Перш ніж одержати результати вимірів прийнятий сигнал необхідно обробити - підсилити, перетворити в діапазон частот, на якому легше здійснити фільтрацію від сторонніх коливань, виділити інформаційний параметр, перетворити до виду, зручного для цифрової обробки й виконати ряд інших перетворень. Найчастіше обробляються квазігармонійні коливання, у яких можна виділити амплітуду, частоту або фазу коливання.

Підсилення сигналу здійснюється на радіочастоті до його перетворення й після перетворення на проміжній частоті. У цих підсилювачах разом з підсиленням забезпечується частотна селективність. Варто звернути увагу на визначення основних параметрів і властивостей підсилювачів: резонансний коефіцієнт підсилення, селективність, коефіцієнт шуму, перетворення сигналу й стійкість. Крім того, необхідно знати загальні принципи роботи гетеродинного перетворювача частоти.

Велику роль у перетворенні сигналів грають виділення амплітуди (амплітудна демодуляція) і процедури перетворення миттєвих значень у цифрову форму. Процедури амплітудної демодуляції виконуються за допомогою нелінійних пристроїв і докладно розглядаються в курсах радіоприймальних пристроїв. Перетворення миттєвих значень оброблюваних коливань у цифрову форму здійснюються методом порівняння із заздалегідь відомою напругою.

Визначення різниці фаз двох коливань також може здійснюватися аналоговими схемами, останнім часом ці процедури часто виконуються за допомогою цифрових перетворень сигналів. В останньому випадку обробляються масиви даних, які попередньо заносяться у пам'ять. Варто звернути увагу на способи визначення різниці фаз. Найпоширенішим є спосіб, заснований на вимірі часових інтервалів: один з них дорівнює запізнюванню вимірюваного коливання щодо опорного, а другий - тривалості періоду. Підвищену точність забезпечує спосіб, у якому використовується метод максимальної правдоподібності.

При вивченні даного пункту варто звернути увагу також на нормалізацію випадкових процесів у вузькосмугових лінійних ланцюгах.

Результат виміру на виході радіотехнічної системи завжди є випадковою величиною або функцією випадкових величин, тому що до вимірюваного параметра завжди додаються шуми. Тому результат виміру визначається на підставі обробки експериментального матеріалу, що є масивом випадкових значень. Першою задачею, що завжди виникає при обробці експериментальних даних, є знаходження наближених значень, які доцільно прийняти як шукані величини. Ці наближені значення в математичній статистиці називають "оцінками". Як правило, вони позначаються тими ж символами, що й оцінювані параметри, але з "шапкою" або "тильдою" зверху: для величини оцінка позначається або .

Найбільш важливими в прикладному плані є три задачі математичної статистики

1. Оцінка невідомої функції розподілу або щільності ймовірностей, коли за конкретним значенням , отриманим у результаті незалежних вимірів випадкової величини , потрібно оцінити невідому функцію розподілу величини або щільність імовірності , якщо - безперервна випадкова величина.

2. Оцінка невідомих параметрів. У цій задачі передбачається, що на підставі фізичних або загальнотеоретичних міркувань можна стверджувати, що випадкова величина має функцію розподілу певного виду, що залежить від декількох параметрів, значення яких невідомі. За результатами спостереження величини потрібно оцінити значення цих параметрів.

3. Статистична перевірка гіпотез. Звичайно це завдання формулюється так. Нехай на підставі деяких міркувань можна вважати, що функція розподілу досліджуваної випадкової величини є . Необхідно з'ясувати, чи сумісні дослідні дані з гіпотезою, що випадкова величина дійсно має розподіл . Інше формулювання. Припустимо, що спостережувані значення випадкової величини обумовлені двома або декількома різними причинами (гіпотезами). У результаті спостереження величини потрібно вирішити, з якої із гіпотез варто зв'язати отримані значення величини .

Як ми вже відзначали, вихідними даними, які підлягають обробці, є результати спостережень над випадковою величиною . Безліч всіх можливих значень випадкової величини називається генеральною сукупністю, а безліч дослідних значень - вибірковими значеннями, число - обсяг вибірки. Якщо відома функція розподілу або щільність імовірності випадкової величини , то говорять, що вибірка належить розподілу або . Розташувавши числа в зростаючому порядку, так що при , одержимо впорядковану вибірку, яку називають варіаційним або статистичним рядом.

Для того, щоб з різних оцінок, які можуть бути запропоновані для однієї й тієї ж величини, вибрати найбільш підходящу, необхідно встановити деякі загальні властивості оцінок. Найбільш важливими властивостями оцінок є: спроможність, незміщеність і ефективність.

