Разработка и математическое описание элементов автоматического управления

Нахождение оригиналов по заданным изображениям с использованием преобразования Лапласа. Особенности решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями с его помощью. Определение передаточной функции для заданной структурной схемы.

Рубрика Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 14.01.2015
Размер файла 150,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Найти оригиналы по заданным изображениям

Решение

По таблице преобразований и свойствам преобразования Лапласа найдем

Где I- единичная функция.

Для определения преобразования Лапласа от дроби необходимо эту правильную рациональную дробь представить в виде простейших дробей, которые определяются в соответствии с корнями характеристического уравнения и по которым преобразование Лапласа можно взять, используя таблицы преобразования. Рассматриваемая дробь разлагается на простейшие дроби следующим образом:

В результате разложения получена сумма простейших дробей, коэффициенты которых определяются методом неопределенных коэффициентов, для чего рассматривается равенство двух дробей. Две правильные рациональные дроби равны между собой, если равны их числители и знаменатели. Т.к. знаменатели равны, то, следовательно, необходимо приравнять друг к другу и числители. Приравняв в числителях коэффициенты при одинаковых степенях параметра s , получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

Решение системы дает следующие корни: A-121/11840, B=5871/11840, C=411/11840, D=-29/1184,Е=169/7104

Таким образом, исходная дробь записывается в виде:

В соответствии с таблицами Преобразований Лапласа оригинал имеет вид:

=

Задача 2

С помощью преобразования Лапласа решить дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями

Решение

При решении уравнения с использованием преобразования Лапласа необходимо его преобразовать по Лапласу с учетом начальных условий:

После подстановки начальных условий, получаем:

Из последнего выражения определяется , которое является решением уравнения, но оно записано в терминах преобразования Лапласа. После упрощения дроби получаем следующее выражение:

Из последнего выражения определяется , которое является решением уравнения, но оно записано в терминах преобразования Лапласа. Первое слагаемое находится по формулам из таблиц, а для определения преобразования Лапласа от второго слагаемого необходимо эту правильную рациональную дробь представить в виде простейших дробей, которые определяются в соответствии с корнями характеристического уравнения и по которым преобразование Лапласа можно взять, используя таблицы преобразования. Рассматриваемая дробь разлагается на простейшие дроби следующим образом:

=

В результате разложения получена сумма простейших дробей, коэффициенты которых определяются методом неопределенных коэффициентов, для чего рассматривается равенство двух дробей. Две правильные рациональные дроби равны между собой, если равны их числители и знаменатели. Т.к. знаменатели равны, то, следовательно, необходимо приравнять друг к другу и числители. Приравняв в числителях коэффициенты при одинаковых степенях параметра s , получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

Решение системы дает следующие корни: A=-12/25, B=12/25, C=-12/25,D=17/5

Таким образом, исходная дробь записывается в виде:

==

По таблицам преобразования Лапласа берем обратное преобразование, получим:

+

Функция является решением дифференциального уравнения

Задача 3

Вывести передаточную функцию для заданной структурной схемы

Решение

Для записи передаточной функции сложной структурной схемы ее необходимо преобразовать в соответствии с правилами преобразования структурных схем. Для того, чтобы развязать перекрестные связи в заданной структурной схеме, перенесем сумматор 1 через сумматор 2 и звено с передаточной функцией W1(s) в соответствии с правилами преобразования структурных схем. В результате произведенных преобразований получим эквивалентную схему, в которой имеются последовательное соединение и вложенные в друг друга соединения с обратной связью.

автоматический управление схема функция

Сначала найдем эквивалентные передаточные функции для части схемы с последовательным соединением с обратной связью 2-4 и 2-5

Далее имеем последовательное соеденение звена с передаточной функцией и эквивалентой схемы, в итоге получаем:

=

Задача 4

Исследовать на устойчивость систему автоматического регулирования, схема которой приведена c помощью критерия Рауса-Гурвица.

Заданы следующие исходные данные: передаточная функция объекта и регулятора:

Решение

Для исследования устойчивости систем автоматического регулирования с помощью критерия Рауса-Гурвица необходимо знать дифференциальное или характеристическое уравнение системы. Знаменатель передаточной функции всегда представляет собой характеристический полином. Поэтому необходимо, прежде всего, записать передаточную функцию замкнутой одноконтурной системы:

Характеристическое уравнение определяется путем приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы

с учетом конкретных значений передаточных функций объекта и регулятора, получим

Откуда характеристическое уравнение запишется в виде:

Задачу будем решать с использованием формулировки критерия устойчивости по Гурвицу. Для этого необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить главный определитель Гурвица по определенному правилу: вдоль главной диагонали записывают коэффициенты, начиная с , выше главной диагонали записывают коэффициенты с индексом на единицу меньше, ниже главной диагонали записывают коэффициенты с индексом на единицу больше. Порядок определителя соответствует порядку характеристического уравнения. Из этого определителя составляются диагональные миноры, которых должно быть . Система автоматического управления будет устойчивой тогда и только тогда, когда все ее диагональные миноры будут положительны. Для нашей задачи главный определитель Гурвица имеет вид:

Вычисляем диагональные миноры

1=2>0

2=21-31=-1<0

Т.к. второй минор отрицателен, то система неустойчива и другие миноры можно не определять

Литература

1.Сборник задач по теории автоматического регулирования управления. Под ред В.А. Бесекерского.-М.:Наука,1969.-588с.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. М.: Профессия, 2003.

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 13-е изд., исправленное. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. - 544 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Математическая модель САР в виде систем дифференциальных уравнений. Представление линейной математической модели САР в виде взвешенного сигнального графа и структурной схемы. Нахождение главного оператора с помощью правил преобразования структурной схемы.

    курсовая работа [435,3 K], добавлен 01.10.2016

  • Понятие структурной схемы и ее звеньев, основные типы соединений. Правила преобразования структурных схем линейных систем. Вычисление передаточной функции одноконтурной и многоконтурной систем. Порядок переноса и перестановки сумматоров и узлов схем.

    реферат [204,6 K], добавлен 31.01.2011

  • Нахождение по заданной структурной схеме и известным выражениям для передаточных функций динамических звеньев передаточной функции. Исследование устойчивости системы, проведение ее частотного анализа и преобразования, расчет переходных процессов.

    курсовая работа [302,7 K], добавлен 13.05.2009

  • Описание структурной схемы и передаточной функции объекта управления. Уравнения состояния непрерывного объекта и дискретной модели объекта. Особенности расчета и построение графиков сигналов в цифровой системе с наблюдателем и регулятором состояния.

    курсовая работа [1,7 M], добавлен 23.06.2012

  • Рассмотрение основ передаточной функции замкнутой системы. Анализ устойчивости системы автоматического управления. Описание нахождения характеристического уравнения системы в замкнутом состоянии. Алгебраические критерии устойчивости Гурвица и Михайлова.

    контрольная работа [98,9 K], добавлен 28.04.2014

  • Получение дискретной передаточной функции. Составление пооператорной структурной схемы разомкнутой импульсной САУ. Передаточная функция билинейно преобразованной системы. Определение граничного коэффициента. Проверка устойчивости системы, расчет ошибки.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.06.2015

  • Разработка функциональной и структурной схем системы химического реактора. Определение дискретной передаточной функции объекта. Выбор периода дискретизации аналоговых сигналов. Учёт запаздывания и корректировка его влияния. Способы ввода информации.

    курсовая работа [2,0 M], добавлен 18.06.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.