Н.И. Лобачевский и история признания его геометрии в России

Прочитав это сочинение, Гаусс написал своему ученику, математику Герлишу: "Я считаю молодого геометра фон Больяи гением первой величины". Однако в письме к Ф. Больяю он отозвался о сочинении Яноша гораздо сдержаннее: "Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну с того, что эту работу не должен хвалить, то ты конечно, на мгновение поразишься, но иначе я не могу; хвалить ее значило бы хвалить самого себя: все содержание сочинения, путь, по которому твой сын прошел, и результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими собственными достижениями, которые частично имеют давность 30-35 лет". Не найдя поддержки у современников, Я. Больяй перестал заниматься математикой. Он умер в состоянии глубокой депрессии за несколько лет до того, как неевклидова геометрия получила всеобщее признание.

В начале ХIX в. в "сражение" с пятым постулатом вступил русский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Он был исключительно талантлив и чрезвычайно настойчив. Он писал, что задача о параллельных прямых представляет собой "трудность, до сих пор непобедимую, но между тем заключающую в себе истины ощутительные, вне всякого сомнения, и столь важные для целей науки, что никак не могут быть обойдены".

Два тысячелетия бесплодных попыток доказать пятый постулат привели Н.И.Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, и поэтому его доказать нельзя.

Лобачевский обратился к методу доказательства от противного, допустив, что V постулат неверен. Из этого допущения последовали предложения, противоречащие многим теоремам классической геометрии и нашим представлениям о пространстве, которые сложились на основе многовекового опыта. Огромная заслуга Лобачевского заключается в его понимании, что эти противоречия коренятся не в том, что V постулат есть следствие остальных геометрических аксиом, и не в том, что, отвергая его, мы впадаем в противоречие с этими аксиомами, а в том, что V постулат есть новое независимое допущение, не вытекающее из других постулатов и аксиом, и поэтому, не нарушая этих аксиом, мы можем его принять и можем его отвергнуть. Принимая его, Евклид создал свою классическую геометрию; отвергая его, Лобачевский создал свою «воображаемую геометрию», столь же строгую, логически безупречную и непротиворечивую, как и геометрия Евклида. Обе геометрии одинаково верны с логической точки зрения, и возникшие противоречия - результат различия двух различных геометрических систем.

3). Появление неевклидовой геометрии

Все предложения абсолютной геометрии справедливы в геометрии Лобачевского.

Плоскость, в которой выполняются все аксиомы абсолютной геометрии и аксиома параллельности Лобачевского, называется гиперболической плоскостью или плоскостью Лобачевского.

Пусть в данной гиперболической плоскости ? точка С лежит вне данной прямой АВ. По аксиоме параллельности Лобачевского в плоскости ? через точку С можно провести по крайней мере две прямые, которые не пересекают прямую АВ. Обозначим эти прямые СК и СР (рис.1). Если прямые СК и СР не пересекают прямую АВ, то любая прямая СМ, проходящая между прямыми СК и СР в вертикальных углах К'СР и KC P', также не пересекает прямую АВ, т.е. на основании аксиомы параллельности Лобачевского через точку С в плоскости ABC проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую АВ.

С другой стороны, если X -- любая точка прямой АВ, то прямая СХ пересекает прямую АВ в точке X, причем прямая СХ проходит уже в вертикальных углах КСР и К'СР'. Вращая прямую СХ вокруг точки С в направлении против часовой стрелки, мы будем получать прямые, пересекающие прямую АВ соответственно в точках расположенных правее точки X (см. рис.1).

Таким образом, через точку С проходит бесконечно много прямых, пересекающих прямую АВ, и бесконечно много прямых, непересекающих aB. При этом «пересекающие» прямые лежат по одну сторону от «непересекающих», т.е. если CF и СH - «непересекающие» прямые, то ни одна прямая, лежащая между ними внутри угла FCH, не может быть «пересекающей» прямой, и наоборот.

Такое разбиение всех прямых пучка с центром С означает, что должна существовать либо последняя «пересекающая» прямую АВ, либо первая «непересекающая» эту прямую. Но, как легко убедиться, последней «пересекающей» прямую АВ быть не может, значит, граничной прямой, отделяющей «пересекающие» прямую АВ от «непересекающих» ее, является первая «непересекающая». Эту граничную прямую Лобачевский и называет прямой, параллельной прямой АВ в точке С.

Пусть этой прямой является прямая CY (рис.2). Тогда прямая CZ, симметричная CY относительно перпендикуляра CL к данной прямой АВ, также параллельна прямой АВ в точке С.



Рис. 2

Таким образом, в гиперболической плоскости картина расположения прямых, проходящих через точку С относительно прямой АВ, представляется в таком виде: через точку С проходят две прямые Y'Y и Z'Z, параллельные прямой АВ, расположенные симметрично относительно перпендикуляра CL к данной прямой АB; прямые, расположенные внутри вертикальных углов Y'CZ и YCZ', не пересекают прямую АВ. Лобачевский называет эти прямые расходящимися с АВ: все остальные прямые пучки с центром С (они пересекают АВ) Лобачевский называет сходящимися в АВ.

В целях наглядности на рисунках будем указывать стрелкой направление прямой и при этом говорить, что направленная прямая Y'Y параллельна направленной прямой АВ, а направленная прямая Z'Z параллельна направленной прямой ВА (см.рис.2).

Заметим, что прямая ЕЕ', проходящая через точку С перпендикулярно прямой CL (CLAB), принадлежит к числу прямых, расходящихся с АВ, т.е. в гиперболической плоскости две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся. (В евклидовой плоскости две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны.)

Параллельные прямые как в евклидовой, так и в гиперболической плоскости обладают следующими свойствами: если АВ || CD, то CD || АВ; если AВ || CD, CD || КР, то АВ || КР.

Николай Иванович Лобачевский ввел следующее понятие угла параллельности.

