Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников
Анализ учебной и учебно-методической литературы по геометрии. Методика решения задач на построение. Развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике. Задачи проведения факультативных занятий. Методы геометрических преобразований.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.06.2009 |
| Размер файла | 1,8 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
В задачах из первой группы за центр подобия лучше всего выбирать один из концов отрезка вспомогательной фигуры, соответствующего данному отрезку, через который проходит наибольшее число прямолинейных отрезков искомой фигуры, так как при гомотетии лишь прямые, проходящие через центр подобия, преобразуются сами в себя. При таком выборе легко находить одну точку (второй конец данного отрезка) искомой фигуры, что в большинстве случаев значительно облегчает выполнение дальнейшего построения.
И для задач второй группы за центр подобия можно выбирать один из концов построенной суммы или разности отрезков, соответствующей данной. Целесообразно расчленить подобное преобразование: отдельно найти один из отрезков, сумма или разность которых дана, а затем выполнить построение искомой фигуры.
При решении задач третьей группы центр подобия уже определяется, и в большинстве случаев однозначно, расположением фигуры, подобной искомой, относительно данных фигур.
В Приложении 4 приведено решение задачи на метод подобия: “Построить трапецию ABCD по углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3”.
4.3 Алгебраический метод
Алгебраический метод решения задач на построении - один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью этого метода решаются вопросы, связанные с разрешимостью задач тем или иным набором инструментов.
Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которых обычными способами затруднительно. Метод прекрасно демонстрирует тесную взаимосвязь алгебры и геометрии.
Но, к сожалению, в школьном курсе геометрии алгебраическому методу практически не уделяется внимания, хотя с методической точки зрения изучение этого метода не представляет особых сложностей.
Суть метода состоит в следующем:
а) задача сводится к построению некоторого отрезка;
б) используя известные геометрические соотношения между искомыми и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее искомые и данные;
в) решая уравнение или систему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка через длины данных;
г) по формуле строится искомый отрезок (если это возможно);
д) с помощью найденного отрезка строится искомая фигура.
Подготовительную работу составляет изучение основных формул и способов построения, где также отрабатываются некоторые элементы схемы решения задач алгебраическим методом, и усваивается сама идея такого подхода к решению задач на построение.
В школьном курсе геометрии обычно рассматривают построения циркулем и линейкой отрезков, заданных следующими некоторыми простейшими формулами [2]:
1) х = а + b (рис. 8).
2) х = а -- b(а > b) (рис. 9).
Рис. 8 Рис.9
3) х = nа, где n -- натуральное число. Сводится к построению 1). На рис. 10 построен отрезок х, такой, что х = 6а.
Рис. 10 Рис. 11
4) х = .
Строим луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b, так что OB = nb (см. рис. 11). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а. Через точку В1, определяемую условием 0В1 = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку A1, в которой она пересечет отрезок а.
5) х = а (n и m -- данные натуральные числа).
Разделим отрезок а на m равных частей и увеличим полученный отрезок в п раз.
6) х = (построение отрезка, четвертого пропорционального трем данным отрезкам).
Запишем условие в виде пропорции с : а = b : х. Пусть (рис. 12) ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящем из той же точки, откладываем известный член другого отношения ОB = b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку X ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х.
Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14
7) x = .
Можно воспользоваться построением 6), полагая b = а.
8) х = (построение среднего пропорционального двух данных отрезков).
Строим отрезки АС = а, ВС = b, так что АВ = а + b. На АВ как на диаметре строим полуокружность (см. рис. 13). В точке С восставим перпендикуляр к АВ и отметим точку D его пересечения с окружностью. Тогда х = CD.
9) х = Отрезок x строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и b (см. рис. 14).
10) х = (a > b). Отрезок x строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом b.
К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами.
Желательно постепенное изучение этих формул, когда каждая из них разбирается при рассмотрении теории, необходимой для осуществления соответствующего построения.
На этом месте целесообразно также введение простейших задач на алгебраический метод (например, задача о восстановлении отрезков по их сумме и разности) с тем, чтобы формулы рассматривались во взаимосвязи. В дальнейшем, перед серьезным изучением метода, формулы следует повторить.
В Приложении 4 приведена задача на алгебраический метод: “Из вершин данного треугольника как из центров описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом”.
Вывод. Описанные методы рекомендуется использовать для решения геометрических задач на построение. При этом необходимо обращать внимание в том числе и на развитие инициативы учащихся, привитие им вкуса и навыков к решению конструктивных задач.
Было бы неправильно думать, что методы решения задач на построение могут служить основой для классификации самих задач. Существенным, а не случайным следует признавать то обстоятельство, что целый ряд задач на построение может одинаково успешно решаться различными методами. С другой стороны, существуют задачи, которые решаются просто комбинацией основных построений без явного применения какого-либо метода.
С методической точки зрения наиболее приемлемым является применение при обучении решению задач на построение следующего принципа. Необходимо осуществлять последовательный подбор задач в соответствии с целями курса геометрии и постепенное ознакомление учащихся с методами решения задач на построение.
В свою очередь, необходимо ознакомить учащихся с самими методами и научить определять, каким из них можно решить предложенную задачу. Для этого, прежде всего, учащихся необходимо научить выделять наиболее характерные признаки задач, решаемых тем или иным методом. Эти признаки определяются самим содержанием метода.
5. Опытное преподавание
Опытное преподавание применяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременное использование целого ряда методов, например, наблюдение, диагностирующие контрольные работы, беседа и другие.
