отрезок, длина которого 0<?<?.
Иногда рассматривают и направленные окружности, тогда уже радиус может быть и неположительным числом, но подобные случаи обычно оговариваются в условии задачи. Точка также может занимать произвольное положение, но уже не на плоскости, а на данной окружности, так как она обязательно должна принадлежать ей.
Решение задачи на построение считается законченным, если указаны необходимые и достаточные условия, при которых найденное решение является ответом на задачу. Значит, мы при всяком выборе данных должны устанавливать: имеет ли задача решение и если имеет, то сколько. Например: “Построить окружность, проходящую через три данные различные точки”. Если данные точки не лежат на одной прямой, то задача имеет решение и притом только одно; если же точки лежат на одной прямой, то задача решения не имеет.
Переходим теперь к одному из самых существенных, в методическом отношении, вопросов исследования задачи на построение. Как установить и перечислить все те случаи, которые имеют существенное значение для решения данной задачи? Известно, что очень часто учащиеся, решающие ту или иную задачу, особенно на первых порах, пытаются исследовать ее, исходя из вопроса: “А что будет, если…”, придумывая те или иные “если” более или менее произвольно. Необходимо приучать учащихся вести исследование по самому ходу построения. Желая исследовать задачу, надо в последовательном порядке перебрать еще раз те операции, из которых слагается построение, и для каждой из этих операций определить, всегда ли она возможна, какое число точек, отрезков и т. д. эта операция может давать. Таким путем удается сравнительно легко научиться исследованию задачи.
Исследование является составной частью решения. Решение задачи на построение можно считать законченным, если узнаем, сколько искомых фигур получим при определенных условиях, и, в частности, указано, когда получим искомый геометрический образ. Но исследование в задачах на построение, как и исследование при решении других задач по математике, имеет и общеобразовательное значение.
В процессе исследования учащиеся упражняются в практическом применении диалектического метода мышления. Они видят, что изменение данных задачи вызывает изменение искомой фигуры. Мы имеем дело не с “закостенелыми”, а с изменяющимися геометрическими образами, изменение одних величин обусловлено изменением других.
Для правильного проведения исследования нужно обладать хорошо развитым логическим мышлением. Значит, с другой стороны, исследование задач на построение является хорошим материалом для развития логического мышления учащихся.
Несмотря на необходимость и целесообразность исследования при решении задач на построение, этому этапу и в школе, и в методической литературе уделяется недостаточно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения - анализу. Анализ - основной этап при решении задач на построение: не найдя решения, нельзя провести ни построения, ни доказательства, ни исследования. Но по трудности выполнения исследование является не менее сложным этапом. Наибольшее количество ошибок допускается именно при исследовании.
Вывод. Усвоение учащимися общей схемы решения задач на построение имеет большое значение. Анализ, построение, доказательство и исследование точно соответствуют этапам любого логического рассуждения. При введении данных понятий следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны, - настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем же вопросам.
4. Методы решения задач на построение
К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:
1) Метод геометрических мест.
2) Методы геометрических преобразований:
а) метод центральной симметрии;
б) метод осевой симметрии;
в) метод параллельного переноса;
г) метод поворота;
д) метод подобия;
3) Алгебраический метод.
Перечисленные методы являются одним из видов применения на практике соответствующих геометрических понятий, которые составляют основу каждого из методов. Поэтому без хорошего знания этих понятий учениками не может быть никакой речи об успешном усвоении соответствующих методов. Но, с другой стороны, в силах учителя подобрать такую систему задач на построение и так построить обучение, чтобы решаемые задачи углубляли представление и увеличивали знания школьников о данном понятии, раскрывая его с разных сторон. Задачи при изучении конкретного метода должны подбираться так, чтобы в них как можно более ярко проявлялась суть изучаемого метода, особенно на первоначальном этапе его изучения. При этом если задача решается несколькими методами, то изучаемый метод должен позволять решить задачу наиболее экономно и красиво. Рассмотрим более подробно каждый метод.
4.1 Метод геометрических мест
Математическая сущность метода геометрических мест весьма проста. Она состоит в том, что искомая точка определяется как точка пересечения некоторых двух геометрических мест (или иногда как точка пересечения некоторого геометрического места с данной прямой или окружностью); при этом те условия задачи, которые определяют положение искомой точки, расчленяются мысленно на два условия, и каждое из них дает некоторое геометрическое место, построение которого оказывается возможным (иногда одно из этих геометрических мест заменяется непосредственно данной прямой или окружностью) [18].
