Предмет и метод статистики

Таким образом, мы рассмотрели показатели средних в статистике, в том числе методы расчета средней арифметической и средней гармонической, а также моду и медиану, дополняющие средние и носящие типичные характеристики распределений (если они также однородны и массовы). Два ряда распределения могут иметь заметно различающиеся средние величины некоторого признака и в то же время одинаковое медианное значение, т.е. медиана характеризует типичность признака.

В отличие от средних значений отдельных признаков модальные и медианные значения не увязываются в систему. Так, на основе медианного значения часовой выработки, продолжительности рабочего дня и рабочего месяца нельзя вычислить медианное значение месячной выработки рабочего.

Следующая тема посвящена показателям вариации - показателям, характеризующим отклонения от средних величин. Ряд из них, в частности дисперсия и среднее квадратическое отклонение, имеют схожие свойства и схожую технику вычислений, что и средняя арифметическая. Они существенно увеличивают возможности анализа рядов распределения.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1. Дайте определение средней величины. Каково значение средних величин в статистике?

2. Какое отношение к средним величинам имеет закон больших чисел?

3. Какие виды средних величин применяются в статистике?

4. Как рассчитывается средняя арифметическая простая и' в каких случаях она применяется?

5. Как вычисляется средняя арифметическая взвешенная и в каких случаях она применяется?

6. Как определяется средняя арифметическая для интервальных рядов?

7. Какие свойства средней арифметической используются для расчета средней способом моментов?

8. В каких случаях применяется средняя гармоническая?

9. Что называется модой и медианой? Как рассчитываются мода и медиана в дискретном вариационном ряду?

10. Как определяется мода в интервальном вариационном ряду?

11. Как вычисляется медиана в интервальном вариационном ряду?

12. Дайте определения квартилям и децилям. Как они рассчитываются?

13. Чем различаются общие и групповые средние?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. Авров А.П. Аврова Ю.А. Обшая теория статистики. Основы курса: Учебное пособие.2-ое изд. доп. - Алматы, 2004. - 112с.

2. Сиденко А.В., Попов Г.Ю., Матвеева В.М. Статистика: Учебник. - М.: Дело и сервис, 2000. - 464с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - 3-е изд. / Под ред. чл. - корр. РАН И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 368 с.: ил.

4. Теория статистики: Учеб. для вузов / Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1996.

5. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник для вузов. - М.: ИНФРА-М, 1998.

6. Статистика: Курс лекций для вузов / Под ред.В.Г. Ионина. - М.: ИНФРА-М, 1996.

7. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие для вузов. - М.: Аудит, ЮНИТИ, 1998.

8. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие. - М.: ИННТИ, 2000.

9. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студ. экон. спец. вузов. - 4-с изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1984. - 343 с.: ил.

10. Общая теория статистики: Учебник / Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова и др. - М.: Финансы и статистика, 1981.

11. Общая теория статистики: Учебник / Г.С. Кильдишев, В.Е. Освиенко, П.М. Рабинович, Т.В. Рябушкин. - М.: Статистика, 1980.

12. Статистический словарь / Гл. ред. М.А. Королев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1989.

6.6 Задания для самостоятельной работы

ЗАДАЧИ.

Задача 1. Коэффициенты рождаемости по возрастам матери на 1000 женщин соответствующего возраста в 2004 г. в Казахстане составляли:

Возраст, лет	15-19	20-24	25-29	30-34	35-39	40-44	45-45
Коэффициент рождаемости, промилле	26,94	143,24	131,24	86,11	44,17	9,50	0,49

Определите средний возраст женщины, родившей в 2004 г. ребенка, моду и медиану.

Задача 2. По данным переписи населения 1999 г. в Республике Казахстан было зарегистрировано 14953,1 тыс. человек постоянного населения, в том числе 8377,3 тыс. человек, проживающих в городских поселениях и 6575,8 тыс. человек - в сельской местности. Темпы изменения численности населения по отношению к численности населения по данным переписи 1989 г. по городской местности составили 92,3%, в сельской местности - 93,7%. Исчислите, как в среднем изменилась численность населения между переписями.

Задача 3. По следующим данным Минтрудсоцзащиты РК о среднем размере назначенных пособий ка начало года и месячном объеме назначенных пособий вычислите средний размер пособий за три года:

Год	Средний размер назначенных пособий, тенге	Месячный объем назначенных пособий, тенге
2003	3391	2 684 994
2004	3647	2 868 001
2005	3824	3 022 490

Задача 4. Распределение населения по возрасту среди населения, имеющих доходы, использованные на потребление, ниже величины прожиточного минимума, в обследуемых домохозяйствах в 2004 г. в Республике Казахстан составляли:

Возраст, лет	Доля населения, %
0-14	33,1
15-19	13,0
20-24	7,4
25-29	6,0
30-34	6,7
35-39	7,9
40-44	7,9
45-49	5,4
50-54	3,7
55-59	2,3
60-64	1,8
65 и старше	4,8

На основе этих данных рассчитайте обычным способом и способом моментов: а) средний возраст населения, имеющих доходы ниже величины прожиточного минимума; б) моду и медиану. Примите во внимание, что среднее значение возраста населения в возрасте 65 лет и старше равно 75 годам.

Задача 5. Используя способ моментов, исчислите средний возраст докторов наук, моду и медиану по данным переписи населения 1999 г. в Республике Казахстан:

Возраст, лет	25-29	30-34	35-39	40-44	45-49	50-54	55-59	60-64
Количество докторов наук	2	40	100	178	269	339	376	383

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ.

1. Показатели, дающие обобщенную характеристику социально-экономических явлений по какому-либо признаку в расчете на единицу совокупности, называются:

1) синтетическими показателями;

2) индексами;

3) относительными показателями;

4) средними показателями;

5) коэффициентами.

2. Величина осредняемого признака называется:

1) абсолютным значением;

2) вариантой;

3) частотой;

4) частостью;

5) единицей совокупности.