Одной из задач опытного преподавания являлась проверка эффективности разработанного факультативного курса по решению задач на построение, как предусмотренных школьной программой, так и не встречающихся в школьном курсе математики. Курс рассчитан на учащихся 8 классов.
Цели факультативного курса:
1. Сформировать у учащихся представление о методах ГМТ и подобия, используемых при решении задач на построение, и научить их применять.
2. Сформировать четкое представление об этапах решения задач на построение.
3. Способствовать развитию логического мышления учащихся.
4. Сформировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение задач.
5. Развить математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.
Знания и умения, которыми должны владеть учащиеся перед изучением факультативного курса по теме “Задачи на построение и методы их решения”:
1. Владеть основными понятиями, относящимися к теме.
2. Уметь пользоваться чертежными инструментами.
3. Уметь выполнять основные геометрические построения.
4. Иметь представление об этапах решения задач на построения.
Этапы курса:
1. Разработка программы факультативных занятий “Задачи на построение и методы их решения” для учащихся 8 класса.
2. Проведение анкетирования среди учителей и учащихся.
3. Проведение психологических методик на определение уровня развития логического мышления №1.
4. Проведение диагностирующей контрольной работы №1.
5. Проведение разработанной программы факультативных занятий.
6. Проведение диагностирующей контрольной работы №2.
7. Проведение психологических методик на определение уровня развития логического мышления №2.
8. Анализ полученных результатов опытной работы.
Этап №1
Разработка программы факультативных занятий “Задачи на построение и методы их решения” для учащихся 8 класса.
Факультативные занятия были разработаны на основе анализа математической, методической и учебной литературы с использованием методических рекомендаций (см. §2, стр. 31; §3, стр. 39, стр. 45).
Этап №2
В ходе опытного преподавания было проведено анкетирование среди 6 учителей г. Кирова и г. Кирово-Чепецка. Проанализируем результаты полученных данных.
1. Какие трудности встречаются при изучении задач на построение?
Большинство учителей на этот вопрос ответили, что чаще всего учащиеся не видят с чего начинать строить (поэтапно), отсюда возникает еще одна проблема - на анализ уходит много времени.
2. Возвращаетесь ли Вы к задачам на построение при изучении других тем?
Учителя стараются на протяжении всего курса обучения возвращаться к задачам на построение. Но чаще всего учителя не видят в этом необходимости из-за нехватки времени.
3. Достаточно ли внимания уделяется задачам на построение в школьных учебниках?
Большинство учителей считают, что в школьных учебниках мало уделяется внимания задачам на построение.
4. Считаете ли вы нужным проводить курсы или факультативные занятия, направленные на решение задач на построение? Если да, то на сколько часов они должны быть рассчитаны и для каких классов?
Большинство учителей считают факультативные занятия и элективные курсы по данной теме необходимыми или по крайней мере желательными. Особенно это касается 8-9 классов. Оптимальное количество занятий составляет 17 часов.
5. На что необходимо обращать внимание (сделать упор) при обучении решению задач на построение?
Учителя считают, что в первую очередь необходимо обращать внимание на первый этап решения задач на построение - анализ, а также на исследование и, конечно, особенно в 7-8 классе нужно обращать внимание учащихся на построение чертежа с помощью чертежных инструментов.
Опытное преподавание осуществлялось в восьмых классах гимназии №2 г. Кирово-Чепецка. Первоначально среди учащихся было проведено анкетирование. Проанализируем результаты полученных данных.
1. Какие трудности вы испытываете при решении задач на построение
У большинства учащихся вызывает затруднение построение чертежа, нахождение пути решения задачи.
2. Какие этапы решения задач на построение вы используете?
Учащиеся не могут назвать конкретные этапы решения задач на построение. Чаще всего они описывают такой алгоритм: 1) построение рисунка; 2) запись условия (что дано в задаче, что нужно найти); 3) решение задачи; или же просто описывают как строить чертеж (построить угол, затем стороны и т.д.); некоторые учащиеся поставили прочерк в этом пункте.
3. Какие методы решения задач на построение вы знаете (отметить):
а) метод геометрических мест точек;
б) метод подобия;
в) метод осевой симметрии;
г) метод центральной симметрии;
д) метод поворота;
е) метод параллельного переноса;
ж) алгебраический метод.
В анкете учащихся указывали практически все представленные методы, что свидетельствует о том, что они не имеют четкого представления, четкой системы в данной области.
По результатам данного анкетирования можно сказать, что учащиеся плохо представляют как решать задачи на построение, не знают этапов, не имеют четкого представления о методах, решение подобных задач представляет для них трудность.
Этап №3
Были проведены психологические методики, которые выявляют уровень развития логического мышления учащихся (см. Приложение 5). В первую очередь нам необходимо выяснить как изменится уровень логического мышления учащихся, поэтому мы ограничимся лишь показателями количества правильных ответов по каждой методике. Затем данные результаты сравним с результатами, полученными после проведения факультативных занятий.
