Особенности развития одарённых детей в процессе обучения математике в 5-6 классах

Началом современного этапа реформы математического образования в нашей стране является 1989 г., когда Госкомитетом СССР по народному образованию была разработана в русле перестройки школы новая Концепция общего среднего образования [20]. В 1993 г. был утвержден базисный учебный план и разработан проект «Стандарта среднего математического образования», в котором требования к математической подготовке учащихся задаются в двух уровнях - «уровне возможностей» и «уровне обязательной подготовки» в виде типовых заданий и процедур оценивания их выполнения учащимися. Как отмечает Т. А. Иванова [26], требования этого стандарта частично отражают и гуманитарный потенциал школьного курса математики, но важнейшие его аспекты не являются результатами обязательного усвоения, содержание которого определяется лишь умением решать типовые задачи.

Опубликованный в 1996 г. проект нового Стандарта, ставший победителем на Всероссийском конкурсе [21], стал шагом вперед по сравнению с предыдущим. В нем более полно раскрываются гуманитарные аспекты образовательной области «Математика» и в соответствии с ними сформулированы цели обучения математике такие, как «интеллектуальное развитие обучающихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценного функционирования в обществе, формирование представлений об идеях и методах математики как части общечеловеческой культуры, как форме описания и методе познания действительности, понимание значимости математики для общественного прогресса» [31].

В новой Концепции математического образования для 12-летней школы [46] отмечается гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, обучение математике ориентировано не столько на собственно математическое образование, в узком смысле слова, сколько на формирование личности с помощью математики. Целью учебного предмета «Математика» провозглашается формирование и развитие мышления, способности к абстрагированию; формирование важнейших качеств личности (логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления - такие, как сила и гибкость, конструктивность и критичность и т. д.). В качестве основополагающего принципа концепции математического образования на первый план выдвинут принцип приоритета развивающей функции в обучении математике.

Действующая программа по математике для общеобразовательных учреждений в разделе «Требования к математической подготовке учащихся» также задает два уровня: уровень возможностей и уровень обязательной подготовки предусматривает возможность изучения содержания курса с различной степенью полноты. Одной из целей обучения в школе программа ставит интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе [46, с.8-10].

Следует заметить, что ни в одной программе нет специального акцента на развитие именно одаренных (способных) детей.

Проанализируем учебники математики для 5-6 классов общеобразовательных школ на содержание в них материала, подходящего для развития одаренных учащихся.

В настоящее время в большинстве средних общеобразовательных школ используется учебник математики для 5-6-х классов под редакцией Н. Я. Виленкина. Учебники и учебные пособия под редакцией Н. Я. Виленкина [37, 38] имеют целью развитие наглядно-образного и абстрактно-логического мышления. В учебниках имеются задания, предусмотренные стандартом образования, достаточное количество упражнений, необходимых для усвоения детьми изучаемого материала. В разделе «Упражнения для повторения» выделена рубрика «Развивайте свои способности», обозначенная славянской буквой «мыслете» (задачи повышенной трудности, игры и упражнения, специально рассчитанные на развитие мышления, памяти, внимания). Они позволяют выявить учеников с недостаточно сформированным или неустойчивым вниманием, неразвитой оперативной памятью и позволяют развивать сообразительность, умение находить закономерности, развивать пространственное воображение. Но количество такого материала мало для ребят одаренных, увлеченных математикой, хотя и достаточно для учащихся, не обладающих высокими математическими способностями. Теоретический материал, способствующий умению говорить правильно, отмеченный под рубрикой Г - «глаголь» позволяет развивать и обогащать лексикон учащихся. Наличие в учебнике достаточно большого количества исторического материала, причем изложенного в очень доступной форме и иллюстрированного картинками, позволяет повышать познавательный интерес учащихся, развивать воображение, память, мышление.

Учебник коллектива авторов: Г. В. Дорофеева, С. Б. Суворовой и др. под ред. Г. В. Дорофеева (в комплекте с рабочими тетрадями, дидактическими материалами с разноуровневыми упражнениями, задачами на смекалку и книгой для учителя) [35, 36, 34, 33] уделяет внимание формированию вычислительной культуры, делает акцент на обучение приемам прикидки и оценки результатов действий и логическим приемам решения текстовых задач. Изменен подход к изложению геометрического материала - представлена наглядно-деятельностная геометрия, направленная на расширение геометрического кругозора учащихся. Включен новый для российской школы материал - элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Каждый раздел завершается рассмотрением методов решения задач из этого раздела и двухуровневой системой упражнений. В конце каждой главы в пункте «Для тех, кому интересно» предлагается необязательный материал, углубляющий или расширяющий знания учащихся проявляющих интерес к математике. В конце каждой главы предусмотрены вопросы и задачи для повторения. По печатным тетрадям Г. В. Дорофеева учащиеся знакомятся с большинством изучаемых в курсе математики 5-6 классов отношений и свойств, некоторыми сведениями из системного курса математики, овладевают основными логическими операциями сравнения, поиска закономерностей, классификации и т. д. Изложение материала этих учебников по математике характеризуется краткостью, сжатостью, мелкой рубрикацией, последовательностью расположения и как следствие - связью с изученным раннее учебным материалом. Это способствует удобному проведению различных видов обобщений.

В учебнике математики для 5-6 классов авторов Г. В. Дорофеева и Л. Г. Петерсон реализуется деятельностный подход в обучении математике. Одним из принципов такого подхода является принцип минимакса: содержание образования предлагается на творческом уровне (уровне «максимума»), а административный контроль его усвоения - на уровне стандарта («минимума»). Таким образом, принцип минимакса является саморегулирующимся механизмом разноуровнего обучения; в месте с тем он означает, что решение всех заданий из учебника всеми учениками не является обязательным, каждый получает шанс тренировать свои способности в соответствии со своим выбором. В содержание учебника включен такой материал, как: элементы математической логики, задачи на метод проб и ошибок, метод перебора, различные системы счисления (в качестве дополнительного параграфа в 6 классе), геометрический материал (геометрические фигуры на плоскости и в пространстве, симметрия фигур). Задачи, обозначенные буквой С, - это задачи на смекалку, предлагаются авторами в конце каждой темы. Учебник ориентирован на развитие мышления и творческих способностей школьников [16, 17, 18, 32]. Учитывая все вышесказанное, следует отметить, что данный комплект учебников целесообразно использовать для реализации развития одаренных детей в процессе обучения математики.

