Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• 1. Постановка задачи
• 2. Определение оптимальных суточных объёмов производства моделей радиоприёмников
• 2.1 Построение математической модели
• 2.2 Графическое решение задачи
• 2.3 Решение симплекс методом
• 3. Основы анализа на чувствительность
• 3.1 Задача 1. Анализ изменений запасов ресурсов
• 3.2 Задача 2. Определение наиболее выгодного ресурса
• 3.3 Задача 3. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции
• Заключение
• Список использованных источников

Введение

Актуальность выбранной темы исследования обусловлена широким применением методов математического моделирования в промышленности, экономике, планировании и т. д. В соответствии с этим, объектом исследования будет задача об оптимальной работе предприятия электронной промышленности, выпускающего две модели радиоприемников. Предмет исследования: математическая модель и методы решения задачи линейного программирования, анализ полученного оптимального решения на чувствительность. В рамках такого анализа выявляется чувствительность оптимального решения к определенным изменениям исходной модели: увеличению и уменьшению суточной производительности каждой из технологических линий, изменению запасов используемых элементов, изменению прибыли от реализаций той и другой моделей радиоприемников.

Целью выполнения курсового проекта является закрепление теоретических знаний и практических умений при проектировании математических моделей, приобретенных в процессе изучения дисциплины «Спецкурс-3».

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить методические материалы по решению задач линейного программирования.

2. Разработать содержание конкретной задачи об оптимальной работе предприятия электронной промышленности, выпускающего две модели радиоприемников, на ее примере продемонстрировать применение двух основных методов решения, а также выполнить анализ полученного оптимального плана на чувствительность в соответствии с заданием курсовой работы, проанализировать полученные результаты сделать выводы и дать ответы на поставленные в задании вопросы.

1. Постановка задачи

Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем первой линии 40 изделий, второй линии 60 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 12 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели 10 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 650 единиц. Прибыли от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равны 15 и 10 ед. соответственно. Определите оптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей на основе графического решения задачи.

Рассмотрите три задачи анализа полученного решения на чувствительность к принятой модели и на основании полученных результатов: Определите предел увеличения производительности первой линии, превышение которого уже не будет улучшать значения целевой функции;

1. Определите предел уменьшения производительности второй линии, при котором полученное оптимальное решение останется неизменным;

2. Определите предел увеличения суточного запаса элементов электронных схем, при превышении которого улучшить значение целевой функции оказывается невозможным;

3. Определить дефицитный ресурс, который имеет наибольший приоритет при возможности увеличения запасов ресурсов;

4. Определите интервал изменения прибыли от продажи радиоприемника первой модели, в котором оптимальное решение остается неизменным; Определите аналогичный интервал для приемника второй модели.

2. Определение оптимальных суточных объёмов производства моделей радиоприёмников

2.1 Построение математической модели

Пусть будет изготовлено моделей радиоприемников первого вида и моделей радиоприемников второго вида. Тогда условия задачи можно записать в виде системы неравенств:

При этом необходимо, чтобы обе переменные были неотрицательны, и достигала максимума целевая функция F=15х₁+10х₂.

Перед нами задача линейного программирования.

Решим ее сначала при помощи графического метода, а затем при помощи симплекс-метода. Причем целочисленность в данном случае требовать не будем, трактуя возможные нецелые результаты тем, что производство начинается в один день, а заканчивается в другой.

2.2 Графическое решение задачи

Графический метод решения состоит в том, что в одной системе координат строим область допустимых значений для неизвестных величин задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств: х₁=0; х₂=0; ; ; .

Построив полученные прямые, найдем соответствующие полуплоскости допустимых значений переменных и их пересечение. Чтобы определить в каждом случае, какая полуплоскость удовлетворяет данному неравенству, достаточно взять произвольную точку, через которую не проходит соответствующая граничная прямая, и проверить, удовлетворяет ли эта пробная точка ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то данное неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей пробную точку. В противном случае берется полуплоскость, не содержащая пробной точки. В качестве пробной точки возьмем точку (10; 10).