Получены следующие данные (по каждой методике указано количество правильных ответов):
Табл.1
|
Образование простых аналогий (из 16) |
Логичность (из 20) |
Исключение понятий (из 17) |
||
|
1.Балыбердина |
8 |
11 |
13 |
|
|
2.Ворсин |
15 |
15 |
17 |
|
|
3.Вострикова |
15 |
16 |
14 |
|
|
4.Гаврилина |
14 |
16 |
14 |
|
|
5.Двоеглазова |
8 |
14 |
15 |
|
|
6.Егошин |
16 |
15 |
15 |
|
|
7.Захаров |
12 |
13 |
14 |
|
|
8.Ладыгина |
16 |
18 |
16 |
|
|
9.Лысенко |
16 |
15 |
15 |
|
|
10.Медянцев |
12 |
15 |
15 |
|
|
11.Муралева |
14 |
18 |
14 |
|
|
12.Садаков |
16 |
15 |
15 |
|
|
13.Симонова |
14 |
17 |
17 |
|
|
14.Солодянкина |
3 |
11 |
16 |
|
|
15.Чупракова |
16 |
17 |
17 |
Этап №4
Проведение диагностирующей контрольной работы №1.
На контрольной работе учащимся было предложено 3 задания, которые было необходимо выполнить в течение 1 часа. Содержание диагностирующей контрольной работы №1 представлено в Приложении 6.
Результаты диагностирующей контрольной работы №1 отображены в таблице 2.
Табл.2
|
№ задания |
1 |
2 |
3 |
|
|
Кол-во человек, решивших задание |
5 |
3 |
7 |
|
|
Доля человек, решивших задание в процентах |
33% |
20% |
47% |
Этап №5
Проведение разработанной программы факультативных занятий.
Занятия проводились 1 раз в неделю по два часа. Всего было проведено 6 занятий.
Основные задачи проведения факультативных занятий:
1) выявить тот материал, который вызывает у учащихся наибольшие затруднения;
2) определить эффективность усвоения материала посредством текущей проверки;
3) выявить заинтересованность учащихся в изучении данной темы (программу факультативного курса с подробным конспектом одного из занятий см. в Приложении 6).
Этап №6
Проведение диагностирующей контрольной работы №2.
Контрольная работа была проведена после проведения факультативных занятий разработанной программы. Задача: выявление знаний и умений решать задачи на построение методом ГМТ и подобия.
Учащимся было предложено 3 задания, которые было необходимо выполнить в течение 1 часа. Содержание диагностирующей контрольной работы №2 представлено в Приложении 6.
Результаты диагностирующей контрольной работы №2 отображены в таблице 3.
Табл.3
|
№ задания |
1 |
2 |
3 |
|
|
Кол-во человек, решивших задание |
11 |
7 |
13 |
|
|
Доля человек, решивших задание в процентах |
73% |
47% |
87% |
Этап №7
Были проведены те же психологические методики, что и перед началом эксперимента.
Получены следующие данные (по каждой методике указано количество правильных ответов):
Табл.4
|
Образование простых аналогий (из 16) |
Логичность (из 20) |
Исключение понятий (из 17) |
||
|
1.Балыбердина |
11 |
14 |
15 |
|
|
2.Ворсин |
15 |
17 |
17 |
|
|
3.Вострикова |
16 |
18 |
16 |
|
|
4.Гаврилина |
15 |
17 |
15 |
|
|
5.Двоеглазова |
9 |
14 |
16 |
|
|
6.Егошин |
16 |
16 |
16 |
|
|
7.Захаров |
13 |
15 |
16 |
|
|
8.Ладыгина |
16 |
18 |
17 |
|
|
9.Лысенко |
16 |
16 |
17 |
|
|
10.Медянцев |
14 |
16 |
15 |
|
|
11.Муралева |
16 |
18 |
15 |
|
|
12.Садаков |
16 |
17 |
16 |
|
|
13.Симонова |
15 |
19 |
17 |
|
|
14.Солодянкина |
10 |
15 |
16 |
|
|
15.Чупракова |
16 |
18 |
17 |
Этап №8
Анализ полученных результатов опытной работы.
На основании таблиц №2 и №3 можно построить диаграмму, отображающую сравнение результатов контрольных работ, проведенных перед посещением учащимися факультативных занятий и после их посещения.
Как видно из диаграммы, перед проведением факультативных занятий уровень знаний учащихся был ниже, чем средний, а после проведения занятий он значительно повысился. Положительная тенденция заметна: учащиеся научились решать задачи на построение методом ГМТ и методом подобия, и большинство справились с заданиями 1,3; значительно улучшилось умение решать более сложные задачи. Многие учащиеся овладели методом ГМТ и методом подобия при решении задач на построение.
Кроме того, на основании таблиц 1,4 можно построить диаграмму, отображающую сравнение результатов психологических методик, проведенных перед посещением учащимися факультативных занятий и после их посещения.
1) Методика “Образование простых аналогий”
2) Методика “Логичность”
3) Методика “Исключение понятий”
Как видно из диаграмм, уровень развития логического мышления учащихся после проведения факультативных занятий увеличился. Таким образом, можно утверждать, что решение задач на построение положительно влияют на развитие логического мышления учащихся.
Вывод. Опытное преподавание показало, что более глубокое и объемное изучение задач на построение и методов их решения дает возможность учащимся лучше ориентироваться в данной теме, творчески подходить к каждой задаче, применять наиболее рациональный метод решения, а также повысить уровень своего логического мышления.
Заключение
· Выполнен анализ учебных программ, учебной и учебно-методической литературы по геометрии, в ходе которого найдены сходства и различия по данной теме. Рассматривая учебники, можно отметить, что в них достаточно высок процент заданий на построение в 7 классе, причем рассматриваются стандартные и элементарные задачи на построение. Однако к 9 классу процент геометрических заданий на построение резко падает. Так как задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Эти недостатки не позволяют ученику эффективно изучать многие разделы математики.
