Предмет и метод статистики

Знаменатель относительной величины называется основанием, или базой сравнения. В нашем случае основание - 300 млрд тенге. Если основание принять за единицу, то относительная величина выражается в форме коэффициента (1,05); она покажет, во сколько раз сравниваемая величина больше или меньше основания. Если основание принимается за 100, то относительная единица выражается в процентах, если за 1000, то в промилле. Для отдельных, редких явлений в статистике также используют относительные показатели в расчете на 10 000 или на 100 000.

Если из показателя, выраженного в процентах, вычесть 100, то можно сказать, на сколько процентов сравниваемая величина больше или меньше основания.

Промилле широко распространен в демографической статистике, где рождаемость, смертность и ряд других показателей вычисляются в расчете на 1000 населения.

Обычно сравниваются два абсолютных показателя, но можно сравнивать относительные и средние показатели. Относительная величина - это обобщающий показатель, дающий числовую меру соотношения двух сопоставляемых статистических величин.

При этом сравниваемые показатели должны быть методологически сопоставимы.

В зависимости от познавательной сущности различают относительные показатели динамики, планового задания, выполнения плана, структуры, координации, сравнения и интенсивности развития.

Показатели динамики характеризуют степень изменения явления во времени. При этом величину одного из прошлых периодов (моментов) времени, называемого базисным, принимают за 100 или единицу, а показатели последующих периодов выражаются в процентах или коэффициентах к базисному. Они называются также темпами роста, а за вычетом единицы или 100 - темпами прироста.

Показатели планового задания показывают соотношение величины планируемого показателя к фактически достигнутому уровню. При этом сравниваемые показатели относятся к разным периодам времени. Например, если индикативным планом было предусмотрено увеличение темпов прироста промышленного производства с 8 до 10%, а сокращение дефицита бюджета с 3% к ВВП до 2,5%, то это означает что план по увеличению темпов прироста промышленного производства составляет 125% (10: 8 х 100), а по сокращению дефицита бюджета составляет 83,3% (2,5: 3,0 х 100).

Показатели выполнения плана в отличие от предыдущего вида относительных величин, наоборот, отображают соотношение величины фактически достигнутого уровня по сравнению с запланированным уровнем. При этом, однако, показатели относятся к одному периоду (моменту) времени. Например, если для предыдущего примера фактический темп прироста промышленного производства составил не Ю, а 12%, а сокращение дефицита бюджета составило не 0,5% (с 3% к ВВП до 2,5%), а 0,6% (т.е. фактически дефицит составил 2,4%), то это означает что план по росту промышленного производства перевыполнен на 20% (12: 10 хЮО), а по сокращению дефицита бюджета также перевыполнен на 20% (0,6: 0,5 х 100).

Показатели структуры представляют долю (или удельный вес) части в целом, выраженную в процентах.

Например, за переходный период доля сельского хозяйства в общем объеме ВВП сократилась с 34% (в 1990 г) до 8% (в 2004 г). Сокращение удельного веса при этом может не означать соответствующего уменьшения абсолютного размера данной части совокупности. Так, сокращение доли сельского хозяйства в ВВП более чем в 4 раза сопровождалось сокращением абсолютных объемов производства только на 39%. В то же время, несмотря на то что промышленность увеличила свою долю в ВВП почти в полтора раза (с 21 до 31%), ее реальный объем, тем не менее, сократился на 14%.

Показатели координатой характеризуют соотношение одноименных величин отдельных частей целого между собой, одна из которых принята за базу сравнения. Иными словами, если в показателе структуры в качестве базы сравнения принимался общий итог, то в данном случае в качестве базы сравнения может быть принята любая часть целого. Допустим, на предприятии из 1000 рабочих 900 являются производственными рабочими, а 100 - непроизводственными. Тогда с точки зрения структуры можно сказать, что 90% рабочих предприятия составляют производственные, а 10% - непроизводственные. С позиции же сравнения количества производственных и непроизводственных рабочих отметим, что производственных рабочих в 9 раз больше непроизводственных. Аналогично в демографической статистике: доля мужчин и женщин в общей численности населения составляет соответственно 48 и 52%, в то же время на 1000 женщин приходится только 923 мужчин.

Показатели сравнения характеризуют сравнение одноименных показателей, относящихся к различным объектам или территориям, но за один и тот же период (момент) времени. Тем самым, мы может сравнить численность населения или объемы промышленного производства различных регионов страны или провести межстрановые сравнения. Например, численность населения Российской Федерации примерно в десять раз превышает численность населения Казахстана, а сравнение по суммарному объему производимой за год добавленной стоимости показывает примерно пятнадцатикратное различие. Это свидетельствует о более высоком уровне производительности труда в России, нежели в Казахстане.

Показатели интенсивности развития отображают ' степень распространенности данного явления в определенной среде. Сравнивая совокупности родившихся или умерших с численностью населения, мы тем самым оцениваем степень, интенсивность развития данного явления. К другим показателям интенсивности относятся показатели, характеризующие рост материального и культурного уровня населения (ВВП на душу населения, уровень образования и др.). К ним относятся также показатели плотности населения, густоты железнодорожной сети и др.

Можно вычислять показатели производства на душу населения. Широко используются показатели интенсивности и для характеристики степени совершенства производства, оснащения его новой техникой, характеристики использования оборудования, эффективности капитальных вложений.

В отличие от других относительных величин показатели интенсивности развития не отвлеченные, а именованные числа: они всегда выражают количество единиц совокупности, которая стоит в числителе отношения, на единицу той совокупности, которая стоит в знаменателе.