Пусть АК и АР - прямые, параллельные прямой ВС в точке A, AD - перпендикуляр к ВС (рис.3). (Прямые АК и АР симметричны относительно AD). В плоскости Лобачевского углом параллельности, соответствующим данной прямой ВС в данной точке А, вне ее лежащей, называется острый угол KAD между перпендикуляром AD, опущенным на точки А на ВС, и прямой АК, параллельной данной прямой ВС.

Если длину перпендикуляра AD обозначить х, то где бы точка А ни была расположена относительно прямой ВС, находясь от нее на расстоянии х, величина угла параллельности не изменяется. Иначе говоря, угол параллельности в плоскости Лобачевского является инвариантом движения. Это, в свою очередь, означает, что с изменением расстояния х от точки А до прямой ВС угол параллельности меняет свою величину, т.е. угол параллельности является функцией расстояния х от точки А до прямой ВС. Эту функцию Лобачевский обозначает через П(х): ? = П(х). (Евклидова геометрия характеризуется тем, что в ней угол ? = П(х) всегда прямой, каков бы ни был отрезок AD.)

Лобачевский доказывает, что 0<П(х)< . При этом функция П(х) монотонно убывает с возрастанием аргумента х

т.е. по мере удаления точки А от прямой ВС угол ? = П(х) уменьшается от 90° до 0°. Более того, каков бы ни был острый угол ?, всегда существует один и только один отрезок длиной х такой, что П(х) = ?. т.е. функиия П(х) обратима.

Здесь уместно заметить, что мы, вероятно, потому питаем большое доверие к евклидовой геометрии, что все доступные нам измерения происходят в таком незначительном уголке вселенной, что не представляется возможным обнаружить отличие евклидовой геометрии от наших ощущений. Поэтому не исключено, что вера в утверждение «сумма внутренних углов линейного треугольника равна 180°» была обусловлена тем, что экспериментальной проверке этого утверждения подвергались треугольники достаточно малых размеров. Лобачевский вычислил сумму углов треугольника, вершинами которого служили Земля, Солнце и звезда Сириус, и получил угловой дефект (угловой недостаток до 180°) 0",000372. (Даже столь малое отличие суммы углов этого треугольника от 180° не поколебало убежденности Лобачевского в неевклидовости мирового пространства.)

Следствием аксиомы параллельности Лобачевского является рождение новой геометрии, которую называют геометрией Лобачевского или гиперболической геометрией. В этой геометрии имеется ряд предложений, совершенно отличающихся от соответствующих предложений геометрии Евклида.

Утверждения планиметрии Лобачевского

Точки ориентированной прямой CD, параллельной прямой АВ, неограниченно приближаются к АВ в сторону параллельности и неограниченно от нее удаляются в противоположную сторону. Это неограниченное приближение параллели CD к АВ выражают так: параллельные прямые в сторону параллельности асимптотически приближаются одна к другой (рис.4) (во-видимому, именно асимптотическое приближение прямых друг к другу было не до конца понято Саккери при исследовании им гипотезы острого угла).



Прямая в гиперболической плоскости имеет две бесконечно удаленные точки. (В евклидовой плоскости прямая дополняется только одной бесконечно удаленной точкой.)

В гиперболической плоскости существует ряд «интересных» особенностей взаимного расположения параллельных прямых (параллелей).

Договоримся, что если две параллели имеют общую бесконечно удаленную точку В, то будем записывать АВ || CD. На рисунках направления параллельности будем указывать стрелками (рис.5).

Рис. 5

Фигуру, состоящую из двух лучей АВ, АС и прямой ВС, которой они параллельны в одну и в другую сторону (рис.6) (конфигурация Лобачевского-Больяи), можно рассматривать как треугольник с одной конечной и двумя бесконечно удаленными вершинами.

Рис.6

В геометрии Лобачевского треугольник с двумя конечными и одной бесконечно удаленной вершинами иногда (рис.7) называют двуугольником.



Теперь возьмем между параллелями АВ и СВ любую точку М и проведем через нее прямые МА и МС, параллельные тем же прямым, обращенным в противоположные стороны, т.е. направленным прямым ВА и ВС (рис.8, а; MA || BA, МС|| ВС). Пусть AMC = 2 ?. Тогда на биссектрисе угла АМС существует такая точка H, удаленная от точки М на расстояние x, что П(х) = ?. Прямая АС, проходящая через точку H перпендикулярно МН, параллельна каждой из прямых МА и МС, значит, параллельна ВА и ВС. Таким образом, мы получили треугольник АВС_, все три стороны которого попарно параллельны (рис.8, б).

В гиперболической плоскости две расходящиеся прямые имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются одна от другой (рис.9). Длина этого перпендикуляра принимается за расстояние между расходящимися прямыми.



Пусть АВ и CH -- две расходящиеся прямые. Из середины М их общего перпендикуляра КР проведем прямые MB || KB и МА || КА, МН || РH и МС || PC (рис.10) (такие прямые существуют согласно обратимости функции Лобачевского П(х)). Тогда для каждого из углов АМС и ВМН существуют соответственно прямые АС и ВН, параллельные сторонам этих углов.

Рис.10

Конфигурация, которую мы таким образом получили, представляет собой своеобразный четырехугольник АВНС, четыре вершины которого лежат в бесконечно удаленных точках прямых, являющихся его сторонами; стороны и диагонали этого четырехугольника параллельны между собой в направлениях, указанных стрелками. (О таком четырехугольнике упоминает Швейкарт в заметке, которую он послал Гауссу.)

Далее, сумма внутренних углов треугольника в геометрии Лобачевского является переменной величиной - она меняется от треугольника к треугольнику, но всегда остается меньше 180°.

Предложение «сумма углов четырехугольника меньше 4d» вытекает из предыдущего.

Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского нет ни прямоугольников, ни квадратов. Вообще сумма углов n - угольника меньше 2d(n-2).

Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных углов. Действительно, пусть ????внешний угол треугольника, смежный с внутренним углом треугольника ????и пусть ??и ?? - остальные его внутренние углы, тогда: ?????????d.