· Рассмотрено понятие логического мышления, сделан анализ психолого-педагогический литературы по теме исследования, показаны возможности развития логического мышления учеников при решении задач на построение.
· Рассмотрены основные этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование, которые точно соответствуют этапам любого логического рассуждения, каждый из которых является важным и требует должного внимания при решении задач.
· Разработаны методические рекомендации по обучению решения задач на построение.
· Рассмотрены основные методы решения задач на построение. Отметим, что необходимо знакомить учащихся с самими методами и учить определять, каким из них можно решить предложенную задачу.
· Проведено опытное преподавание.
Таким образом, задачи данной работы были выполнены, в ходе их выполнения подтвердилась гипотеза исследования. Цель работы была достигнута.
Кроме того, отметим, что:
1) необходимо уделять больше внимания изучению задач на построение, так как при грамотном использовании они являются мощным средством развития логического мышления учащихся;
2) геометрические задачи на построение не нужно рассматривать как что-то отдельное, независимое от остального курса геометрии. Процессы обучения решению задач и изучение геометрии неразрывно связаны. Причем связь эта должна быть двусторонней, то есть необходимо не только обучать решению задач на построение, используя ранее полученные знания, но и, наоборот, использовать конструктивные задачи при изучении геометрии.
Библиографический список
1. Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями / И.И.Александров. - М.: Учпедгиз,1954.
2. Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия: учеб. пособие для пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Просвещение, 1966.
3. Белошистая, А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии / А. В. Белошистая // Математика в школе. - 2002. - №9. - С. 47-50.
4. Геометрия: доп.главы к шк.учеб.8 кл.: учеб.пособие для учащихся шк.и классов с углубл.изуч.математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 1996.
5. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2004.
6. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992.
7. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк / Л. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 1991.
8. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.: учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. - М.: Дрофа, 1995.
9. Изучение личности школьника / под. ред. Л.И. Белозеровой. - Киров, Информационный центр, 1991.
10. Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып.9. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. - С. 59-69.
11. Мазаник, А.А. Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе. Пособие для учителей / А.А.Мазаник. - Минск: Народная асвета, 1967.
12. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Сайтком, 2000.
13. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Сайтком, 2000.
14. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. - М.: Просвещение, 1994.
15. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. - М.: Дрофа, 1998.
16. Мисюркеев, И.В. Геометрические построения. Пособие для учителей / И.В.Мисюркеев. - М: Учпедгиз, 1950.
17. Общая психология: учеб. для студентов пед. ин-тов / под ред. А. В. Петровского. - М.: Просвещение, 1986.
18. Перепелкин, Д.И. Геометрические построения в средней школе / Д.И. Перепелкин. - М.: Издательство академии педагогических наук РСФСР,1947.
19. Платонов, К.К. Краткий словарь системы психологических понятий / К.К. Платонов. - М.: Высш. шк., 1984.
20. Понарин, Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. - Т.1: Планиметрия, преобразования плоскости / Я.П.Понарин. - М.: МЦНМО, 2004.
21. Понарин, Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. - Т.2: Стереометрия, преобразования пространства / Я.П.Понарин - М.: МЦНМО, 2006.
22. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. Ч.1 / В.В. Прасолов. - М.: Наука, 1991.
23. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. Ч.2 / В.В. Прасолов. - М.: Наука, 1991.
24. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии / С.Л. Рубинштейн. - СПб.: Питер, 1989.
25. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе / Г.И. Саранцев. - М.: ВЛАДОС, 2005.
26. Тихомиров, О.К. Психология мышления / О.К. Тихомиров. - М.: Академия, 2002.
27. Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия, 1983.
28. Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии (Планиметрия) / И.Ф. Шарыгин. - М.: Наука, 1986.
Приложение 1
Анализ программ
Учебники “Геометрия 7-9”
1) Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов [7]
а) 7 класс. Глава 2 “Треугольники” (14 ч): Треугольник. Признаки равенства треугольников. Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства. Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Основная цель - отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки. На начальном этапе изучения темы полезно больше внимания уделять использованию средств наглядности, решению задач по готовым чертежам.
Глава 4 “Соотношения между сторонами и углами треугольника” (16 ч): Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника. Некоторые свойства прямоугольных треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Задачи на построение. Основная цель - расширить знания учащихся о треугольниках. При решении задач на построение в 7 классе рекомендуется ограничиваться только выполнением построения искомой фигуры циркулем и линейкой. В отдельных случаях можно проводить устно анализ и доказательство, а элементы исследования могут присутствовать лишь тогда, когда это оговорено условием задачи.
б) 8 класс. Глава 7 “Подобные треугольники” (19 ч): подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательствам теорем и решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Основная цель - сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников. Решение задач на построение методом подобия можно рассмотреть с учащимися, интересующимся математикой.
В главе 8 “Окружность” (17 ч): Касательная к окружности и ее свойства. Центральные и вписанные углы. Четыре замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности. Основная цель - дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях. В этой же теме имеется ряд задач на построение вписанных и описанных окружностей с помощью циркуля.
в) 9 класс. Глава 12 “Длина окружности и площадь круга” (16 ч): Правильные многогранники. Длина окружности и площадь круга. Основная цель - расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках. Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки ограничивается построением квадрата, правильных треугольника, шестиугольника и 2n-угольника.