3. Сущность закона больших чисел и его значение для средних величин проявляется:

1) в погашении отклонений значений признака, порождаемых случайными причинами;

2) в возможности расчета средней величины способом моментов;

3) в возможности строить типические группировки и определять для них групповые средние;

4) в возможности применять формулу средней арифметической взвешенной;

5) в проявлении различных уровней варьирующего признака, зависящих от множества причин.

4. Применение формул средней арифметической и средней гармонической зависит от:

1) целей анализа;

2) выбора объекта наблюдения;

3) экономического содержания объекта;

4) математического содержания объекта;

5) того, как образуется общий объем варьирующего признака.

5. При наличии данных об урожайности пшеницы с одного гектара и посевной площади в отдельных районах области средняя урожайность в области определяется по формуле:

1) средней гармонической простой;

2) средней гармонической взвешенной;

3) средней арифметической простой;

4) средней арифметической взвешенной;

5) средней геометрической.

6. Как изменится величина средней арифметической - 20 кг - для совокупности из 100 камней, если все варианты значений признака уменьшить на 5:

1) 25 кг;

2) 95кг;

3) 15 кг;

4) 5кг;

5) 100кг.

7. Как изменится величина средней арифметической, если все варианты значений признака уменьшить в 10 раз:

1) уменьшится в 10 раз;

2) увеличится в 10 раз;

3) не изменится;

4) увеличится на 10;

5) уменьшится на 10.

8. Как изменится величина средней арифметической, если все частоты разделить на 5:

1) увеличится в 5 раз;

2) не изменится;

3) уменьшится в 5 раз;

4) увеличится на 5;

5) уменьшится на 5.

9. Средняя, исчисленная на основе обратных значений признака, называется:

1) арифметической;

2) квадратической;

3) кубической;

4) геометрической.

5) гармонической.

10. Модой в ряде распределения является:

1) варианта, которая чаще всего встречается;

2) наибольшая варианта;

3) наибольшая частота;

4) варианта, делящая ранжированный ряд на две равные части;

5) средний уровень ряда.

11. Медианой в ряде распределения является:

1) варианта с наибольшей частотой;

2) варианта со средней частотой;

3) варианта, делящая ранжированный ряд на две равные части;

4) варианта, отсекающая нижний квартиль в рандированном ряде распределения;

5) частота признака интервала в середине ряда.

Тема 7. Показатели вариации

7.1 Показатели вариации

Общее понятие о показателях вариации. Теоретическое и практическое значение имеют не только средние величины, но и показатели колеблемости значений признака. Интерес представляют не только крайние значения отклонений, но и совокупности всех отклонений. От размера и распределения отклонений зависят типичность и надежность средних характеристик. Легко представить себе совокупности, у которых средние величины каких-то признаков совершенно одинаковы, но отклонения от этих средних различны.

Размах вариации. Наиболее простым показателем вариации является показатель размаха вариации (К), исчисляемый как разность между наибольшим и наименьшим значением варьирующего признака:

R = x_max - x _min

Однако и при равных показателях размаха вариации (улавливающих только крайние отклонения от средней) распределение отклонений может быть различным. Для одних рядов распределения эти отклонения могут быть сгруппированы ближе к средней величине, в других - дальше от нее.

Среднее арифметическое (линейное) отклонение. Прежде чем дать обобщенную характеристику распределению отклонений, нужно вычислить среднюю из этих отклонений. При этом, чтобы учесть отклонения как в одну сторону от средней, так и в другую (поскольку сумма отклонений равна нулю), необходимо взять их с одним знаком и разделить их сумму на число элементов ряда. Полученный показатель вариации называется средним арифметическим, или линейным отклонением:

d = (?¦x -x ¦f) / ? f

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. В статистике как меру вариации признака применяют дисперсию - средний квадрат отклонений от средней величины (у²), а корень квадратный из дисперсии называют средним квадратическим отклонением (у).

Для расчета дисперсии используют следующую формулу:

у² = (? (х - х) ² f) / ?f,

а для расчета среднего квадратичного отклонения:

у = [ (? (х - х) ² f) / ?f]] ^1/2

Исчислим данные показатели для двух рядов, имеющих одинаковый размах вариации признаков (8-2=6), а также среднее значение признака (5) (табл.7.1 и 7.2).

Из этих таблиц для первого ряда получим

у² = 118/132 = 0,89, у= 0,89) ^1/2 = 0,94 для второго - у² = 720/170 = 4,2, у = (4,2) 1/2 = 2,05.

Среднее квадратическое отклонение во втором примере более чем в два раза превышает среднее квадратическое отклонение первого примера и характеризует более высокую вариацию признака во втором ряду по сравнению с первым рядом.

Среднее квадратическое отклонение всегда выражается в тех же именованных числах, в которых выражены варианты и средняя является абсолютной мерой вариации.

Коэффициент вариации. Среднее квадратическое отклонение по своему абсолютному значению зависит не только от степени вариации, но и от абсолютных уровней вариант и средней. Поэтому сравнивать средние квадратичные отклонения вариационных рядов с разными средними уровнями непосредственно нельзя.

	7.1. Статистический ряд распределения 1
X	f	х - х	(х - х) 2	(х - х) 2 f
2	1	-3	9	9
3	5	-2	4	20
4	30	-1	1	30
5	60	0	0	0
6 7	30 5	1	1	30
7	5	2	4	20
8	1	3	9	9
	132			118

	7.2. Статистический ряд распределения 2
X	/	х - х	(х х) 2	(х - х) 2Г
2	30	-3	9	270
3	20	_2	4	80
4	10	-1	1	10
5	50	0	0	0
6	10	1	1	10
7	20	2	4	80
8	30	3	9	270
	170			720

Чтобы сравнить степени вариации различных рядов необходимо сравнить процентные отношения средних квадратических отклонений к средней арифметической. Полученный относительный показатель называется коэффициентом вариации, или простым коэффициентом вариации:

v = у/х х 100.

