Предмет и метод статистики

Метод группировок как прием выявления корреляционных зависимостей. Корреляционные зависимости будут более отчетливо проявляться при использовании метода группировок и сравнении не индивидуальных, а средних данных.

Все искусство группировки состоит в том, чтобы образовать такое количество групп, при котором в вариации групповых средних в максимальной степени проявилось бы влияние группировочного признака. Если мы возьмем небольшое число групп, то мы рискуем, что в групповых средних будет погашена наряду с вариацией, обусловленной прочими факторами, и часть вариации, обусловленной интересующим нас признаком-фактором. В то же время нельзя сильно увеличивать число групп, так как в малочисленных группах средние будут носить случайный характер, а межгрупповая вариация отразит не только влияние изучаемого фактора, но и других факторов.

Полезно руководствоваться следующим указанием А.А. Чупрова: "Чем больше групп мы в состоянии нарезать, не наталкиваясь ни на одно исключение, тем прочнее вывод, что найденная связь или подмеченное отсутствие связи не случайны и свидетельствуют о действительных взаимоотношениях между изучаемыми признаками".

Рассмотрим наш пример с 25 заводами и сделаем группировки с интервалом по группировочному признаку, равным 2 (4 группы), 1,5 (5 групп) и 1,25 (6 групп) (табл.12.6).

В первой группировке прямая связь проявляется отчетливо, но нет уверенности, что группировочный признак проявил себя в полной мере. Во второй группировке условие А.А. Чупрова также выдерживается: нет ни одного исключения в тенденции групповых средних к росту. В третьей группировке уже появилось одно такое исключение: во второй группе средняя групповая по сравнению с первой не растет, а снижается. Следовательно, оптимальной является вторая группировка.

Варианты аналитических группировок заводов по энерговооруженности труда

Аналитические группировки характеризуют лишь общие черты изучаемой связи, ее тенденцию и не дают количественного измерения ее силы. Эта задача может быть решена на базе аналитических группировок путем расчета эмпирического корреляционного отношения.

Эмпирическое корреляционное отношение. Произведем расчет дисперсии групповых средних, принимая за основу группировку совокупности в составе пяти групп (табл.12.7).

Расчет дисперсии групповых уровней производительности труда

Отсюда дисперсия групповых уровней производительности труда равна:

Д²= 100,62/25 =4,02.

Затем рассчитаем общую дисперсию уровней производительности труда:

у² = ?у² /п - (у) ² = 1179/25 - 6,442 = 47,16 - 41,47 = 5,69.

Соотношение дисперсии групповых уровней производительности труда и общей дисперсии уровней производительности труда дает коэффициент детерминации:

?²= д²/у² = 4,02 /5,69 = 0,708, или 70,8%.

Отсюда несложно вычислить эмпирическое корреляционное отношение:

? = v n² =v0,708 = 0,841.

Коэффициент детерминации показывает, что в нашем примере энерговооруженность труда на 70,8% определяет вариацию производительности труда. А корреляционное отношение свидетельствует, что связь между энерговооруженностью и производительностью труда тесная (табл.12.8).

Довольно часто связи между наблюдаемыми явлениями бывают нелинейными. Проиллюстрируем некоторые из функций, используемых для выравнивания фактических данных.

Выравнивание по гиперболе. Рассмотрим связь между уровнем издержек обращения (процент их суммы по отношению к товарообороту) в магазинах и размером их товарооборота. На практике мы видим, что с увеличением товарооборота уменьшается уровень издержек, но это снижение все более и более замедляется.

Это связано с тем, что все расходы делятся на два вида. Одни из них (переменные расходы) тесно связаны с объемом товарооборота (транспортные расходы, заработная плата продавцов и др.). Однако их уровень на единицу реализуемой продукции в составе товарооборота неизменен (обозначим его через а₀).

Другие расходы (постоянные расходы: расходы на помещение, административные расходы, проценты за кредит и т.п.) не зависят от величины товарооборота. Однако их уровень на единицу реализуемой продукции в составе товарооборота снижается при росте товарооборота (обозначим их через а₁, а уровень через а₁/х).

С учетом вышесказанного теоретическая форма зависимости уровня издержек обращения от размера товарооборота при условии функциональной связи определится в виде гиперболы:

у_х = а₀ + а₁/х.

Для нахождения параметров гиперболы способ наименьших квадратов дает такую систему двух уравнений.

Рассмотрим выравнивание по гиперболе на примере 10 магазинов (табл.13.2).

Выравнивание по гиперболе

Подставляя в уравнения цифры из таблицы, получим:

I 0а₀ + 0,05 802а₁ = 72,2; 0,05802а₀ + 0,000487a₁ = 0,47907.

Умножая второе уравнение на 10, и поделив его затем на 0,05802, получим: 10а₀ + 0,083947а₁ = 82,5728.

Вычитая из этого уравнения первое, имеем:

0,025929а₁ = 10,3728,откуда а₁ = 10,3728/0,025929 = 400.