Оцінка є спроможною, якщо при збільшенні обсягу вихідного масиву даних (збільшенні обсягу вибірки для випадку незалежних дискретних вимірів випадкової величини або збільшенні тривалості реалізації для безперервного процесу) імовірність як завгодно малих відхилень від істинного значення прагне до нуля. Якщо оцінка спроможна, то при досить великому обсязі статистичного матеріалу можна із практичною вірогідністю бути впевненим, що помилка оцінки не перевершує прийнятну величину. Якщо оцінка не спроможна, то такої впевненості не може бути навіть при дуже великому обсязі вимірюваних даних.

Оцінка є незміщеною, якщо її математичне очікування дорівнює оцінюваній величині. Вимога незміщеності оцінки еквівалентна вимозі відсутності систематичної помилки. Очевидно, що незміщеність є позитивною якістю оцінки, однак з метою одержання більш простої оцінки іноді (часто) задовольняються асимптотично незміщеною оцінкою. У цьому випадку обмежуються вимогою, щоб оцінка асимптотично прагнула до точного значення при зростанні об'єму статистичного матеріалу.

Ефективність незміщеної оцінки визначається зміною її дисперсії при збільшенні об'єму статистичного матеріалу. Незміщена оцінка, дисперсія якої знижується швидше при збільшенні обсягу вихідних даних, буде ефективніше оцінки, дисперсія якої знижується повільніше при цієї умові. Не завжди варто застосовувати найефективнішу оцінку, у ряді випадків має сенс використовувати не найефективнішу, але зате більш просту оцінку, одержання якої дозволяє істотно спростити розрахунки.

Крім загальної характеристики якості оцінки (спроможність, незміщеність, ефективність) звичайно виникає задача визначення точності оцінки. Для характеристики точності оцінки в статистиці звичайно використовують поняття довірчого інтервалу й довірчої ймовірності. Сутність цих понять можна пояснити на наступному прикладі. Нехай - оцінюваний параметр, а - його оцінка. Нехай нас цікавить одержання оцінки з помилкою, що не перевершує по абсолютній величині , тобто для нас істотно, щоб величина оцінки не вийшла за межі інтервалу . Тому що оцінка є величиною випадковою, то можливість одержання помилки в зазначеному інтервалі можна оцінити, задавши ймовірність

.

Ця ймовірність і зветься довірчою ймовірностю, а інтервал називається довірчим інтервалом.

Для одержання точкових оцінок невідомих параметрів практично використовуються чотири методи: метод моментів, метод мінімальної дисперсії оцінки, метод максимальної апостеріорної ймовірності й метод максимальної правдоподібності. Частіше інших застосовуються метод моментів і метод максимальної правдоподібності. Останній у ряді випадків дає найбільш ефективні оцінки.

Метод моментів дає, як правило, менш ефективні оцінки, однак більш простий в обчислювальному відношенні. Сутність цього способу полягає в тому, що теоретичні значення моментів випадкових величин, що залежать від оцінюваних параметрів, прирівнюються статистичним значенням моментів. Вибравши достатнє число перших моментів, одержують необхідне число рівнянь для визначення шуканих параметрів закону розподілу випадкової величини.

Залежно від того, як зв'язана оцінка з реалізаціями випадкових величин (ординатами реалізацій випадкової функції), оцінки діляться на лінійні й нелінійні. Очевидно, найбільш ефективна оцінка не обов'язково повинна бути лінійною. Тому, якщо обмежитися розглядом лінійних оцінок, то найбільш ефективні оцінки такого типу не обов'язково будуть давати найменшу дисперсію із усіх можливих оцінок.

Лінійні оцінки, як правило, дозволяють одержувати більш прості розрахункові формули, широко застосовуються на практиці, а в ряді випадків дозволяють одержувати й найбільш ефективні оцінки. У даному курсі розглядаються, в основному, лінійні оцінки.

Крім визначення оцінок параметрів (і функцій), метою обробки статистичного матеріалу іноді є перевірка різних гіпотез, наприклад, про вид закону розподілу, про вплив різних факторів на результат досліду й т.д.