Глава 13 “Движение” (12 ч): Понятие движения. Параллельный перенос и поворот. Основная цель - познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом. При изучении темы основное внимание следует уделить выработке навыков построения образов точек, отрезков, треугольников при симметриях, параллельном переносе, повороте.
2) А.В. Погорелов [5]
а) 7 класс. §5 “Геометрические построения”. Основная цель - решать простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Решение задач на построение с помощью циркуля и линейки: треугольника по трем сторонам; угла, равного данному; биссектрисы угла; перпендикулярной прямой; деление отрезка пополам.
б) 8 класс. §6 “Четырехугольники (20 ч): Определение четырехугольника. Параллелограмм, его признаки и свойства. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Основная цель - дать учащимся систематизированные сведения о четырехугольниках и их свойствах.
§9 “Движение” (8 ч): Движение и его свойства. Симметрия относительно точки и прямой поворот. Параллельный перенос и его свойства. Понятие о равенстве фигур. Основная цель - познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований. Симметрия относительно точки и прямой, параллельный перенос учащиеся должны усвоить на уровне практических применений.
§11 “Подобие фигур” (17 ч): Понятие о гомотетии и подобии фигур. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Подобие прямоугольных треугольников. Центральные и вписанные углы и их свойства. Основная цель - усвоить признаки подобия треугольников и отработать навыки их применения.
§13 “Многоугольники” (12 ч): Ломаная. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Длина окружности. Длина дуги окружности. Радианная мера угла. Основная цель - расширить и систематизировать сведения о многоугольниках и окружностях.
3) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [6]
а) 7 класс. Глава 1 “Начала геометрии” (15 ч): Геометрические фигуры. Первые задачи геометрии. Построения. Отрезки. Луч и прямая. Действия над отрезками. Длина отрезка. Расстояние. Окружность и круг. Угол. Действия над углами. Величина угла. Основная цель - рассказать о задачах систематического курса геометрии и заложить основу для его построения. Особую роль в 7 классе играют геометрические построения. Первые аксиомы появляются как утверждения о возможности выполнения простейших построений, а первые доказательства дают обоснование того, что построенные фигуры обладают требуемыми свойствами. Изложение как этой темы, так и последующих должно сочетать наглядность и логичность, а также быть связано с практическими применениями.
Глава 2 “Треугольники” (20 ч): Треугольник и его элементы. Равенство треугольников. Два признака равенства треугольников. Деление отрезка пополам и построение перпендикуляра. Серединный перпендикуляр отрезка. Построение биссектрис, высот и медиан треугольника. Свойства равнобедренного треугольника. Понятие об осевой симметрии. Признак равнобедренного треугольника. Основная цель - развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, начать знакомство с симметриями фигур.
б) 8 класс. Глава 5 “Метрические соотношения в треугольнике” (34 ч): Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора: равенство прямоугольных треугольников, сравнение перпендикуляра и наклонной, неравенство треугольника, характерное свойство биссектрисы угла. Синус. Свойства синуса и его график. Применения синуса: решение прямоугольных треугольников, вычисление площади треугольника, теорема синусов, решение треугольников. Косинус, его свойства и график. Применения косинуса: теорем косинусов, решение треугольников, средняя линия треугольника, сравнение сторон и углов треугольника. Тангенс и его свойства. Основная цель - изучить основы тригонометрии, доказать три важнейшие теоремы и продемонстрировать богатство возможных применений этих теорем в теории и в практике, в частности при решении треугольников.
в) 9 класс. Глава 7 “Многоугольники и окружности” (18 ч): Хорды и касательные. Градусная мера дуги окружности. Вписанные углы. Вписанные и описанные окружности. Правильные многоугольники. Центр правильного многоугольника. Длина окружности площадь круга. Основная цель - измерение длины окружности и площади круга. Остальные результаты этой темы имеют второстепенный характер.
Глава 8 “Другие методы геометрии” (34 ч): Метод координат: расстояние между точками, понятие об уравнении фигуры, уравнение окружности. Векторы и координаты: разложение вектора по осям координат, координаты векторов и их связь с координатами точек, уравнение прямой. Скалярное умножение и его свойства. Преобразование фигур. Движение фигур и его свойства. Преобразования фигур. Движение фигур и его свойства. Виды движений: перенос, симметрии, поворот. Симметрия фигур. Подобие. Гомотетия. Свойства подобия. Подобие треугольников. Основная цель - познакомить учащихся с методами. Отсутствовавшими в классической элементарной геометрии, но играющими в современной геометрии ведущую роль: методом координат, векторным методом, методом преобразований.
Основная цель всех учебников при введении задач на построение - это развить и отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки.
Приложение 2
Сравнительная таблица основных видов мышления
|
Практическое мышление |
Теоретическое мышление |
|
-- совершается в ходе практической деятельности и направлено на решение практических задач;-- начинается с возникновения проблемной ситуации, которую нужно решить;-- протекает в условиях дефицита времени, опасности или высокой ответственности за принимаемое решение;-- направлено на преобразование реальной действительности |
-- направлено на познание и объяснение явлений действительности;-- процесс мышления предполагает создание гипотезы, новой идеи или образа, а также проверку гипотезы на соответствие реальности |
|
|
Интуитивное мышление |
Логическое мышление |
|
-- при интуитивном мышлении переход к новому знанию происходит через озарение;-- процесс мышления неосознаваем и слит с самим действием;-- объектами мышления являются объекты -- оригиналы, с которыми взаимодействует человек;-- интуитивное мышление выполняет функцию получения нового знания |
-- при логическом мышлении происходит плавный логический переход от данного к новому;-- процесс мышления осознан, отделен от своего продукта, а способы действия выделены и превращены в операции, применимые ко многим подобным объектам;-- объектами логического мышления выступают знаковые системы;-- логическое мышление выполняет функцию трансляции уже полученного знания другому |
Приложение 3
Задачи к §3 “Методика решения задач на построение”
3.1. Анализ
Анализ задачи на построение: “Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон”.