Например, если для урожайности кукуруз_ы в одном районе ау = 10 ц/га и% - 40 ц/га, а в другом районе у = 9 ц/га и х = 30 ц/га, то по абсолютной величине вариация в первом районе больше, а относительная мера вариации меньше, поскольку:

V₁ = 10/40 х ЮО = 25%, V₂ = 9/30 х 100 = 30%.

Коэффициент вариации в известной степени является критерием типичности средней. Иными словами, если коэффициент вариации высокий (скажем, превышает 40%), то это значит, что средняя характеризует совокупность по признаку, который существенно изменяется у отдельных ее единиц. Типичность такой средней невелика.

В ранее приведенном примере коэффициент вариации для первого ряда равен 0,188 (0,94/5), или 18,8%, а во втором ряду - 0,41 (2,05/5), или 41%. Поэтому о средней в первом ряду можно сказать, что она является типичной характеристикой, а о средней во втором ряду - нетипичной.

Другие относительные показатели вариации. Если сравнить со средней арифметической величиной не среднее квадратическое отклонение, а размах вариации (Я) или среднее линейное отклонение (сГ), то мы получим другие разновидности относительных показателей вариации, называемые соответственно коэффициентом осцилляции (уя) и линейным коэффициентом вариации (уа).

Техника вычисления показателей вариации. Используя приведенный в предыдущей теме пример, вычислим показатель вариации в интервальном вариационном ряду (табл.7.3).

Средняя арифметическая была вычислена ранее и равна:

х = (2x1) / 2/= 33 160 тенге.7.3. Расчет показателей

Группа рабочих по заработной плате, _____ тенге	Серединное значение интервала (х)	Число рабочих (/)	х - х	(х-х) 2	(х-. г) 2/
26000-28000	27000	10	-6160	37 945 600	379 456 000
28000-30000	29000	50	^160	17305600	865 280 000
30000-32000	31000	100	-2160	4 665 600	466 560 000
32000-34000	33000	115	-160	25600	2 944 000
34000-36000	35000	180	1840	3 385 600	609 408 000
36000-38000	37000	45	3840	14 745 600	663 552 000
Итого		500			2 987 200 000

Далее вычислим дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации:

у² = (? (х - х) ²f) /? f = 2 987 200 000/ 500 = 5 974 400;

у= (5974400) 1/2 = 2444:

v = 2444/33160 х 100 = 7,4%.

Таким образом, среднее квадратическое отклонение равняется 2444 тенге, а коэффициент вариации - 7,4%.

7.2. Способы расчета дисперсии

Важнейшие математические свойства дисперсии. Средний квадрат отклонений у² имеет ряд математических свойств, которые упрощают технику его расчета и позволяют использовать для расчета других показателей.

1. Если из всех вариант отнять некоторое число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится: у² _(х-А) = у². Равенство сохраняется и в случае, если ко всем вариантам прибавить некоторое число А. Следовательно, для исчисления дисперсии, можно использовать не сами варианты, а их отклонения от некоторого числа А.

2. Если все значения вариант разделить на какое-то число А, то средний квадрат от этого уменьшится в А² раз, а среднее квадратическое отклонение - в А раз: у² _(х/А) = у^2/А2, (т (х, А) = а/ А. Следовательно, при исчислении дисперсии можно все варианты разделить на некоторое число А, исчислить дисперсию и затем умножить ее на это число в квадрате.

3. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, в той или иной мере отличающейся от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленной от средней арифметической: у² _А > у². При этом больше на определенную величину - на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной, т.е. на (х - А) ²:

у² _А = у² + (ч - А) ²

или

у² = (? (х-А) ²f) /Еf- (х - А) ².

Значит, дисперсия от средней всегда меньше средних квадратов отклонений, исчисленных от любых других величин, другими словами имеет свойство минимальности.

Дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений и квадратом их средней, т.е.

у² = (x) - x - ²

Вычисление дисперсии и среднего квадратичного отклонения способом моментов. Расчет дисперсии можно упростить, если использовать способ моментов (свойства 1 и 2). Покажем это на примере. Предположим, что на сортоиспытательной станции было засеяно 125 участков (по 1 кв. м каждый) новым сортом пшеницы. Необходимо исчислить для них среднюю урожайность, дисперсию и коэффициент вариации. Исходные данные и вспомогательные расчеты приведены в таблице 7.4.

Расчет урожайности пшеницы и показателей ее вариации:

Урожайность, г/м2 (. т)	Число участков (f)	(х-235) /10 = х1	x1f	x12f
195	2	-4	-8	32
205	5	-3	-15	45
215	13	-2	-26	52
f225	17	-1	-17	17
235	18	0	0	0
245	31	1	31	31
255	22	2	44	88
265	12	3	36	108
275	5	4	20	80
Итого	125		65	453

Рассчитаем показатели:

_ m₁= (?x₁ f) / ?f = 65/125 = 0,52, m₁²= 0,2704;

х=А + im₁ = 235 + 10x0,52 = 235+ 5,2 = 240,2 г/м²;

m₂= (?x₁² f) /? f= 453/125 = 3,624;

у² = i² (m₂ - m₁²) = 10²х (3,624 - 0,2704) = 10²хЗ,3536 = 335,36;

у² = (335,36) ^1/2 = 18,3 г/м²;

v = у/ х 100= 18,3x100/240,2=7,6%.

Внутригрупповая и межгрупповая вариация. Вариация признака может быть обусловлена различными факторами. Некоторые из этих факторов можно выделить с помощью группировок. Предположим, что в нашем последнем примере 125 участков были расположены на разных массивах земли: 55 участков находилось на неудобренном массиве, а 70 - на Удобренном. Исчислим для них в отдельности среднюю урожайность, Дисперсию и коэффициент вариации (табл.7.5).