Главным отличием учебника математики для 5-6 классов С. М. Никольского и др. «Арифметика» является наличие в конце каждой из глав пунктов под названием «Исторические сведения» и «Занимательные задачи». Использование на уроках исторического материала позволяет повышать познавательный интерес учащихся, расширять их кругозор, повышать математическую культуру. Среди занимательных задач, предлагаемых авторами учебника, присутствует достаточно много задач олимпиадных, нестандартных, которые можно использовать при работе со способными учащимися. Кроме того, все задачи дифференцируются по трем уровням сложности: легкие, средней трудности и задачи «со звездочкой» (повышенного уровня сложности). Таким образом, учебник вполне удобно использовать при обучении способных детей в качестве дополнительного источника занимательных задач [3].

Учебник математики для 5-6 классов А. Г. Мордковича и И. И. Зубаревой только начинает внедряться в школы [23, 24]. Знакомство с новым материалом в учебнике осуществляется в большинстве случаев через систему заданий (такие задания отмечены буквой У), т. е. Изучения нового начинается с проблемной ситуации, что значительно облегчает подготовку учителя к уроку. Среди задач, есть задачи повышенной трудности, отмеченные знаком *, по замыслу авторов, однако, они предназначены не только для работы с сильными детьми, но и, при, правильной организации учебного процесса, для всех учащихся. Главное отличие учебника состоит в сдвиге некоторых тем, связанных с обыкновенными дробями из курса 6-го класса в курс 5-го класса, усилением геометрической линии, а также включением в курс 5-6 классов представлением о комбинаторике, теории вероятностей и статистики. Учебник рассчитан на учащихся с достаточно высоким уровнем подготовки, в частности на детей, обладающих математическими способностями.

Основными принципами учебного комплекта «Математика, 5-6 классы» («Учебник-собеседник» и рабочие тетради не только с тренировочными упражнениями, но и с математическими играми и занимательными задачами) коллектива авторов Л. Н. Шеврина и др. [39] является учет особенностей психологического развития учащихся, опора на жизненные ситуации, организация внутри учебника диалога с читателем, необычное, увлекательное изложения. Через всю книгу проходит линия уроков под названием «Учимся рассуждать при решении задач». Учебник построен в занимательной, игровой форме, представляет собой путешествие пытливого ученика Смекалкина по стране Математика. Но данный учебник скорее предназначен для работы с учащимися средних способностей, поскольку не оснащен достаточным количеством трудных, нестандартных задач, необходимых для развития одаренных учащихся.

Математическое развитие ученика в возрасте 10-12 лет происходит в рамках своеобразного треугольника: «число - фигура - слово», где две последние составляющие хорошо выражены в учебнике «Наглядная геометрия» для учащихся 5-6 классов И. Ф. Шарыгина и Л. Н. Ерганжиевой [59], в основе которого лежит авторская концепция геометрического образования и его значения в интеллектуальном, творческом развитии человека. Существенные отличия данного курса от традиционного: а) геометрический материал играет самостоятельную роль; б) фузионизм, т. е. объединение изучения плоских фигур и пространственных тел; в) установка на разнообразие и регулярное изменение видов учебной деятельности - наблюдение, конструирование, экспериментирование и т.д., в результате которой учащиеся самостоятельно добывают знания и развивают специальные качества и способности. Данный курс способствует развитию интуиции и пространственного воображения, располагает большими возможностями для эмоционального, эстетического и духовного развития человека. Развитие указанных качеств, безусловно, очень важно при формировании личности ребенка и его умственном развитии, но, несмотря на это, учебник не достаточно снабжен материалом, необходимым для развития одаренных учащихся.

Выводы

Итак, на настоящий момент, существует большое количество различных учебников математики для 5-6 классов. Хотя, в большинстве общеобразовательных школ страны используется учебник Н. Я. Виленкина, во многих школах начинается внедрение учебников других авторов, имеющих новый подход к содержанию образования. Появилось несколько учебников, которые удобно и целесообразно использовать при работе со способными учащимися. Но, анализируя вышерассмотренные учебники, можно обозначить тот факт, что не один из представленных учебников не содержит соответствующего набора задач (см. таблица 2), необходимых для развития математических способностей. Современные образовательные стандарты, программы и учебники по математике для 5-6 классов в той или иной степени раскрывают гуманитарный потенциал математики, показывают некоторые ее практические приложения, содержат определенный материал, направленный на развитие учащихся средствами математики. В то же время в них не выделены элементы учебного материала и задач, цель которых - развитие именно одаренных детей средствами математики.

Выводы по первой главе

1. Одаренным является ребенок, обладающий такими чертами, как: познавательная потребность, развитость творческого мышления и воображения (креативность), высокий уровень интеллекта. Главными признаками математических способностей являются: способность к обобщению; логичность и формализованность мышления; гибкость и глубина, систематичность, рациональность и аргументированность рассуждений; «сильная» память. Понятия «одаренность» и «способности» тесно связаны между собой и часто определяются одно через другое, поэтому можно считать их синонимичными.

2. При выявлении одаренных детей более целесообразно использовать комплексный подход, включающий множество оценочных определителей одаренности (тесты, наблюдения, эксперимент, опрос и др.), в отличие от подхода, основанного на системе единой оценки, включающей лишь исследование уровня интеллекта ребенка. Кроме того, выявление и диагностика одаренности - сложная задача, требующая привлечения квалифицированных специалистов разных областях.

