, (14.7)

де Q = diag, R = diag- діагональні матриці.

У загальному випадку припустимо вважати Q довільною не негативно визначеною матрицею, а R - довільною позитивно визначеною. При цьому викладки і докази ускладнюються незначно.

Якщо Q - симетрична матриця з дійсними елементами, то називається квадратичною формою відносно вектору . Якщо при , то форма G та матриця Q називаються позитивно визначеними. Якщо при , то форма G та матриця Q називаються не негативно визначеними. Коротко вони позначаються відповідно Q > 0 та Q 0.

По критерію Сільвестра (nn)-матриця Q > 0 тоді та тільки тоді, якщо позитивні всі детермінанти її діагональних блоків:

.

Сформульовану проблему мінімізації показника (14.7) шляхом вибору стабілізуючого зворотного зв'язку K прийнято іменувати задачею оптимальної стабілізації, або лінійно-квадратичною проблемою оптимального управління. Особливістю задачі оптимальної стабілізації є те, що в ній вдається вказати вид зворотного зв'язку, що дає найкращий результат при будь-яких початкових умовах.

Шлях знайдення такого зворотного зв'язку вказується наступною теоремою.

Теорема 2. “Нехай існує позитивно визначена матриця Р*, що є розв'язком матричного квадратного рівняння

(14.8)

та матриця K*, пов'язана з P* співвідношенням

. (14.9)

Тоді при будь-яких початкових умовах оптимальна стабілізація забезпечується управлінням

(14.10)

причому мінімальне значення показника якості дорівнює

.” (14.11)

Рівняння (14.8) прийнято називати (у вітчизняній літературі) рівнянням А.І.Лур'є (1951 р.) або (у закордонній) алгебраїчним рівнянням Ріккаті (на два століття раніше). Можливість розв'язання рівняння Ріккаті (Лур'є) залежить від вигляду матриць, що входять у нього. Умови, при яких воно має розв'язок, обумовлюються теоремою 3.

Теорема 3. “Для існування єдиного позитивно визначеного розв'язку матричного квадратного рівняння (14.8) досить, щоб пара матриць А та В була невиродженою, R > 0 (тобто була позитивно визначеною) та, окрім того, виконана одна з двох умов:

а) або Q > 0 (позитивно визначена);

б) або Q 0 (не негативно визначена) і може бути зображена у вигляді , причому так, що пара матриць та невироджена.”

Описана теорія зводить задачу оптимальної стабілізації до чисто алгебраїчної задачі пошуку розв'язку матричного квадратного рівняння Ріккаті (Лур'є) (14.8). Якщо розмірність вектору стану дорівнює n, то розмір шуканої матриці P* дорівнює (nn). Але матриця P* є симетричною, тому число невідомих елементів дорівнює n(n+1)/2, для визначення яких маємо систему такого ж числа скалярних квадратних рівнянь. Розв'язання цієї системи саме по собі є складною обчислювальною задачею. Тільки при n = 2 її можна спробувати розв'язати “у лоб”.

Приклад. Нехай для системи, що описується скалярними рівняннями

, ,

вимагається знайти стабілізуючий зворотний зв'язок , причому такий, що у перехідних процесах замкненої системи при будь-яких початкових умовах досягається мінімум інтегрального показника

,

де - позитивний параметр.

Задачу можна переписати у стандартній матричній формі (14.7), якщо позначити:

 , , R= .

Потім треба розв'язати рівняння Ріккаті (Лур'є), яке у даному випадку буде мати вид:

Тут враховано, що матриця Р симетрична і р21=р12 .

Після перемноження матриць отримаємо

,

або .

З рівності нулю всіх елементів матриці одержуємо:

; ; .

Розв'язок має бути позитивно визначеним, причому завідоммо , що дає правило вибору знаків

, , .

Оптимальні коефіцієнти зворотного зв'язку шукаються по формулі (14.9):

.

Замкнена система описується рівняннями

,

і буде вже мати власні числа у лівій напівплощині, які забезпечують мінімум показника І.