Расчет средней урожайности пшеницы и показателей ее вариации на двух массивах земли:

Урожайность, г/м2 (х)	Число участков (f)	В том числе:	(х - 235) / 10 = x1	Расчет для 1 - го участка	Расчет для 2-го участка
		на первом массиве (Л)	на втором массиве (f2)		x1f1	x12 f1	x1f2	x12 f2
195	2	2	0	-4	-8	32	0	0
205	5	5	0	-3	-15	45	0	0
215	13	12	1	-2	-24	48	-2	4
225	17	15	2	_1	-15	15	-2	П 2
235	18	10	8	0	0	0	0	0
245	31	7	24	1	7	7	24	24
255	22	3	19	2	6	12	38	76
265	12	1	11	3	3	9	33	99
275	5	0	5	4	0	0	20	80
Итого	125	55	70		-46	168	111	285

Рассчитаем показатели для неудобренного массива:

m₁= (?x₁f₁) / ?f₁ = - 46/55 =-0,836, m₁²=0,7

х = A + im₁ = 235+10 x (-0,836) = 235 - 8,36 = 226,64;

m₂= (?x₁² f₁) / ?f₁= 168/55 = 3,05;

у² = i² = (m₂ - m₁²) =10²х (3,05 - 0,7) = 10²х2,35 = 235;

у = (253) ^Ѕ = 15.3

х = у / х x 100 = 15,3x100/226,64=6,8%;

для удобренного массива:

m₁= (?x₁f₂) / ?f₂ = 111/70 = 1,586, m₁²= 2,5;

х = A + im₁ = 235+ 10x1,586 = 235 + 15,86 = 250,86;

m₂= (?x₁² f₁) / ?f₁= 285/70 = 4,07;

у² = i² у² = i² = 102х (4,07-2,5) = 102х1,57= 157;

у = (157) ^1/2=12,5;

х = у / х x 100 = 12,5x100/250,86=5%.

Сведем полученные результаты в одну таблицу вместе с данными по всем участкам (табл.7.6).

Средняя урожайность пшеницы и показателей ее вариации на всех участках и на двух массивах земли

	f	x	у2	у	V
Все участки	125	240,2	335	18.3	7,6
Неудобренные	55	226,64	235	15.3	6,8
Удобренные	70	250,86	157	12,5	5,0

Так как урожайность зависит от удобрений, то групповые средние существенно отличаются от общей: на неудобренном массиве урожайность ниже средней, а на удобренном - выше.

В то же время группировка по этому признаку образовала более однородные совокупности, поэтому показатели дисперсии и коэффициенты вариации по группам ниже, чем на всех участках в целом. Однако наличие групповых дисперсий говорит о том, что в пределах групп осталась вариация урожайности, обусловленная влиянием каких-то других факторов помимо удобрений. Так, на неудобренном массиве дисперсия составила 235, а на удобренном - 157. Общей мерой влияния этих других факторов будет средняя из этих внутригрупповых дисперсий:

у² = (?у² f) / ?f = (235x55 + 157x70) / 125 = = (12925 +10990) /125 = 191.

Она измеряет внутригрупповую вариацию, которая составляет 57% (191/335x100) от общей вариации. Остальная часть общей дисперсии, очевидно обусловлена группировочным признаком, т.е. фактором удобрений. Можно прямо измерить эту часть общей вариации (назовем ее межгрупповой вариацией и обозначим греческой буквой "дельта" в квадрате - 52), если рассматривать групповые средние как варианты и исчислить их колеблемость около общей средней (табл.7.7).

Прямой расчет межгрупповой вариации (дисперсии групповых средних):

	x	f	х - 240.2	(х - 240,2) 2	(х - 240,2) 2 f
Неудобренные	226.64	55	-13,56	183.9	10114,5
Удобренные	250,86	70	10,66	113,6	7952
Все участки		125			18066,5

Дисперсия групповых средних даст обобщенную характеристику межгрупповой вариации:

д²= (? (x - 240,2) ² f) / ?f= 18066,5/125 = 144.

В сумме со средней внутригрупповых дисперсий дисперсия групповых средних дает общую дисперсию (правило сложения дисперсии):

у² = у - ² + д²

Это правило позволяет, зная две величины, определить третью. Так, нам известны общая дисперсия (у²) и дисперсия групповых средних (д²). Отсюда можно определить дисперсию остаточной внутригрупповой вариации признака (у - ²). Дисперсия групповых средних показывает также силу влияния группировочного признака на образование общей дисперсии - соотношение этих двух показателей называется коэффициентом детерминации (греческая буква "эта" в квадрате):

?² = д^2/у² = 144/335 = 0,43, или 43%.

Значит, фактор удобрений на 43% обусловливает вариацию урожайности. Корень из коэффициента детерминации г| дает корреляционное отношение (эмпирическое), показывающее тесноту связи между признаками группировочным и результативным. В нашем случае ц = (0,43) 1/2 = 0,66, что говорит о весьма заметной связи между внесением удобрений и урожайностью.

Дисперсия альтернативного признака. Среди варьирующих признаков встречаются признаки, вариация которых проявляется в том, что у одних единиц совокупности они встречаются, а у других нет. Например, наличие ученой степени у преподавателей вузов, диплом с отличием у части выпускников и др. Такие признаки называются альтернативными. Количественно вариация проявляется в значении 0 у единиц, которые им не обладают, или в значении 1 у единиц, обладающих этим признаком.

Доля единиц, обладающих признаком, в численности всей совокупности обычно обозначается буквой р, а доля единиц, не обладающих этим признаком - q. Ясно, что р + q = 1. Отсюда q = 1 - р.

Исчислим среднее значение альтернативного признака и его дисперсию:

х = (?хf) / ?f = (1 х р + 0 х q) / (р + q) = р.

Таким образом, среднее значение альтернативного признака равно доле, которая и является обобщающей характеристикой совокупности по этому варьирующему признаку.

Далее исчислим дисперсию альтернативного признака:

у_p² = (?x²f) / ?f = [ (1-р) ²р + (0-р) ² x q)] / (р + q) = q² р + р² q =pq x (р + q) = рq.