Следует, что ??> ??+ ???.

Сумма внутренних углов треугольника непостоянна. Отсюда следует, что чем больше стороны треугольника, тем меньше сумма его внутренних углов.

Угловым дефектом треугольника ABC в плоскости Лобачевского (его обозначают ) называется разность между числом ? и суммой величин всех трех его внутренних углов, т.е.

= ? - (А + В + С)

где А, В и С - величины соответствующих углов в радианном измерении.

В гиперболической плоскости площадь треугольника пропорциональна его угловому дефекту, т.е.

где k - гиперболическая постоянная. Это означает, например, что в гиперболической плоскости все треугольники, имеющие общее основание и одну и ту же сумму углов, равновелики.

В геометрии Лобачевского нет подобных треугольников, т.е. все треугольники, имеющие соответственно равные углы, равны между собой.

Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Это четвертый признак равенства треугольников в геометрии Лобачевского.

Существуют треугольники, вокруг которых нельзя описать окружность и в которые нельзя вписать окружность. Дело в том, что в гиперболической плоскости серединные перпендикуляры к сторонам треугольника либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо все три перпендикулярны к одной прямой; то же имеет место и относительно биссектрисы внутренних углов треугольника.

В гиперболической геометрии углы равностороннего треугольника могут быть не равны между собой (рис.10,а)

Рис.10,а

В гиперболической плоскости имеются три типа пучков прямых: пучок сходящихся прямых, пучок параллельных прямых, пучок расходящихся прямых - множество всех прямых плоскости, перпендикулярных одной прямой - базисной прямой пучка.

Лобачевский рассмотрел пучок прямых, параллельных друг другу в одном направлении, и его ортогональные траектории, т.е. линии, которые пересекают под прямым углом все прямые данного пучка. В евклидовой геометрии тоже можно рассматривать ортогональные траектории. Например, для пучка концентрических окружностей это лучи, исходящие из центра, а для пучка параллельных прямых - перпендикулярные им прямые (рис. 10,б).



Рис. 10,б

В евклидовой плоскости имеются только две линии постоянной кривизны - прямая и окружность.

В плоскости Лобачевского, кроме прямой и окружности, линиями постоянной кривизны являются эквидистанта и предельная линия (ее еще называют орициклом).

Эквидистанта представляет собой множество всех точек гиперболической плоскости, равноудаленных от данной прямой а; она состоит из двух ветвей, расположенных по одной в разных полуплоскостях относительно данной прямой а, называемой базой эквидистанты (на рис.11,а изображена одна ветвь эквидистанты). (В евклидовой плоскости такое множество точек представляет собой две параллельные прямые). Прямую в гиперболической плоскости можно отнести к эквидистантам, если расстояние от данной прямой - базы положить равным нулю.



в)

Предельную линию можно представить как окружность бесконечно большого радиуса (рис.11,б и в) (предельный переход от окружности конечного радиуса к окружности бесконечно большого радиуса выражен в названии этой линии).

Геометрию в плоскости Лобачевского (в гиперболической плоскости) называют гиперболической геометрией.

Не менее интересна геометрия в пространстве Лобачевского, т.е. в пространстве, в котором выполняется аксиома параллельности Лобачевского.

Заметим, что в евклидовом пространстве существуют два вида поверхностей постоянной кривизны - плоскость и сфера, которые допускают внутреннюю геометрию, основанную на движении без деформации: на первой имеет место евклидова геометрия, на второй - сферическая геометрия.

Не менее интересная картина наблюдается в пространстве Лобачевского, в котором в гиперболической плоскости имеет место гиперболическая геометрия, а геометрия на сфере та же самая, что и в пространстве Евклида (сферическая геометрия).

Но в пространстве Лобачевского существуют и другие поверхности, которые допускают внутреннюю геометрию поверхности.

Лобачевский рассмотрел в пространстве пучок параллельных прямых и поверхности, ортогональные прямым пучкам. Такие поверхности (предельные поверхности) или орисферы (предельные сферы) получаются если предельную линию вращать вокруг одной из своих осей. Эту поверхность можно представить как сферу с бесконечно удаленным центром. Такая поверхность может скользить по самой себе; на ней можно строить внутреннюю геометрию.

Рис. 13

Орисферы обладают замечательными свойствами. Через каждые две точки орисферы проходит орицикл, целиком лежащий на этой поверхности.

Потому можно рассматривать треугольники, образованные тремя орициклами на орисфере (рис. 13).

Оказалось, что в геометрии на орисфере сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. То есть для орициклов на орисфере справедлив пятый постулат - господствует геометрия Евклида. Другими словами, из материала своей "воображаемой" геометрии Лобачевский сумел построить модель геометрии Евклида. Какая злая ирония судьбы! Если бы все было наоборот! Гениальный ученый понимал: создай он из материала евклидовой геометрии (в непротиворечивости которой никто не сомневался) модель собственной "воображаемой" геометрии - и законность его геометрической системы установлена. Это сделали математики уже следующего поколения.

Лобачевский доказал, что на предельной поверхности выполняется обычная двумерная геометрия Евклида. Не странно ли: отказ от евклидовой геометрии на двумерной плоскости в пространстве Лобачевского порождает евклидову же геометрию на другой двумерной поверхности. Носителем этой евклидовой геометрии в гиперболическом (неевклидовом) пространстве является предельная поверхность (ее называют еще орисферой).

Восстановление евклидовой планиметрии в неевклидовом пространстве имеет чрезвычайно большое значение. Используя факт существования евклидовой геометрии на предельной поверхности, Лобачевский приходит к тригонометрии прямоугольных треугольников в гиперболической плоскости, расположение которой он строит в «воображаемой геометрии», как ее называет Лобачевский, аналитическую геометрию, дифференциальную геометрию, развивает дифференциальное и интегральное исчисление. Он развивает созданную им геометрию до такого уровня, которого достигла до него в течение последних трех столетий классическая, «употребляемая» геометрия. И чем дальше шло это развитие новой геометрии, не наталкиваясь ни на какие противоречия, тем тверже крепла уверенность Лобачевского в ее незыблемости. Лобачевским была создана совершенно новая наука, принесшая новые идеи и факты, свидетельствующие о гениальности ее творца. Прецедента этому история развития человеческого знания не имела.