5.4 Графическое изображение абсолютных и относительных величин

Графические изображения используются для сравнения между собой статистических величин, определения роли отдельных факторов во всей совокупности, изучения структуры и структурных сдвигов, связи между признаками, изменениями явлений во времени, определении степени распространенности явления в пространстве и т.д.

Основными элементами графиков, отображающих количественные соотношения, являются шкала, масштаб, оси координат и числовая (координатная) сетка.

Статистические показатели, наглядно представленные различными графическими изображениями, бывают трех основных видов: диаграмма, картограмма, картодиаграмма.

Диаграммы служат наглядным средством представления данных и облегчают выполнение сравнений, выявление закономерностей и тенденций данных. Например, вместо анализа нескольких столбцов чисел на листе можно, взглянув на диаграмму, узнать, падают или растут объемы продаж по кварталам или как действительные объемы продаж соотносятся с планируемыми.

Стандартные виды диаграмм (как они приводятся в офисной программе Мicrosoft Ехсеl операционной системы Windows) следующие:

столбиковая (гистограмма) и линейчатая (горизонтальные полосы) _ отображают значения различных категорий, либо отражают вклад каждой категории в общую сумму, либо показывают долю каждой категории в общей сумме;

график - отражает развитие процесса во времени или по категориям; график с накоплением хорошо отображает изменение общей суммы во времени или по категориям; может содержать маркеры, помечающие точки данных;

круговая (секторальная) - отображает вклад каждого значения в общую сумму; может быть объемной и разрезанной;

точечная - позволяющая сравнить пары значений, которые могут быть соединены отрезками или сглаживающими линиями, а также содержать маркеры, помечающие точки данных;

с областями - хорошо отображает изменение значения ряда с течением времени; может быть с накоплением данных, нормированная (доля вклада отдельных составляющих в общую сумму) и объемная;

кольцевая - подобна круговой, но может отображать несколько рядов данных;

лепестковая - является аналогом графика в полярной системе координат; отображает распределение значений относительно начала координат;

поверхность - показывает изменение значений по двум измерениям, в виде поверхности;

пузырьковая - отображает на плоскости наборы из трех значений; подобна точечной диаграмме, но третья величина отображает размер пузырька;

биржевая - отображает наборы данных из трех значений (самый высокий курс, самый низкий курс, курс закрытия);

цилиндрическая - гистограмма со столбцами в виде цилиндров;

коническая - гистограмма со столбцами в виде конусов;

пирамидальная - гистограмма со столбцами в виде пирамид.

Примеры отдельных диаграмм - столбиковой (гистограмма), графика (полигон распределения и кумулята), точечной (кривая Лоренца, построенная на точечной диаграмме) - приведены в предыдущей теме. Примеры линейчатой и круговой диаграмм показаны на рисунках 5.1 и 5.2.

Картограммы представляют данные, отображаемые на карте в виде Цвета или точек различной густоты, и делятся соответственно на фоновые и точечные.

На картодиаграммах наглядно отражены расположенные на картах различные диаграммы или фигуры-знаки. При этом размер диаграммы обычно говорит о масштабе данных, относящихся к той или иной административно-территориальной единице.

Часто для выражения величины сравниваемых явлений используют диаграммы, представленные в виде правильных геометрических фигур (квадратов или кругов), площадь которых пропорциональна величинам показателей.

Для двумасштабных сравнений используют прямоугольные диаграммы, называемые знаками Варзара (по фамилии русского статистика В.Е. Варзара, предложившего их). Обычно они применяются в случае, если некоторый показатель является произведением двух других (например, валовой сбор пшеницы равен произведению площади посевов на урожайность).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1. Какие показатели называются обобщающими? Как их получают?

2. Назовите виды обобщающих показателей. Приведите примеры.

3. Что называется абсолютными статистическими величинами и каково их значение? Приведите примеры.

4. Назовите классификации абсолютных величин. Приведите примеры.

5. В каких единицах измерения выражаются абсолютные статистические величины? Приведите примеры.

6. Что называется относительной величиной? Какова роль относительной величины в статистике?

7. Какие виды относительных величин вы знаете? Приведите примеры.

8. Чем отличаются показатели интенсивности от других относительных величин?

9. В каких единицах измерения выражаются относительные статистические величины? Приведите примеры.

10. В чем заключается значение статистических графиков?

11. Каковы основные элементы графиков?

12. Опишите основные виды статистических графиков.

13. В чем различие картограмм и картодиаграмм?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. Авров А.П. Аврова Ю.А. Общая теория статистики. Основы курса: Учебное пособие.2-ое изд. доп. - Алматы, 2004. - 112с.

2. Сиденко А.В., Попов Г.Ю., Матвеева В.М. Статистика: Учебник. - М: Дело и сервис, 2000. - 464 с.

3. Елисеева И.И., Учебник для вузов. - М.: ИНФРА-М, 1998.

4. Статистика: Курс лекций для вузов / Под ред. В.Г. Ионина. - М.: ИНФРА-М, 1996.

5. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие для вузов. - М.: Аудит, ЮНИТИ, 1998. М.: Финансы и статистика, 1998. - 368 с.: ил.

6. Теория статистики: Учебник для вузов / Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1996.

7. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие. - М.: ИННТИ, 2000.

8. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студ. экон. спец. вузов. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1984. - 343 с.: ил. Юзбашев М.М.

9. Общая теория статистики: Учебник. - 3-е изд. / Под ред. чл. - корр. РАН И.И. Елисеевой. Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики.

10. Общая теория статистики: Учебник / Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова и др. - М: Финансы и статистика, 1981.

11. Общая теория статистики: Учебник / Г.С. Кильдишев, В.Е. Освиенко, П.М. Рабинович, Т.В. Рябушкин. - М.: Статистика, 1980.

12. Статистический словарь / Гл. ред. М.А. Королев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1989.