3. Существует несколько подходов к выявлению-развитию детской одаренности. Стержневым моментом, объединяющим все теоретические позиции, является подход к одаренности как к процессу целостного развития личности и сознания одаренных детей, реализующего творческий потенциал их развития. Для создания условий развития такого потенциала есть два способа: обогащение и ускорение традиционного образовательного процесса. При работе с одаренными детьми целесообразно учитывать принципы индивидуализации, дифференциации и исследовательского обучения. Основные психолого-педагогические методы развития одаренных детей, входящие в обогащение и ускорение образовательного процесса должны включать решение специальных математических и учебных задач, формирование ориентировочной основы умственных действий при решении задач, эвристические, игровые, проблемные и активные методы обучения.

4. Основными проблемами при работе педагога с одаренными детьми является отсутствие психологической помощи, отсутствие специальной методической литературы и специальных дидактических материалов. Говоря об обучении одаренных детей, мы подразумеваем развивающее обучение, но отмечаем, что в настоящее время не существует целостной системы, которая составляла бы часть методической системы и, в частности, системы развития одаренных способностей учащихся в процессе обучения математике в общеобразовательной школе.

5. На современном этапе существует множество учебников, которые удобно и целесообразно использовать при работе со способными учащимися. Но, анализируя вышерассмотренные учебники, можно обозначить тот факт, что не один из представленных учебников не содержит соответствующего набора задач (см. таблица 2), необходимых для развития математических способностей.

6. Специализированные школы и классы, конкурсы и олимпиады по математике получили большое распространение в нашей стране, но, как показывают исследования, они не решают всех проблем развития одаренных детей. Решение проблем таких детей - задача общеобразовательной школы.

7. Подготовка конкретных методических разработок, направленных на развитие одаренных детей при обучении математики непосредственно в средней общеобразовательной школе является очень актуальной задачей. Подготовке таких разработок посвящена вторая глава данной работы.

Глава 2. Методические аспекты развития одарённых учащихся в процессе обучения математике в 5- 6 классах

§ 1. Проектирование целей обучения математике, направленных на развитие одаренных учащихся

На основе теории, рассмотренной в первой главе можно сформулировать следующие основные положения методики развития одаренных детей в процессе обучения математике:

- Диагностика развития одаренных учащихся должна осуществляться на основе системы комплексной оценки. Результаты диагностики должны использоваться в обучении для учета результатов и коррекции методики развития учащихся.

- Развитие одаренных учащихся средствами учебного предмета, в первую очередь, означает развитие в процессе обучения их общих познавательных способностей до высокого уровня, поэтому не только учебные, но и развивающие цели обучения математике должны быть дифференцированы.

- Проектирование целей развития одаренных учащихся должно осуществляться через соотнесение общих целей развития учащихся в процессе обучения математике с компонентами математических способностей и качествами математического мышления.

- Система целей развития одаренных детей предполагает построение адекватной ей системы математических и учебных задач, используемых в процессе применения выбранных методов обучения.

- Развитие одаренных учащихся возможно в общеобразовательной школе в условиях дифференцированного обучения математике. После дифференциации развивающих целей обучения должна осуществляться дифференциация обучения по следующим направлениям: а) по уровню развития, что осуществляется через решение одаренными учащимися соответствующих учебных и математических задач; б) по типу мышления (левополушарному - словесные, дедуктивные, алгоритмические методы обучения, правополушарному - наглядно-интуитивные, индуктивные); в) по методам обучения на различных его этапах, выделенных в психолого-педагогических исследованиях [54]: на первом - эмпирические, наглядные и практические методы, развивающие пространственные представления и воображение; на втором - проблемные и исследовательские, развивающие мышление; на третьем - решение нестандартных задач, развивающих математические способности. Развитие ученика означает его переход от низкого к среднему и затем высокому уровню познавательных процессов и других компонентов способностей.

- Внеклассная работа показывает принципиальную возможность такой дополнительной организации их деятельности, при которой исчезают многие негативные явления этого возраста. Внеклассная работа по математике должна быть направлена, во-первых, на развитие общего кругозора, общих способностей и интереса к занятиям математикой, которая в значительной степени способствует этому развитию. Во-вторых, и особенно, для учащихся высокого уровня развития - это такие традиционные формы работы, как решение нестандартных (олимпиадных) задач, участие в олимпиадах, конкурсах и т.д.

Проектирование целей обучения математике, направленных на развитие одаренных учащихся

Общие развивающие цели обучения математике (высокого уровня) соотнесены с компонентами математических способностей и качествами математического мышления, а также с соответствующими им типами математических и учебных задач в таблице 2. Следует отметить, что многие типы задач служат для развития нескольких целей (компонентов математических способностей, качеств математического мышления) и поэтому повторяются. Это соотнесение является основой конструирования системы задач при изучении каждой конкретной темы курса. Общие категории развивающих целей в нашей работе конкретизированы для курса математики 5-6 классов, основу которого составляет курс арифметики.

Изучение арифметики имеет общей целью формирование у учащихся знаний о числах и действиях с ними, вычислительных умений и их использование для решения практических задач, вычислительной и алгоритмической культуры. В настоящее время это предполагает также знакомство учащихся с элементами финансовой математики, самообразовательные умения в работе с различными, в том числе электронными средствами вычислений. Содержание курса арифметики в школе позволяет ставить цели развития у учащихся познавательных процессов - внимания, восприятия, памяти, представления, воображения, мышления (особенно такие мыслительные операции, как сравнение и первичное обобщение, первичный анализ и синтез, классификация и конкретизация; формулировка математических суждений (правил, алгоритмов), индуктивные умозаключения), а также речи и умения учиться.

Характерными качествами мыслительной деятельности в данном случае являются: ее алгоритмический стиль, обобщение и поиск закономерностей, что развивает соответствующие качества ума (глубину, гибкость, самостоятельность, осознанность, устойчивость), вычислительную культуру, элементы творческой деятельности.