Для систем більш високого порядку існують спеціальні алгоритми розв'язання рівняння Ріккаті (Лур'є). Один з таких алгоритмів наводиться нижче.

В силу симетрії матриць P і R (і R-1) для матриці K (14.9) можна записати

KТ = PTB(R-1)T = PBR-1,

окрім того із (14.9) отримуємо, що RK = BTP. Підставляючи ці вирази в рівняння Ріккаті (Лур'є) (14.8) зводимо його до виду

ATP + PA KTRK + Q = 0 . (14.12)

Можна показати [1], що рівняння (14.12) повністю еквівалентне рівнянню

, де .

Послідовні наближення матриці K далі будуються по наступному алгоритму:

задамося якою-небудь матрицею KО такою, що матриця є гурвіцевою (тобто має всі власні числа у лівій напівплощині);

на кожній i-й ітерації розв'язують систему лінійних алгебраїчних рівнянь

відносно компонентів матриці Pi. Визначивши їх, обчислюють нове наближення матриць K і

і , і = 0, 1, 2, ... .

Збіжність алгоритму забезпечена у рамках умов теореми 3, причому всі гурвіцеві. Початкове ж наближення KО може бути знайдено, наприклад, за допомогою алгоритмів, що були розглянуті у розділі 11.

Побудова критерію. Завдання ступеню стійкості

Вид оптимального зворотного зв'язку залежить від вибору коефіцієнтів матриць Q і R, що входять у показник якості (14.7) і визначають характер “сумірності” енергії різних компонентів векторів стану та управління. Проблема зведення різних вимог, що пред'являються до системи, у єдиний показник якості (14.7) не має однозначного розв'язку. Все залежить від конкретного призначення та умов роботи системи.

На практиці звичайно використовують засіб приведення до відносних величин (або нормування). Нехай відомі величини та , перевищення яких відповідними компонентами векторів стану та управління небажане.

Тоді рекомендується складати критерій якості у вигляді:

,

тобто приймають , .

Такий підхід, у всякому разі, гарантує сумірність внеску всіх компонентів, хоч, звичайно, не можна стверджувати, що оптимальна стабілізація по вказаному критерію дійсно гарантує невихід за обмеження тa . Окрім того, розподіл власних чисел матриці оптимальної замкненої системи також істотно залежить від Q та R. Тому, намагаючись гарантувати себе від поганого розподілу власних чисел, часто вводять додаткові вимоги при пошуку оптимального стабілізуючого зворотного зв'язку - він повинен забезпечити ступінь стійкості замкненої системи не нижче заданої величини .

Добитися задоволення цієї вимоги нескладно. Дійсно, розв'яжемо задачу оптимальної стабілізації, використавши у розрахунках замість матриці А матрицю . Тоді у результаті розв'язання рівняння Ріккаті (Лур'є) отримаємо матрицю та коефіцієнти посилення такі, що матриця завідоммо стійка, тобто всі її власні числа лежать зліва від удаваної осі. Але тоді матриця

буде мати всі власні числа зліва від прямої, зсунутої відносно удаваної осі на (див. рис. 14.2), оскільки

.

Якщо = +j, то *= ++j = *+j*, де *= +, *= . Це означає зсув удаваної осі уліво на величину .

Таким чином ми можемо сформулювати наступне правило:

“Для побудови оптимального стабілізуючого зворотного зв'язку, що забезпечує заданий ступінь стійкості замкненої системи, досить знайти позитивно визначений розв'язок рівняння

та прийняти , де “.

Список літератури

Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. - М.: Наука, 2006. - 615 с.

Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. - М.: Наука, 2007. - 712 с.

Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. - М.: Машиностроение, 2005. - 536 с.

Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 2009. - 304 с.

Теория автоматического управления. - Ч.1 / Под ред. А.А. Воронова. - М.: Высшая школа, 2005. - 270 с.

Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. - М.: Машиностроение, 2006. - 185 с.

Авдеев В.В. Алгоритмы модального управления: Учеб. пособие. - Днепpопетpовск: ДГУ, 2009. - 36 с.

Размещено на Allbest.ru