5.5 Задания для самостоятельной работы

Задачи.

Задача 1. Производительность труда на предприятии в прошлом году составила 1500 тыс. тенге. В текущем году предприятие намерено увеличить производительность труда в сопоставимых ценах на 4%.

Определите планируемый уровень выработки продукции на одного работающего в действующих ценах, если среднегодовой рост цен на продукцию предприятия ожидается на уровне 10%.

Задача 2. Руководство фирмы планировало в текущем году выпустить продукции на 35 млн тенге при затратах на ее производство в 20 млн тенге. Фактически же в этом году предприятие выпустило продукции на 36 млн тенге при затратах на ее производство в 21 млн тенге.

Определите показатели выполнения плана на заводе: а) по выпуску продукции; б) по затратам на производство продукции; в) по рентабельности продукции (отношение прибыли к затратам на производство в процентах).

Задача 3. По приведенным ниже данным вычислите относительные величины структуры расходов республиканского бюджета Казахстана (млрд тенге):

Статья расходов	1995 г.	1999 г.	2003 г.
Всего расходов, из них на:	260,2	468,4	1068,4
государственные услуги общего характера	10,1	28,9	65,3
оборону	10,8	17,2	47,5
общественный порядок и безопасность	17,5	32,5	91,6
образование	45,8	78,5	149,0
здравоохранение	30,0	44,8	89,8
социальное обеспечение и социальную помощь	7,8	159,1	239,2
культуру, спорт и информационное пространство	6,9	12,2	33,8

Установите, какие сдвиги произошли в составе республиканского бюджета Казахстана.

Задача 4. По данным всемирного Отчета о человеческом развитии за 2005 г. объемы производства ВВП на душу населения в России составили 8230 долл. США по паритету покупательной способности (ППС). В Казахстане данный показатель был на уровне 5870 долл. США по ППС.

Вычислите соотношение между объемами производства ВВП на душу населения в России и в Казахстане. Как называется вычисленный относительный показатель?

Задача 5. Среднегодовая численность населения республики в 2004 г. составила 15013,0 тыс. человек. Площадь республики равна 2724,9 тыс. кв.км. Органами ЗАГС зарегистрировано за год 273,0 тыс. случаев рождения детей и 152,3 тыс. случаев смертности.

Определите: а) плотность населения республики; б) коэффициенты рождаемости и смертности (на 1000 населения). К какому виду относительных величин принадлежат эти показатели?

Задача 6. Кондитерская фабрика произвела за месяц следующие виды и объемы продукции (тыс. т): шоколад - 10, шоколадные конфеты с начинкой - 30, карамель - 50 и мармелад - 40.

Определите общий объем производства кондитерских изделий в условных единицах, принимая за единицу производство шоколадных конфет с начинкой, а для остальных видов продукции - следующие коэффициенты: шоколад - 1,5; карамель - 0,6; мармелад - 0,5.

Задача 7. Для обеспечения удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) Казахстана к 2010 г. по сравнению с 2000 г. среднегодовые темпы прироста ВВП должны составлять 7,2%. Фактический прирост ВВП республики в 2004 г. составил 9,6%.

Определите относительную величину выполнения годового плана прироста ВВП, а также превышение фактического объема по сравнению с запланированным.

Задача 8. Стоимость основных средств на начало года на предприятии составляла 350 млн тенге, а численность занятых - 100 человек. В течение года выбыло основных средств на 35 млн тенге и было введено новых на 85 млн тенге. Численность же занятых выросла на 8 человек.

Определите как изменилась фондовооруженность (отношение стоимости основных средств к численности работающих) по состоянию на конец года в сравнении с начат. ом года. К какому виду относительных величин относится фондовооруженность? К какому виду относительных величин относится показатель, характеризующий изменение себестоимости?

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ.

1. Показатели, характеризующие совокупности единиц в целом и по группам, называются:

1) абсолютными; - с

2) относительными;

3) средними;

4) обобщающими;,, т.

5) аналитическими.

2. Показатели, отображающие масштабы социально-экономических явлений, называются:

1) синтетическими;

2) абсолютными;

3) относительными;

4) средними;

5) аналитическими.

3. По признаку характеристики совокупности в составе абсолютных величин бывают показатели:

1) численности совокупности и объемов признака;

2) моментные и интервальные;

3) первичные и вторичные;

4) описательные и аналитические;

5) натуральные и стоимостные.

4. По признаку характеристики процесса развития различают показатели:

1) прямые и обратные;

2) первичные и вторичные;

3) описательные и аналитические;

4) абсолютные и относительные.,

5) моментные и интервальные.

5. К единицам измерения абсолютных статистических показателей не относятся:

1) киловатты, часы, тонны, километры;

2) киловатт-часы, тонно-километры;

3) тонны условного топлива, условные банки;

4) тыс. тенге, доллары США;

5) человек на квадратный километр, доллары США на душу населения.

6. Показатели, характеризующие уровень бедности или безработицы в разных странах, относятся к:

1) синтетическим показателям;

2) абсолютным показателям;

3) относительным показателям;

4) средним показателям;

5) аналитическим показателям.

7. Основным условием расчета относительных величин является:

1) представление показателей в одной единице измерения;

2) представление показателей в сопоставимых ценах;

3) методологическая сопоставимость сравниваемых показателей;

4) отношение сравниваемых показателей к одной территории;

5) отношение сравниваемых показателей к одному периоду времени.

8. Отношение одноименных абсолютных величин, характеризующих разные объекты или территории, называется:

1) показателем планового задания;

2) показателем интенсивности развития;

3) показателем координации;

4) относительной величиной сравнения;

5) относительной величиной структуры.