Рис. 1.

радиоприемник оптимальный прибыль предел

Две пары параллельных прямых задают две пересекающиеся полосы, которые в пересечении образуют прямоугольник. Последняя прямая отсекает от этого прямоугольника правый верхний угол, превращая его в пятиугольник ОАВСD, координаты граничных и внутренних точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.

Координаты точек пересечения легко установить, и сразу же вычислим значения целевой функции в этих точках:

O(0; 0) - F(O)=0,

A(0; 60) - F(A)=600,

B(4,1(6), 60) - F(B)=660,

C(40; 17) - F(С)=770,

D(40; 0) - F(D)=600.

Строим нормаль линии уровня и одну из этих линий, например, 3x₁+2x₂=0.

Так как решается задача на отыскание максимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали до опорной линии или точки (Рис. 1). При данных условиях решением будет точка С(40; 17).

Можно было обойтись без нормали и линий уровня, так как доказано, что своего максимума целевая функция достигает в одной из вершин многоугольника ограничений.

Максимальное значение целевой функции равно F(40; 17)=770 в точке (40; 17).

Это означает, что оптимальные суточные объемы производства составляют: радиоприемников первой модели - 40, радиоприемников второй модели - 17. При этом прибыль от реализации произведенных объемов изделий составит 770 условных единиц. Максимальный суточный запас используемых элементов будет израсходован полностью.

2.3 Решение симплекс методом

Получение начального опорного плана

С помощью дополнительных неотрицательных переменных перейдем к системе уравнений:

.

Для нахождения первоначального базисного решения разобьём переменные на две группы: основные и неосновные. Так как определитель, составленный из коэффициентов при дополнительных переменных х₃, х₄, х₅ отличен от нуля, то эти переменные можно взять в качестве основных на первом шаге решения задачи. Столбцы коэффициентов при дополнительных переменных представляют собой единичные векторы, которые линейно независимы. Следовательно, соответствующие этим векторам переменные х₃, х₄, х₅ являются базисными.

Разрешим систему уравнений относительно базисных переменных.

Целевую функцию запишем в виде уравнения F(X)=0-(-15х₁-10x₂).

Положим неосновные переменные равными нулю, т.е. х₁=х₂=0, получим первый опорный план .

Первый опорный план заносим в симплексную таблицу, которая состоит из коэффициентов системы ограничений и свободных членов. В левом столбце таблицы записываются основные переменные (базис), во втором столбце - свободные члены. Последняя строка таблицы называется индексной и заполняется коэффициентами целевой функции, взятыми с противоположными знаками. Значение целевой функции проставляется в индексной строке в столбце «Значения, базисных переменных». Последний столбец подготовлен для оценочных отношений, необходимых при расчете наибольшего возможного значения переменной. Он обозначен И.

Проверка плана на оптимальность Если все коэффициенты индексной строки симплексной таблицы при решении задачи на максимум целевой функции неотрицательны, то план является оптимальным.

Первый опорный план в задаче не оптимальный, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

Таблица 1.

Базисные переменные	Значения базисных переменных	х1	х2	х3	х4	х5	И
х3	650	12	10	1	0	0	54,1(6)
х4	40	1	0	0	1	0	40
х5	60	0	1	0	0	1	?
	0	-15	-10	0	0	0	max

Определение направляющих столбца и строки

Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбираем наибольший по абсолютной величине. Направляющий столбец, соответствующий выбранному коэффициенту, показывает, какая переменная на следующем шаге перейдет из свободных в основные (базисные). Так как, то направляющий столбец соответствует переменной х₁. Элементы столбца значений базисных переменных симплексной таблицы делим на соответствующие положительные коэффициенты направляющего столбца. В результате получаем значения столбца И. Из значений столбца И выбираем минимальное. Строка симплексной таблицы, соответствующая минимальному значению И, является направляющей. Она определяет переменную х₄, которая на следующем шаге выйдет из базиса и станет свободной. На пересечении направляющих столбца и строки находится разрешающий элемент, равный 1.