4). Другие творцы неевклидовой геометрии

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 года в доме №1550, что стоял на канале Венденгребене в Брауншвейе. По мнению биографов, он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект. Ближе других был к будущему ученому дядя Фридерихс - искусный ткач, в котором, по словам племянника, «погиб прирожденный гений».Гаусс говорил о себе, что он «умел считать, раньше, чем говорить».

Мать Гаусса была решительной женщиной с сильным характером, острым умом и изрядным чувством юмора. Карла, который был гордостью матери с рождения до её смерти в 97 лет, она родила в 35 лет. Последние 22 года она провела в доме сына.

С самого раннего детства Гаусс проявил выдающиеся математические способности. В 3 года он поправил отца, сделавшего ошибку при расчёте с каменщиками, а в школе 10-летним мальчиком переоткрыл формулу для суммы арифметической прогрессии, когда учитель дал ученикам задание: найти сумму всех чисел от одного до сорока. Учитель был уверен, что большую часть урока ученики будут заняты, и был разгневан, когда сразу после написания им задания на доске, раздался крик: «У меня готово!» Стоит ли говорить, что решение Гаусса

1+ 2+…+20

40+39+…+21

____________

41+41+…+41, т. е. 41•20=820 было верным, в чём учитель и убедился.

Учитель был так поражён, что быстро искупил свои грехи и по крайней мере для одного из своих воспитанников стал гуманным учителем. На собственные деньги он купил самый лучший учебник арифметики, который смог достать, и подарил его Гауссу. Мальчик проглотил книгу. « Он превзошёл меня, - сказал Бютнер, я ничему больше не могу его научить».

До Гаусса математики легко обращались с рядами и серьёзно не беспокоились о том, чтобы объяснить таинственность и нелепость, проявляющуюся из-за некритического употребления бесконечных процессов. Юный Гаусс первый поставил вопрос о сходимости ряда и о том действительно ли ряд позволяет нам вычислять математические выражения (функции), для представления которых он используется. Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж, Лаплас - все великие аналитики своего времени практически не имели представления о том, что теперь считается доказательством, включающим в себя бесконечные процессы. Первый, кто ясно увидел, что «доказательство», которое может привести к абсурдным утверждениям, подобным тому, что «минус единица равна бесконечности», вовсе не является доказательством, был Гаусс. Даже если в некоторых случаях формула даёт согласованные результаты, ей нет места в математике, пока не определены точные условия, при которых она продолжает оставаться согласуемой.

Строгость, внесённая Гауссом в анализ, постепенно распространилась на всю математику. Сам Гаусс говорил: «Математика - царица наук, арифметика - царица математики». Самого же Гаусса по праву называют королём математики.

Янош Больяи

15 декабря 2002 года исполнилось 200 лет со дня рождения одного из создателей неевклидовой геометрии - венгерского математика Яноша Боляи. Когда ему было 30 лет, он опубликовал 26-страничное сочинение, где развил так называемую "абсолютную геометрию", в которой отсутствует аксиома параллельности. Сама мысль о таком взгляде на геометрию была в то время настолько революционна, что была категорически отторгнута математическим сообществом. Такой прием сильно разочаровал Яноша Боляи и к этой теме он больше не возвращался. Лишь 20 лет спустя он узнал, что немного раньше, чем он, неевклидову геометрию открыл и систематически исследовал казанский математик- Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) . Ни Боляи, ни Лобачевский не дожили до триумфа идей неевклидовой геометрии, влияние которой в настоящее время простирается далеко за пределы математики.

Жизненные обстоятельства Яноша Боляи практически не известны в России даже геометрам, занимающимся неевклидовой геометрией. Ниже мы постараемся восполнить этот пробел, опираясь, в основном, на статью венгерского математика академика Андраша Прекопы.

Янош Боляи родился 15 декабря 1802 года в городке Коложваре (ныне - Клуж-Напока, находится в Румынии). Он происходил из обедневшего, но древнего рода, давшего Венгрии несколько поколений храбрых воинов и владевшего в 14-18 веках укрепленным замком Бойя, в котором и родился отец Яноша Фаркаш.

Фаркаш Боляи (1775-1856) был заметным математиком своего времени. Будучи студентом Гёттингенского университета, он познакомился с Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855)- едва ли не самым выдающимся математиком всех времен и народов -переписку с которым он вел всю оставшуюся жизнь. Математические интересы Фаркаша концентрировались вокруг доказательства пятого постулата Евклида. Как мы теперь знаем, такое доказательство в собственном смысле слова невозможно, а вклад Фаркаша в геометрию состоит в нахождении утверждений, эквивалентных аксиоме о параллельных, утверждающей, что через точку на плоскости можно провести, и притом только одну, прямую, не пересекающуюся с данной прямой (здесь предполагается, что исходная точка не лежит на данной прямой). По окончании Гёттингенского университета Фаркаш работал частным учителем в Коложваре - небольшом городке в Трансильвании, бывшей в ту пору независимым венгерским герцогством под управлением Габсбургов. Вскоре после рождения Яноша семья перебралась в Марошвашархель (ныне - город Тыргу-Муреш в Румынии), где Фаркаш получил должность профессора математики в местном колледже, которую и занимал до выхода на пенсию в 1851 году.

Необычные способности Яноша проявились очень рано. В 6 лет он практически самостоятельно научился читать. Годом позже он выучил немецкий язык и научился играть на скрипке. В 9 лет отец начал учить его математике. В 12 лет Янош поступил в колледж, где преподавал отец. В 14 лет хорошо знал высшую математику и свободно владел интегральным и дифференциальным исчислением. В 15 лет Янош закончил колледж.