9. К относительной величине интенсивности развития относится показатель:

1) доли промышленности в производстве ВВП;

2) производства ВВП на душу населения;

3) расхода энергии в тоннах условного топлива;

4) темпа роста производства ВВП;

5) количества рабочих на одну единицу административно-управленческого персонала.

10. К единицам измерения относительных статистических показателей относится:

1) тыс. тенге на человека, количество телефонных аппаратов на 100 семей;

2) рубли, евро, доллары, тенге;

3) штуки, тонны, километры, килокалории;

4) тонно-километры, киловатт-часы;

5) условные банки, тонны условного топлива.

11. При графическом изображении структуры применяется:

1) гистограмма;

2) полигон;

3) круговая (секторная) диаграмма;

4) знак Варзара;

5) кумулята.

12. С помощью гистограммы графически изображается:

1) интервальный вариационный ряд;

2) непрерывный ряд;

3) дискретный ряд;

4) кумулятивный ряд;

5) атрибутивный ряд.

Тема 6. Средние величины

6.1 Сущьность и виды средних величин в статистике

Значение средней величины в статистике. Средняя величина является самым распространенным обобщающим показателем в статистике. Это связано с тем, что с ее помощью можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку. Например, для сравнения заработной платы рабочих двух предприятий не может быть взята заработная плата двух конкретных рабочих, поскольку она выступает варьирующим показателем. Также не может быть взята общая сумма заработной платы, выплаченной на предприятиях, так как она зависит от количества работающих. Если же мы разделим общую сумму заработной платы каждого предприятия на численность работающих, то сможем их сравнить и определить, на каком предприятии средняя заработная плата выше.

Иными словами заработная плата изучаемой совокупности рабочих получает обобщенную характеристику в средней величине. В ней выражается то общее и типичное, что характерно для совокупности рабочих в отношении изучаемого признака. Она в одной величине показывает общую меру этого признака, имеющего различное значение у единиц совокупности.

Определение средней величины. Средней величиной в статистике называется обобщенная характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку. Средняя величина показывает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

С помощью средней величины можно сравнивать между собой различные совокупности по варьирующим признакам (доходы на душу населения, урожайность сельскохозяйственных культур, себестоимость производства продукции на различных предприятиях).

Средняя величина всегда обобщает количественную вариацию признака, которым мы характеризуем изучаемую совокупность и который в равной степени присущ всем единицам совокупности. Значит, за всякой средней величиной всегда скрывается ряд распределения единиц совокупности по какому-то варьирующему признаку, т.е. вариационный ряд.

В этом отношении средняя величина принципиально отличается от относительных величин и, в частности от показателей интенсивности. Показатель интенсивности - отношение объемов двух разных совокупностей (например, производство ВВП на душу населения), в то время как средняя - обобщает характеристику элементов совокупности по одному из признаков (например, средняя заработная плата рабочего).

Средняя величина и закон больших чисел. В изменении средних показателей проявляется общая тенденция, под влиянием которой складывается процесс развития явлений в целом, в отдельных же индивидуальных случаях эта тенденция может и не обнаруживаться явно. Важно, чтобы средние величины были основаны на массовом обобщении фактов. Только при этом условии они выявят общую тенденцию, лежащую в основе процесса в целом.

Во все более полном погашении отклонений, порождаемых случайными причинами, по мере увеличения числа наблюдений проявляется сущность закона больших чисел и его значение для средних величин. То есть закон больших чисел создает условия, чтобы в средней величине проявился типичный уровень варьирующего признака в конкретных условиях места и времени. Величина этого уровня определяется сущностью явления.

Виды средних величин. Средние величины, применяемые в статистике, относятся к классу степенных средних, общая формула которых имеет следующий вид:

где х - степенная средняя;

х - меняющиеся величины признака (варианты);

n - число вариант;

m - показатель степени средней;

? - знак суммирования.

При различных значениях показателя степени средней (т) получаются различные виды средней величины:

m = 1 - средняя арифметическая;

m = 2 - средняя квадратическая;

m = 3 - средняя кубическая; т = - 1 - средняя гармоническая;

m = 0 - средняя геометрическая (после преобразований).

Следует иметь в виду, что различные виды средней величины имеют разные значения при использовании одних и тех же исходных статистических материалов. При этом, чем больше показатель степени средней, тем выше ее величина (правило мажорантности средних).

В статистике правильную характеристику совокупности в каждом отдельном случае дает только вполне определенный вид средних величин. Для определения этого вида средней величины используется критерий, определяющий свойства средней: средняя величина только тогда будет верной обобщающей характеристикой совокупности по варьирующему признаку, когда при замене всех вариант средней величиной общий объем варьирующего признака остается неизменным. То есть правильный вид средней определяется тем, как образуется общий объем варьирующего признака.

Так, средняя арифметическая применяется тогда, когда объем варьирующего признака образуется как сумма отдельных вариант, средняя квадратическая - когда объем варьирующего признака образуется как сумма квадратов, средняя гармоническая - как сумма обратных значений отдельных вариант, средняя геометрическая - как произведение отдельных вариант.

Кроме средних величин в статистике применяют описательные характеристики распределения варьирующего признака (структурные средние): моду (наиболее часто встречающаяся варианта) и медиану (серединная варианта).

6.2 Средняя арифметическая

Определение средней арифметической. Средняя арифметическая есть частное от деления суммы вариант на их число. Она применяется в случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных ее единиц (например, общий фонд заработной платы - как сумма выплаченных заработных плат, общий сбор урожая - как сумма сборов с каждого гектара площади).

Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сложить все отдельные варианты и сумму разделить на их число:

х = (?x) /n

Средняя простая и взвешенная. Приведенная выше формула есть формула средней арифметической простой (невзвешенной).