Метод геометрических мест является одним из важнейших приемов решения геометрических задач на построение вообще и должен занимать большое место в решении задач на построение, по преимуществу в 8 классе.
При изложении этого метода в школе дело, конечно, заключается не в том, чтобы учащиеся умели описать суть метода словами, а в том, чтобы учащиеся умели сознательно пользоваться этим методом.
Основа данного метода - понятие геометрического места точек. Геометрическим местом точек (ГМТ) пространства, обладающих данным свойством, называется множество всех точек пространства, каждая из которых обладает этим свойством.
Все остальные точки пространства указанным свойством не обладают. ГМТ задается свойством точек, которое называется характеристическим свойством этого ГМТ (фигуры).
Каждая задача, в которой требуется найти ГМТ по его характеристическому свойству, предполагает требование описать это ГМТ наглядно через известные элементарные фигуры. Решение задачи на отыскание ГМТ неизбежно приводит к доказательству двух утверждений - прямого и ему противоположного; необходимо доказать, что: 1) каждая точка предполагаемого (искомого) ГМТ обладает заданным свойством; 2) любая точка, не принадлежащая этой фигуре, заданным свойством не обладает.
Набор изучаемых ГМТ может быть самым разнообразным. Традиционный школьный набор - это:
а) множество всех точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние;
б) множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек;
в) множество всех точек плоскости, удаленных от данной прямой на данное расстояние;
г) множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных прямых.
Кроме этого к списку по возможности могут быть добавлены следующие ГМТ:
а) множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под данным углом (частный случай - множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок идеен под прямым углом);
б) множество всех точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний до двух данных точек постоянна, равна квадрату данного отрезка;
в) множество вех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек постоянно (окружность Аполлония).
Рассматривать эти ГМТ целесообразно только в классах с углубленным изучением математики, а также на внеклассных занятиях по математике.
Сущность метода геометрических мест заключается в следующем:
а) задача сводится к построению некоторой точки;
б) выясняется, какими свойствами обладает данная точка;
в) рассматривается одно из свойств, строится множество всех точек, обладающих этим свойством;
г) берется следующее свойство и так далее;
д) поскольку искомая точка должна обладать всеми этими свойствами, то она должна принадлежать каждому из построенных множеств, то есть принадлежит пересечению этих множеств.
В Приложении 4 приведено решение задачи: “Построить треугольник АВС по двум высотам, проведенным из вершин В и С, и по медиане, проведенной из вершины А”.
Методические рекомендации по методу ГМТ [10]. Понятие ГМТ, обладающих некоторым свойством, лучше ввести на примере ГМТ, равноудаленных от двух данных точек. А затем, когда будут изучены признаки равенства прямоугольных треугольников, при решении задачи о нахождения точки, равноудаленной от двух данных точек А и В, необходимо дать определение ГМТ, обладающих некоторым свойством, как множество всех точек, обладающих этим свойством.
Уже в 7 классе встречаются некоторые задачи, решение которых можно было бы рассматривать как использование метода геометрических мест (например, задача на построение треугольника по трем сторонам). Однако само упоминание о методе и его изучение должно быть отнесено к 8 классу.
В каком же месте курса 8 класса следует знакомить учащихся с методом геометрических мест? Несомненно, что это должно быть сделано по возможности ранее. Наиболее подходящим для этого временем был бы тот момент, когда учащиеся в конце темы “Четырехугольники” ознакомились с достаточным числом геометрических мест.
Учитель начинает с того, что показывает учащимся, какое значение имеет идея геометрического места при решении хорошо известной им задачи, скажем при построении треугольника по трем сторонам. Пусть основание треугольника АВ уже построено; остается определить положение третей вершины С. Выясняется, что для определения положения точки С в задаче остаются два условия: длина сторон АС и ВС. Проводя дугу окружности с центром в точке А и радиусом В, мы строим геометрическое место точек, расстояние которых от точки А равно В; аналогично для второй дуги, и т. д. Вслед за этим может быть предложен как в классе, так и для решения дома, ряд других несложных задач, близких по содержанию к предыдущей, например:
1) построить треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию и боковой стороне;
2) построить треугольник по основанию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.
Целесообразно в качестве одной из первых задач на метод геометрических мест дать и такую задачу, где искомая фигура определялась бы не только по своей форме и размерам, но и по положению на плоскости. Примером может служить следующая задача:
3) построить равнобедренный треугольник, у которого основанием служит данный отрезок АВ, а вершина лежит на данной окружности [10].