С дальнейшим обучением возникла проблема, поскольку в Трансильвании в ту пору вообще не было университетов, а в университетах Будапешта и Вены не было профессора математики, у которого Яношу было бы чему учиться. Естественно встал вопрос о поступлении в Гёттингенский университет. Зная не по наслышке об искушениях и опасностях, подстерегающих студентов в Гёттингене, и учитывая молодость Яноша, Фаркаш соглашался на этот шаг только при условии, что Янош будет жить в доме у Гаусса. Однако согласие Гаусса получено не было и в 1818 году Янош поступил в Академию военных инженеров в Вене.

Это было непростое решение по многим причинам, даже по финансовым. Годовая плата за обучение составляла около 900 рейнских форинтов, в то время как годовая зарплата Фаркаша составляла только 200 рейнских форинтов. Полный курс обучения длился 8 лет, но, учитывая особые достижения Яноша, ему зачли первые 4 года обучения экстерном. Учился он хорошо: профессора оценивали его как лучшего студента, но однокашники ставили его на второе место, где он и находился во всё время обучения, по результатам суммирования рейтингов. Наиболее трудным для Яноша предметом было рисование.

С самого начала своего пребывания в Академии Янош уделял всё свободное время исследованиям о параллельных. Отец был в курсе и умолял сына оставить эти занятия: "Молю тебя, оставь в покое учение о параллельных линиях; ты должен его страшиться как чувственных увлечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя - оно тебе погубит всю радость жизни. Эта беспросветная мгла может поглотить тысячу ньютоновых башен и никогда на земле не прояснится…". Янош окончил Академию в 1822 году, но был оставлен при ней для дальнейшего обучения в качестве одного из двух лучших учеников. В сентябре 1823 года Янош был произведен в младшие лейтенанты и направлен для прохождения службы в Тимишоарское управление фортификации в качестве военного инженера.

В ноябре 1823 года в письме к отцу, рассказывая о своей работе над проблемой параллельных, Янош впервые упомянул об открытии неевклидовой геометрии. Он писал: "Правда, я не достиг еще цели, но получил весьма замечательные результаты - из ничего я создал целый мир". Ему был 21 год. Фаркаш не понял открытия сына. Янош безуспешно пытался объяснить суть открытия Иоганну Вальтеру фон Экверу - своему бывшему профессору математики в Вене. Наконец, Фаркаш предлагает Яношу опубликовать его статью об "абсолютной геометрии" в виде приложения к своему двухтомному учебнику по геометрии. Это приложение, знаменитый 26-ти страничный "Appendix" Яноша Боляи, написанный на латинском языке, было опубликовано в первом томе учебника Фаркаша, вышедшем в свет в 1832 году. Сохранилась и точная дата, когда книга была "подписана в печать": 12 октября 1829 года (традиционно считается, что первое официальное научное сообщение о неевклидовой геометрии было сделано Лобачевским 11(23) февраля 1826 года на заседании физико-математического факультета Казанского университета, а первая публикация вышла в 1829 году в журнале Казанского университета "Казанский вестник".)

Полное название работы Я.Боляи - "Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)". Она написана чрезвычайно сжато, с применением многих условных обозначений. Это объясняется как тем, что Ф. Боляи выделил сыну очень мало места для изложения его открытия, так и тем, что Янош был уверен, что выдающиеся открытия, к которым он относил и свое собственное, способны говорить сами за себя и быстро получают всеобщее признание. Поэтому уяснить суть открытия Яноша Боляи по его изложению было нелегко. Но один понимающий читатель был - "король математиков" Карл Фридрих Гаусс.

Немедленно после выхода книги в свет Фаркаш посылает отдельный оттиск Appendix's Гауссу. Письмо было послано 20 июня 1831 года и, кажется, не дошло до адресата. Поэтому 16 января 1832 года Фаркаш вторично пишет Гауссу, чтобы узнать его мнение о работе сына. Вот выдержка из широко известного ответа Гаусса Фаркашу, датированного 6 марта 1832 года: "Теперь поговорим о работе Вашего сына. Вы будете удивлены, если я начну с того, что не могу хвалить её. Однако ничего другого мне не остается: хвалить эту работу - значит хвалить самого себя, поскольку и замысел в целом, и путь, по которому шел Ваш сын, и полученные им результаты почти полностью совпадают с моими размышлениями 30-35-летней давности". Янош был разочарован и подавлен. Он считал, что Гаусс присвоил себе его открытие и никогда больше не возвращался к работе над неевклидовой геометрией.

Но вернемся собственно к жизнеописанию Яноша Боляи. Его переводили из одного маленького гарнизона обширной Австро-Венгерской империи в другой: в 1831 он служил в Лемберге, в 1832 - в Олмуце. В 1833 году в возрасте 31 года Янош вышел в отставку по состоянию здоровья в чине капитана и приехал к отцу в Марошвашархель. Однако уже на следующий год он переехал в небольшое фамильное имение Домальд, где и жил до 1846 года. В том же 1834 Янош вступил в гражданский брак с Розалитой Кибеди: оформить брак официально не представлялось возможным, поскольку, будучи офицером, Янош должен был при вступлении в брак внести в казну довольно значительную сумму денег, которой у него не было. У них родилось двое детей, потомков которых можно проследить до наших дней.

В 1846 году Янош с семьёй переехал в Марошвашархель, поскольку отец сдал в наем имение Домальд, будучи недоволен тем, как Янош управляет им. В 1852 году Янош ушел из семьи, оставив Розалите дом и приличную сумму денег.

Из переписки с отцом известно, что, выйдя на пенсию, Янош занимался "для себя" некоторыми вопросами теории чисел, алгебры, дифференциального исчисления и теории музыки. Но он ничего не публиковал. Пожалуй, единственное исключение - работа по обоснованию комплексных чисел, представленная им на конкурс, объявленный в 1837 году Лейпцигским научным обществом, но не получившая награды. В 1848 году Янош познакомился с одной из работ Лобачевского по неевклидовой геометрии, опубликованной в 1840 году на немецком языке(Лобачевский до конца своих дней не знал имени Яноша Боляи. Гаусс, высоко оценив научные работы Лобачевского и проведя его в 1842 году в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук Ганноверского королевства, почему-то не сообщил ему о существовании Appendix'а Яноша Боляи).