Определение нового опорного плана

Для перехода к, новому опорному плану производится пересчет симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса.

Формируем следующую симплексную таблицу. В левом столбце «Базисные переменные» записываем новый базис: вместо основной переменной х₄ записываем переменную х₁. Строку, соответствующую переменной х₁, получаем путем деления всех элементов строки х₄ первой таблицы на разрешающий элемент, равный 1, то есть она остается без изменения. В остальных клетках столбца х₁ проставляем нули. Все остальные элементы, вычисляем по правилу прямоугольника. Аналогично проводятся расчеты по всем строкам таблицы, включая индексную. Далее возвращаемся к этапу - проверка плана на оптимальность. Выполняя последовательно все этапы алгоритма, заполняем таблицы.

Таблица 2.

Базисные переменные	Значения базисных переменных	х1	х2	х3	х4	х5	И
х3	170	0	10	1	-12	0	17
х1	40	1	0	0	1	0	?
х5	60	0	1	0	0	1	60
	600	0	-10	0	15	0	max

.

Второй план в задаче тоже не оптимальный, так как в индексной строке еще остается отрицательный коэффициент. Направляющий столбец, соответствующий выбранному коэффициенту, показывает, какая переменная на следующем шаге перейдет из свободных в основные (базисные). Так как, отрицательное число в индексной строке стоит в столбце, который соответствует переменной х₂, то этот столбец будет направляющим. Элементы столбца значений базисных переменных симплексной таблицы делим на соответствующие положительные коэффициенты направляющего столбца. В результате получаем значения столбца И. Из значений столбца И выбираем минимальное. Строка симплексной таблицы, соответствующая минимальному значению И, является направляющей. Она определяет переменную х₃, которая на следующем шаге выйдет из базиса и станет свободной.

Определение нового опорного плана

Для перехода к, новому опорному плану производится пересчет симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Формируем следующую симплексную таблицу. В левом столбце «Базисные переменные» записываем новый базис: вместо основной переменной х₃ записываем переменную х₂. Строку, соответствующую переменной х₂, получаем путем деления всех элементов строки х₃ первой таблицы на разрешающий элемент. На месте разрешающего элемента в таблице 3 получаем единицу. В остальных клетках столбца х₂ проставляем нули. Все остальные элементы, вычисляем по правилу прямоугольника.

Таблица 3.

Базисные переменные	Значения базисных переменных	х1	х2	х3	х4	х5	И
х2	17	0	1	0,1	-1,2	0
х1	40	1	0	0	1	0
х5	43	0	0	-0,1	1,2	1
	770	0	0	1	3	0	max

На третьем шаге в таблице получен оптимальный план, так как все коэффициенты в индексной строке неотрицательны.

. Используя табличный симплекс метод, получили решение, совпадающее с решением, полученным графическим методом.

3. Основы анализа на чувствительность

Анализ моделей на чувствительность проводится после получения оптимального решение задачи.

В рамках такого анализа выявляется чувствительность оптимального решения к определенным изменениям исходной модели. В наше задаче, например, может представить интерес вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение увеличение и уменьшение суточной производительности каждой из технологических линий или изменения запасов используемых элементов. Можно проанализировать влияние на оптимальное решение изменения прибыли от реализаций той и другой моделей радиоприемников.

При таком анализе рассматривается некоторая совокупность оптимизационных моделей. Это придает модели определенную динамичность, позволяющую провести анализ влияния возможных изменений исходных условий на полученное оптимальное решение.

Динамические характеристики модели фактически отображают аналогичные характеристики, свойственные реальным процессам. Отсутствие анализа, позволяющего выявить влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное решение, может привести к тому, что полученное статическое решение устареет еще до своей реализации.

Для проведения анализа модели на чувствительность будем использовать графический метод.

3.1 Задача 1. Анализ изменений запасов ресурсов

На сколько можно сократить или увеличить запасы ресурсов?