Таким образом, дисперсия альтернативного признака (стр2) равна произведению доли на дополняющее эту долю до единицы число. Корень квадратный из этого показателя соответствует среднему квадратическому отклонению. Поскольку р + q не может быть больше 1, то у_p² не может превышать 0,25.

7.3. Приемы анализа вариационного ряда

Понятие о закономерности распределения. Во многих упорядоченных рядах распределения частоты меняются в определенной зависимости при перемещении вдоль ряда распределения. В частности с увеличением варьирующего признака они сначала могут расти, а затем уменьшаться. Такого рода закономерные изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения.

Одной из важнейших задач анализа вариационных рядов является выявление закономерности распределения и определения ее характера. С этой целью строят вариационные ряды для достаточно больших совокупностей, а также разбивают ее на оптимальное количество групп. В случае затруднений первоначальная совокупность разбивается на максимальное число групп, которое затем путем укрупнения интервалов сокращают до оптимального числа.

Тип закономерности распределения. Закономерности распределения определяются как явно выраженными условиями, так и случайными факторами. Если распределение отражает однородные условия, то можно говорить о характере, типе закономерности распределения. Если же в одном распределении смешиваются два различных распределения, имеющих разные типы распределения, то в итоговом распределении условия, определяющие характер распределения, могут не проявиться отчетливо, либо проявиться как двухвершинное (бимодальное) и даже многовершинное.

Под кривой распределения понимается графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант.

Теоретической кривой распределения называется кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающего влияние случайных для данного типа закономерностей факторов.

Гистограмма и полигон распределения дают ломаные линии распределения. Чем более короткие интервалы на этих графиках, тем явственнее будет проступать в полигоне или в гистограмме тип распределения.

Нормальное распределение. Наиболее часто в статистике используются теоретические кривые распределения, характеризующие нормальное распределение, которое описывается уравнением:

yt=	1-t2	e2
	у?2р

Где y_t - ордината кривой нормального распределения (частности);

t - нормированное отклонение, равное (х - х) / у;

у - среднее квадратическое отклонение;

р = 3,1415;

е = 2,7182.

Таким образом, кривая нормального распределения определяется Двумя параметрами - средней арифметической х и средним квадратическим отклонением о.

На рисунке 7.1 приведена кривая нормального стандартизированного Распределения, в котором средняя равна нулю (х = 0), а дисперсия - единице (у=1).

Особенность кривой нормального распределения состоит в том что она симметрична. В ней средняя арифметическая, мода и медиана совпадают.

Асимметрия распределения и эксцесс. Сравнивая фактическое и теоретическое распределения, можно констатировать характер их расхождения. Этому служат показатели асимметрии и эксцесса.

В асимметричном распределении вершины кривой находятся не в середине, а сдвинуты либо влево, либо вправо. Если вершина сдвинута влево, то правая часть оказывается длиннее левой, такая асимметрия называется правосторонней. И, наоборот, если вершина сдвинута вправо, то асимметрия называется левосторонней.

При симметричном распределении средняя арифметическая равна моде и медиане. Иначе распределение будет асимметрично, что отражается в коэффициенте асимметрии К_А, который равен отношению разности между средней и модой к среднему квадратическому отклонению:

К_А = (х - Мо) / у.

Если средняя больше моды, то К_А - положительный, и это характеризует правостороннюю асимметрию, если же средняя меньше моды, то асимметрия левосторонняя.

В нашем примере с распределением рабочих по заработной плате

К_А = (33 160 - 34650) / 2444 = - 1490/2444 = - 0,61.

Таким образом, распределение имеет левостороннюю асимметрию.

Под эксцессом понимают высоковершинность или, наоборот, низковершинность фактической кривой распределения по сравнению с нормальным распределением. В первом случае эксцесс положителен и характеризует скопление частот в середине. Во втором случае эксцесс отрицателен и указывает на большую разбросанность членов ряда.

Иногда применяют более сложные показатели расчета асимметрии и эксцесса, основанные на расчетах моментов третьего и четвертого порядков.

В частности, показатель асимметрии (Ах) вычисляется как отношение момента третьего порядка на куб среднеквадратичного отклонения:

А_s = m_3/у³ = { [? (x - x) - ⁴ f] / ?f / у³.

При А_s > 0 имеет место правосторонняя асимметрия, при А_s < 0 - левосторонняя.

Показатель эксцесса (Е_х) определяется как отношение момента четвертого порядка на четвертую степень среднеквадратичного отклонения, уменьшенное на 3:

Е_х = m_4/у⁴ - 3 = { [? (x - x) - ⁴ f] / ?f / у⁴ - 3

Значение Е_х > 0 характеризует высоковершинность ряда распределения (в сравнении с нормальным распределением), в случае же Е_x < 0 ряд распределения низковершиннный.

Выравнивание фактического распределения по кривой нормального распределения. Для проверки соответствия фактического распределения нормальному необходимо частоты фактического распределения сравнить с теоретическими частотами для нормального распределения. С этой целью по фактическим данным вычисляют теоретические частоты кривой нормального распределения. Данные частоты являются функцией нормированных отклонений. Значит, по фактическому распределению следует найти нормированные отклонения, а затем по их величине вычислить частоты теоретического нормального распределения.

Иначе говоря, фактическую кривую распределения нужно выровнять п° кривой нормального распределения. Проиллюстрируем это на примере 0 Распределении участков по величине урожая (табл.7.8).