Янош Боляи умер 27 января 1860 года на 58-ом году жизни в Марошвашархеле. Помимо обязательного военного эскорта, за гробом шли 3 гражданских человека. Помимо формальных записей, в регистре кальвинистской церкви было добавлено: "Он был знаменитым математиком выдающегося ума. Он был первым даже среди первых. Жаль, что его талант сгорел не будучи востребован".

Не осталось ни одного портрета Яноша Боляи (Как считают современные исследователи, помещенный в “Большой Советской Энциклопедии” портрет был написан после смерти Яноша и не может считаться достоверным). Лишь недавно по некоторым косвенным признакам было с достаточной степенью вероятности установлено, что один из барельефов в верхней части фасада Дворца культуры в Марошвашархеле изображает Яноша Боляи.

Однако имя Яноша Боляи живет в памяти всех математически образованных людей мира. Это имя носит Венгерское математическое общество. В 2002 году научные конференции, организованные в честь 200-летия Яноша Боляи, прошли в Венгрии, Румынии и США.

5). Непротиворечивость (содержательная) геометрии Лобачевского

Интерпритации (модели) геометрии Лобачевского

Итальянский геометр Э. Бельтрами показал, что в евклидовом пространстве существуют поверхности, которые несут на себе планиметрию Лобачевского, - псевдосферы (рис.12).

Образно выражаясь, можно сказать, что на псевдосферическую поверхность навертывается гиперболическая плоскость, подобно тому, как на обыкновенную цилиндрическую поверхность навертывается евклидова плоскость. На рис.12,б можно видеть, что на «плоскости Лобачевского» (на псевдосфере) через точку А, не лежащую на «прямой» а, проходят две «прямые» b и с, не пересекающие «прямую» а.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.13).Итак, псевдосфера - это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2d. Сторона треугольника - это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости. Эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и политую краской или мелом нить, в вершинах треугольника. Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников.

Псевдосферу, которую мы назвали «моделью», Бельтрами назвал интерпретацией (истолкованием) неевклидовой геометрии на плоскости. Впоследствии, с развитием и введением в математику аксиоматического метода, под интерпретацией (или моделью) некоторой системы аксиом стали понимать любое множество объектов, в которых данная система аксиом находит свое реальное воплощение, то есть, любая совокупность объектов, отношение между которыми полностью совпадают с теми, которые описываются в данной системе аксиом. При этом полагают, что если для некоторой системы аксиом существует или можно построить интерпретацию (модель), то эта система аксиом непротиворечива, то есть, не только сами аксиомы, но и любые теоремы, на них логически основывающиеся никогда не могут противоречить одна другой.

Итак, доказательство логической непротиворечивости той или иной геометрии, можно свести к доказательству существования модели соответствующей системы аксиом.

Первой моделью планиметрии Лобачевского была интерпретация Бельтрами в 1868г., к которой позже, но из других соображений и в ином виде, пришел в 1870г. немецкий математик Феликс Клейн. Идею этой интерпретации можно усмотреть на рис.14.

Рис. 14 2 прямые (хорды), не пересекающие данную

В качестве плоскости Лобачевского, коротко «плоскость L», принимается внутренность некоторого круга (исключается таким образом его контур) на обычной евклидовой плоскости. Прямыми L служат хорды круга, исключая, конечно, их концы. Принадлежность и между понимаются в обычном евклидовом смысле. Оказывается, что в этой модели имеют место все аксиомы абсолютной геометрии, то есть, аксиомы принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности. Что же касается аксиомы параллельности, то в этой модели имеет место не постулат Евклида, а именно, аксиома Лобачевского: через т. С, не лежащую на данной прямой (хорде) АВ, можно провести хотя бы

Выполняются, конечно, так же все следствия аксиомы. Так, например, среди проходящих через данную точку расходящихся прямых L, имеются две предельные CL и CM, параллельные к АВ в смысле Лобачевского, так как разделяют класс расходящихся с АВ прямых от класса сходящихся. Сами параллельные не имеют с АВC общих точек, поскольку точки А и В, лежащие на окружности, исключены.

Аналогично строится модель Клейна геометрии Лобачевского в пространстве, принимая внутренность какого-либо шара за пространство L.

Таким образом, была показана непротиворечивость геометрии Лобачевского. Ее аксиомы и теоремы не могут быть противоречивыми, так как каждой из них соответствует факт евклидовой геометрии внутри круга (или внутри шара). Если в геометрии Лобачевского встретились бы две противоречащие друг другу теоремы, то, переводя эти теоремы на язык обычной геометрии посредством модели Клейна, мы получили бы противоречие между соответствующими теоремами в геометрии Евклида, то есть, построением модели, Клейн показал, что геометрия Лобачевского непротиворечива в такой же мере, в какой непротиворечива геометрия Евклида.

Другую модель геометрии Лобачевского построил в 1882г. французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), применивший ее к решению некоторых важных задач теории функций комплексного переменного. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (рис. 15), прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями -- преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами. Исходя из таких соображений, можно строить модель Лобачевского

Рис.15 геометрия в пространстве

Коротко модели Клейна и Пуанкаре можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может служить внутренность круга (пространством -- внутренность шара), и Лобачевского геометрия есть учение о тех свойствах фигур внутри круга (шара), которые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре -- при конформных преобразованиях круга (шара) самого в себя (проективные преобразования есть те, которые переводят прямые в прямые, конформные те, которые сохраняют углы).