Подставляя это значение в первое уравнение, получаем:

10а₀ + 23,21 =72,2; 10а0 = 48,99,откуда а₀ = 48,99/10 = 4,9.

Следовательно, уравнение связи имеет вид: у_х = 4,9 + 400/х.

Подставляя в это уравнение значения х, получим теоретические уровни издержек производства, приведенные в последнем столбце таблицы.

С помощью гиперболической функции изучают также связь между выпуском продукции и себестоимостью продукции, сроками уборки и урожайностью и в ряде других случаев, когда некоторый показатель состоит из двух частей, первая из которых постоянна, а вторая зависит от факторного в обратной связи.

Выравнивание по полулогарифмической кривой. В качестве примера рассмотрим зависимость между выработкой продавца у и ростом общего товарооборота магазина х. Рост выработки продавца с ростом товарооборота постепенно снижается. Такая зависимость может быть выражена полулогарифмической функцией:

y_х = а_о + а loq х.

Рассмотрим применение этой функции на конкретном примере (табл.13.3).

Для нахождения параметров полулогарифмической функции нужно решить систему двух уравнений:

а₀n+ а₁ ?loq х = ?у;

a₀ ?loq х + a₁ ? (loq х) ² = ?y loq х

Подставим данные из таблицы:

24а₀+ 37,37а₁ = 152,4; 37,37a₁ + 60,167 a₁ = 243,376,13.3 Выравнивание по полулогарифмической прямой

Умножим первое уравнение на 37,37 и разделим на 24:

37,37а₀+58,188 a₁ = 237,144.

Вычитая из второго уравнения вновь полученное, имеем:

1,979 a₁ = 6,232,откуда а₁ = 6,222/1,979 = 3,15.

Подставляя это значение в первое уравнение, получим:

24a₀+ 117,7= 152,3.

Отсюда 24 a₀ = 152,3 - 117,7 = 34,6;

а₀ = 34,6/24 = 1,442.

Следовательно, уравнение связи будет иметь вид: ух= 1,442 + 3,145 1оq x.

Выравнивание по параболе. В качестве примера приведем зависимость урожая у от величины осадков х. С увеличением осадков урожайность сначала возрастает, но до определенного предела, а затем начинает падать. Такую зависимость хорошо отражает парабола (полином второго порядка):

ух = а₀ + а₁ х + а₂ х².

Для нахождения параметров этого уравнения необходимо решить систему из трех уравнений:

a₀n + a₁ ?x + a₂ ?x² = ?y

a₀?x + a₁ ?x² + a₂ ?x³ = ?yx

a₀?x² + a₁ ?x³ + a₂ ?x⁴ = ?yx²

Решение системы уравнений упростится, если вместо значений х взять отклонения х от средней (х - х). Так как ? (x - х) и ? (x - х) ³ равны нулю, то получаем:

a₀n + a₂ ? (x - x) ² = ?y

a₀? (x + x) ² = ?y (x-x)

a₀? (x - x) ² + a₂ ? (x + x) ⁴ = ?y (x - x)

Как правило, явления общественной жизни зависят не от одного, а от множества факторов. При этом между факторами существуют сложные взаимосвязи.

Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ позволяет оценить меру влияния на исследуемый результативный показатель каждого из включенных в уравнение факторов при фиксированном положении (на среднем уровне) остальных факторов, а также при любых возможных сочетаниях факторов с определенной степенью точности найти теоретическое значение этого показателя. Однако важным условием является отсутствие между факторами функциональной связи.

Задача состоит в том, чтобы раскрыть характер и степень влияния аргументов на функцию:

у=f (х,, х2,..., х„).

Наиболее сложной проблемой становится выбор формы связи.

Эмпирическое обоснование типа функции с помощью графического анализа парных связей, которое существенно помогло в случае однофакторных моделей, практически непригодно для многофакторных моделей. Выбор типа функции может опираться на теоретические знания изучаемого явления или на опыт предыдущих аналогичных исследований.

Можно, конечно, просто перебрать функции разных типов.

Но это сопряжено со значительным количеством излишних расчетов.

В то же время, принимая во внимание, что в большинстве случаев любую функцию многих переменных путем логарифмирования или замены переменных можно свести к линейному виду, уравнение множественной регрессии можно строить в линейной форме:

у = а_о + а₁ x₁ + а₂х₂ +... + a_n х_n.

Каждый коэффициент уравнения показывает степень влияния соответствующего фактора на исследуемый показатель при фиксированном положении (на среднем уровне) остальных факторов. Свободный член уравнения экономического смысла не имеет.

В случае неадекватности линейного уравнения рекомендуется повышать порядок уравнения, пока не удастся подобрать кривую, соразмерную данной статистической информации. Однако следует иметь в виду, что полного соответствия расчетных и фактических значений результирующего показателя не может быть, так как нельзя ожидать, что в модель включены все факторы, оказывающие на него влияние.

Измерение тесноты связи между переменными. Для измерения тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков (без учета их взаимодействия с другими переменными) могут быть использованы парные коэффициенты корреляции, которые рассчитываются аналогично линейному коэффициенту корреляции при однофакторной связи.

Но в реальных условиях все переменные, как правило, взаимосвязаны. Теснота этой связи определяется частными коэффициентами корреляции, характеризующими степень влияния одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества переменных, влияние которых исключается, частные коэффициенты бывают соответствующего порядка: при исключении влияния n-переменных получают частный коэффициент n-го порядка.

Частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками у и x₁ при исключении влияния признака х2 вычисляется по формуле:

где r - парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.

Совокупный коэффициент множественной корреляции является показателем тесноты связи, устанавливаемой между результативным и двумя или более факторными признаками и служит основным показателем линейной корреляционной связи. В случае линейной двухфакторной связи он рассчитывается по формуле:

где г - линейные коэффициенты корреляции (парные), а подстрочные индексы указывают, между какими признаками они исчисляются.

Совокупный коэффициент множественной детерминации R₂ показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов, включенных в уравнение множественной регрессии. Значения множественной детерминации находятся в пределах от 0 до 1. Поэтому, чем ближе R₂ к единице, тем вариация изучаемого показателя в большей мере характеризуется влиянием отобранных факторов.

Двухфакторная модель. Простейшее уравнение множественной регрессии имеет вид линейной двухфакторной регрессии:

у = a_о + а ₁x₁ + a₂x₂.

Параметры уравнения находятся по методу наименьших квадратов из следующей системы уравнений:

a₀n + a₁ ?x₁ + a₂ ? x₂ = ?y

a₀? x₁ + a ?x₁ x₂ = ?y x₁

a₀? x₂ + a₁ ? x₁ x₂ + a₂ ? x₂² = ?y x₂

Оценка силы влияния отдельных факторов на результативный признак. На основе коэффициентов регрессии нельзя определить, какой из факторных признаков оказывает наибольшее влияние на результативный признак, так как коэффициенты между собой несопоставимы, поскольку представлены разными единицами измерения. Чтобы иметь возможность судить о сравнительной силе влияния отдельных факторов и о тех резервах, которые в них заложены, должны быть вычислены частные коэффициенты эластичности (Э,), а также бета-коэффициенты (/?).

Частные коэффициенты эластичности устраняют различия в единицах измерения факторов. С их помощью можно определить, на сколько процентов в среднем изменяется анализируемый показатель с изменением на 1% каждого фактора при фиксированном положении других факторов.

Э_i = а₁ х₁ /у,

где а₁ - коэффициент регрессии при 1-м факторе,

х₁ - среднее значение 1-го фактора,

у - среднее значение изучаемого показателя.

Бета-коэффициенты выявляют факторы, в развитии которых заложены более крупные резервы улучшения изучаемого показателя, и показывают, на какую часть среднего квадратического отклонения изменяется результативный признак с изменением соответствующего факторного признака на величину его среднего квадратического отклонения:

в₁ = a_i у_xi / у_y

где у_xi - среднее квадратическое отклонение 1-го фактора,

у_y - среднее квадратическое отклонение изучаемого показателя.

В целях осуществления глубокого экономического анализа хозяйственной деятельности предприятия необходимо выполнить построение многофакторных регрессионных моделей всех основных показателей экономической эффективности: производительности труда, фондоотдачи, материалоемкости, себестоимости, рентабельности и др.

Применение корреляционно-регрессионного анализа. Одной из главных задач экономико-статистического анализа является объективная оценка эффективности хозяйственной деятельности предприятия. Решение этой задачи связано с необходимостью осуществления углубленного анализа основных показателей эффективности производства, причин и закономерностей их изменения.

При изучении взаимосвязей все множество факторов можно разделить

на две группы:

1) нерегулируемые (в том числе условно нерегулируемые), характеризующие условия работы предприятия и не зависящие в данном периоде от деятельности коллектива (качество сырья, природные условия, размер производства, состав работников по возрасту, стажу работы, уровню образования и т.д.);

2) регулируемые, вытекающие из различных методов хозяйствования и неодинакового качества работы (уровень организации производства и труда, степень использования сырья, материалов, оборудования и т.д.).

Первая группа факторов представляет собой наличные ресурсы, вторая - степень их использования. Изучение степени влияния всех факторов позволяет определить общие резервы предприятия.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1. Какие основные задачи решают с помощью корреляционного и регрессионного анализа?

2. В чем состоит значение уравнения регрессии? Что характеризуют коэффициенты регрессии?

3. Как определяется случайная ошибка коэффициента регрессии и его значимости?

4. Каков экономический смысл коэффициента эластичности и теоретического корреляционного отношения?

5. Как определяется линейный коэффициент корреляции?

6. Как осуществляется проверка значимости корреляционной связи с помощью дисперсионного анализа?

7. Почему часто требуется применение нелинейных уравнений регрессии? Как оценивается при этом достоверность коэффициента регрессии?

8. Дайте понятие множественной регрессии. Что такое совокупный и частный коэффициенты корреляции?

9. Для каких целей используются частные коэффициенты эластичности, а также бета-коэффициенты.