Близкая связь арифметического материала с реальной человеческой практикой и внутренними потребностями математики позволяет ставить цели развития элементов научного мировоззрения. Курс арифметики обладает большим гуманитарным потенциалом; это - история арифметики, исторические и занимательные задачи, текстовые арифметические задачи самого разного содержания (например, краеведческого, экологического, валеологического, литературного и т.д.), что дает возможность ставить цели воспитания и развития интереса к математике и учебной деятельности в целом, общей культуры (гуманитарной, экологической и т.д.), культуры общения, чувства прекрасного, профессиональную ориентацию.

Таким образом, основной целью развития одаренных детей является воспитание всесторонне развитой, творческой, активной личности, являющейся потенциальным вкладом в научное развитие страны.

§2. Построение системы задач, направленных на развитие способностей учащихся в процессе обучения математике

В таблице 2 систематизированы основные типы математических и учебных задач, направленных на развитие определенных компонентов способностей и образующих систему, адекватную системе развивающих целей обучения математике. В данном параграфе приведена иллюстрированная примерами методика построения системы таких задач для курса арифметики 5-6 классов, которые использованы нами в экспериментальной работе. Система задач строится на основе классификации по нескольким основаниям:

1) Из нашего анализа (первый столбец таблицы 2) следует первое и системообразующее основание - по категориям целей. При этом одна и та же математическая задача может служить достижению нескольких конкретных развивающих целей, переформулироваться (конкретизироваться, специализироваться или обобщаться) в зависимости от математического содержания и уровня и, следовательно, быть компонентом нескольких развивающих задач. В то же время та или иная конкретная развивающая цель может быть достигнута несколькими предметными и учебными задачами.

2) Из того же анализа (последние два столбца таблицы 2) следует второе основание - по типам задач, соответствующим категориям целей и компонентам способностей.

3) От математического содержания задач исходит следующее основание классификации - по темам школьной программы. В приведенных ниже примерах содержатся задачи по темам «Натуральные числа» и «Обыкновенные дроби».

4) По уровням обученности и развития. Тогда согласно [20], I уровень - низкий, минимальный (задания на различение, узнавание, припоминание, соотнесение, понимание на простом материале и на простейшие умения), при котором требуется узнать ситуацию применения простейших математических умений алгоритмического типа и использовать их, т.к. развитие ученика в процессе специально организованного обучения мы понимаем как постепенный его переход от низкого к среднему и затем высокому уровню обученности, познавательных процессов и других компонентов способностей, то многие необходимые для обучения типы задач для развития способностей, как задачи высокого уровня, могут оказаться трудными для большинства учащихся и должны быть, поэтому дифференцированы для начала работы.

IIуровень - средний, обязательный (задания на различение, воспроизведение информации и понимание на более сложном материале, применение знаний по образцу и в типичных ситуациях).

IIIуровень - уровень возможностей (задания на применение обобщенных и системных знаний, на перенос знаний и приемов деятельности в неизученные ситуации).

Например, рассмотрим, которая по уровням обученности и развития может быть представлена следующим образом:

Iуровень.

1)На протяжении 155м уложено 25 труб. Определите длину одной трубы.

IIуровень.

1) На протяжении 155м уложено 25 труб длиной по 5м и 8м. Сформулируйте вопрос к данной задаче. (Сколько уложено тех и других труб).

В 9 часов утра на расстоянии 155м строителями уложено 25 труб. (Исключите лишние данные в задаче).

Если длина одной трубы 5 м, то чтобы протянуть трубопровод длиной 155м

необходимо использовать 25 труб. Установите истинность или ложность

данного утверждения.

Составьте аналогичную задачу.

IIIуровень.

Придумайте задачу по следующим данным: 5 м, 8 м, 155 м, 25 штук.

Составьте задачу прямую и обратную данной: на протяжении 155м уложено 25 труб длиной по 5м и 8м. Сколько уложено тех и других труб?

Найдите ошибку в решении данной задачи: 1) 5 + 8 = 13 (м); 2) 13 * 25 = 325 (м). Ответ: всего уложено 325 метров трубы, а не 155 метров.

I уровень, т.к. задача одношаговая; II уровень., т.к. задача требует размышления, обоснования; требует установить истинность или ложность данного утверждения; III уровень, т.к. требуется составить задачу по некоторым данным.

Примеры задач по темам: «Натуральные числа», «Обыкновенные дроби»

Задачи на развитие внимания

1.Тип задачи: Умение выделять существенное

1.1. 3а 40 секунд запомните 20 чисел и их порядковые номера:

1) 13; 2) 12; 3)10; 4) 23; 5) 22; 6) 20; 7) 33; 8) 32; 9) 30; 10) 43; 11) 42; 12) 40; 13)53; 14) 52; 15) 50; 16) 63; 17) 62; 18) 60; 19) 73; 20) 72.

1.2. Вася записывает последовательность чисел. Определите правило, по которому он записывает каждое следующее число и запишите несколько следующих: 12, 31, 24, 12, 51…

(Поставив запятую после каждой третье цифры, ответ становится очевиден).

2.Тип задачи: Задачи с несформулированным вопросом

2.2. В двух кассах магазина находится 14000 рублей. Если из первой кассы переложить во вторую 1500 рублей, то в обеих кассах будет поровну. (Сколько денег было в каждой кассе?).

2.3. У мальчика столько сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев (Сколько братьев и сколько сестер в этой семье?).

3. Тип задачи: Задачи на выделение геометрических элементов и фигур из общего фона

3.1. Разрежьте фигуру (см. рис.) на 5 частей одинаковой формы и одинакового размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному серому квадратику.

Решение.

3.2. Какой фигуры нет на этом рисунке?

A) круга; B) треугольника; C) квадрата

D) прямоугольника; E) все перечисленные фигуры есть.