Если некоторые варианты имеют одинаковые значения, то среднюю арифметическую можно исчислить путем перемножения различных значений вариант на их частоту (вес), а затем сумму произведений вариант разделить на сумму частот (весов):

х = (?xf) / ?f

Примером использования средней взвешенной величины служит расчет среднего балла по группе, полученного за сданный экзамен. К примеру, в группе 25 студентов, из них 5 человек получили "отлично", 10 - "хорошо", 8 - "удовлетворительно", 2 - "неудовлетворительно". Средний балл по группе можно вычислить и по формуле средней арифметической простой, однако здесь лучше применить среднюю арифметическую сложную:

х = (5x5 + 10*4 + 8x3 + 2x2) / 25 = (25 + 40 + 24 + 4) / 25 = = 93/25 = 3,72.

Три приема вычисления средней арифметической (выбор формулы для исчисления средней величины). Наиболее часто встречаются следующие приемы вычисления средней арифметической:

1. Если имеются все значения варьирующего признака, полученные в результате наблюдения, то используют формулу средней арифметической простой. Если же данные представлены в виде различных значений вариант и их частот, то применяют формулу средней арифметической взвешенной.

2. Если имеется готовая сумма варьирующих признаков и соответствующая ей численность совокупности, то среднюю арифметическую определяют путем их деления.

3. Вычисление средней арифметической величины на основе вариационного ряда.

Наиболее распространенным является второй случай, так как при разработке отчетности всегда есть данные об общем объеме варьирующих признаков и соответствующей ей численности совокупности. Например, всегда есть валовой сбор зерна и соответствующая ему посевная площадь, что дает в результате деления первого на второе среднюю урожайность зерна. Аналогично, имеется фонд оплаты труда и численность занятых, их отношение дает среднюю заработную плату.

Вычисление средней арифметической на основе вариационного ряда. Если ряд дискретен, то расчет средней арифметической производится по формуле средней арифметической взвешенной, т.е. варианты умножаются на частоты, а затем сумма произведений делится на сумму частот. Например, в одном из сел Южно-Казахстанской области имеется 200 семей со следующим их распределением по числу детей (табл.6.1).

Статистический ряд распределения по числу детей в семье в одном из сел

Число детей в семье (варианты х)	Число семей (частота f)	Число детей (произведение вариант на частоту, х f)
0	10	0
1	30	30
2	75	150
3	45	135
4	20	80
5	15	75
6	5	30
Итого:	200	500

Среднее число детей в семье в данном селе будет равно:

х = (?xf) / ?f= 500/200 = 2,5 ребенка.

Если же ряд интервальный, то его нужно привести, прежде всего, к дискретному виду. Для этого обычно интервал заменяют его средним значением, определяемым как полусумма верхней и нижней границ. Так, например, на одном из предприятий с численностью рабочих 500 человек, среднемесячная заработная плата находилась в пределах от 26000 до 38000 тенге. Имеются данные о распределении числа рабочих, имеющих заработную плату в интервалах, равных 1000 тенге, но нет сведений об общем фонде заработной платы. В этом случае делается следующий расчет (табл.6.2).

Статистический ряд распределения рабочих по размеру заработной платы на предприятии

Группа рабочих по заработной плате, тенге	Серединное значение интервала (х)	Число рабочих (f)	Произведение вариант на частоты (хf)
26000-28000	27000	10	270 000
28000-30000	29000	50	1 450 000
30000-32000	31000	100	3 100 000
32000-34000	33000	115	3 795 000
34000-36000	35000	180	6 300 000
36000-38000	37000	45	1 665 500
Итого		500	16580000

В результате среднемесячная заработная плата на данном предприятии составит:

х = (?xf) / ?f =16580 000/500 = 33 160 тенге.

Важнейшие свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает рядом важнейших свойств, имеющих практическое значение для вычисления средней по данным вариационного ряда.

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты:

Смысл данного свойства средней арифметической заключается в том, что если каждое значение варьирующего признака заменить его средним арифметическим (левая часть равенства), то их сумма (правая часть) не изменится. В нашем случае

33160x500 = (27000x10 + 29000x50+ +3 1 000х 100 + 33000х 115 + 35000х 1 80 +37000x45) = 16 580 000.

2. Если каждую варианту уменьшить или увеличить на какое-либо произвольное число, то новая средняя изменится на то же число:

[? (х-А) f] / ?f = х - А, [? (х+А) f] / ?f = х +А,

Отсюда

х = [? (х-А) f] / ?f + А, х = [? (х+А) f] / ?f - А,

Так, если в нашем примере уменьшить все варианты на 27 000, то расчеты можно провести путем умножения меньших величин, а затем к результату прибавить 27 000, чтобы получить среднюю арифметическую.

Увеличение вариант может быть удобно, если в результате добавления числа А получаются более круглые цифры, позволяющие упрощать умножение.

Например, если бы в нашем примере интервалы были бы равны f1000 тенте, то их серединное значение было бы кратным 500.

Для упрощения умножения можно было бы прибавить к серединным значениям 500, а после их умножения на соответствующие частоты и деления на сумму частот результат необходимо было бы уменьшить на 500, чтобы получить среднюю величину первоначального ряда.

3. Если каждую варианту разделить или умножить на какое-либо произвольное число, то средняя арифметическая изменится во столько же раз:

[? (х/А) f] / ?f = х /А, [? (ххА) f] / ?f = х + А,

Отсюда

х = { [? (х/А) f] / ?f } х А, х = { [? (ххА) f] / ?f } / А,

Умножение вариант удобно применять в случаях, когда интервалы имеют дробные значения.

4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится.