После нахождения оптимального решения представляется вполне логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов ресурсов. Под ресурсами в данном контексте понимается не только максимальный суточный запас используемых элементов, но и суточный объем производства каждой из технологических линий. Особенно важно проанализировать следующие два аспекта.

1. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции F?

2. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции?

Так как величина запаса каждого из ресурсов фиксируется в правых частях ограничений, этот вид анализа обычно идентифицируется как анализ модели на чувствительность к правой части (ограничений).

Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифицируем ограничения линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные) ограничения. Прямая, представляющая связывающее ограничение, должна проходить через оптимальную точку. В противном случае соответствующее ограничение будет не связывающим. На рис. 1 связывающими ограничениями являются только ограничения (II) и (III), которые лимитируют запас используемых элементов и суточный объем первой технологической линии.

Если некоторое ограничение является связывающим, логично отнести соответствующий ресурс к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором избытке). Таким образом, при анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяются:

1. предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение;

2. предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптимального значения целевой функции. Информация, полученная в последнем случае, особенно полезна в тех ситуациях, когда излишки недефицитного ресурса могут быть использованы для других целей. Отметим, что увеличение избыточного ресурса не скажется на оптимальном решении (избыточный ресурс станет еще более избыточным). Очевидно, что сокращение дефицитного ресурса не улучшит значения целевой функции.

Вернемся к задаче. В рассмотренном примере запас используемых элементов и суточный объем первой технологической линии являются дефицитными ресурсами. Рассмотрим сначала ресурс запас используемых элементов. Из рис. 2 видно, что при увеличении запаса этого ресурса прямая (II) (или отрезок ВC) перемещается вверх параллельно самой себе, постепенно «стягивая» в точку треугольник ВCK. (Стороны ВК и СK этого треугольника представляют собой продолжения прямых, соответствующих ограничениям (I) и (III).

Рис. 2.

В точке К ограничения (I) и (III) становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений становится прямоугольник ОAKD. В точке К ограничение (II) (для запаса используемых элементов) становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение. Таким образом, объем запаса используемых элементов не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение (II) становится избыточным, т. е. прямая (II) проходит через новую оптимальную точку К. Этот предельный уровень определяется следующим образом. Сначала нужно найти координаты точки К, в которой пересекаются прямые (I) и (III). В результате получается К(40; 60). Затем путем подстановки координат точки К в левую часть ограничения (II) определяется максимально допустимый запас используемых элементов: . При этом F(К)= .

Далее рис. 3 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос о целесообразности увеличения суточного объема производства первой технологической линии. Новой оптимальной точкой становится точка Е, где пересекаются прямая (II) и прямая х₂=0. Отсюда следует, что E(54,1(6); 0) и суточный объем производства первой технологической линии (с учетом целочисленности решения) можно увеличить до значения, равного 54 изделиям. При этом F(Е)= .

Рассмотрим теперь вопрос об уменьшении правой части не связывающего ограничения. Ограничение (I), фиксирует суточный объем производства второй технологической линии. Из рис. 4 следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую (I) (AB) можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой С, которая имеет координаты (60; 17). Следовательно, уменьшение суточного объема производства второй технологической линии до величины 17 никак не повлияет на оптимальность ранее полученного решения.



Рис. 3.

Рис. 4.

Результаты проведенного анализа можно свести в следующую таблицу.

Таблица 4.

Ресурс	Тип ресурса	Максимальное изменении запаса ресурса	Максимальное изменении прибыли от реализации
I	недефицитный	17-60=-43	770-770=0
II	дефицитный	1080-950=130	1200-770=430
III	дефицитный	54-40=14	810-770=40

3.2 Задача 2. Определение наиболее выгодного ресурса

Увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно?

В первой задаче анализа на чувствительность мы исследовали влияние на оптимум увеличения объема дефицитных ресурсов (т. е., изменения связывающих ограничений). При ограничениях на затраты, связанные с дополнительным привлечением ресурсов, естественно задать вопрос: какому из ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств? С помощью методов линейного программирования удается ответить и на такой вопрос.