Рис. 1
Чтобы найти решение, нужно вначале изучить условие задачи, посмотреть, какие элементы искомого треугольника даны. Для этого начертим произвольный треугольник A1B1C1 (рис.1) и отметим элементы, соответствующие данным по условию. Пусть это будет сторона A1C1 и угол C1A1B1. Но на чертеже нет разности двух других сторон. А так как для решения задачи мы должны учесть все данные, то нужно показать и разность. Это можно сделать четырьмя способами: на меньшей стороне отложить большую от точки C1 или от точки B1 либо на большей отложить меньшую и вновь откладывать как от точки B1, так и от точки A1. Если разность будет около точки В1, то тогда данные не связаны между собой, и нельзя наметить план решения. Если же В1А1 отложим от точки В1 на В1С1, то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон -- будут связаны между собой, но и эта связь не дает возможности наметить план решения, она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру D2C1A1B1. Лучше всего ввести разность, откладывая B1D1 = B1C1, так как в этом случае мы уже сможем восстановить фигуру C1A1D1. Конкретизировав таким образом данные задачи, приступаем к составлению плана решения.
Построив на произвольной прямой отрезок, равный основанию, получим две вершины треугольника: А1 и С1. Зная угол С1А1В1, мы можем найти и положение точки D1, где D1A1 = B1A1 -- В1С1. Остается рассмотреть, как построить точку В1, зная положение точки D1. Так как C1B1 = B1D1, то точка B1 равноудалена от точек C1 и D1, поэтому она должна лежать на перпендикуляре P1Q1, проведенном к отрезку C1D1 через его середину. Точка пересечения прямой P1Q1 и луча A1D1 и будет точкой В1. Следовательно, приходим к следующему построению. На произвольной прямой откладываем отрезок, равный основанию, и строим угол, равный данному, одна из сторон которого содержит построенный отрезок, а вершина совпадает с концом этого отрезка. На второй стороне угла откладываем отрезок, равный разности двух других сторон треугольника, и строим геометрическое место точек, равноудаленных от соответствующих концов основания и построенного отрезка. Точку пересечения этого геометрического места со стороной угла, содержащей разность, соединяем с концом основания и получаем, искомый треугольник [11].
3.3. Доказательство
Задача. Построить трапецию по четырем сторонам (рис. 2).
Решение. Проведя CK||BA, решение задачи сводим к построению треугольника KCD по трем сторонам: две равны боковым сторонам трапеции (АВ = КС), a KD = AD -- BC. Построим треугольник КCD, и, считая сторону AD построенной, дополним его до трапеции различными способами:
1) Проведем BC||AD и, отложив меньшее основание, соединим полученную точку В с А.
Доказательство сведется к установлению равенства: АВ = КС.
2) Если провести АВ||КС и BC||AD, то тогда уже надо доказать, что АВ = КС и ВС = АК.
Рис. 2
3) Если провести прямую CB||DA и на ней найти точки В и В1 отстоящие от А на расстоянии, равном боковой стороне, то в этом случае точка В1 будет посторонней и лишь точка В будет искомой, причем доказательство (ВС = АК) уже усложняется.
4) Если отыскивать точку В, как точку пересечения окружностей (А; АВ) и (С; СВ), то из двух точек В и В2 (рис. 2) только точка В будет искомой.
Третий и четвертый случаи подчеркивают необходимость доказательства. В анализе мы находим необходимые условия, которым должно подчиняться построение, чтобы получить искомую фигуру. Надо еще установить, что найденные необходимые условия являются и достаточными, то есть, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи [11].
Приложение 4
Задачи к §4 “Методы решения задач на построение”
4.1 Метод геометрических мест точек
Задача. Построить треугольник АВС по двум высотам, проведенным из вершин В и С, и по медиане, проведенной из вершины А.
Рис. 3
Решение.
Предположим, что треугольник АВС построен.
Опустим из середины А1 стороны ВС перпендикуляры А1В' и А1С' на прямые АС и АВ соответственно.
Ясно, что АА1 = ma, А1В' = hb/2 и А1С' = hс/2. Из этого вытекает следующее построение.
Строим отрезок АА1 длиной ma. Затем строим прямоугольные треугольники АА1В' и АА1С' по известным катетам и гипотенузе так, чтобы они лежали по разные стороны от прямой АА1. Остается построить точки В и С на сторонах АС' и АВ' угла С'АВ' так, чтобы отрезок ВС делился точкой А1 пополам.
Для этого отложим на луче АА1 отрезок AD = 2АА1, а затем проведем через точку D прямые, параллельные сторонам угла С'АВ'.
Точки пересечения этих прямых со сторонами угла С'АВ' являются вершинами искомого треугольника (рис.3) [22].
4.2 Метод геометрических преобразований
4.2.5 Метод подобия
Задача. Построить трапецию ABCD по углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3.