Этим свойством часто пользуются, выражая веса (частоты) в процентах к итогу. В нашем случае частоты можно разделить на 5, чтобы получить суммарное количество частот, равное 100.

5. Сумма отклонений вариант как от простой, так и от взвешенной средней арифметической всегда равна нулю:

? (х-х) = 0 и ? (х-х) f = 0

Логически это свойство значит, что в средней арифметической взаимно погашаются отклонения вариант в ту и другую сторону.

Вычисление средней из вариационного ряда способом моментов. - Пользуясь различными свойствами средней арифметической, можно вычислить ее разными способами:

1) путем вычитания из всех вариант постоянного числа (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой, в данном примере 33 000);

2) путем деления варианты на постоянное число, а именно на величину интервала (в нашем примере 2000);

3) путем выражения частот в процентах.

Первые два способа называются способом отсчета от условного начала, или сокращенно "способом моментов". Он применяется в рядах с равными интервалами (табл.6.3).

Вычисление средней способом моментов:

Х	х1= (х-16 500) /1000	f (в% к итогу)	х1 f
27000	-3	2	-6
29000	-2	10	-20
31000	-1	20	-20
33000	0	23	0
35000	1	29	36
37000	2	9	18
Итого		100	+54-46=8

Среднюю арифметическую из этих новых вариант (т]) называют моментом первого порядка и выражают формулой:

m₁ = (?x₁f) /?f=8/100=0.08

Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину момента первого порядка умножить на величину интервала, на который делили все варианты (в нашем случае на 2000) и прибавить к полученному произведению величину варианты, которую вычитали:

х = i m₁ +А= 2000x0,08 + 33 000 = 33 160.

Если ряд равноинтервальный, то вычисление средней арифметической способом моментов намного легче, чем прямым способом по формуле средней арифметической взвешенной.

6.3 Средняя гармоническая

Определение средней гармонической. По своему определяющему свойству средняя гармоническая должна применяться тогда, когда общий объем признака образуется как сумма обратных значений вариант. Однако таких примеров в области социально-экономических явлений найти трудно. Тем не менее, она довольно часто используется в статистике. Ее применяют тогда, когда имеются не частоты вариант (/), а их произведение на частоты (х/=м>), которые выступают как веса. Например, если мы имеем суммарные объемы производства для различных групп предприятий, а также средний по каждой группе объем производства, то для определения частот приходится делить эти произведения на варианты или, что то же самое, умножать на обратное их значение:

x = (?xf) / (?xf/x) = (?w) /? (w x 1/x)

Средняя гармоническая в этих случаях - величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Пример 1. Расчет среднего процента выполнения плана В таблице 6.4 представлен расчет среднего процента выполнения плана тремя предприятиями на основе данных о планируемых и фактических объемах производства (цифры условные).

Расчет среднего процента выполнения плана:

Предприятие	План.	Факт.	Степень выполнения плана
А	100	105	1,05, или 105%
Б	200	180	0,9, или 90%
В	300	330	1,1, или 110%
Всего	600	615	1,025, или 102,5%

Среднее значение варьирующего признака трех предприятий (степени выполнения плана) - 102,5% может быть получено как средняя арифметическая, если взвешивать отдельные варианты по показателям плана:

х = (1,05x100 + 0,9x200+ 1,1x300) 7600 = 615/600= 1,025.

Если же взвешивать по фактическому выполнению плана, то получится неправильный результат:

x = (1,05x105 + 0,9x180 + 1,1x330) 7615 = 635,25/615 = 1,033.

Правильный результат при взвешивании по фактическому выполнению дает средняя гармоническая:

x = (?w) /? (wx1/x).

Для исчисления средней гармонической взвешенной необходимо:

а) веса разделить на соответствующие варианты:

105/1,05=100; 180/0,9 = 200; 330/1,1=300.

б) сумму весов разделить на сумму частных от первых делений:

615/ (100 + 200 + 300) = 615/600 = 1,025.

Пример 2. Расчет средней покупной цены материала Л, купленного тремя партиями (100, 200 и 300 кг) по разным ценам (соответственно за 5, 10 и 15 тенге). Стоимость партий составила соответственно 500, 2000 и 4500 тенге.

Если в качестве весов взять количество товаров, то верный результат дает средняя арифметическая:

х = (5хЮО+ 10x200+ 1 5x300) / 600 = 7000/600 = 1-1,67 тенге.

Средняя гармоническая даст верный результат в случае, если в качестве весов принимать стоимость партий:

х = 7000/ (500 /5 + 2000 /10 + 4500/15) = 7000/600 = 1 1,67 тенге.

Пример 3. Расчет среднего времени обращения одной и той же товарной массы на трех предприятиях, на которых время обращения товарной массы составило соответственно 20, 5 и 2 дня.

Так как товарная масса одного объема, то применяется формула простой (невзвешенной) средней:

х = (20 + 5 +2) / 3 = 27/3 = 9 дней.

В результате расчета по средней гармонической получаем 4 дня:

х = 3/ (1/20 + 1/5 +12) = 300/ (5 + 20 + 50) = 4 дня.

Верным будет расчет по второй формуле, потому что время обращения это частное от деления товарной массы на однодневный оборот. Товарные массы на предприятиях одинаковы, но однодневные обороты разные, поэтому различно и время обращения. Если приравнять всюду товарные массы к 100, то в первом предприятии однодневный оборот составит 5. во втором - 20, в третьем - 50. Поэтому делать расчет по средней арифметической невзвешенной нельзя. Надо время обращения взвесить по однодневному обороту:

x=	?to
	?0

где t - время обращения товарной массы на отдельном предприятии; о - однодневный оборот товарной массы на отдельном предприятии.

х = (20x5 + 5x20 +2x50) / (5 + 20 + 50) = 4 дня.

Такой результат получен и при использовании средней гармонической, так как в этом случае в качестве весов применяются одинаковые объемы товарной массы.

Общие условия применения средней гармонической. Обшее правило применения средней гармонической гласит, что к средней гармонической следует прибегать в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности - носители признака, а произведение этих единиц на значения признака (т.е. w = хf).

В первом примере фактическое выполнение плана представляет собой произведение плана па степень его выполнения. Во втором - стоимости получены в результате произведения количества на цены. В третьем примере товарная масса представляет собой произведение времени обращения на однодневный оборот.

Из этого правила следует, что средняя гармоническая есть по существу преобразованная средняя арифметическая, которая применяется тогда, когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объемам признака. Необходимо отметить, что если в качестве весов выступают абсолютные величины, то любые промежуточные действия должны давать экономически значимые результаты. Например, цена умножается на количество товаров и в итоге получается стоимость. Умножение цены на стоимость абсурдно с экономической точки зрения. Это может стать дополнительным критерием правильности выбора формы средней.

6.4. Мода и медиана

Определение моды и медианы. Мода и медиана являются вспомогательными описательными характеристиками распределения варьирующего признака.

Модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медиана - это варианта, расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности.

Мода используется для характеристики наиболее часто встречающегося признака в совокупности (наиболее распространенная должность в организации, наиболее распространенный размер обуви и т.д.). Иными словами мода характеризует типичность явления.

Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которую достигла половина членов совокупности. Например, средняя заработная плата наемных работников в целом по экономике Казахстана составляла 19 754 тенге, в то же время половина работающих получали заработную плату не более 13 505 тенге, т.е. у половины занятых наемным трудом заработная плата была меньше средней не менее чем в полтора раза!

Два ряда распределения могут иметь заметно различающиеся средние величины некоторого признака и в то же время одинаковое медианное значение. Отсюда, медиана, как и мода, также характеризует типичность признака.

Кроме того, мода и медиана позволяют получить представление о структуре совокупности, поэтому их еще называют структурными средними.

Нахождение моды и медианы в дискретном вариационном ряду. Рассмотрим распределение семей в некотором населенном пункте по количеству детей (табл.6.5).

Ряд распределения семей по количеству детей:

Группа семей по числу детей	Число семей
0	10
1	30
2	75
3	45
4	20
5	15
6	6
Итого	201

Модой в этом примере будет семья, имеющая двоих детей, так как этому значению варианты соответствует наибольшее число семей (75).

Если распределение равномерное, где все варианты встречаются одинаково часто, то говорят, что ряд не имеет моды или, иначе, что все варианты одинаково модальны.

Могут быть случаи, когда две варианты встречаются одинаково часто. Тогда говорят, что распределение бимодально.

Для нахождения медианы необходимо сумму частот разделить пополам и к полученному результату прибавить 0,5. В нашем случае это будет 101 варианта (201/2 + 0,5). Данная варианта находится в группе семей с двумя детьми, т.е. медианой будет семья, имеющая двух детей.

Если в ряду имеется четное количество частот (например, 200), то номер медианной варианты будет дробным (для 200 будет 200,5). В этом случае медиана находится между 100-й и 101-й вариантами, а ее значение будет равно средней из значений этих двух вариант.

Расчет моды в интервальном вариационном ряду. В моде и медиане не погашаются индивидуальные отклонения. Они всегда соответствуют определенной варианте. Если имеются все значения признака, то не требуется проводить расчеты для определения моды и медианы. Однако в интервальном вариационном ряду для нахождения приближенного значения моды и медианы в пределах определенного интервала прибегают к расчетам.

Рассмотрим приведенный ранее пример распределения рабочих по заработной плате (табл.6.6).

Ряд распределения рабочих по размеру заработной платы:

Группа рабочих по зарплате	Число рабочих
26000-28000	10
28000-30000	50
30000-32000	100
32000-34000	115
34000-36000	180
36000-38000	45
Итого	500

Модальным интервалом здесь является интервал, где варианта лежит в пределах от 34 до 36 тыс. тенге, поскольку наибольшее количество рабочих имеют заработную плату именно в этих пределах. Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в этом интервале, применяют такую формулу:

Мо = х_мо + i_мо x (f_mo - f_mo-1) / [ (f_mo - f_mo-1) + (f_mo - f_mo+1)]

где х_мо - минимальная граница модального интервала (в примере - 34000); i_мо - величина модального интервала (2000); f_mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному (115); f_mo - частота модального интервала (180); f_mo+1 - частота интервала, следующего за модальным (45).

Рассчитаем значение моды для нашего примера:

Мо = 34000 + 2000 х (180-115) / [ (180 - 115) + (180-45)] = =34000 +2000 х 65/200 = 34000 + 2000 х 0,325 = 34650 тенге.

Смысл формулы заключается в том, что величину той части модального интервала, которую нужно добавить к его минимальной границе, определяют в зависимости от величины частот предшествующего и последующего интервалов. В данном случае к 34000 прибавляем 650, т.е. меньше половины интервала (2000), потому что частота предшествующего интервала (115) больше частоты последующего интервала (45).

Расчет медианы в интервальном вариационном ряду. Для исчисления медианы сначала необходимо определить интервал, в котором она находится (медианный интервал). Это интервал, кумулятивная частота которого будет превышать половину суммы частот. Половина частот в нашем случае равна 250 (500/2). Суммируя последовательно частоты в ряду, мы превысим середину суммы частот на четвертом интервале (10 + 50 + 100 + 115= 275), т.е. медианным у нас будет интервал 32000-34000 тенге. До этого интервала сумма частот составила 160. Для получения медианы необходимо прибавить еще 90 единиц (250 - 160). При определении медианы предполагают, что значение единиц в границах интервала распределяется равномерно. Следовательно, если 115 единиц, находящихся в этом интервале, распределяются равномерно в интервале, равном 2000, то 90 единицам будет соответствовать следующая его величина:

2000 х 90/ 115 = 1560.

Прибавив полученную величину к минимальной границе медианного интервала, получим искомое значение медианы:

Ме = 32000 + 1560 =33560 тенге.

Формула для исчисления медианы для интервального вариационного ряда будет иметь вид:

Ме = x_Ме + i_Ме х (?f/2 - S_{Me - 1}) / f_Me

где х_Ме - начальное значение медианного интервала;

i_Ме - величина медианного интервала;

?f - сумма частот ряда (численность ряда);

S_{Me - 1} - сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

f_Me - частота медианного интервала.

Рассчитаем медиану для нашего случая:

Ме = 32000 + 2000 х (500/2 - 160) 7115 = 33560 тенге.

Таким образом, для нашего примера средняя арифметическая равна 33 160, мода - 34650, медиана - 33560 тенге. Соотношение этих трех величин указывает направление и степень асимметрии распределения (будет рассмотрено в следующей теме).

Квартили и децили. Дополнительно к медиане для характеристики структуры вариационного ряда исчисляют квартили, делящие ряд по сумме частот на 4 равные части, и децили, которые делят ряд по сумме частот на 10 fравных частей.

Второй квартиль равен медиане, а первый и третий исчисляются аналогично расчету медианы, только вместо медианного интервала берется для первого квартиля интервал, в котором находится варианта, отсекающая '. Л численности частот, а для третьего квартиля - варианта, отсекающая 3/4 численности частот. Рассчитаем для нашего примера первый и третий квартили:

Q₁ = x_Q1 + i _Q1 x (?f/4 - S _Q1-1) /f _Q1 = 30000 + 2000 x (125 - 60) /100

=31300 тенге.

Четвертая часть частот составляет 125 (500/4) и находится в интервале 30000-32000. Следовательно, х _Q1 = 30000. Сумма накопленных частот до данного интервала равна 60 (S _Q1-1), частота этого интервала - 100 (f _Q1). Полученное значение первого квартиля означает, что у трех четвертей рабочих заработная плата составляет 31300 тенге и выше (или у одной четверти рабочих она не превышает 3 1300 тенге).

Рассчитаем третий квартиль:

Q₃ = x_Q3 + i _Q3 x (?f/4 - S _Q3-1) /f _Q3 = 34000 + 2000 x (375 - 275) /100

=35110 тенге.

Следовательно, заработная плата каждого четвертого рабочего превышает 35110 тенге (или у трех четвертей рабочих она не превышает 35110 тенге).

6.5 Основные правила применения средних в статистике

Общие требования. Средние должны относиться к явлениям одного и того же вида и базироваться на массовом обобщении фактов. Только тогда они отражают сущность явления и на их значение не оказывают влияние случайные факторы. Это требование в статистике связывает средние с законом больших чисел.

Второе требование к средним в статистике заключается в качественной однородности совокупности. Из этого следует, что нельзя применять средние к такой совокупности, отдельные части которой подчинены различным законам развития в отношении осредняемого признака. Качественно однородные совокупности выделяются с помощью метода группировки.

Общие и групповые средние. Даже в пределах однородной совокупности количественные различия могут носить не случайный, а систематический характер. Поэтому наряду с общей средней всей совокупности вычисляются групповые средние.

Например, динамика урожайности сельскохозяйственной культуры может показывать тенденцию ее снижения. Однако она может быть обусловлена различиями почвенно-климатических и других условий в разных регионах. Группируя районы страны по этим признакам, можно обнаружить, что динамика средней урожайности в отдельных районах либо не изменяется, либо возрастает, а уменьшение общей средней в целом по стране обусловлено ростом удельного веса районов с более низкой урожайностью в общем объеме производства этой сельскохозяйственной культуры. То есть динамика групповых средних более полно отразила закономерность изменения урожайности, а динамика общей средней показывает лишь ее общий результат.

Средние величины и ряды распределения. Метод средних, дополненный рядами распределения, становится значительно богаче для анализа закономерностей.

Средние в статистике следует применять на основе и в органическом единстве с методом группировок. Метод группировок позволяет отграничить качественно однородные совокупности для применения средних характеристик, дополнить общую среднюю групповыми средними, дополнить средние характеристики рядами распределения.

Часто за общими, сравнительно благополучными средними скрываются показатели плохой работы на отдельных предприятиях, тяжелой ситуации в отдельных социально-демографических группах населения. Не видны и положительные результаты. Поэтому общие средние дополняются

групповыми средними, а групповые средние дополняются минимальными и максимальными показателями в группах. То есть должны изучаться и индивидуальные величины.

Однако не следует преувеличивать роль средних в статистике. Часто, опираясь на А. Кетле, статистику объявляют наукой о средних. Ряд ученых при этом упрощенно подходят к средней, без всякой попытки раскрыть ее природу, ее качественное содержание.

Отсутствие каких-либо качественных ограничений в расчете средних приводят к тому, что они нередко исчисляются в отрыве от сущности явлений. Так, в среднем доходы населения могут расти. В то же время может расти неравенство в их распределении, а число бедных, имеющих доходы ниже прожиточного минимума, не уменьшаться.

Как уже было отмечено выше, средние в статистике следует применять на основе и в органическом единстве с методом группировок. Метод группировок позволяет отграничить качественно однородные совокупности для использования средних характеристик. Группировки позволяют избежать применения фиктивных средних и сделать более глубокий анализ с помощью групповых средних.