Для этого вводится характеристика ценности каждой дополнительной единицы дефицитного ресурса, выражаемая через соответствующее приращение оптимального значения целевой функции. Такую характеристику для рассматриваемого примера можно получить непосредственно из таблицы, в которой приведены результаты решения первой задачи анализа на чувствительность. Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i через y_i Величина y_i, определяется из соотношения

Воспользовавшись данными указанной таблицы, для ограничения (II) (суточный запас используемых элементов) получим .

Аналогичным образом можно определить ценность единицы каждого из ресурсов и представить результаты в следующей таблице:

Таблица 5.

Ресурс	Тип ресурса	Значение yi
I	недефицитный	0
II	дефицитный
III	дефицитный

Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополнительные вложения в первую очередь следует направить на увеличение ресурса III (суточный объем производства первой технологической линии) и лишь затем на увеличение ресурса II (суточный запас используемых элементов). Что касается недефицитных ресурсов, то, как и следовало ожидать, их объем увеличивать не следует.

3.3 Задача 3. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции

В каких пределах допустимо изменение коэффициентов целевой функции?

Изменение коэффициентов целевой функции, которые определяются ценами на готовую продукцию, оказывает влияние на наклон прямой, которая представляет эту функцию в принятой системе координат. Очевидно, что идентификация конкретной угловой точки в качестве оптимума зависит, прежде всего, от наклона этой прямой.

Это означает, что вариация коэффициентов целевой функции может привести к изменению совокупности связывающих ограничений и, следовательно, статуса того или иного ресурса (т. е. сделать недефицитный ресурс дефицитным, и наоборот). Таким образом, в рамках анализа модели на чувствительность к изменениям коэффициентов целевой функции могут исследоваться следующие вопросы.

· Каков диапазон изменения (увеличения или уменьшения) того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения?

· Насколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы сделать некоторый недефицитный ресурс дефицитным и, наоборот, дефицитный ресурс сделать недефицитным?

Обсудим эти вопросы на нашем примере.

Рассматривая первый вопрос, обозначим через с₁ и c₂ доходы предприятия от продажи одного радиоприемника первой м второй модели соответственно. Тогда целевую функцию можно представить в следующем виде:

.

Из рис. 1 видно, что при увеличении c₁ или уменьшении c₂ прямая, представляющая целевую функцию F, вращается (вокруг точки С) по часовой стрелке. Если же c₁ уменьшается или c₂ увеличивается, эта прямая вращается в противоположном направлении - против часовой стрелки. Таким образом, точка С будет оставаться оптимальной точкой до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за пределы, определяемые наклонами прямых, соответствующих ограничениям (II) и (III).

Когда наклон прямой F станет равным наклону прямой для ограничения (II), получим две альтернативные оптимальные угловые точки С и B. Аналогично, если наклон прямой F станет равным наклону прямой для ограничения (III), будем иметь альтернативные оптимальные угловые точки C и D. Наличие альтернативных оптимумов свидетельствует о том, что одно и то же оптимальное значение F может достигаться при различных значениях переменных. Как только наклон прямой F выйдет за пределы указанного выше интервала, получим некоторое новое оптимальное решение (точка В или точка D).

Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим, каким образом можно найти допустимый интервал изменения с₁, при котором точка С остается оптимальной. Исходное значение коэффициента с₂=10 оставим неизменным. Из рис. 1 видно, что значение с₁ можно уменьшать до тех пор, пока прямая F не совпадет с прямой (II), или увеличивать, пока прямая F не совпадет с прямой (III). Эти крайние значения коэффициента с₁ можно определить из равенства наклонов прямой F и прямой (III) (максимальное значение с₁) и равенства наклонов прямой F и прямой (II) (минимальное значение с₁).

Так как тангенс угла наклона для прямой F равен с₁/10, а для прямых (II) и (III) соответственно 1.2 и ?, минимальное значение с₁ определяем из равенства , а максимальное значение находим из равенства.Интервал изменения , в котором точка С по-прежнему остается единственной оптимальной точкой, определяется неравенством .