В дальнейшей работе по геометрии в 8 классе задачи на метод геометрических мест должны предлагаться систематически до конца учебного года вместе с задачами на вычисление. Наряду с этим применение метода геометрических мест должно быть отчетливо выяснено учащимся и в тех вопросах теоретического курса, где это уместно. Сюда относятся такие вопросы, как проведение окружности через три точки, построение касательной к окружности из данной точки, построение вписанных и описанных окружностей (при решении этой задачи особенно полезным будет рассмотрение геометрического места точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, вместо геометрического места точек, равноудаленных от сторон данного угла).
Задачи на построение, решаемые методом геометрических мест, могут быть весьма разнообразными. Не следует ставить себе целью дать какую-либо формальную их классификацию - она не имела бы большой ценности ни с научной, ни с методической стороны. Точно также не следует ставить цель указать некий стандартный список задач этого рода для средней школы. Это просто помощь преподавателю в подборе, а также и в составлении вновь задач такого рода, указав те точки зрения, которых при этом необходимо было бы придерживаться.
Различные задачи на построение, разрешаемые методом геометрических мест, отличаются одна от другой, прежде всего, характером тех геометрических мест, с помощью которых определяется положение искомой точки. Отбирая задачи на построение для решения с каждым классом, следует подумать о том, чтобы в этих задачах встречались, по возможности, разнообразные сочетания этих основных геометрических мест. Тем самым будет обеспечено достаточное разнообразие разрешаемых задач по существу, по той идее, которая лежит в их основе.
4.2 Методы геометрических преобразований
Методы этой группы имеют достаточно много общего. Каждый изучается, как правило, при рассмотрении соответствующего преобразования, при этом решаемые задачи служат для закрепления и более глубокого усвоения изучаемого понятия. Для повышения эффективности обучения необходимо, чтобы, кроме первоначальных представлений о самом преобразовании, учащиеся умели выполнять построение образов фигур при этом преобразовании, так как использование образа искомой фигуры при построении есть основа каждого из этих методов, их основная идея и суть.
Если искомую фигуру сразу построить затруднительно, то ее преобразуют в какую-нибудь другую фигуру, построение которой можно сделать легче или непосредственно.
При изучении этих методов целесообразно выделить наиболее характерные признаки с тем, чтобы в будущем, анализируя задачу, ученик мог выбрать соответствующий метод.
Действующая программа по геометрии не предполагает использовать идею геометрических преобразований в качестве руководящей идеи школьного курса геометрии, хотя использование геометрических преобразований при решении задач на построение имеет большое методическое значение [25].
4.2.1 Метод центральной симметрии
Симметрией относительно точки О (центральной симметрией) Z0 пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М1, что точка О является серединой отрезка ММ1.
Данный метод применим к тем задачам, в условии которых в той или иной форме указана точка, являющаяся центром симметрии искомой или вспомогательной фигуры.
Рассмотрим задачу: “Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данных прямой и окружности делился точкой пополам”.
Решение. Пусть m и б -- данные прямая и окружность, CD --искомый отрезок, Сm, Dа (рис. 3). Тогда ZA(C) = D. Если ZA(m) = m1, то Dm1 и, следовательно, Dаm1. Отсюда вытекает такое построение: строим образ m1 прямой m при симметрии ZA, точки D и Е пересечения прямой m1 с данной окружностью б определяют вместе с точкой А искомые прямые DA и ЕА [20].
Рис. 3
4.2.2 Метод осевой симметрии
Симметрией пространства относительно данной прямой l (осевой симметрией) Sl называется преобразование, которое каждую точку прямой l отображает на себя, а любую другую точку М пространства отображает на такую точку М1, что прямая l служит серединным перпендикуляром к отрезку ММ1. Прямая l называется осью симметрии.
Трудно указать общие признаки задач, решаемых методом осевой симметрии. В более сложных задачах метод осевой симметрии, нередко спрямляющий ломаные линии в прямые, может быть применим, если в условиях содержится сумма или разность частей некоторой ломаной линии. Можно ограничится указанием, что метод осевой симметрии применим для задач, в условии которых указана прямая, являющаяся осью симметрии части элементов фигуры. Такую прямую легко установить по свойствам фигур. Применение осевой симметрии целесообразно для задач, которые легко решаются, если часть данных расположена по одну сторону некоторой прямой, а остальные - по другую.