Принципи обробки дослідного матеріалу, застосовувані при рішенні зазначених вище задач, добре розроблені в математичній статистиці стосовно до послідовностей незалежних реалізацій випадкової величини (вибірки з генеральної сукупності обсягу )

Ці принципи придатні й до обробки реалізацій випадкових функцій, однак безпосереднє перенесення формул, отриманих для випадкових величин, на випадок обробки реалізації випадкових функцій, наштовхується на ряд труднощів. По-перше, тут немає сукупності незалежних реалізацій випадкових величин, а більшість виводів отримана в математичній статистиці для незалежних вибірок. По-друге, багато формул математичної статистики (наприклад, формули для довірчих імовірностей, різні критерії згоди й т.д.) явно включають об'єм вибірки . При обробці реалізацій випадкових функцій подібної величини не існує, тому що "об'єм вибірки" у цьому випадку визначається довжиною інтервалу часу , протягом якого записана реалізація. Тому доводиться виводити відповідні формули безпосередньо стосовно до обробки випадкових функцій або приблизно користуватися формулами для випадкових величин, замінивши в них обсяг вибірки іншою величиною, що враховує специфіку оброблюваного статистичного матеріалу.

При одержанні оцінок можуть з'являтися істотні похибки у зв'язку з тим, що невідомий точний закон розподілу, модель розподілу відрізняється від реального закону, є значні величини щільності імовірностей на окраїнах області розподілу й т.д. Тому багато уваги при одержанні оцінок приділяється стійким методам оцінювання. Статистичну процедуру оцінювання називають стійкою, якщо на значення одержуваної оцінки не роблять помітного впливу малі зміни всіх або великі зміни деяких випадкових величин в основній вибірці. У літературі як синонім такої стійкості використовується термін "робасність". Робасні методи оцінювання інтенсивно розвиваються, у числі їхніх основних типів варто назвати L, R, M - оцінки. Це лінійні комбінації порядкових статистик (L - оцінки), оцінки, засновані на рангових критеріях (R - оцінки), оцінки максимальної правдоподібності (M - оцінки), про які згадувалося вище.

Розглянемо основні задачі обробки реалізації випадкових функцій. Розглянемо задачі знаходження оцінки математичного очікування випадкової функції , не припускаючи її стаціонарності.

Нехай отримано реалізацій випадкової функції однакової тривалості, які схематично зображені на рис.1.

Виберемо в інтервалі часу , для якого зроблений запис реалізацій , довільний момент часу . Ординати реалізацій у цей момент часу , , … можна розглядати як знайдені з досліду значення випадкової величини , оцінка математичного очікування для якої визначається формулою

(1)

Знаходячи математичне очікування обох частин рівності (1), і з огляду на те, що для будь-якого номера реалізації , одержимо

. (2)

Таким чином, формула (1) дає незміщену оцінку для математичного очікування випадкової функції.

Знаходячи дисперсію обох частин рівності (1) і з огляду на те, що праворуч стоїть сума незалежних випадкових величин, що мають однакову дисперсію , одержимо

(3)

Таким чином, оцінка (1) є не тільки незміщеною, але й спроможною, тому що

(4)

при кожному .

перетворення сигнал оцінка інформація

Питання про ефективність оцінки (1) вимагає спеціального розгляду. Дійсно, якщо оцінка обчислена для ряду значень із інтервалу , то можна вважати, що весь хід функції може бути використаний для згладжування випадкових помилок, що виникають при обробці реалізацій випадкової величини . Дійсно, нехай, наприклад, відомо, що . Тоді, мабуть, можна сподіватися уточнити оцінку математичного очікування, зробивши усереднення отриманих значень за часом.

Таким чином, якщо відомі деякі загальні властивості оцінюваного математичного очікування , то можна вважати, що замість оцінки (1), що використовує значення ординат реалізацій випадкової функції в один момент часу, можна використовувати оцінку, що враховує хід зміни всіх реалізацій у часі і яка повинна бути за рахунок цього більше ефективною, ніж (1).

Розглянемо отримані оцінки трохи докладніше для стаціонарної випадкової функції. У цьому випадку при обробці доводиться мати справу не з великим числом реалізацій, отриманих за порівняно малі проміжки часу, а з декількома (або навіть із однією) реалізаціями, записаними за порівняно великий інтервал часу. Тому при обробці дослідного матеріалу доводиться замість усереднення за допомогою формули (1) ординат випадкових функцій, отриманих в однакові моменти часу для різних реалізацій, робити усереднення ординат для однієї й тієї же реалізації, отриманої у різні моменти часу. Для допустимості подібного способу дії, мабуть, необхідно, щоб зв'язок між ординатами випадкової функції, узятими в різні моменти часу, спадав досить швидко, тому що тільки в цьому випадку одну реалізацію за часом можна приблизно розглядати як сукупність декількох незалежних реалізацій. При цьому розходження між двома способами одержання оцінок зникає.