Рис. 4
Рис. 5
Решение. Задачу надо понимать так: даны угол hk и отрезок PQ (рис. 4). Требуется построить с помощью циркуля и линейки трапецию ABCD, у которой A = hk, BC = PQ, а остальные три стороны АВ, CD и AD относятся как 1:2:3. Построим сначала какую-нибудь трапецию AB1C1D1, у которой А = hk и AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3. Это сделать совсем не трудно. Строим угол А, равный данному углу, и на его сторонах откладываем произвольный отрезок АВ1 и отрезок AD1 = 3AB1 (рис. 5). После этого через точку В1, проводим прямую l, параллельную AD1 и строим окружность радиуса 2АВ1, с центром в точке D1,. Эта окружность пересекает прямую l в двух точках С1 и C1'.
Итак, мы построили две трапеции AB1C1Dl и АВ1С1'D1, у которых A = hk и стороны АВ1, ВС1 (В1С1') и C1Dl (С1'D1) относятся как 1:2:3.
Возьмем одну из этих трапеций, например, AB1C1Dl, проведем прямую АС1, и построим отрезок ВС с концами на сторонах угла В1АС1, который параллелен B1C1 и равен PQ. Это можно сделать так: на луче AD1 откладываем отрезок AE = PQ и через точку Е проводим прямую, параллельную AB1. Она пересекается с прямой АС1 в точке С (рис. 6). Через точку С проводим прямую, параллельную B1C1, и получаем точку В. Очевидно, отрезок ВС равен PQ. Остается провести через точку С прямую, параллельную C1Dl. Она пересекает луч AD1, в точке D. Трапеция ABCD искомая. В самом деле, А = hk, BC = PQ и (это следует из подобия треугольников ABC и AB1C1, ACD и AС1D1). Отсюда получаем, что AB:СD:AD = AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3.
Рис. 6
Построенная трапеция ABCD удовлетворяет всем условиям задачи. Если вместо трапеции AB1C1Dl взять трапецию АВ1С1'D1 и проделать такие же построения, то получим второе решение задачи (рис. 7). Итак, данная задача имеет два решения [4].
Рис. 7
4.3. Алгебраический метод
Пример. Из вершин данного треугольника как из центров описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом.
Пусть ABC (рис. 8) -- данный треугольник, а, b, с -- его стороны, х, у и z -- радиусы искомых окружностей.
Рис. 8
Выразим длины отрезков х, у, z через длины известных отрезков а, b, с. Тогда х+у=с, y+z=a, z+x=b. Поэтому 2х+2у+2z = a+b+c, x+y+z=(a+b+c), откуда .
Строим теперь один из найденных отрезков, например х, по формуле и проводим окружность (A, х). Две другие окружности проводим из центров В и С радиусами соответственно с -- х и b -- х.
Для доказательства достаточно заметить теперь, что две последние окружности касаются между собой, так как сумма их радиусов (с -- х) + (b -- х) = с + b -- 2х = (с + b) -- (с + b -- а) = а = ВС, то есть равна расстоянию между их центрами.
Задача всегда однозначно разрешима, так как:
1) в треугольнике ABC b+c>a, и поэтому отрезок x может быть построен;
2) с>х, потому что с -- х = (так как а+с>b);
3) b>х, потому что b - х = >0 [2].
Приложение 5
Психологические методики
МЕТОДИКА “ОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АНАЛОГИЙ” [9]
Под №1 слева написано два слова: сверху лошадь, внизу жеребенок. Какая между ними связь? Жеребенок - детеныш лошади. А справа под №1 тоже одно слово корова, а снизу 5 слов на выбор. Из них нужно выбрать только одно, которое будет так же относиться к слову корова, как жеребенок к лошади, т.е. чтобы оно обозначало детеныша коровы. Это будет теленок. Подчеркиваем слово теленок. Итак, нужно сначала установить, как связаны между собой слова, написанные слева, и затем установить такую же связь справа. Так же решаются все задачи.
|
1. Лошадь |
Корова |
|
|
Жеребенок 2. Школа |
Пастбище, рога, молоко, теленок, бык Больница |
|
|
Обучение 3. Яйцо |
Доктор, ученик, учреждение, лечение, больной Картофель |
|
|
Скорлупа 4. Ложка |
Курица, огород, капуста, суп, шелуха Вилка |
|
|
Каша 5. Коньки |
Масло, нож, тарелка, мясо, посуда Лодка |
|
|
Зима 6. Ухо |
Лед, каток, весна, лето, река Зубы |
|
|
Слышать 7. Собака |
Видеть, лечить, рот, щетка, жевать Щука |
|
|
Шерсть 8. Пробка |
Овца, ловкость, рыба, удочки, чешуя Камень |
|
|
Плавать 9. Чай |
Пловец, тонуть, гранит, возить, каменщик Суп |
|
|
Сахар 10. Дерево |
Вода, тарелка, крупа, соль, ложка Рука |
|
|
Сук 11 Дождь |
Топор, перчатка, нога, палец, работа Мороз |
|
|
Зонтик 12. Песня |
Палка, холод, сани, зима, шуба Картина |
|
|
Глухой 13. Нож |
Хромой, слепой, художник, рисунок, больной Стол |
|
|
Сталь 14. Рыба |
Вилка, дерево, стул, пища, скатерть Муха |
|
|
Сеть 15. Утро |
Решето, комар комната, жужжать, паутина Зима |
|
|
Ночь 16. Птица |
Мороз, день, январь, осень, сани Человек |
|
|
Гнездо |
Люди, птенец, рабочий, зверь, дом |
КЛЮЧ К МЕТОДИКЕ “ОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АНАЛОГИИ”
1. Теленок 2. Лечение 3. Шелуха 4. Мясо 5. Лето 6. Жевать 7. Чешуя 8. Тонуть 9 Соль 10. Палец 11. Шуба 12. Слепой 13. Дерево 14. Паутина 15. Осень 16. Дом.