Рис. 4
Рассмотрим задачу: “Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку r и лежала на данной прямой а, а остальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых b и с”.
Анализ. Пусть (рис.4) ABDC -- искомый ромб, AD = r. Замечаем, что задача о построении ромба сводится к построению одной какой-либо из его вершин, например вершины С. По свойствам ромба точки В и С симметричны относительно прямой а. Поэтому при осевой симметрии относительно прямой а точка В преобразуется в точку С, а, следовательно, прямая b -- в некоторую прямую b', проходящую через точку С. Таким образом, точка С может быть построена как точка пересечения прямых с и b', из которых одна дана, а другая легко строится.
Построение. Строим последовательно: прямую b', симметричную с прямой b относительно прямой а; точку С, общую для прямых с и b'; прямую ВС; точку О ВС а; точки А и D на прямой а, отстоящие от точки О на расстоянии ; ABCD -- искомый ромб.
Доказательство ввиду его простоты опустим.
Исследование. Возможны следующие случаи: 1) с || b', решений нет; 2) с b', решений бесконечно много; 3) прямые с и b' пересекаются вне прямой а, одно решение; 4) прямые с и b' пересекаются на прямой а, решений нет [2].
4.2.3 Метод параллельного переноса
Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что вектор равен вектору .
Методом параллельного переноса решают задачи, при анализе которых трудно найти зависимость между данными элементами, позволяющую построить искомую фигуру (данные элементы удалены друг от друга); но если мы какую-нибудь часть или всю фигуру перенесем параллельно в некотором направлении на определенное расстояние, то получим вспомогательную фигуру, которую легко можно построить. Направление и величина переноса определяются так, чтобы во вспомогательную фигуру вошло большее число данных.
Рассмотрим задачу: “Построить выпуклый четырехугольник, зная три его угла и две противоположные стороны”.
Подробнее: даны два отрезка а и b и три угла б, в, д. Требуется построить четырехугольник ABCD так, чтобы А = б, В = в, D = д, AD = a, СВ = b. Предполагается, что 0° < б < 180°, 0° < в < 180°, 0°< д < 180°.
Рис. 5
Анализ. Допустим, что ABCD (рис. 5) -- искомый четырехугольник. Перенесем сторону ВС на вектор , и пусть отрезок ВС займет после переноса положение АЕ. Тогда в AED известны: AD = a, AE = b, DAE = BAD -BAE = = A - (180° - B) = б + в - 180°. По этим данным AED может быть построен.
Рис. 6
Построение. 1) На произвольной прямой строим отрезок AD = а (рис. 6); 2) Через точку А проводим луч AM под углом б + в - 180° к лучу AD; 3) Откладываем на луче AM отрезок АЕ = b; 4) Строим луч EN, образующий с ЕА угол в и расположенный с точкой D по разные стороны от прямой AM; 5) Строим луч DK так, чтобы ADK был равен д и чтобы луч DK располагался по ту же сторону прямой DE, что и луч EN; 6) Отмечаем точку С пересечения лучей EN и DK -- третью вершину четырехугольника; 7) Четвертая вершина В получается в пересечении прямой AF, параллельной СЕ, с прямой CL, параллельной АЕ.
Доказательство. BAD = ВАЕ+DAE = (180° - в) + (б + в - 180°) = б. ABC = СЕА, как углы, стороны которых соответственно параллельны и противоположно направлены. СЕА = в по построению. ADC = д по построению. Отрезок AD = а по построению. ВС = АЕ, как отрезки параллельных между параллельными. Но АЕ = b, а значит, и ВС = b [2].
4.2.4 Метод поворота
Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1 и угол МОМ1 = .
Данный метод применяется к тем задачам, где либо части фигур сближаются в положение, удобное для построения, либо при заданных явно или косвенно центре и угле поворота требуется отыскать две соответственные точки, лежащие на данных или искомых фигурах.
Рассмотрим задачу: “Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились два столба на параллельных сторонах квадрата. Кроме того, остался столб в центре квадрата. Требуется восстановить границу участка”.
Анализ. Пусть ABCD -- искомый квадрат, О -- его центр, М и N-- данные точки соответственно на сторонах АВ и CD (рис. 7). Если повернуть квадрат на 180° около его центра О, то он преобразуется сам в себя. Точка М займет некоторое положение М' на стороне CD, а точка N -- некоторое положение N' на стороне АВ. После этого нетрудно уже построить прямые АВ и CD и восстановить искомый квадрат.