Упражнения на развитие восприятия

1.Тип задачи: «Поиск информации»

1.1. Дана 100-клеточная таблица, заполненная цифрами (графическими изображениями, геометрическими фигурами разной формы и двух цветов, с набором букв). Задание: подсчитать, сколько раз встречается каждое из чисел от 0 до 9 (сколько раз встречается тот или иной знак, фигура, цвет и т.п.).

2.Тип задачи: Задачи на метод «проб и ошибок»

2.1. Между некоторыми цифрами 1, 2, 3, 4, 5 поставить знаки действий и скобки так, чтобы значение выражения было равно 40.

2.2. Ученик переписал числовое выражение 9664 : 32 - 2 · 195 - 37 · 5, значение которого равно 3000. Где в этом выражении должны стоять скобки?

4.Тип задачи: Задачи с неполным составом условия

4.1. Класс получил общие и простые тетради - всего 42 штуки. Общая тетрадь стоит 6 рублей, а простая 1 рубль. Сколько тех и других тетрадей получил класс? (Нужно знать общую стоимость тетрадей).

4.2. В библиотеке всего 6100 книг на французском, английском и русском языках. Французских книг больше английских на 25%. Сколько книг на каждом языке? (Нет данных о количестве книг на каком-нибудь одном языке).

5. Тип задачи: Задача с избыточным составом условия

5.1. На автостоянке находятся 40 машин - автомобили и мотоциклы. У них вместе 100 колес и 40 рулей. Сколько тех и других машин?

6. Тип задачи: Задачи с взаимопроникающими элементами (способность быстрого переключения с одного аспекта восприятия на другой).

6.1. Представьте первые пятнадцать чисел натурального ряда, обходясь лишь одной цифрой 2, применяя ее только 5 раз и используя арифметические действия

(Ответ: 1 = 2 + 2 - 2 - , 2 = 2 + 2 + 2 - 2 - 2, 3 = 2 + 2 - 2 + , 4 = 2 * 2 * 2 - 2 -2, 5 = 2 + 2 + 2 - , 6 = 2 + 2 +2 + 2 - 2 , 7 = 22 : 2 - 2 - 2, 8 = 2 * 2 * 2 + 2 - 2 , 9 = 2 * 2 * 2 +, 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2, 11 = 22 : 2 + 2 - 2, 12 = 2 * 2 * 2 + 2 + 2, 13 = (22 + 2 + 2) : 2, 14 = 2 * 2 * 2 * 2 - 2, 15 = 22 : 2 + 2 + 2.)

Задачи на развитие памяти

1 .Тип задачи: Задачи с различной степенью наглядности решения

1.1. Юля и Саша решили посчитать кусты пионов, которыми был засажен школьный двор. Обход пришкольного участка дети совершили в одном направлении, но считать начали с разных кустов. Пион, который у Юли был восемнадцатым, у Саши он был пятым, а пион, который у Юли был пятым, у Саши был - сорок вторым. Сколько же кустов пионов росло вокруг пришкольного участка? Объясни числовые равенства: 1) 18 + 5 = 13 (л);

2) 42 +8 = 50 (л); откуда возникло при решении число 8?

2. Тип задачи: Задачи в словесном и наглядном оформлении

2.1 .Пятиклассники поехали отдыхать летом в оздоровительный лагерь. В первый автобус село 23 человека, а во второй на 5... . Продолжи задачу так, чтобы условие соответствовало бы данному рисунку.

1.

2. ?

3.

3. Тип задачи: «Запомни сразу»

3.1. а) комод, балда, букет, кладь, бритва, ковер; б) 246, 758, 371, 623, 782, 735; в) Боря, Даша, Нина, Алик, Вика, Женя (задания в виде игры).

4. Тип задачи: Задачи со сложным для запоминания условием

4.1. В первый день со склада отгрузили 2/11 находящегося там картофеля, во второй день вдвое больше, в третий день 1/5 остатка, после чего осталось 48 тонн. Сколько картофеля было на складе?

5.Тип задачи: Задания на выявление соотношения наглядно-образных, и словесно- логических компонентов интеллектуальной деятельности

5.1. 1-ая часть задания: рассмотреть образец в течение 3 секунд; 2-ая часть задания: узнать его среди 10 предъявленных ему весьма

сходных изображений (10 секунд) и описать его признаки.

6.Тип задачи: Задача с несколькими решениями

6.1. Прямоугольник 3 х 5 разграфлен на 15 одинаковых квадратов и центральный квадрат удален. Найдите 5 способов разрезания оставшейся фигуры на 2 равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадрата.

Задачи на развитие представления и воображения

1. Тип задачи: Задачи в словесном и наглядном оформлении

1.1. Прямоугольник разрезали на три одинаковых квадрата, сумма периметров которых 24 см. Найдите площадь исходного прямоугольника. а) 16 см²; б)6 см²; в)18 см²; г)12 см².

1.2. В квадрате 4 х 4 расставьте цифры от 1 до 4 так, чтобы в каждой строке и по главным диагоналям каждая из названных цифр встречалась бы один раз.

Ответ: 2 4 1 3

1 3 2 4

3 1 4 2

4 2 3 1

1.3. . Фигуры P, Q, R и S - квадраты. Периметр квадрата P равен 16 м,

а периметр квадрата Q равен 24 м. Чему равен периметр квадрата S ?

2. Тип задачи: Задачи с различной степенью наглядности

2.1. Можно ли замостить плоскость данной фигурой?

3. Тип задачи: Задачи на «фантастические гипотезы»

3.1. Что произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?

4. Тип задачи: Творческие задачи

4.1. Придумай сказку, решением которой будет выражение 53 - 4 - 11 + 5.

4.2. Составить описание, нарисовать картину о том, что произойдет, если в мире что-либо изменится. «Если бы...: а) все объемные геометрические фигуры превратились в плоские; б) хищники стали травоядными; в) все люди переселились на Луну; и т.п.».