Аналогично проведем вычисления для приемника второй модели.

Найдем допустимый интервал изменения с₂, при котором точка С остается оптимальной. Исходное значение коэффициента с₁=15 оставим неизменным. Из рис. 1 видно, что значение с₂ можно увеличивать до тех пор, пока прямая F не совпадет с прямой (II), или уменьшать, пока прямая F не совпадет с прямой (III). Эти крайние значения коэффициента с₂ можно определить из равенства наклонов прямой F и прямой (II) (максимальное значение с₂) и равенства наклонов прямой F и прямой (III) (минимальное значение с₂).

Так как тангенс угла наклона для прямой F равен 15/с₂, а для прямых (III) и (II) соответственно ? и 1.2, минимальное значение с₂ определяем из равенства , а максимальное значение находим из равенства. Интервал изменения , в котором точка С по-прежнему остается единственной оптимальной точкой, определяется неравенством .

Заключение

Имея первоначальные суточные запасы используемых элементов в количестве 650 единиц, суточную производительность первой технологической линии - 40 изделий, суточную производительность второй технологической линии - 60 изделий, для достижения оптимального плана производства необходимо произвести и реализовать 40 радиоприемников первой модели и 17 радиоприемников второй модели. При этом остатков суточных запасов используемых элементов не будет. Сумма от реализации всех выпущенных радиоприемников является при этом максимальной и равна 770 условных единиц. Анализ полученного решения на чувствительность дает следующие результаты:

1. Предел увеличения производительности первой технологической линии, превышение которого уже не будет улучшать значение целевой функции равен 54 единицам.

2. Предел уменьшения производительности второй технологической линии, при котором полученное оптимальное решение останется неизменным, равен 17 единицам.

3. Предел увеличения суточного запаса элементов электронных схем, при превышении которого улучшить значение целевой функции оказывается невозможным, равен 1080 единицам.

4. Дефицитным ресурсом, который имеет наибольший приоритет при возможности увеличения ресурсов, является суточный объем производства первой технологической линии.

5. Интервал изменения прибыли от продажи радиоприемника 1-ой модели, в котором оптимально решение остается неизменным, равен . 6. Интервал изменения прибыли от продажи радиоприемника 2-ой модели, в котором оптимально решение остается неизменным, равен .

Список использованных источников

1. Ашманов С.А. Линейное программирование.- М.: Высшая школа, 1961.

2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. - М.: «Финансы и статистика», 2003г.

3. Гольштейн Е.Г. Линейное программирование /Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин. - М.: Наука, 1969.

4. Дегтярев Ю.И. Исследование операций. - М.: Высшая школа, 1986.

5. Исследование операций в экономике. /Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера. - М.: «Финансы и статистика», 2004г.

6. Каплан А.В., Каплан В.Е., Мащенко М.В., Овечкина Е.В. Решение экономических задач. Москва, 2004г.

7. Ларионов А.И., Юрченко Т.И. Экономико-математические методы в планировании: Учебник - М.: Высшая школа, 1984.

8. Математические методы анализа экономики /под ред. А.Я. Боярского. М., Изд-во Моск. Ун-та, 1983.

9. Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические методы и модели в экономике. Минск, Тетра Системс, 2002г.

10. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Москва, Вузовский учебник ВЗФЭИ, 2004г.

11. Практикум по информатике. /Под ред. Е.К. Хеннера, Москва , 2001г.

12. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие под редакцией проф. В.И. Ермакова. Москва, Инфра-М, 2001г.

13. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. - Мн.: БГУИР, 1995.

14. Смородинский С.С., Батин Н.В. Анализ и оптимизация систем на основе аналитических моделей. - Мн.: БГУИР, 1997.

15. Фомин Г.П. Математические методы в коммерческой деятельности. Москва «Финансы и статистика» 2001 г.

Размещено на Allbest.ru