МЕТОДИКА “ЛОГИЧНОСТЬ” [9]
Вы получили бланк с 20-ю заданиями. Каждое из заданий представляет собой умозаключение, состоящее из 2-х взаимосвязанных суждений и вытекающего из них вывода. Требуется определить, какие выводы правильные, а какие ошибочные.
БЛАНК ЗАДАНИЙ К МЕТОДИКЕ “ЛОГИЧНОСТЬ”
Все металлы проводят электричество. Ртуть - металл. Следовательно, ртуть проводит электричество.
Все арабы смуглы. Ахмед смугл. Следовательно, Ахмед - араб.
Некоторые капиталистические страны - члены НАТО. Япония - капиталистическая страна. Следовательно, Япония - член НАТО.
Все Герои России награждаются Золотой звездой Героя. Иванов награжден Золотой звездой Героя. Следовательно, Иванов - Герой России.
Все сочинения Пушкина нельзя прочесть за одну ночь. “Медный всадник” - сочинение Пушкина. Следовательно, “Медный всадник” нельзя прочесть за одну ночь.
Лица, занимающиеся мошенничеством, привлекаются к уголовной ответственности. Л. мошенничеством не занимался. Следовательно, Л. не привлечен к уголовной ответственности.
Все студенты высшей школы изучают логику. Смирнова изучает логику. Следовательно, Смирнова - слушатель высшей школы.
Некоторые студенты МГУ - бывшие военнослужащие. Петров - студент МГУ. Следовательно, Петров - бывший военнослужащий.
Все хлебопекарни г. Кирова выполнили дневной план производства. Хлебопекарня ЧП Сидорова не является хлебопекарней г. Кирова. Следовательно, хлебопекарня ЧП Сидорова не выполнила дневной план производства.
Некоторые работники 2-го управления - юристы. Фомин - юрист. Следовательно, он работник 2-го управления.
Все граждане России имеют право на труд. Иванов - гражданин России. Следовательно, Иванов имеет право на труд.
Все металлы куются. Золото - металл. Следовательно, золото куется.
Все коренные жители Конго - негры. Мухаммед - негр. Следовательно, Мухаммед - житель Конго.
Все студенты Ленинградского университета изучают историю России. Н. Изучает историю России. Следовательно, Н. - студент Ленинградского университета.
Когда идет дождь, крыши домов мокрые. Крыши домов мокрые. Следовательно, идет дождь.
Подобные документы
Общая характеристика развивающегося математического мышления школьников. Основные компоненты математического мышления и дидактические пути их развития у учащихся. Развитие логического мышления в геометрии. Задачи преподавания геометрии в средней школе.
дипломная работа [3,2 M], добавлен 21.05.2008Традиции математического образования в различные исторические эпохи, воспитательное значение предмета. Анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме логического мышления школьника. Подбор задач для развития логического мышления.
дипломная работа [73,9 K], добавлен 07.12.2011Общая характеристика одаренных учащихся 7-9 классов. Рассмотрение основных компонентов и уровней развития логического мышления. Подбор системы задач, эффективно развивающих некоторые аспекты логического мышления на уроках геометрии в данной гимназии.
курсовая работа [361,6 K], добавлен 29.09.2014Понятие логического мышления. Особенности развития логического мышления младших школьников. Педагогические условия развития логического мышления на уроках математики. Принципы изучения геометрического материала. Анализ учебной математической литературы.
дипломная работа [241,5 K], добавлен 16.05.2017Роль задач в процессе обучения школьников в школьном курсе геометрии. Роль ключевых задач в системе обучающих задач в школьном курсе. Методы отбора ключевых задач по изучаемой теме. Медиана, проведенная к гипотенузе. Свойство биссектрисы и ее длина.
курсовая работа [458,5 K], добавлен 30.01.2014Особенности развития логического мышления младших школьников. Разработка комплекса заданий по математике, направленных на развитие логического мышления младших школьников. Методические рекомендации и результаты констатирующего, формирующего эксперимента.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 30.03.2016Современные психодинамические аспекты логического мышления младших школьников. Виды и формы дидактического материала по математике в 4 классе средней школы. Эмпирическое исследование развития логического мышления младших школьников на уроках математики.
дипломная работа [940,1 K], добавлен 09.03.2015Понятие и содержание, а также особенности развития логического мышления младших школьников. Используемые в данном процессе педагогические методы и приемы. Средства развития логического мышления детей младшего школьного возраста на уроках математики.
дипломная работа [593,0 K], добавлен 18.09.2017Особенности логического мышления младших школьников. Постановка обучения математике в начальной школе по развивающей системе Л.В. Занкова. Подход к решению простых и сложных задач при обучении учащихся первого класса. Объяснение порядка записи решения.
реферат [79,1 K], добавлен 28.02.2012Сущность развития логического мышления детей среднего школьного возраста. Обучение учащихся решению нестандартных задач на уроках математики. Построение системы нестандартных задач, направленных на развитие логического мышления учащихся 5-6 классов.
дипломная работа [112,6 K], добавлен 11.06.2014