Рис. 7
Построение. 1) Строим точку М', симметричную М относительно 0, и точку N', симметричную N относительно О. 2) Строим прямые MN' и NM'. 3) Повернем построенные прямые около точки О на 90°. Четыре построенные прямые ограничивают искомый квадрат.
Доказательство опускаем.
Исследование. По смыслу задачи невозможен случай, когда точки М и N располагаются с точкой О на одной прямой, но не симметричны относительно О. Если точки М и N симметричны относительно О, то задача становится неопределенной. В остальных случаях задача имеет единственное решение [2].
4.2.5 Метод подобия
Метод подобия состоит в том, что сначала строится некоторая фигура, подобная искомой, но удовлетворяющая не всем поставленным в задаче условиям. Затем построенную вспомогательную фигуру заменяем фигурой, ей подобной и удовлетворяющей уже всем требуемым условиям [18].
Задача решается методом подобия, если ее условие можно разделить на две части, одна из которых определяет форму фигуры с точностью до подобия, а вторая - размеры фигуры. При решении задач в классе или разборе задач из домашнего задания на этот метод следует задавать учащимся вопросы: Что (какая часть) в условии задачи определяет фигуру с точностью до подобия? Что определяет размеры искомой фигуры?
Методические рекомендации по методу подобия [10]. При разработке метода подобия целесообразно классифицировать решаемые задачи по способу задания размеров искомой фигуры:
1) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием некоторого отрезка;
2) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием суммы или разности некоторых ее отрезков;
3) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются положением ее относительно данных фигур.
Такая классификация удобна, главным образом, потому, что для каждой из трех групп задач способы выбора центра подобия различны.
Подобные документы
Общая характеристика развивающегося математического мышления школьников. Основные компоненты математического мышления и дидактические пути их развития у учащихся. Развитие логического мышления в геометрии. Задачи преподавания геометрии в средней школе.
дипломная работа [3,2 M], добавлен 21.05.2008Традиции математического образования в различные исторические эпохи, воспитательное значение предмета. Анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме логического мышления школьника. Подбор задач для развития логического мышления.
дипломная работа [73,9 K], добавлен 07.12.2011Общая характеристика одаренных учащихся 7-9 классов. Рассмотрение основных компонентов и уровней развития логического мышления. Подбор системы задач, эффективно развивающих некоторые аспекты логического мышления на уроках геометрии в данной гимназии.
курсовая работа [361,6 K], добавлен 29.09.2014Понятие логического мышления. Особенности развития логического мышления младших школьников. Педагогические условия развития логического мышления на уроках математики. Принципы изучения геометрического материала. Анализ учебной математической литературы.
дипломная работа [241,5 K], добавлен 16.05.2017Роль задач в процессе обучения школьников в школьном курсе геометрии. Роль ключевых задач в системе обучающих задач в школьном курсе. Методы отбора ключевых задач по изучаемой теме. Медиана, проведенная к гипотенузе. Свойство биссектрисы и ее длина.
курсовая работа [458,5 K], добавлен 30.01.2014Особенности развития логического мышления младших школьников. Разработка комплекса заданий по математике, направленных на развитие логического мышления младших школьников. Методические рекомендации и результаты констатирующего, формирующего эксперимента.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 30.03.2016Современные психодинамические аспекты логического мышления младших школьников. Виды и формы дидактического материала по математике в 4 классе средней школы. Эмпирическое исследование развития логического мышления младших школьников на уроках математики.
дипломная работа [940,1 K], добавлен 09.03.2015Понятие и содержание, а также особенности развития логического мышления младших школьников. Используемые в данном процессе педагогические методы и приемы. Средства развития логического мышления детей младшего школьного возраста на уроках математики.
дипломная работа [593,0 K], добавлен 18.09.2017Особенности логического мышления младших школьников. Постановка обучения математике в начальной школе по развивающей системе Л.В. Занкова. Подход к решению простых и сложных задач при обучении учащихся первого класса. Объяснение порядка записи решения.
реферат [79,1 K], добавлен 28.02.2012Сущность развития логического мышления детей среднего школьного возраста. Обучение учащихся решению нестандартных задач на уроках математики. Построение системы нестандартных задач, направленных на развитие логического мышления учащихся 5-6 классов.
дипломная работа [112,6 K], добавлен 11.06.2014