Возможно чисто аналитическое определение модели Лобачевского геометрия. Например, точки плоскости можно определять как пары чисел х, у, прямые можно задавать уравнениями, движения -- формулами, сопоставляющими точкам (х, у) новые точки (х', y'). Это будет абстрактно определённая аналитическая геометрия на плоскости Лобачевского, аналогично аналитической геометрии на плоскости Евклида. Т. к. Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, то тем самым он уже фактически наметил такую модель, хотя полное её построение выяснилось уже после того, как на основе работ Клейна и других выявилось само понятие о модели.

Одним из важнейших результатов открытия геометрии Лобачевского (называемой также гиперболической геометрией) было развитие новых неевклидовых геометрий, в первую очередь, геометрии Римана (в узком смысле), называемой так же эллиптической геометрией. В качестве модели планиметрии Римана может служить сфера, если считать каждую пару диаметрально противоположных ее точек за одну «точку».

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Итак, плоскость Римана представлена Евклидовой сферой. На сфере нет прямых линий, но имеются так называемые большие окружности (рис.10), то есть окружности с центром в центре сферы, которые в качестве геодезических ее линий выполняют на сфере ту же роль, что и прямые на плоскости. Дуги больших окружностей дают кратчайшие расстояния между двумя точками сферы, через которые они проходят, подобно тому, как отрезок прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между двумя точками сферы, через которую они проходят, подобно тому, как отрезок прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между его концами; через две точки сферы проходит одна и только одна большая окружность, подобно тому, как две точки плоскости определяют одну и только одну прямую; из дуг больших окружностей на сфере, как из отрезков прямых на плоскости можно образовать сферические треугольники, четырехугольники, многоугольники.

Одним словом, большие окружности сферы - это ее «прямые» (рис.11). Однако, наряду с некоторыми сходствами, имеется и большое различие между сферической геометрией с одной стороны и геометрией Евклида и Лобачевского с другой. Аксиомы, следовательно, и теоремы, и формулы сферической геометрии во многом отличаются от аксиом, теорем и формул плоской геометрии Евклида, а так же Лобачевского. В частности, прямые Римана все замкнуты и конечны, имея одну и ту же длину. Сумма углов сферического треугольника, как известно, больше 2d, каждые две прямые имеют одну общую точку, то есть, на римановой плоскости нет параллельных прямых.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.11

III. История признания геометрии Н.И. Лобачевского в России

1). Хронология событий

Первое упоминания о неевклидовой геометрии - письмо Гаусса (1777-1855) своему ученику Тауринусу от 8 ноября 1824г. Второе упоминание о неевклидовой геометрии - рукопись ученика Гуасса профессора Швейкарта (1870-1859г.), которую он передал Гауссу в 1818г.

Рукопись называется ”Небесная геометрия”. Там есть теорема о том, что в

Сравним с теоремой Саккери, Лежандра (18 в.), где . Н.И. Лобачевский в 1826г. прочитал доклад в Казанском университете ”Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных”, где вместо 5-го постулата утверждалось, что через точку, лежащую вне прямой можно провести по меньшей мере две прямые, не пересекающие данной и доказывалось, в частности, что сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых. Н.И. Лобачевский в 1829-1830г.г. печатает большую работу “О началах геометрии” (г. Казань), которая считается первой публикацией по неевклидовой геометрии. Янош Бойяи - письмо к отцу Фаркашу Бойяи известному математику от 23 ноября 1823г. о его открытии неевклидовой геометрии. Я. Бойяи опубликовал в 1823г. в приложении книги отца - краткое содержание открытой им неевклидовой геометрии. Н.И. Лобачевский в 1840г. печатает в Берлине на немецком языке книгу “Геометрические исследования по теории параллельных”. Н.И. Лобачевский в 1855г. печатает итоговую большую работу “Пангеометрия”.

2). Биография Михаила Васильевича Остроградского(1801-1861)

Михаил Васильевич Остроградский родился 24 сентября 1801 года в деревне Пашенной Кобелякского уезда Полтавской губернии, в имении своего отца.

По числу легенд, анекдотов и преданий никто из петербургских математиков не может сравниться с Михаилом Васильевичем Остроградским. Нет ни одного юбилейного сборника высшего учебного заведения, где он работал, в котором не было бы воспоминаний о нем. Немало увлекательных историй об Остроградском сохранили мемуары его учеников и коллег. Высокий, статный, с выразительным лицом он всегда производил неизгладимое впечатление на собеседника. Михаил Васильевич старательно создавал образ великого геометра в сознании окружающих. Подчас он сам придумывал о себе легенды и, более того, с невероятным артистизмом их разыгрывал. Весь Петербург становился театром Остроградского, многие вольно или невольно оказывались втянутыми в его игру, и об участии в этих "спектаклях" вспоминали с удовольствием всю свою жизнь. Утомленный мышиной возней вокруг решения о присуждении ему степени кандидата в Харьковском университете Остроградский в знак протеста вернул университету свой аттестат и попросил вычеркнуть свое имя из списков выпускников. Он решил отправиться в Париж, где в это время работали П.С. Лаплас, С.Д. Пуассон, О.Л. Коши, Ж.Б. Фурье, Л. Навье и др., именно там формировался математический аппарат теории упругости, теории распространения тепла, математической теории электричества, магнетизма, теории распространения волн. Остроградский слушал лекции в Парижском университете, в Коллеж де Франс, регулярно посещал еженедельные заседания Академии наук.

Он был необычным студентом, сразу обратившим на себя внимание. В отличие от других он начал обучение, уже имея приличную математическую подготовку и определенные научные интересы. Остроградский не заботился о получении аттестата об окончании высшего учебного заведения, он не приходил на экзамены, но не по причине неспособности к учению, а наоборот, потому что стремился получить прежде всего знания, освоить самые последние результаты своих знаменитых учителей. Все его внимание было сосредоточено на занятиях наукой, и при этом он был крайне стеснен в средствах на жизнь, но сохранял бодрость духа, был весел и наделен простодушным юмором, все это не могло не подкупать французских математиков. Его приглашал к себе отобедать даже Коши, очень придирчиво относившийся к молодежи и не жаловавший ее своим вниманием. Одновременно с Остроградским в Париже учился и В.Я. Буняковский, но последний не завел столь близкого знакомства со своими учителями, вероятно, оттого, что был одним из скромных, хорошо воспитанных и одаренных молодых людей, которые учились в университете, как того требовали правила. Эксцентричный Остроградский постоянно обращал на себя внимание тем, что ни в какие правила не вписывался.

В Петербургской математической школе сохранилось такое предание, записанное академиком А.Н. Крыловым:

"По какой-то причине в 1826 г. Остроградский денег от отца своевременно не получил, задолжал в гостинице "за харч и постой" и по жалобе хозяина был посажен в «Клиши», т.е. в долговую тюрьму в Париже. Здесь он, видимо, особенно усердно занимался математикой, написал свою знаменитую работу "Мемуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне" и послал эту работу О. Коши. Коши в ноябре 1826 г. представил этот мемуар с самым лестным отзывом Парижской академии, которая удостоила эту работу высшего отличия - напечатания в «Memoires des savants etrangers a l'Academie», т.е. в «Записках ученых посторонних Академии». Более того, Коши сам, не будучи богатым человеком, выкупил Остроградского из «долгового»".

Это предание постепенно обросло многими подробностями и выдумками. Получило широкое распространение мнение, что Остроградский вел весьма разгульный образ жизни в Париже, потому и был посажен за долги в тюрьму. По одной версии молодого ученого выкупил О. Коши, высоко ценивший талант Остроградского; по другой - от публикации результатов, полученных в тюрьме, Остроградский заработал так много денег, что смог рассчитаться со всеми долгами (что, конечно, просто невероятно). Став именитым академиком, Остроградский уклонялся от прямого ответа на расспросы о его жизни в Париже и об эпизоде с долговой тюрьмой, что только подогревало фантазию неутомимых рассказчиков.

Что такое нужда Остроградский хорошо знал с детства. Дом, где он родился, представлял собой простую хату крытую соломой, крыльцо которой украшали две пары колонн. Первый год обучения в полтавской гимназии мальчик вынужден был жить в "доме для воспитания бедных дворян". А поездка в Париж состоялась лишь благодаря материальной помощи дяди по материнской линии Прокофия Андреевича Устимовича. Родители хоть и благословили сына в дорогу, но были недовольны этой поездкой. Соседи же твердили, что отец Михаила Васильевича видно совсем выжил из ума, раз отпускает сына в такое путешествие. Если обратиться к переписке М.В. Остроградского с его родителями, то почти во всех письмах содержится просьба о присылке денег. Незадолго до женитьбы, уже будучи членом Петербургской академии наук, излагая отцу очередную просьбу прислать денег, Остроградский писал: "Я знаю, что через несколько лет, выключая каких-нибудь непредвиденных происшествий, я получу славное содержание, но через несколько лет жизнь не будет иметь для меня той приятности как теперь. В молодости мы не удовлетворяем своих желаний от бедности, в старости нет желаний. Я совершенно уверен, любезнейший батюшка, что вы желаете мне счастья, но прошу вас желать по моему образу мыслей, иначе я не могу быть счастлив. В сию минуту, когда я вам пишу, я больше в крайности, чем когда-либо. Я должен 800 рублей, и у меня нет зимнего платья. Я знаю, что все сие кончится через год или через полтора, что я выплачу долг сей, но еще год, лучший год остальной моей жизни пройдет в заботах".

Жизнь молодого ученого во французской столице была непростой. Париж первой половины XIX в. - очень дорогой город. Остроградский жил в холодной мансарде, он не мог себе позволить никаких излишеств в одежде или питании. Едва ли можно было вести особенно разгульный образ жизни, не имея ни гроша в кармане.

Кроме того, никто из современников никогда не отмечал склонности Остроградского к пьяным пирушкам. Например, Т.Г. Шевченко, обратив внимание на то, что Михаил Васильевич за столом пьет только воду, спросил его:

- Неужели вы вина никогда не пьете?

- В Харькове еще когда-то я выпил два погребка, да и забастовал, - ответил он мне простодушно.

- Немногие, однако ж, кончают двумя погребками, а непременно принимаются за третий, нередко и за четвертый, и на этом-то роковом четвертом кончают свою грустную карьеру, а нередко и саму жизнь".

Да и стал бы Коши выкупать из долговой тюрьмы молодого человека, пусть даже и талантливого математика, поведение которого не соответствовало бы его достаточно строгим представлениям о приличиях? По своим религиозным взглядам Коши был близок иезуитам, являлся членом Конгрегации. С его точки зрения, для юноши гораздо полезнее было бы сидеть в тюрьме и заниматься математикой, нежели пускаться во все тяжкие на свободе. Кроме того, член-корреспондент АН Украины А.Н. Боголюбов рассказывал о том, что в России хранился нагрудный крест Общества св. Винсента Деполя (Большой заслугой св. Винсента Деполя (1576-1660) является создание первых общин сестер милосердия, Обществ служения бедным. Св. Винсент сам пережил муки рабства и неволи. Однажды корабль, на котором он плыл, был захвачен пиратами, и Винсент был продан в рабство в Тунис. В связи с этим одним из направлений деятельности основанных им обществ была помощь заключенным в тюрьмах и галерным каторжникам. Остроградский был посажен в тюрьму в Клиши. В свое время в этом предместье Парижа в беднейшем приходе служил св. Винсент, именно здесь он принял решение посвятить свою жизнь помощи бедным и немощным.), принадлежавший О. Коши. Одно время он был у Д.А. Граве, затем перешел по наследству Н.М. Крылову, после кончины которого должен был перейти Н.Н. Боголюбову, но затерялся у родственников Крылова. Весьма вероятно, что этот знак в свое время был подарен Остроградскому. В уставе Общества милосердия, составленном св. Винсентом, говорилось: "Милосердие к ближнему есть вернейший признак христианина, и одним из главных дел милосердия является посещение бедных, больных и всякого рода помощь им".