Выравнивание фактического распределения по кривой нормального распределения

(х)	(f)	/х-х/	t = = |х - x|/ / у	f (t)	Теоретические частоты (f1 = f (t) x nifу)	Кумулятивные частоты	?f - ?f1
						фактические (?f)	теоретические (?f1)
195	2	45,2	2,47	0,01889	1,3	2	1,3	0,7
205	5	35,2	1,92	0,06316	4,3	7	5,6	1,4
215	13	25,2	1,38	0,15395	10,5	20	16,1	3,9
225	17	15,2	0,83	0,28270	19,3	37	35.4	1,6
235	18	5,2	0,28	0,38361	26,2	55	61,6	6,6
245	31	4,8	0,26	0,38568	26,3	86	87.9	1,9
255	22	14,8	0,81	0,28737	19,6	108	107,5	0.5
265	12	24,8	1,36	0,15823	10,8	120	118,3	1,7
275	5	34,8	1,90	0,06562	4,5	125	122,8	2,2
	125

Как уже ранее было установлено, для данного распределения х = 240,2, а у= 18,3. Значения f (t) определяются по специальной таблице из математической статистики. Теоретические частоты исчислены по формуле f₁=f (t) х ni/у, где n - число наблюдений (125), а i - интервал (10). В нашем примере множитель т/а равен 68,306. Сумма теоретических частот получилась не 125, а 122,8 из-за округлений в расчетах. В целом наблюдается довольно большая близость фактических частот распределения к теоретическим.

Критерий согласия. В математической статистике имеется несколько показателей, характеризующих близость фактического распределения к нормальному. Они называются критериями согласия. Известны критерии Пирсона (критерий "хи-квадрат"), Романовского, Колмогорова (критерий "лямбда") и Ястремского.

Критерий Колмогорова рассматривает близость фактического и теоретического распределений путем сравнения кумулятивных частот в вариационном ряду. В приведенном выше примере они показаны в последней графе таблицы. Критерий согласия Колмогорова л равен максимальной разности (D), деленной на корень из числа наблюдений:

л = D/n ^1/2 = 6,6/125^1/2 = 6,6/11,2 = 0,589.

По специальной таблице вероятностей для критерия согласия лямбды, находим, что значению лямбда 0,589 соответствует вероятность 0,88. Значит, с вероятностью 0,88 можно утверждать, что отклонения фактических частот от теоретических в нашем примере являются случайными. Следовательно, можно считать, что в основе фактического распределения участков по величине урожайности лежит закон нормального распределения.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1. Что характеризуют показатели вариации? Какие виды показателей вариации рассчитываются в статистике?

2. Приведите формулы расчета дисперсии, среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации.

3. Укажите основные свойства дисперсии.

4. Как определяется дисперсия способом моментов?

5. Что такое внутригрупповая и межгрупповая вариация?

6. Что называется коэффициентом детерминации и эмпирическим корреляционным отношением?

7. В чем заключается правило сложения дисперсии?

8. Как определяется дисперсия альтернативного признака?

9. Что такое нормальное распределение?

10. Что означает выравнивание фактического распределения по кривой нормального распределения?

11. Что такое критерий согласия, асимметрия распределения и эксцесс?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. Авров АЛ. Аврова Ю.А. Общая теория статистики. Основы курса: Учебное пособие.2-ое изд. доп. - Алматы, 2004. - 112с.

2. Сиденко А.В., Попов Г.Ю., Матвеева В.М. Статистика: Учебник-М.: Дело и сервис, 2000. - 464 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - 3-е изд. / Под ред. чл. - корр. РАН И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 368 с.: ил.

4. Теория статистики: Учебник для вузов / Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1996.

5. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник для вузов. - М.: ИНФРА-М, 1998.

6. Статистика: Курс лекций для вузов / Под ред.В.Г. Ионина. - М ИНФРА-М 1996.

7. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие для вузов - М Аудит ЮНИТИ, 1998.

8. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие. - М.: ИННТИ, 2000.

9. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студ. экон. спец. вузов. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1984. - 343 с.

10. Общая теория статистики: Учебник / Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова и др. - М.: Финансы и статистика, 1981.П.

11. Общая теория статистики: Учебник / Г.С. Кильдишев, В.Е. Освиенко, П.М. Рабинович, Т.В. Рябушкин. - М.: Статистика, 1980.12.

12. Статистический словарь / Гл. ред. М.А. Королев. - 2-е изд., перераб. и доп.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Задачи

Задача1 (продолжение задачи 1 к теме б). Коэффициенты рождаемости по возрастам матери на 1000 женщин соответствующего возраста в 2004 г. в Казахстане составляли:

Возраст, лет	15-19	20-24	25-29	30-34	35-39	40-44	45^5
Коэффициент рождаемости, промилле	26,94	143,2 4	131,2 4	86,11	44,17	9,50	0,49

Исчислите дисперсию среднего возраста женщин, родивших в 2004 году ребенка, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Рассчитайте коэффициент асимметрии.

Задача 2 (продолжение задачи 4 к теме 6). Распределение населения по возрасту среди населения, имеющих доходы, использованные на потребление, ниже величины прожиточного минимума, в обследуемых домохозяйствах в 2004 г. в Республике Казахстан составляли:

Возраст, лет	Доля населения,%
/	2
0-14	33,1
15-19	13,0
20-24	7,4
25-29	6,0
30-34	6.7
/	2
35-39	7,9
40-44	7,9
45-49	5,4
50-54	3,7
55-59	2,3
60-64	1,8
65 и старше	4,8

На основании этих данных исчислите обычным способом и способов моментов:

а) средне квадратичное отклонение;

б) коэффициент вариации;

в) коэффициент асимметрии. Примите во внимание, что среднее значение возраста населения в возрасте 65 лет и старше равно 75 годам.

Тестовые задания:

1. Если все значения вариант совокупности уменьшить на 5, то дисперсия:

1) уменьшится в 5 раз;

2) уменьшится в 25 раз;

3) не изменится;

4) увеличится в 5 раз;

5) увеличится в 25 раз.

2. Если все значения вариант совокупности уменьшить в 10 раз, то дисперсия:

1) уменьшится в 10 раз;

2) уменьшится в 100 раз;

3) не изменится;

4) увеличится в 10 раз;

5) увеличится в 100 раз.

3. Определите среднее квадратическое отклонение затрат на обслуживание одного покупателя в обувном магазине, если среднее время обслуживания составляет 10 минут, а средний квадрат - 104:

1) 2;

2) 4;

3) 10,4;

4) 0,1;

5) 94.

4. Межгрупповая вариация представляет собой:

1) сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака от общей средней;

2) сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака от групповых средних;

3) среднюю арифметическую от отклонений индивидуальных значений признака от средней;

4) вариацию групповых средних от общей средней;

5. Если все значения вариант совокупности уменьшить на 5, то дисперсия:

1) уменьшится в 5 раз;

2) уменьшится в 25 раз;

3) не изменится;

4) увеличится в 5 раз;

5) увеличится в 25 раз.

6. Если все значения вариант совокупности уменьшить в 10 раз, то дисперсия:

1) уменьшится в 10 раз;

2) уменьшится в 100 раз;

3) не изменится;

4) увеличится в 10 раз;

5) увеличится в 100 раз.

7. Определите среднее квадратическое отклонение затрат на обслуживание одного покупателя в обувном магазине, если среднее время обслуживания составляет 10 минут, а средний квадрат - 104:

1) 2;

2) 4;

3) 10,4;

4) 0,1;

5) 94.

8. Коэффициент детерминации - это соотношение:

1) дисперсии групповых средних и средней из групповых дисперсий;

2) средней из групповых дисперсий и дисперсии групповых средних;

3) средней арифметической из отклонений индивидуальных значений признака от средней и средней;

4) дисперсии групповых средних и обшей дисперсии;

5) средней из групповых дисперсий и общей дисперсии.

9. Дисперсия групповых средних равна:

1) разности общей дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий;

2) сумме общей дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий;

3) произведению общей дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий;

4) отношению общей дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий;

5) полусумме средней из внутригрупповых дисперсий и общей дисперсии.

10. Дисперсия альтернативного признака равна:

1) сумме доли альтернативного признака и дополняющего эту долю до единицы числа;

2) разности доли альтернативного признака и дополняющего эту долю до единицы числа;

3) полусумме доли альтернативного признака и дополняющего эту долю до единицы числа;

4) произведению доли альтернативного признака на дополняющее эту долю до единицы число;

5) отношению доли альтернативного признака на дополняющее эту долю до единицы число.

11. Закономерностью нормального распределения называется:

1) увеличение частот с увеличением значения варьирующего признака;

2) увеличение частот с уменьшением значения варьирующего признака;

3) увеличение частот в середине значений варьирующего признака и уменьшение при удалении от середины значений;

4) уменьшение частот в середине значений варьирующего признака и увеличение при удалении от середины значений;

5) уменьшение частот с уменьшением значения варьирующего признака.

Тема 8. Выборочное наблюдение

8.1. Теоретические основы выборочного наблюдения

Понятие о выборочном наблюдении и его задачах. Выборочным наблюдением называется разновидность несплошного наблюдения, при котором производится наблюдение некоторой части генеральной (всей) совокупности, отобранной в случайном порядке. Этим обеспечивается репрезентативность выборочной совокупности, т.е. свойство воспроизводить всю генеральную совокупность.

Выборочные наблюдения позволяют при меньших затратах сил, средств и времени получить репрезентативные данные обо всей совокупности наблюдаемых единиц. В то же время, поскольку данные собираются по части совокупности, а выводы делаются обо всей совокупности, то возможна ошибка, называемая ошибкой репрезентативности. При выборочном наблюдении важно обеспечить получение результатов с приемлемой ошибкой выборки.

Генеральная и выборочная совокупность, доля и средняя. Вся совокупность наблюдаемых единиц называется генеральной совокупностью, а ее численность обозначается N. Выборочная совокупность, ее численность обозначается п - это часть совокупности, подвергаемой выборочному обследованию.

При выборочном наблюдении имеют дело с двумя категориями обобщающих показателей: долей и средней величиной. Доля дает характеристику совокупности по альтернативно варьирующему признаку и исчисляется как отношение числа единиц совокупности, обладающих интересующим нас признаком, к общему числу единиц совокупности. Например, при изучении качества продукции определяют относительную долю тех единиц ее, которые не выдерживают установленного стандарта качеств, т.е. относятся к браку. При изучении совокупностей студентов нас может интересовать доля в этой совокупности студентов-отличников.

Доля в генеральной совокупности обозначается латинской буквой р, а доля в выборочной совокупности - iv и называется частостью. Задача выборочного наблюдения в данном случае состоит в том, чтобы на основе измерения частости (выборочной доли) дать правильное представление о доле в генеральной совокупности.

Среднее значение варьирующего признака во всей совокупности называется генеральной средней X, а среднее значение признака у единиц, которые подверглись выборочному наблюдению - выборочной средней х. С этой точки зрения задача выборочного наблюдения состоит в том, чтобы на основе выборочной средней дать правильное представление о средней генеральной.

Понятие об ошибке выборки. Поскольку в результате выборочного наблюдения сводные показатели получаются только на базе выборочной совокупности, то они почти никогда не совпадают со сводными показателями всех единиц совокупности. Поэтому важно знать возможные пределы отклонений этих показателей и условия, от которых зависит величина таких отклонений.

Возможные пределы отклонений выборочной доли и выборочной средней от доли и средней в генеральной совокупности носят название ошибки выборки.

Следует различать ошибки выборки и ошибки регистрации. Ошибки регистрации (см. тему 3) возникают в связи с неправильным установлением факта в процессе наблюдения. Они свойственны как сплошным, так и выборочным наблюдениям, но при выборочных наблюдениях они обычно меньше, так как выборочные наблюдения, проводятся, как правило, более тщательно и более квалифицированным персоналом.

По своей природе ошибки выборки, как и ошибки регистрации, могут быть тенденциозными и случайными. Тенденциозными эти ошибки будут в том случае, если преднамеренно были отобраны лучшие или худшие единицы для выборочного обследования. Чтобы исключить такую ситуацию, необходимо, чтобы у отдельных единиц генеральной совокупности была равная возможность попасть в число единиц, подлежащих обследованию.

Ошибки выборки при соблюдении принципа случайного отбора носят случайный характер, т.е. имеют равную возможность в одинаковой степени преуменьшать или преувеличивать характеристики генеральной совокупности. Случайная ошибка выборки характеризует размеры отклонения генеральных характеристик от выборочных.

Формулы средней ошибки выборки. В соответствии с законом больших чисел, с увеличением численности выборки (n) размеры случайных ошибок сокращаются. Ошибка выборки также определяется степенью варьирования изучаемого признака, или дисперсией у². Ясно, что если признак не варьирует, то достаточно изучить любую одну единицу, чтобы иметь представление обо всей совокупности единиц. Если вариация признака незначительна, то случайная ошибка выборки будет также незначительна.

Формула средней ошибки выборки имеет вид:

мх =	v	у2
		n

где м_{х = -} средняя ошибка выборки;

у^{2 -} дисперсия варьирующего признака в генеральной совокупности;

n - численность единиц выборочной совокупности.

Для измерения средней ошибки доли альтернативного признака, учитывая, что у² = р х (1-р), применяют следующую формулу:

мх =	v	P (1-p)
		n

где р - доля признака в генеральной совокупности.

Математическое доказательство этих формул исходит из схемы так называемой повторной выборки, предполагающей возврат обратно отдельной единицы из генеральной совокупности после ее случайной выборки. В результате она сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами при отборе других единиц снова попасть в выборку.

На практике выборку обычно организуют по схеме бесповторной выборки. В результате численность генеральной выборки сокращается в процессе выработки. Поэтому в приведенные выше формулы должна быть введена поправка в виде дополнительного множителя (1-п/М) в подкоренном выражении:

мх =	v	у2	(1-	n	)
		n		N

Множитель (1-n/N) всегда меньше единицы, поэтому ошибка выборки при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном отборе.

Следует отметить, что ошибка выборки зависит главным образом от абсолютной численности выборки и в меньшей степени от ее доли.

Приведенные формулы характеризуют среднюю величину отклонения сводных характеристик генеральной совокупности от характеристик выборочной совокупности. Однако то, что генеральная средняя не выйдет за пределы этой ошибки можно утверждать не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности, а именно с вероятностью 0,683. Следовательно, в 317 различных выборках из 1000 сводная характеристика генеральной совокупности будет отличаться от сводной характеристики выборочной совокупности больше, чем на величину одного мю.

Для увеличения вероятности утверждения необходимо увеличить пределы отклонений. Так, если выбрать пределы отклонений в размере двух мю, то вероятность нашего утверждения вырастет до 0; 954, т.е. только в 46 случаях из 1000 отклонение выйдет за пределы удвоенного мю.

Если взять величину утроенного мю, то вероятность составит 0,9973.

В общем случае предельная ошибка выборки (А) связана со средней ошибкой следующим равенством:

?= t x м

где t - коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка не превысит 1-кратную среднюю ошибку.

Так, для вероятности 0,95 t=1,96;

0,99 t=2,58;

0,999 t=3,28, наиболее часто используемым на практике.

Поскольку в формулах ошибки выборки дисперсии признаков относятся к генеральной совокупности и их нельзя вычислить, так как наблюдение выборочное, то в формулы подставляют значения дисперсий выборочных совокупностей. Доказано, что соотношение между выборочной и генеральной дисперсиями представляется формулой:

у² _ген = у² _выб х n / (n-1)

То есть выборочная дисперсия меньше генеральной. При достаточно больших n они весьма близки.

Расчет необходимой численности выборки. Приведенные выше формулы для определения величины ошибки выборки дают возможность не только определять эти ошибки, но и рассчитывать предварительно, какую численность выборки необходимо взять, чтобы ошибка выборки не превышала определенных заданных размеров:

n = у^2/м

а с учетом коэффициента 1 формула примет вид:

n = (у^2/?²) x t²

При выборочном измерении доли признака средняя ошибка выборки определяется по формуле:

м=	v	w (1 - w)
		n

Откуда

n = w x (1 - w) / м²

С учетом коэффициента t формула примет вид:

n = [w x (1-w) / ?²] x t²

При определении необходимой численности выборочного обследования возникает затруднение, так как мера варьирования признака у² или его доля w заранее не известны и будут определены лишь после проведения выборочного обследования.

Из этого затруднения выходят следующим образом: вместо фактического значения у² или w используют приближенное значение, полученное в результате предыдущих наблюдений или на основе каких-либо пробных выборочных наблюдений. Для предосторожности принимают завышенные значения этих величин.

8.2. Способы формирования выборочных совокупностей

Нерайонированный и районированный отбор. Строго случайный отбор единиц из генеральной совокупности предполагает нерайонированный и повторный отбор, т.е. отбор из всей генеральной совокупности, не разделенный на части, и при этом численность генеральной совокупности все время остается неизменной. Однако практика формирования выборочных совокупностей вносит известные улучшения в применение принципа случайного отбора, и эти улучшения повышают репрезентативность выборки и уменьшают ее ошибку при той же численности выборки.

Первое улучшение связано с тем, что применяется бесповторная выборка, дающая, как мы видели выше, меньшую ошибку.

Второе улучшение вызвано тем, что применяется районированный отбор, когда единицы в выборочную совокупность выбираются из отдельных частей (групп) генеральной совокупности, на которые она предварительно разбивается.

Если разделение совокупности осуществляется по признакам, влияющим на вариацию изучаемых показателей (выделяют типы), то такой отбор называется типическим. Даже в случае, если он не является типическим, то это облегчает формирование выборочных совокупностей и дает организационные преимущества. Кроме того, он обеспечивает более равномерное представительство всех ее частей, в результате повышается репрезентативность выборки. А типический отбор, уменьшая вариацию изучаемых признаков, снижает тем самым ошибку выборки.

Собственно-случайный отбор. Собственно-случайный отбор дает лотерея или жеребьевка, что обеспечивает абсолютно рав (гую возможность отбора любой единицы всей совокупности. В тиражах выигрышей применяется бесповторный собственно-случайный отбор.