5. Тип задачи: Гиперболизация (увеличение или уменьшение объекта познания, его отдельные части или качества).

Придумайте самое длинное слово, самое малое число.

Задачи на развитие мышления

Анализ

1. Тип задачи: Задачи на аналитический способ решения

1.1. На двух кустах сидели 16 воробьев. Скоро со второго куста 2 воробья улетели совсем, а затем с первого куста на второй перелетели 5 воробьев. После этого на каждом кусте оказалось одно и то же число воробьев. Сколько воробьев было на каждом кусте вначале?

1.2. У двух зрячих один брат слепой, но у слепого нет зрячих братьев. Как это может быть? (Ответ: это сестры).

2. Тип задачи: Задачи на перестройку действия

2.1. Третью часть пути турист прошел пешком, 2/5 оставшегося расстояния проехал на велосипеде, после чего ему осталось преодолеть еще 120 км. Найди запланированный путь туриста.

3 .Тип задачи: Задачи с несколькими решениями

3.1. На складе хранились яблоки в ящиках по 6 кг, 8 кг и 10 кг. Кладовщик должен отпустить для школы 100 кг яблок целыми ящиками, не вскрывая ни одного из них. По скольку ящиков каждого веса он должен брать, чтобы получилось ровно 100 кг (Рассмотри 10 способов решения этой задачи и запиши их)?

4. Тип задачи: Задачи с меняющимся содержанием

4.1. За 1 час Вася прочитал четверть всех страниц книги. Сколько страниц осталось ему почитать, если в книге 184 страницы? Составь задачу обратную данной.

4.2. Составьте задачу заданного типа, но другого предметного содержания: у каждого из пяти мальчиков было не меньше одного шара, а всего у них было 7 шаров. Мог ли кто-либо из них иметь: а) 3 шара? б) 4 шара?

Синтез

1. Тип задачи: Задачи на соединение

1.1. Предлагается пять равносторонних ромбов с углами по 60є и 120є, расположенных раздельно, в беспорядке. Что получиться в результате (соединения) синтеза этих пяти равносторонних ромбов? (Ответ: в результате соединения (синтеза) этих пяти фигур получится пятиконечная звезда)

2. Тип задачи: Комбинаторные задачи

2.1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? (Ответ: 25 чисел).

2.2. Мальчик собрал в коробку пауков и жуков - всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги. Сколько же в коробке пауков и сколько жуков? (У жука 6 ног, у паука 8 ног). Ответ: 5 жуков, 3 паука.

2.3. Расставьте числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 в вершины прямоугольного параллелепипеда так, чтобы сумма четырех чисел, расположенных на каждой из шести граней параллелепипеда, была одинаковой.

3 .Тип задачи: Задачи с несколькими решениями

3.1. Решите анаграммы, дающие два решения, одно из которых - математический термин:

КТЕОВР, ОУНСК, РТСКЕО.

Сравнение

1. Тип задачи: Задачи на выделение существенного

1.1. Найдите общие признаки у чисел: а) 25 и 52; б) 25 и 35; в) 3333 и 444; г) 7 и 19; д) 8 и 192; е) 3 и 711; ж) 201 и 20101.

1.2. Найдите принцип «устройства» ряда и продолжи этот ряд:

а) 1, 1, 2, 3, 5, ... ; б) д, ж, з, к, ....

1.3. Вставьте пропущенное число:

а) 19/30/11 23/../27 6)7/91/13 8/../3 в) 283/81/431 526/../783.

1.4. Установите, чем с точки зрения математики отличаются и чем похожи слова: кот и ток; рост и сорт; клоун и уклон; приказ и каприз?

2. Тип задачи: Задачи, наталкивающие на самоограничение

2.1. Всем членам семьи сейчас 73 года. Состав семьи: муж, жена, дочь и сын. Муж старше жены на 3 года, дочь старше сына на 2 года. Четыре года тому назад всем членам семьи было 58 лет. Сколько лет теперь каждому члену семьи? (Часто считают, что задача составлена неправильно, т.к. 4 года тому назад всем четырем членам семьи должно было быть на 16 лет меньше, а не на 15. Учащиеся не учитывают того, что это указывает на то, что самого младшего члена семьи 4 года назад еще не было)

Обобщение

1. Тип задачи: Задачи с постепенной трансформацией из конкретного в абстрактный

1.1. Преобразуйте данную задачу из конкретной в абстрактную и решите: АО «Кама» должен был выпустить 100 детских велосипедов и поэтому наметил изготовлять по 4 велосипеда в день. Но рабочие перевыполнили план и изготовляли ежедневно на 1 велосипед больше, чем планировалось. На сколько дней раньше срока завод выполнил заказ?

4. Тип задачи: «Нереальные» задачи (Примечание: термин задач введен В. А. Крутецким.)

4.1. Пароход весь путь от А до Б (по течению) и обратно (против течения) шел с максимальной скоростью. Фактически, ввиду наличия течения, скорость его была различной: от А до Б он шел со скоростью 20 км /час, а обратно со скоростью 30 км/час. Какова его средняя скорость за весь путь?

5. Тип задачи: Образование искусственных понятий

5.1. Длина комнаты а м, ширина и высота по b м. Каков объем п таких комнат?

5.2. Длина комнаты 6 м, ширина 3 м, высота с м. Каков объем Р таких комнат?

6.Тип задачи: Составление задач заданного типа

6.1. Составьте задачу заданного типа, но другого предметного содержания: в детском саду 375 детей. Докажите, что среди них обязательно найдутся хотя бы два ребенка, которые отмечают свое рождение в один и тот же день.

6.2. Решите данную задачу и составьте задачу заданного типа. В коробке лежат карандаши: 4 красных и 3 синих. В темноте берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее одного синего?

Абстрагирование и конкретизация

1.Тип задачи: Задачи на общие рассуждения

1.1. Объясните, почему сложение в столбик дает правильный результат?