Установимо кількісні ознаки, яким повинна задовольняти випадкова функція для того, щоб замість "усереднення по реалізаціях" можна було проводити "усереднення за часом". Розіб'ємо інтервал часу , на якому задана реалізація, на рівних елементарних інтервалів довжиною .

Якщо усереднення за часом припустимо, то за оцінку математичного очікування потрібно прийняти вираз

. (5)

Перетворимо цей вираз, перейшовши від підсумовування за дискретним значенням часу до інтегрування по змінній . Помноживши й розділивши для цієї мети праву частину (5) на , одержимо

. (6)

Спрямовуючи інтервал до нуля, перетворимо суму в інтеграл, що дає

. (7)

Перевіримо, у яких випадках вираз (1.11) можна вважати незміщеною оцінкою математичного очікування. Для доказу незміщеністі оцінки досить застосувати операцію математичного очікування до обох частин виразу (7) і скористатися зміною місця операції знаходження математичного очікування й операції інтегрування. Виконавши ці перетворення, одержимо

. (8)

Математичне очікування ординати реалізації випадкової функції внаслідок стаціонарності розглянутого процесу - величина постійна. Виносячи її з-під знака інтеграла в (8), одержимо

. (9)

Отже, математичне очікування оцінки (9) завжди дорівнює математичному очікуванню випадкової функції й для виконання умови незміщеності не потрібно яких-небудь додаткових властивостей випадкової функції, крім її стаціонарності.

Інакше складаються обставини з вимогою спроможності оцінки: для того, щоб оцінка була спроможною, на кореляційну функцію процесу необхідно накласти додаткові обмеження. Дійсно, тому що, по-перше, відповідно до (7) виходить із ординат випадкової функції (її реалізацій) шляхом застосування лінійної операції інтегрування й множення на , по-друге, для дійсної випадкової функції маємо

. (10)

Якщо буде прагнути до нуля при зростанні , то оцінка буде спроможною. Це відбудеться в тому випадку, якщо при інтеграл збільшується з ростом не швидше, ніж , де .

Для виконання цієї умови, загалом кажучи, вимога не є обов'язковою. Однак звичайно

. (11)

тому що кореляційний зв'язок між ординатами випадкової функції спадає в міру збільшення інтервалу між цими ординатами. Щоб мати можливість користуватися усередненням за часом ординат однієї реалізації випадкової функції, досить зажадати, щоб інтеграл від кореляційної функції, узятий у межах , був кінцевий, тобто

, (12)

тому що в цьому випадку буде також кінцевий, і величина (12) буде прагнути до нуля при зростанні , тобто

. (13)

Стаціонарні випадкові функції, для яких усереднення по реалізаціях можна замінити усередненням за часом, тобто для яких виконується умова (13), звуться ергодичними випадковими функціями, а доведена теорема про умови, що забезпечують ергодичність функції, називається ергодичною теоремою.

Таким чином, у практично цікавих випадках оцінка (10) є незміщеною й спроможною. У працях по математичній статистиці показано, що якщо ми не маємо ніяких додаткових відомостей про властивості випадкової функції крім її стаціонарності, то ця оцінка є й найбільш ефективною із усіх лінійних оцінок, тобто оцінок виду

, (14)

де - деяка вагова функція (тобто найменша дисперсія буде в тому випадку, коли ). Якщо відомі деякі додаткові властивості випадкової функції, то може бути знайдена більш ефективна оцінка.

Припустимо, що є кілька () незалежних реалізацій однієї й тої ж стаціонарної, випадкової функції , причому довжина реалізації дорівнює . Оцінка математичного очікування , знайдена по реалізації , відповідно до (1.11) буде

. (15)

Для того, щоб одержати оцінку математичного очікування з урахуванням всіх реалізацій, необхідно знайти середнє значення всіх реалізацій оцінки . Тому що ці оцінки відповідно до (11) мають при різних різні дисперсії

, (16)

те усереднення потрібно провести за правилом усереднення величин, які мають різні точності. Тобто по формулі

. (17)

Дисперсія отриманої в такий спосіб оцінки визначається формулою

. (18)

Як виходить з формул (11) і (14), для визначення дисперсії оцінок математичного очікування необхідно знати кореляційну функцію досліджуваного процесу . Оскільки звичайно ця функція невідома, останніми формулами можна користуватися, підставивши в них замість невідомої кореляційної функції її оцінку.

У деяких випадках, наприклад, при записі значень в електронну пам'ять ЕОМ через рівні інтервали часу, не вдається одержати безперервну реалізацію випадкового процесу, а доводиться мати справу з набором значень ординат реалізацій процесу, отриманих у дискретні моменти часу. При цьому виникає питання, який інтервал дискретності може бути прийнятий без істотного зменшення точності одержуваної оцінки.

Стосовно до знаходження оцінки математичного очікування питання зводиться до визначення такого максимального значення , при якому формула (9) буде давати практично таку ж точність, як і формула (10). Обчисливши для цієї мети дисперсію , обумовлену (9), після перетворень будемо мати

. (19)

Порівняння (19) з (13) для випадку безперервної реалізації дозволяє зробити висновок про те, що вираз (19) дає наближене значення інтеграла, отриманого з (13) шляхом заміни на й обчисленого методом трапецій.

Співвідношення (19) дозволяє обчислити число інтервалів, на яке потрібно розділити час спостереження для одержання оцінки математичного очікування з мінімальною дисперсією.

Нехай випадкова функція нестаціонарна. Тому що по визначенню

, (20)

то для знаходження оцінки можна виходити з тих же міркувань, які були використані при знаходженні . Приймемо, як і раніше, що є реалізацій випадкової функції однакової тривалості . Припустимо спочатку, що математичне очікування відоме. Виберемо два довільних моменти часу , що перебувають усередині інтервалу . Ординати реалізацій у ці моменти часу можна розглядати як значення випадкових величин і , а вираз

(21)

як значення випадкової величини, що стоїть під знаком математичного очікування у формулі (20). Це значення отримане в досліді. Отже, для знаходження оцінки кореляційної функції потрібно знайти середнє значення виразу (21) по всіх реалізаціях. При цьому для оцінки одержимо

. (22)

Якщо математичне очікування невідоме, то замість математичного очікування у формулі (22) потрібно взяти її оцінку по формулі (1.5) і покласти

, (23)

де, як звичайно в подібних задачах, множник перед сумою замінений на для того, щоб оцінка була незміщеною.

Дійсно, знаходячи математичні очікування обох частин рівностей (22) і (23) після простих перетворень одержимо, що в обох випадках

. (24)

Знання математичного очікування й кореляційної функції в більшості випадків дозволяє вирішувати задачі, що зустрічаються при виробленні технічних рішень. Тому застосуванням формул (5), (21), (22) і (23) звичайно закінчується обробка реалізацій нестаціонарних випадкових функцій.

Розглянемо оцінку кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу. Припустимо спочатку, що є одна реалізація випадкової функції , записана в інтервалі й математичне очікування відомо. Тому що

, (25)

то для визначення можна скористатися отриманими раніше результатами для оцінки математичного очікування стаціонарної функції, якою у цьому випадку буде добуток .

Застосовуючи загальну формулу (1.11) і з огляду на те, що інтервал реалізації розглянутої в цьому випадку функції дорівнює , одержимо

. (26)

По доведеному раніше оцінка (26) є незміщеною. Для того, щоб переконатися в її спроможності, необхідно встановити, у яких випадках

. (27)

Для обчислення в загальному випадку недостатньо знати кореляційну функцію процесу , необхідно мати у своєму розпорядженні моменти ординат цієї функції більш високого порядку. Для нормального процесу може бути виражена через .

У випадку, якщо математичне очікування процесів невідоме, у формулі (26) необхідно замінити на ; у цьому випадку маємо

. (28)

Слід зазначити, що можливо обробку масивів інформації вести інакше: спочатку одержати оцінку математичного очікування добутку , а потім перейти до оцінки кореляційної функції, скориставшись загальним співвідношенням між центральним і початковим моментами другого порядку

, (29)

у якому математичні очікування необхідно замінити їхніми оцінками

. (30)

Формула (28) не збігається з (30), однак при великому результати, отримані по цих формулах, будуть практично ідентичні.

Незміщеність оцінки (28) або (30) повинна бути перевірена. Обчислимо математичні очікування обох частин рівності (30). Після зміни порядку інтегрування й знаходження математичного очікування одержимо

. (31)

Для ергодичних випадкових процесів, для яких , дисперсія прагне до нуля при зростанні . Отже, у цьому випадку

. (32)

Відзначимо, що на відміну від математичне очікування оцінки дорівнює тільки в межі .

Так само можна довести, що й оцінка (28) є асимптотично незміщеною, тобто при зростанні для ергодичних випадкових процесів математичне очікування прагне до .

При наявності ергодичності нормального процесу

, (33)

тобто формули (28) і (30) дають спроможні, асимтотично незміщені оцінки кореляційної функції. Так само спроможною й асимтотично незміщеною оцінкою є оцінка по формулі (26).

8. Оцінка спектральної щільності