₊351

232

583

Решение: 351 + 232 = (300 + 50 + 1) + (200 + 30 + 2) = (3 · 100+ 5 · 10 + 1) + (2 · 100 + 3 · 10 + 2) = (3 · 100 + 2 · 100 ) + (5 · 10 + 3 · 10 ) + (1 + 2) = 5 · 100 + 8 · 10 + 3 = 583 (свойства десятичной нумерации; разложение на разрядные слагаемые; сочетательный и переместительный законы сложения; распределительный закон умножения, табличное сложение; свойства десятичной нумерации).

2. Тип задачи: Взаимообратные задачи

2.1. Прямая. В бак влили 16 литров воды, и при этом бак наполнился на 2/5 своего объема. Каков объем бака?

Обратная. В бак вместимостью 80 литров влили воды до 2/5 его объема. Сколько литров воды влили в бак?

2.2. Прямая. Площадь прямоугольника равна 48 см². Чему равна длина прямоугольника, если она больше ширины в 3 раза?

Обратная. Длина прямоугольника равна 12 см. Найдите его площадь, если ширина прямоугольника в 3 раза меньше длины.

3. Тип задачи: Задачи с постепенной трансформацией из конкретного в абстрактный

3.1. Преобразуйте задачу в абстрактную и решите. На швейной фабрике «Москвичка» за месяц производится 2150 женских костюмов. Сколько мужских и женских костюмов производится на фабрике за 3 года, если женские костюмы составляют 3/4 от количества производимых мужских костюмов?

Классификация

1. Тип задачи: Задача на перестройку действия

1.1. Зашифровывая слово «азиат», мы пишем «бикбу». Как таким же шифром написать слово «европеец»?

1.2. Половина пришкольного участка занята садом, 50% остатка огородом, остальная площадь (0,3 га) занята цветами. Какова площадь пришкольного участка?

2. Тип задачи: Задачи на выделение существенного

2.1. Подумайте, что объединяет напечатанные заглавными буквами слова, и отметьте в нижнем ряду слово, которое к ним подходит:

ЧЕТЫРЕ, ВОСЕМНАДЦАТЬ, СТО

а) пять, б) одиннадцать, в) тридцать семь, г) нуль, д) один.

Систематизация

1. Тип задачи: Поиск закономерностей

1.1. Продолжите числовой ряд: 18, 20, 24, 32,.…

1.2. Вставьте пропущенное число:

а)42/47/5 31/?/8; б)36/25/11 48/?/12; в) 6/66/11 5/?/12; г) 48/4/12 100/?/5.

1.3. Вставьте пропущенное

7 (Х - 5) = 14 7/2 14Х - 20 = Х + 6

8Х = 4 (Х + 3) - 4 ? Х + 4 = 9

1.4. Найти цифровое значение букв в этой условной записи сложения многозначных чисел (одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами)

₊смех

гром

греми

1.5. Вставьте пропущенное число.

971 (27) 316

568 (36) 845

203 (?) 149

1.6. Какие из предлагаемых чисел следует выбрать, чтобы вставить в круг?

60% 90% 75% 10% 25% 40%

Умозаключение

1. Тип задачи: Задачи на доказательство

1.1. В школе учится 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдутся два человека, празднующих свой день рожденья в один и тот же день.

1.2. Докажите, что сумма ++++ меньше 1.

1.3. Докажите, что два натуральных числа а и b обладают следующим свойством: либо а, либо b, либо (а + b), либо (а - b) делится на 3.

1.4. Два простых числа называются близнецами, если они являются соседями в ряду всех нечетных чисел. Доказать, что всякое число, находящееся между близнецами и большее 4, делится на 6.

2. Тип задачи: Логические задачи

2.1. В лесу проводился кросс. Одна белка сказала: «Первое место занял заяц, а второй была лиса». Вторая белка сказала: «Заяц занял второе место, а лось был первым». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а вторая - нет. Кто был первым и кто вторым в кроссе?

2.2. В кафе встретились три друга: Желтов, Буров и Краснов. «Как замечательно, что один из нас одет в желтую, другой в бурую, а третий в красную рубашку, но ни у одного из нас цвет рубашки не соответствует нашей фамилии», - заметил человек в красной рубахе. Какого цвета рубашка у Желтова?

Примеры задач, приведенных выше, целесообразно использовать на уроках математики для развития одаренных учащихся. Представленные задачи можно включать в различные этапы урока. Во-первых, на этапе постановки целей учебной деятельности, где задача создает проблемную ситуацию, пробуждает познавательный интерес к изучению математики стимулирует активность детей. Во-вторых, на этапе закрепления и применения изученного, где задачи служат целям формирования умений и навыков математического характера и достижению развивающих целей. В-третьих, для контроля и оценки усвоения, где задачи используются для диагностики усвоения и развития учащихся. Задачи развивающего характера решаются как устно, так и письменно, во время фронтальной, групповой и индивидуальной самостоятельной работы (как в классе, так и дома), служат средством углубления знаний учащихся, развития творческих и исследовательских подходов к решению различных проблем средствами математики.

§ 3. Методические особенности постановки обучения математике в 5-6 классах, направленного на развитие одарённых детей

Под методикой обучения математике, направленной на развитие одаренных детей, мы понимаем систему методов и форм обучения, создающих ситуации достижения развивающих целей обучения с использованием специально разработанной системы задач. При разработке такой методики мы уделяем наибольшее внимание особенностям планирования уроков, направленных на развитие одаренных учащихся и организации деятельности учителя и учащихся на таких уроках.

3.1 Особенности планирования уроков

Особенностью планирования уроков, кроме, традиционного изучения и анализа стандарта математического образования, учебных планов, программ и учебников по математике для 5-6 классов требуется дополнительная работа по анализу развивающего потенциала математического содержания темы, изучению литературы, содержащей материал по развивающему обучению: задачи с развивающими функциями и методы их включения в учебный процесс. Планирование уроков с использованием подготовленных материалов состоит в определении последовательности действий учителя: 1) планирование учебных и развивающих целей урока; 2) отбор содержания урока (не только математического, но и развивающего характера); 3) выбор методов обучения; 4) определение структуры урока и формы его проведения. Дадим характеристику каждому из этих действий учителя.

1) Характерной особенностью планирования развивающих целей урока, является их конкретизация на материале урока. Как показывают теоретические исследования, необходимо специально планировать на уроке формирование интеллектуальной активности учащихся - их внимания, восприятия, памяти, представления и воображения, мышления, элементов творческой деятельности, умения учиться. При этом мы используем основной элемент технологического подхода к обучению - постановку запланированных, диагностируемых целей, выраженных в действиях ученика. В приведенных в параграфе примерах планирования уроков для первого урока показано планирование целей на всех трех уровнях, а для второго и третьего уроков - только на третьем уровне, т.е. целей развития одаренных способных, учащихся. Конкретизация обучающих целей урока определяется программой и стандартами образования, развивающих - возможностями материала темы урока и формой его проведения.

Если отбор математического содержания урока определяется тематическим планированием, то материал развивающего характера определяется необходимостью достижения запланированных развивающих целей урока. Наряду с задачами с развивающими функциями - это краткие сообщения учителя и учащихся, работа с дополнительной литературой, рефераты учащихся исследовательского характера, наглядное представление материала (таблицы, схемы, диаграммы, карты, рисунки и т.п.).

3) Закономерности выбора методов обучения одаренных детей, отмеченные в § 1 данной главы (игровые, наглядные, эвристические, практические, проблемные и исследовательские, развивающие мышление; метод решения нестандартных задач, развивающих тематические способности) представлены по этапам учебного процесса в виде таблицы 3.

4) Определяя роль и место различных форм обучения математике одаренных учащихся, мы ориентировались на развивающие формы обучения. Именно в одной системе с уроком и через урок осуществляется освоение в практике обучения новых организационных форм, их непосредственное использование в образовательном процессе и связанная с этим необходимость внесения корректив в образовательный процесс. Таким образом, использование урока с развивающими функциями в качестве главного связующего элемента в интеграции различных организационных форм для реализации методики развития одаренных детей при обучении математике становится реальным. Главные - интегративные функции отводятся уроку, который синтезирует в себе элементы и других форм изучения математики одаренными детьми.

Таблица 3

	Этапы Учебного процесса	Методы обучения	Типы Задач
		Левополушарные учащиеся	Правополушарные учащиеся
1	Подготовка к изучению нового материала	Методы повторения, Дифференцированные по уровням	На развитие внимания, памяти, речи
		Тестирование, самостоятельное решение задач	Математический диктант, практическая работа проверочного характера, беседа и устный счет с использованием наглядности
2	Изучение нового материала (восприятие и осмысление информации)	Словесные методы (беседа, рассказ, сравнение, анализ, аналогия), проблемные методы	На развитие анализа, сравнения, индукции, дедукции, умения учиться
		Дедуктивные выводы, приемы учебной деятельности как ООД, самостоятельная работа с текстом учебника	Индуктивные выводы, наглядная иллюстрация как ООД, приведение примеров и контрпримеров
3	Закрепление знаний и способов деятельности	Групповая и индивидуальная формы работы с теоретическим материалом и решения задач по уровням	На развитие памяти, речи, обобщения, умения учиться
		Репродуктивные и алгоритмические методы, переноса усвоенных приемов в нестандартной ситуации, классификация изученного	Игровые, практические, исследовательские методы, подготовки докладов и сообщений, выполнение творческих заданий
4	Обобщение и систематизация изученного	Методы обобщения и систематизации	На развитие обобщения, мышления, памяти, мировоззрения
		Словесные, использование схем и символических записей	Игровые, наглядные, эврис- тические, практические, использование опорных конспектов
5	Контроль и оценка	Разноуровневые контрольные работы, диагностирующие, развивающие тесты, взаимоконтроль и самоконтроль, взаимооценка и самооценка	На развитие памяти, умения учиться

Использовать систему развивающих задач можно на уроках любого вида как по способу проведения (беседы, экскурсии, самостоятельная работа учащихся, лабораторные и практические работы), так и по форме проведения - уроки в форме соревнований и игр (конкурс, викторина, эстафета, ролевая игра); уроки, основанные на формах и жанрах общественной практики и публичных форм общения (семинар, исследование, изобретательство, репортаж, рецензия, пресс-конференция, дискуссия, устный журнал); уроки, основанные на имитации какой-либо деятельности (патентное бюро, ученый совет, заочная экскурсия, путешествие в прошлое); с использованием на уроке традиционных форм внеклассной работы (диспут, судебное заседание, спектакль); интегрированные уроки (одновременно по двум предметам, одновременно для учащихся разных возрастов, с элементами историзма и т.д.), сочетание различных форм.

Исходя из вышеизложенного материала, представим возможную организацию деятельности учащихся и учителя на уроке, направленной на развитие одаренных детей.

3.2 Организация деятельности учителя и учащихся на уроке

Основная деятельность учащихся, направленная на развитие средствами математики на каждом этапе урока, состоит в решении специально подобранных математических и учебных задач, которые наиболее целесообразно решать на данном материале и необходимо решать для достижения поставленных целей урока. В решении задачи, особенно, развивающего характера, самым важным является этап поиска решения, обладающий неограниченными возможностями для всестороннего развития ученика, особенно для развития его способностей.

Поиск плана решения задачи по математике может осуществляться, во-первых, путем общего анализа (аналитический метод), т.е. рассуждений «от вопроса к данным»; во-вторых, с помощью рассуждений «исходя из данных задачи к вопросу» (синтетический метод); в-третьих, с помощью предметной или графической модели (схемы) задачи, а также иллюстрации к ней. Приведем общие рекомендации и советы по осуществлению поиска решения задачи для одаренных учащихся. Основные из них: