Н.И. Лобачевский и история признания его геометрии в России

Гаусс писал о работах Лобачевского, что их «можно уподобить запутанному лесу, через который нельзя найти дороги, не изучив предварительно каждого дерева». Остроградский не желал тратить своё время на «изучение каждого дерева».

Решающую роль в возобладавшем на Родине критическом отношении к трудам Н. И. Лобачевского сыграла весьма “оскорбительная и совершенно несправедливая” статья «О началах геометрии, соч. г. Лобачевского», появившаяся в 1834 году в журналах «Сын Отечества» и «Северный архив» за подписью «С.С.». По форме эта статья похожа скорее на памфлет. «С.С.» полагает, что «истинная цель, для которой г. Лобачевский сочинил и издал свою Геометрию, есть просто шутка или лучше сатира на ученых-математиков, а может быть и вообще на ученых сочинителей настоящего времени».

Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики написал с какой-нибудь серьезной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего", - писал неизвестный рецензент, укрывшийся за двумя буквами С.С.

Безусловно, в составлении и публикации такого грубого пасквиля принял участие человек, озлобленный на Н.И.Лобачевского.

Историки склоняются к мнению, что за инициалами С.С. скрывались Степан Анисимович Бурачек и Семен Ильич Зеленый, принадлежавшие к кругу учеников выдающегося математика академика Михаила Васильевича Остроградского. Может быть, Остроградский и есть тот злой гений, простыми исполнителями воли которого были вышеназванные лица?

Но, если копнуть глубже, то оказывается, что С. А. Бурачек завершил свою служебную карьеру в должности генерал-лейтенанта Корпуса корабельных инженеров, а С. И. Зеленый достиг еще более высокого положения, став адмиралом и одновременно членом-корреспондентом Академии наук! Все это плохо согласуется с тем малопривлекательным в моральном отношении образом «С.С.», который сложился в историко-математической литературе о Н. И. Лобачевском.

Прав Б.В.Федоренко, когда он для раскрытия фамилии автора (или авторов) анонимной рецензии ставит 4 начальных основных условия: 1). "пользовался доверием и приязнью в Министерстве просвещения", 2). "жил в Петербурге", 3). "был математиком, но с довольно ограниченным запасом знаний" и 4). "являлся знакомым издателей "Сын Отечества" и прежде всего Н.И.Греча", но при этом пропускает самое главное условие - питал личную неприязнь к автору сочинения "О началах геометрии", ректору Казанского университета.

Напрашивается поэтому предположение: не следует ли искать организатора интересующей нас рецензии среди бывших профессоров Казанского университета, не является ли им академик А.Я.Купфер? Он жил в Петербурге, был ограниченным математиком, благодаря близкому другу - непременному секретарю С.Петербургской Академии наук академику А.Н.Фуссу - имел тесные связи с высшими чиновниками в Министерстве просвещения и издателями "Сына Отечества".

В прессе началась травля, ученость профессора Казанского университета стала подвергаться сомнению, ее даже язвительно сравнивали с уровнем последнего школьного учителя...

Разумеется, Лобачевский остро переживал эти публичные издевки, но остановиться уже не мог, он сам ни на минуту не сомневался в своей правоте. В 1835 году ученый издает фундаментальную книгу под названием "Воображаемая геометрия". Затем развивает свои мысли в "Новых началах геометрии с полной теорией параллельных", в предисловии которых пишет: "Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения".

Отчаявшись найти понимание в своем Отечестве (в котором, как известно, не бывает пророков), Лобачевский пишет свои труды на немецком и французском языках. Ни одного положительного отклика не последовало и на них. Хотя - нет, один доброжелательный отзыв все же был: профессор механики Казанского университета П.И.Котельников в 1842 году в актовой речи «О предубеждениях против математики» сказал: «…Не могу не умолчать о том, что тысячелетние тщетные попытки доказать со всей математической строгостию одну из основных теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета г-на Лобачевского предпринять изумительный труд - построить целую науку, геометрию, на новом предположении: сумма углов в прямолинейном треугольнике менее двух прямых - труд, который рано или поздно найдет своих ценителей». И это всё - остальные прижизненные отзывы соотечественников о существе его научных занятий далеко не столь вдохновляющи…

В надгробной речи профессор Николай Никитич Булич так охарактеризовал научные заслуги ученого: «Наука и знание были главнейшим интересом его трудовой, полезной жизни …Человек, выбравший цель для жизни в области духовной деятельности, имеет то преимущество пред другими, что долго будет жить его имя и память о нем». Н. Н. Булич отдал дань уважения подвижнику науки, но ничего не сказал относительно сути исследований Лобачевского.

Легко ли было на протяжении тридцати лет работать в такой атмосфере? Вопрос, конечно, риторический, и тысячи страниц за прошедшие сто пятьдесят лет после смерти ученого были исписаны о силе привычных стереотипов и неотвратимом торжестве научной истины. Но так ли виновны перед Лобачевским его современники, как это может показаться с высоты науки XXI века? Можно ли за почти физически ощущаемой стеной отчуждения, окружавшей великого геометра все лучшие годы его научной жизни, усмотреть чей-то злой умысел и злую волю?

К 150-летнему юбилею Н. И. Лобачевского другой великий отечественный математик Андрей Николаевич Колмогоров написал замечательную по глубине и доступности изложения работу «Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века». В ней Колмогоров отметил, что «основное значение работ Лобачевского состоит в том, что из них выросли все современные взгляды на геометрию как чисто-математическую науку и на отношения, в которых находятся изучаемые ею евклидовы и неевклидовы, трехмерные, многомерные и бесконечномерные “пространства” - к реальному миру и единственному реальному пространству». Это значение невозможно было осознать, оставаясь в рамках тех проблем, которые крупнейшие математики первой половины XIX столетия считали наиболее актуальными.

Единственным ученым первого ранга, кого, как и Лобачевского, волновали проблемы оснований геометрии, был Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) - величайший математик того времени. Однако и он делился своими идеями в этом направлении лишь с очень узким кругом людей. У Гаусса так и не хватило мужества опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, зато хватило проницательности, чтобы по достоинству оценить работы Лобачевского. В 1842 году по представлению Гаусса Николай Иванович был избран членом-корреспондентом Гёттингенского королевского ученого общества.

Всеобщему, хотя и запоздалому признанию своих научных заслуг Лобачевский также обязан Гауссу. Гаусс умер за год до смерти Лобачевского в 1855 году. Спустя несколько лет было опубликовано одно его письмо 1846 года, где он высоко отозвался об изданном в 1840 году в Берлине на немецком языке сочинении Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных линий». «…Оно выполнено Лобачевским, - писал Гаусс, - с мастерством, в чисто геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на эту книгу, которая наверное доставит Вам совершенно исключительное наслаждение».

В конце XIX века профессор Казанского университета Александр Васильевич Васильев основал Казанское физико-математическое общество. А. В. Васильев стал автором первой научной биографии Н. И. Лобачевского

К каждому слову Гаусса в математическом мире прислушивались с большим вниманием. Одобрительные слова великого математика пробудили интерес к работам Н. И. Лобачевского сначала в Германии и Франции, а затем и в России. Проживи Лобачевский на 15 лет дольше, он вкусил бы радость славы, к которой, если верить Магницкому, он был не равнодушен. Но… история, как хорошо известно, не терпит сослагательного наклонения…

Все же остальные математики первой величины, и в их числе Остроградский, не интересовались проблемами оснований геометрии. А Лобачевский, имей он бoльшую скромность во внешних проявлениях своей натуры, едва ли дерзнул бы на пересмотр тысячелетних догм науки. Сознавал ли Лобачевский перед лицом смерти всю неслучайность своей научной судьбы или дал волю личным обидам? Без ответа на этот вопрос можем ли мы надеяться, что постигли личность великого соотечественника?

4). Путь признания идей Лобачевского

12 февраля 1856 г. Лобачевский скончался. В том же 1856 г. уже не только тесный кружок учеников и корреспондентов Гаусса мог узнать об отношении Гаусса к тем идеям, которые всю жизнь занимали русского ученого: появилась брошюра Сарториуса фон Вальтерсгаузена, в которой автор, товарищ Гаусса по Геттингенскому университету, в короткой заметке упоминал о том, что Гаусс разрабатывал "антиевклидовую геометрию". Но в этом интересном сообщении не упоминались ни Лобачевский, ни Болиаи. Первое печатное упоминание имени Лобачевского после его смерти относится к 1860 г., когда появилась книга французского философа Дельбефа и рецензия на нее в немецком философском журнале, принадлежащая перу известного немецкого философа Ибервега. Оба философа касаются вопросов о возможности построения геометрии на основании аксиом, отличных от аксиом Евклида, и видят в воображаемой геометрии Лобачевского доказательство утвердительного ответа на поставленный ими вопрос.

Явилась возможность выяснить, каким образом Дельбеф и Ибервег познакомились с работами Лобачевского и оценили их. В 1897 г. Дельбеф в опубликованной им небольшой книге под заглавием "Геометрия без постулатума Евклида" сообщил, что он и Ибервег встретились в Бонне в 1858 г. и оба очень интересовались вопросом об основании геометрии; что в их беседах принимал участие приват-доцент Бонского университета Липшиц, который и указал им на статью Лобачевского. После того как я обратил внимание проф. Энгеля на сочинения Дельбефа и Ибервега, проф. Энгель обратился к Липшицу, прося его сообщить, каким образом он познакомился с статьею Лобачевского. Из письма Липшица видно, что источником знакомства с статьею Лобачевского и вглядами Гаусса был для него Лежен-Дирихле, лекции которого он слушал в Берлине в зимний семестр 1852, 1853 г. Что касается до Дирихле, то можно с большим основанием утверждать, что с идеями Гаусса он познакомился из разговоров со своим учителем. Возможно, что у того же Дирихле, который, как видно из письма Липшица к Энгелю, интересовался вопросом о теории притяжения по закону Ньютона в случае воображаемого гауссовского пространства, узнал о существовании работ. Лобачевского и Бальцера благодаря которому имя Лобачевского в 1867 г. сделалось известным уже широкому кругу немецких педагогов.

Бальцер известен в немецкой педагогической литературе своими "Элементами геометрии". Первое их издание, появившееся в 1862 г., не упоминает ни Лобачевского, ни Болиаи. Но во втором издании 1867 г. он дает определение параллельных линий, совпадающее с определением Лобачевского, противопоставляет обычной евклидовой геометрии абстрактную неевклидовскую, упоминает о Гауссе и называет "настоящими основателями правильной теории параллельных линий и абстрактной геометрии" Болиаи и Лобачевского, причем перечисляет сочинения последнего.

Но еще ранее, в 1863 г., "Geometrische Untersuchungen" были упомянуты в обратившем на себя внимание специалистов-математиков и астрономов издании переписки Гаусса и Шумахера. Второй том этой переписки вышедший в 1860 г., уже подтвердил указание Сарториуса на интерес Гаусса к "антиевклидовской геометрии"; в 1863 г. вышел пятый том этой переписки, заключавший между прочим письмо Гаусса от 28 ноября 1846 г.

Но еще большее значение в деле распространения идей неевклидовой геометрии и сведений о жизни ее творцов имела деятельность французского ученого Гуэля. Гуэль, подобно Бальцеру, был выдающимся педагогом и поэтому особенно интересовался вопросами элементарной геометрии. Уже в 1863 г. он издал ценное сочинение о началах геометрии "Essai d'une exposition rationale des principes fondamentoux de la geometrit elementaire". Его внимание было обращено на работы Лобачевского и Болиаи Бальцером, и Гуэль сделался энергичным и горячим защитником новых идей, встретивших сопротивление в ученых кругах Парижа. В 1866 г. он издает перевод "Геометрических исследований" и в приложении помещает извлечение из переписки Гаусса и Шумахера. Он обращается к казанским профессорам (в частности, В.Г. Имшенецкому), получает "толстую связку других работ Лобачевского", поручает их перевод одному из своих учеников - поляку, знающему русский язык - и распространяет между учеными, интересующимися этими вопросами.

Влиянию Гуэля обязана русская наука и изданием полного собрания геометрических сочинений Лобачевского. Ссылаясь на слова Гуэля, что "работы Лобачевского обратили на себя внимание выдающихся геометров, как только они были извлечены из забвения", и на требования на сочинения Лобачевского, поступающие из-за границы, декан ,физико-математического факультета М.А. Ковальский вошел от имени факультета (17 октября 1867 г.) в Совет Казанского университета с ходатайством о новом издании сочинений Лобачевского "преимущественно же об издании всех мемуаров, касающихся теории параллельных линий". Ходатайство было удовлетворено, факультет приступил к печатанию и почти закончил его к 1870 г.

Но разыгравшаяся в этом году грустная, но столь обычная в летописях русской науки история столкновения профессоров с начальством имела своим следствием отъезд из Казани В.Г. Имшенецкого, принимавшего наиболее деятельное участие в издании. Издание вышло в свет только в 1883-1886 гг. и сначала мало обратило на себя внимание; в России через 10 лет из небольшого числа экземпляров (300) значительное число оставалось еще не проданными.

Под тем же влиянием Гуэля проф. Э.П. Янишевский собрал сведения о жизни и деятельности Лобачевского и прочел в торжественном собрании Казанского университета 5 ноября 1868 г. "Историческую записку о жизни и деятельности Н.И. Лобачевского", в течение долгого времени бывшую единственным источником для биографии Лобачевского.

Наконец, под влиянием Гуэля работами Лобачевского и Болиаи заинтересовался и итальянский математик Баттальини. В 1867 г. он печатает в "Giornale di Maternatiche" (T. V) перевод "Pangeometrie" и самостоятельную статью: "Sulla geometria immaginaria di Lobatchewsky", а в 1868 г. в том же журнале помещает перевод “Appendix'a” Болиаи.

"Giornale di Matematiche" становится на время главным органом для работ по неевклидовой геометрии. В нем в 1868 г. (т. VI) помещен и знаменитый мемуар Бельтрами "Опыт объяснения неевклидовой геометрии". В биографии Бельтрами, написанной Кремоною, справедливо говорится про этот мемуар, что "он пролил неожиданный свет на еще спорный тогда вопрос об основаниях геометрии и об идеях Гаусса и Лобачевского".

Аналогия прямых линий плоскости и линий кратчайшего расстояния (геодезических) на поверхности привела Бельтрами еще в 1866 г. к решению задачи об изображении поверхности на плоскости таким образом, чтобы геодезические линии первой были представлены на плоскости прямыми линиями. Бельтрами нашел, что те поверхности, для которых возможно такое изображение, суть поверхности с постоянною положительною гауссовскою кривизною (например, шары с вещественным радиусом). В мемуаре 1868 г. он изучает геометрические поверхности с постоянною отрицательною кривизною (псевдосферические, как он предложил их называть) и обстоятельно шаг за шагом показывает совпадение геометрии этих поверхностей с планиметрией Лобачевского в том виде, как она изложена в "Геометрических исследованиях" последнего.

Таким образом, в этом замечательном мемуаре дано то первое конкретное истолкование воображаемой планиметрии, которое осталось, по-видимому, неизвестным и Гауссу, и Миндингу, и творцам неевклидовой геометрии. Это конкретное истолкование считалось тогда доказательством независимости теории параллельных линий от прочих аксиом плоской геометрии, т.е. невозможности доказать постулатум Евклида построениями на плоскости.

В конце своего мемуара Бельтрами указывает, что сама природа данного им истолкования показывает невозможность столь же реального объяснения неевклидовой стереометрии. Подобное построение могло быть получено из рассмотрения пространства, отличного от евклидовского, пространства в котором линейный элемент не мог бы быть приведен к виду

существенно характеризующему пространство Евклида.

Теория таких пространств с постоянною кривизною отличных от пространств евклидовой стереометрии, и посвящен второй мемуар Бельтрами, появившийся в том же 1868 г.; этот второй мемуар, не менее замечательный, чем первый, является в то же время и комментарием к знаменитому посмертному мемуару Риманна "О гипотезах, лежащих в основании геометрии". Этот мемуар, написанный еще в 1854 г. был напечатав только после его смерти в 1866 г. Только в последнее время через полвека после опубликования выясняется вполне его громадное значение для всего математического естествознания.

Благодаря этой работе Бельтрами, равно как и классическим работам Риманна, Гельмгольца, Софуса Ли, Клейна, Пуанкаре, Клиффорда, развивавших идеи неевклидовой геометрии в различных направлениях и в свою очередь вызвавших целый ряд работ, развивавших и дополнявших эти классические работы, а также благодаря неутомимой и энергичной деятельности некоторых ученых, особенно увлеченных сознанием интереса и важности неевклидовой геометрии и положивших много труда на распространение ее идей (Гуэль во Франции, Клиффорд в Англии, Гальстед в Америке, Баттальини в Италии), - в научных и педагогических кругах Западной Европы, интересовавшихся вопросами математики в начале 1890-х годах, научное и философское значение неевклидовой геометрии не возбуждало сомнения. Но в русском образованном обществе и даже среди лиц, получивших высшее математическое образование, имя Лобачевского или не было известно, или с его именем вместо серьезного и строго-научного движения, имевшего и глубокое философское значение, соединялось представление о мистическом пространстве четырех измерений, объяснившем спиритические явления. За все 20-летие, предшествовавшее 1893 г,, году столетия со дня рождения Лобачевского, только два русских математика издали сочинения, знакомившие с идеями и работами Лобачевского: Ф.М. Суворов и М.С. Волков. Такому отношению к великому русскому мыслителю должен был быть положен конец. Эту задачу взяло на себя Физико-математическое общество при Казанском университете тотчас после своего преобразования из секции физико-математических наук при Обществе естествоиспытателей, и оно решило достойно почтить память Лобачевского в день 22 октября 1893 года.

Убежденное, что лучшим средством чтить память людей науки является создание учреждений, способствующих развитию науки в направлении ими данном, Физико-математическое общество поставило себе первою-целью создать капитал для выдачи международных премий имени Лобачевского. Премии и медали, выдаваемые за научные труды, важны, конечно, не по их материальной стоимости, но как почетное признание научных заслуг. "Премии международные, как и международные конгрессы специалистов, служат в то же время лучшим средством для сближения ученых разных стран между собою, для выполнения великой умиротворяющей роли науки" (Отчет комитета Физико-математического общества, 1895 г.).

Разрешение на открытие международной подписки для образования международного капитала было получено с трудом: министерство народного просвещения потребовало разъяснения, в чем состоят исключительные научные заслуги Лобачевского. Тем более являлось необходимым поставить дело увековечивания памяти Лобачевского под покровительство выдающихся деятелей русской и иностранной науки. Общество постановило включить в почетные члены организационного комитета, с одной стороны, за границею выдающихся представителей математической науки и в особенности тех, работы которых находились в связи с неевклидовою геометриею, с другой стороны, в России - профессоров математики в университетах и в других высших учебных заведениях. Приглашение Физико-математического общества было встречено с большим сочувствием. В числе лиц, принявших на себя звание почетных членов, упомянем Гельмгольца, Эрмита, Чебышева, Сильвестра, Кэли, Пуанкаре, Бельтрами, Клейна, Дарбу, Софуса Ли, Кремона. Число почетных членов комитета превысило сто, из них более пятидесяти принадлежало к числу иностранных ученых. Приглашение к подписке на капитал имени Лобачевского за подписью почетных членов комитета было напечатано большим числом математических журналов и многими философскими журналами ("Mind", "Revue de metaphysique et de morale). Особая комиссия, составленная Физико-математическим обществом из А.П. Котельникова, Н.И. Порфирьева и Д.М. Синцова, разослала извещения об юбилее и приглашения к подписке в университеты, академии, математические общества России и Европы, почти всем профессорам математики Европы и Америки, многим членам французского математического общества, во все классические гимназии и реальные училища городов России.

Широкое распространение сведений о предполагавшемся праздновании дня рождения Н.И. Лобачевского и благосклонное внимание к этому делу почетных членов комитета имели своим результатом, что день 22 октября был дружно отпразднован и русскими математиками, и частью русской интеллигенции.

В издании Казанского университета "Празднование столетней годовщины дня рождения Н.И. Лобачевского" напечатаны те многочисленные приветствия университету, присланные как из России, так и из-за границы, и те речи профессоров Ф.М. Суворова и А.В. Васильева, которые были прочитаны на торжественном заседании университета 22 октября. 23 октября состоялось торжественное заседание Физико-математического общества, посвященное научным сообщениям по вопросам, составлявшим предмет ученых трудов Лобачевского. 24 октября была прибита мраморная доска на том доме (на Большой Проломной, ныне улица Баумана), в котором жил и скончался Лобачевский, и состоялось второе заседание Физико-математического общества, на котором был прочтен отчет местного комитета и постановлено образовать в библиотеке Общества особый отдел под названием библиотеки Лобачевского (Bibiiotheca Lobatchevskiana).

Память Лобачевского была почтена достойно русскими математиками и в других городах: в С.-Петербурге, Москве, Киеве, Харькове, Юрьеве, Самаре, Омске, Тифлисе, Нижнем Новгороде на родине Лобачевского. Пресса русская как общая, так и научная ознаменовала день 22 октября сочувственными статьями. Из статей в иностранных журналах, отметим статью Сильвестра, помещенную в английском журнале "Nature"' Лобачевский называется в этой статье: “Великий научный реформатор, сыгравший главную роль в перестройке фундамента геометрической мысли”.

Параллельно с заседаниями и статьями, посвященными памяти Лобачевского, шли и пожертвования в капитал имени Лобачевского. В пожертвованиях и сборе денег приняли участие и Королевское общество в Лондоне, и члены парижского факультета наук, и комитет, образовавшийся в Лотарингии во время франко-русских празднеств в Тулоне, и средние учебные заведения уездных русских городов: Изюма, Ахтырки, Фатима, Обояни и многих других. Общее число лиц, принимавших участие в подписке на капитал Лобачевского, доходило до полутора тысяч. Список русских жертвователей, опубликованный комитетом, заключал в себе 813 имен; значительное участие приняли в подписке ученые Европы и Америки (183 лица, в том числе 75 в Германии). Общая сумма поступлений в капитал имени Лобачевского составила 9 071 р. 86 к., за исключением расходов (в том числе на возобновление пришедшего в полный упадок могильного памятника Лобачевского) капитал 1 октября 1895 г. составил 8 840 р. 95 к. Общество постановило сумму в 6000 р. считать неприкосновенным капиталом международной премии имени Н.М, Лобачевского. Остальная сумма, к которой прибавились затем особые пожертвования была назначена для постановки памятника Лобачевскому перед зданием Казанского университета. Вспоминая слова Виктора Гюго, что "ни одно растение не выходит из земли с большим трудом, чем статуя великого человека, зато и ни одного не разрастается пышнее, не дает больше плодов, не сеет больше семян вокруг себя", Общество радовалось, что ему удастся поставить памятник великому русскому мыслителю и таким образом неразрывно соединить его память с тем городом, в котором он жил, и с тем университетом, которому он отдал всю свою жизнь. 1 сентября 1896 г. и состоялось торжественное открытие этого памятника. На торжественных заседаниях университета и Физико-математического общества в речах проф. Ф.М. Суворова и А.В. Васильева, в приветствиях, присланных из России и извне (от Института Смитсона в Вашингтоне, от Французского математического общества, от Геттингенского университета), было снова выяснено значение математических исследований и неутомимой деятельности Лобачевского и высказана надежда, что в величавом облике великого мыслителя и неутомимого слуги русского просвещения Казанский университет почерпнет новую энергию для того, чтобы вместе с другими русскими университетами содействовать "широкому распространению просвещения в русском народе и мировому значению русской науки".

Через год после открытия памятника, 22 октября 1897 г., состоялось первое присуждение премии имени Лобачевского. На основании отзыва проф. Клейна премия была присуждена проф. Софусу Ли, за сочинение" Theorie der Transformationsgruppen", в котором знаменитый норвежский ученый изложил свои исследования, посвященные задаче Риманна-Гельмгольца.

Исследования Лобачевского получили широкое признание после его смерти. Оказалось, что работы Лобачевского по геометрии представляют собой новый этап в развитии естествознания (недаром английский математик XIX в. Клиффорд называл Лобачевского Коперником геометрии). До Лобачевского евклидову геометрию считали единственно возможным учением о пространстве. Работы Лобачевского опровергли такой взгляд, привели к широким обобщениям в геометрии и их важнейшим приложениям в различных разделах математики, механики, физики и астрономии.

C научной точки зрения систему аксиом и постулатов Евклида нельзя признать вполне удовлетворительной, так как у Евклида при изложении геометрии приходится в ряде случаев использовать утверждения, которые явно не высказаны и не доказаны.

В конце 60-х годов прошлого столетия перед математиками возникла задача построить такую систему аксиом элементарной геометрии, на базе которой, опираясь лишь на законы логики, без ссылок на наглядность и очевидность можно было бы изложить всю геометрию. Эта задача стала особенно актуальной после того, как идеи Лобачевского получили всеобщее признание и появились работы Б. Римана по эллиптической геометрии.

В конце XIX и в начале XX в. появились многочисленные работы по обоснованию геометрии ряда таких крупнейших математиков, как Паш, Пеано, Пиери, Гильберт, Вейль и др. Наиболее исчерпывающими явились работы Гильберта и Вейля. Эти исследования оказали большое влияние на формирование аксиоматического метода, который применяется во всех разделах современной математики.

Книга Гильберта «Основания геометрии», вышедшая в 1899 г., сыграла существенную роль в этой серии исследований. Она в 1903 г. была удостоена Международной премии имени Н. И. Лобачевского. В ней впервые дан список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии. Можно сказать, что с

«Оснований геометрии» Гильберта начинается современный аксиоматический метод в математике.

5). Значение геометрии Лобачевского

Открытие Лобачевского поставило перед наукой по крайней мере два принципиально важных вопроса, не поднимавшихся со времен «Начал» Евклида: «Что такое геометрия вообще? Какая геометрия описывает геометрию реального мира?». До появления геометрии Лобачевского существовала только одна геометрия - евклидова, и, соответственно, только она могла рассматриваться как описание геометрии реального мира. Ответы на оба вопроса дало последующие развитие науки: в 1872 Феликс Клейн определил геометрию как науку об инвариантах той или иной группы преобразований (различным геометриям соответствуют различные группы движений, т.е. преобразований, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя точками; геометрия Лобачевского изучает инварианты группы Лоренца, а прецизионные геодезические измерения показали, что на участках поверхности Земли, которые с достаточной точностью можно считать плоскими, выполняется геометрия Евклида). Что же касается геометрии Лобачевского, то она действует в пространстве релятивистских (т.е. близких к скорости света) скоростей.

Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный геометр, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений.

Значение самого факта создания неевклидовой геометрии для всей современной математики и естествознания колоссально, и английский математик Клиффорд, назвавший Н. И. Лобачевского «Коперником геометрии», не впал в преувеличение. Н. И. Лобачевский разрушил догму «неподвижной, единственно истинной евклидовой геометрии» так же, как Коперник разрушил догму о неподвижной, составляющей незыблемый центр Вселенной - Земле. Н. И. Лобачевский убедительно показал, что наша геометрия есть одна из нескольких логически равноправных геометрий, одинаково безупречных, одинаково полноценных логически, одинаково истинных в качестве математических теорий. Вопрос о том, какая из этих теорий истинна в физическом смысле слова, т. е. наиболее приспособлена к изучению того или иного круга физических явлений, есть именно вопрос физики, а не математики, и притом вопрос, решение которого не дано раз и навсегда евклидовой геометрией, а зависит от того, каков избранный нами круг физических явлений. Единственной, правда значительной, привилегией евклидовой геометрии остаётся при этом то, что она продолжает быть математической идеализацией нашего повседневного пространственного опыта и поэтому, конечно, сохраняет своё основное положение как в значительной части механики и физики, так, тем более, во всей технике. Но философской и математической значительности открытия Н. И. Лобачевского это обстоятельство, конечно, не в силах умалить.

Одна из великих заслуг Лобачевского заключается в данном им доказательстве невозможности доказать 11-ю аксиому посредством других аксиом. Создав свою геометрию, Лобачевский дал толчок к построению геометрических систем, имеющих дело с пространствами, совершенно не похожими на обыкновенное пространство, и этим указал на возможность логического мышления, имеющего объектами вещи, находящиеся вне времени и вне нашего обыкновенного пространства. В этом заключается высокое философское значение работ Лобачевского.

Открытие Лобачевского оказало огромное влияние на прогрессивные слои интеллигенции X1X века. Оно стало толчком для нового осмысления существования бога. Подтверждение этому можно найти в литературе. Так в романе Ф.М. Достоевского «Братья Карамазовы» один из главных героев размышляет: «…Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы и даже из замечательнейших, которые сомневаются в том, чтобы вся вселенная, или еще обширнее, - все бытие было создано лишь по эвклидовой геометрии… Я, голубчик, решил так, что если я даже этого не могу понять, то где ж мне про бога понять. Я смиренно сознаюсь, что у меня нет никаких способностей разрешать такие вопросы, у меня ум эвклидовский, земной, а потому где нам решать о том, что не от мира сего»

Появление неевклидовой геометрии сыграло важную роль в борьбе с идеалистической трактовкой пространства и времени в философии XIX в. Кант полагал, что пространство и время не являются объективными формами существования материи, а проявляются лишь как формы нашего воззрения на мир, как формы нашего восприятия. Это не противоречило евклидовой геометрии - единственной мыслимой геометрии, всем нам непосредственно очевидной, порожденной характером нашего воззрения на мир. Появление новой геометрии -- геометрии Лобачевского отчетливо поставило вопрос об эксперименте, чтобы выяснить, какая из систем геометрии реализуется в физическом пространстве. Таким образом, объективная сущность пространства была отчетливо выявлена, а идеалистическая трактовка этого вопроса Кантом опровергнута.

С открытием неевклидовой геометрии закончились бесплодные попытки доказательства пятого постулата, Лобачевский доказал непротиворечивость неевклидовой геометрии, решив проблему, которую пытались решить в течение двух тысяч лет.

Геометрия Лобачевского нашла приложение в общей теории относительности - если считать распределение материи во Вселенной равномерным, то в определенных условиях геометрия пространства совпадает с геометрией Лобачевского.

Анри Пуанкаре использовал геометрию Лобачевского при построении теории автоморфных функций. Геометрия Лобачевского нашла применение также в одном из разделов теории чисел - геометрии чисел.

Основываясь на работах Лобачевского и постулатах Римана, Альберт Эйнштейн создал теорию относительности, подтвердившую искривленность нашего пространства. Теория Эйнштейна была многократно подтверждена астрономическими наблюдениями, в результате которых стало ясно, что геометрия Лобачевского является одним из фундаментальных представлений об окружающей нас Вселенной.

Труды Лобачевского сыграли определяющую роль во всех важнейших отраслях естествознания. Но значение гениальных открытий ученого не было ясно его современникам. «При жизни он не был понят...» Первоклассные, отечественные математики, пользовавшиеся ученой известностью за границей, не признавали заслуги Лобачевского. Так было вплоть до второй половины XIX века. В 50-е годы происходит заметное оживление культурной и научной жизни России. Идеи Лобачевского становятся подлинным достоянием русской и мировой науки. В настоящее время их непреходящее значение нашло окончательное научное подтверждение.

Его идеи проникли не только в математику, в анализ и теорию функций, в механику и физику, но и в космологию и другие отрасли знания. Его стали сравнивать с Коперником, с Колумбом, отводить ему одно из самых первых мест во всей истории мировой науки. Математик профессор В.Ф.Коган утверждал: "Я беру на себя смелость утверждать, что было легче остановить солнце, что легче было двинуть землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение!"

Когда сын провинциального священника Бернхард Риман выстроит свою "геометрию Лобачевского наоборот", окажется, что открыт путь геометрий разных пространств, идущий в четырёхмерный мир теории относительности, в океан далей и глубин, на берег которого вышло человечество…

Идеи Лобачевского проникли в космологию - науку о происхождении и современном состоянии космоса (мироздания). Одной из основных задач космологии является решение вопроса о том, какая геометрия наиболее точно на данном уровне научных знаний отражает геометрические свойства всего мирового пространства. При этом надо учесть, что по примеру геометрии Лобачевского уже создан ряд других неевклидовых геометрий, в частности, геометрия Римана. В настоящее время можно считать установленным, что геометрия Евклида слишком примитивна для мироздания в целом и что более точной абстрактной моделью геометрии реального пространства космических масштабов является неевклидова геометрия.

Значение геометрии Лобачевского для космологии было выявлено русским физиком А.А. Фридманом (1898-1925), нашедшим в 1922 г. решение уравнения Эйнштейна, из которого следовало, что Вселенная как материальная система расширяется. Это неожиданное заключение впоследствии, в 1929 году, было подтверждено наблюдениями астронома Хаббла, обнаружившего разбегание туманностей. Метрика, найденная Фридманом, дает при фиксированном времени пространство Лобачевского. Может быть, наиболее важное приложение геометрии Лобачевского связано с рассмотрением в теории относительности пространства относительных скоростей. Оказалось, что это пространство является пространством Лобачевского (Ф. Клейн, А. Зоммерфельд, А.П. Котельников). Эту связь стали успешно использовать физики-теоретики из Института ядерных исследований в Дубне - Н.А. Черников, Я.И. Смородинский и другие - при разработке вопросов физики элементарных частиц и ядерных реакций. Таким образом, "воображаемая" геометрия оказалась весьма действенным инструментом в развитии проблем ядерной физики.

И если научные идеи великого ученого не были поняты современниками, подвергались даже насмешкам, несмотря на его упорные попытки разъяснить и доказать их истинность, то впоследствии они утвердили его имя как борца и революционера в науке, смелые идеи которого разрушили казавшиеся незыблемыми тысячелетние устои геометрии и во многом определили дальнейшее развитие физико-математических наук.

Заключение

И все же Лобачевский итогом своей жизни был недоволен, буквально перед смертью он произнес горькие слова: "И человек родился, чтобы умереть".

Дело в том, что он был человеком идеи, причем идеи настолько узко-профессиональной и революционной, что даже коллеги-математики ее не понимали. Николай Иванович думал, что не поймут никогда - отсюда и трагизм его предсмертной фразы. Лобачевский ошибся: его научное открытие и научный подвиг все же были по достоинству оценены, правда, после его кончины.

Как учёный Н. И. Лобачевский является в полном смысле слова революционером в науке. Впервые пробив брешь в представлении о евклидовой геометрии как единственно-мыслимой системе геометрического познания, единственно-мыслимой совокупности предложений о пространственных формах, Н. И. Лобачевский не нашёл не только признания, но даже простого понимания своих идей. Потребовалось полвека для того, чтобы эти идеи вошли в математическую науку, сделались неотъемлемой её составной частью и явились тем поворотным пунктом, который определил в значительной мере весь стиль математического мышления последующей эпохи и с которого, собственно, начинается русская математика. Поэтому при своей жизни Н. И. Лобачевский попал в тяжёлое положение «непризнанного учёного». Но это непризнание не сломило его духа. Он нашёл выход в той разнообразной, кипучей деятельности, которая бегло очерчена выше. Сила личности Лобачевского восторжествовала не только над всеми трудностями мрачного времени, в которое он жил, восторжествовала она и над тем, что для учёного, может быть, труднее всего пережить: над идейной изоляцией, над полным непониманием того, что ему было дороже и нужнее всего -- его научных открытий и идей. Впрочем, не следует винить его современников, среди которых были и крупные учёные, в том, что они не поняли Лобачевского. Его идеи далеко опередили его время. Из иностранных математиков лишь знаменитый Гаусс понял эти идеи. Но, владея ими, Гаусс никогда не имел мужества публично заявить об этом. Однако он понял и оценил Лобачевского. Ему принадлежит инициатива в единственной научной почести, выпавшей на долю Лобачевского: по представлению Гаусса Лобачевский был избран в 1842 г. членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества наук.

Если право на бессмертие в истории науки Н. И. Лобачевский, несомненно, завоевал своими геометрическими работами, то не следует всё же забывать, что и в других областях математики он опубликовал ряд блестящих работ по математическому анализу, алгебре и теории вероятностей, а также по механике, физике и астрономии.

Самое замечательное в достижении Лобачевского: оно относится не только к математике, но и к естествознанию, а также к философии. Некоторые его идеи созвучны основным философским представлениям теории относительности. Он считал, что в природе мы познаем лишь движение, а пространство само по себе, вне его не существует. Или другая мысль: «Время есть движение, измеряющее другое движение». Пожалуй, эта формула поныне остается в науке неоцененной по достоинству.

Лобачевский жил и умер как-то очень по-русски. Болея и предчувствуя свой смертный миг, позвал жену:

- Прощай, Варвара Алексеевна, пришло время, в могилу надо, Умирать пора, - протянул ей руку и тихо скончался.

...Интересную мысль высказал известный французский математик Таннери, сравнив Лобачевского с Колумбом, открывшим новый мир и не испугавшимся его причудливых очертаний. Английский Ученый Клиффорд утверждал: «Чем Коперник был для Птолемея, тем Лобачевский был для Евклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель. Коперник и Лобачевский - оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях и значение каждой из этих революций одинаково велико. Причина громадного значения и той, и другой революции заключается и в том, что они суть революции в нашем понимании Космоса».

Наконец, хотелось бы привести и мнение другого величайшего ученого-творца XIX века, главное открытие которого определило многие черты наук нашего века - Д.И. Менделеева: «Геометрические знания составили основу всей точной науки, а самобытность геометрии Лобачевского - зарю самостоятельного развития наук в России. Посев научный изойдет для жатвы народной...»

Имя Н. И. Лобачевского вошло в сокровищницу мировой науки. Но гениальный учёный всегда чувствовал себя борцом за русскую, национальную культуру, каждодневным строителем её, живущим её интересами, болеющим её нуждами.

В 1828 г. по случаю первой годовщины своего ректорства Лобачевский произнес ставшую потом знаменитой речь "О важнейших предметах воспитания". В ней он, в частности, сказал: "Примеры научают лучше, нежели толкования и книги". Жизнь Николая Ивановича Лобачевского сама является замечательным примером служения отечеству и науке.

Список литературы

1. Александров А. Д. Основания геометрии: учебное пособие для вузов. М: Наука. 1987.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II. -М.: Просвещение, 1987.

3. Букреев Б.Я. Планиметрия Лобачевского в аналитическом изложении. М-Л: Гостехиздат. 1951.

Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский (1792 - 1856). М: Наука. 1992

История отечественной математики в 4 - х. томах. Т. 2. / Отв. ред. И.З. Штокало. Киев, 1966 - 1970.

Вахтин Б.М. Великий русский математик Н.И. Лобачевский. М: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР. 1956.

7. Гудков Д.А. « Н.И. Лобачевский. Загадки биографии». М-во науки, высш.школа и техн. Политики РФ. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та (1993).

http://psb.sbras.ru/HBC/2000/n02/f19.html

8. Гуль И.М. геометрия Лобачевского. М-Л: АПН РСФСР. 1947.
9. Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки М: Гостехиздат. 1955.

10. Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. М: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР. 1955.

11. Лаптев А.Н. Николай Иванович Лобачевский. Издательство Казанского университета, 1976 г.

12. Ливанова A.M. Три судьбы. М: Знание. 1975.

13. Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений. М-Л 1946.

14. Лобачевский Н.И. Три сочинения по геометрии. Геометрия. Геометрические исследования по теории параллельных линий. Пангеометрия. М: Гостехиздат. 1956.

15 Валентин Пикуль. Быть тебе Остроградским (миниатюра).

http:// kharkov.vbelous.net/famous/fam-hum/ostrogr.htm

16.Р.К. Баландин “Сто великих гениев”, Москва, ”Вече”, 2004

17.Д.К. Самин “Сто великих ученых”, Москва, ”Вече”, 2000

18.Силин А.В., Шмакова Н.А. Открываем неевклидову геометрию. М: Просвещение. 1988.

19. Труды геометрического семинара; Межвуз. темат. сб. науч. тр./ Казань, 2003. Вып. 24.

20. Федоренко Б.В. Новые материалы к биографии Н.И. Лобачевского. - Л.: Наука, 1988.

21. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М: Наука, 1983.

22. Широков П. А. Памяти Лобачевского посвящается, -Л.: Изд. Казанского университета, 1902 (ЦГАТАССР, ф. 977, оп. Физ. -мат., отд., №105, л.25, подлинник.)

23. Яглом И.М.. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М: Наука. 1969

24. Казань и Российская академия наук. Историко - биографические материалы.- Казань: УНИПРЕСС, 1999.

25. Погорелов А.В. Основания геометрии. М: Наука. 1968

26. ”Пятый постулат Евклида”. http://sch140.omsk.edu/projects/evclides/index.htm

27. Л.Р.Шакирова Математическое образование в Казанском университете в начале XIX века. Математика в высшем образовании №2 2004. Научно методический журнал. Нижний Новгород. Издательство Нижегородского государственного университета.

28. В.А.Александров Краткая биография Яноша Боляи. Математика в высшем образовании №2 2004. Научно методический журнал. Нижний Новгород. Издательство Нижегородского государственного университета.

29. Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич Геометрия Лобачевского. Математика для школьников №2 2006

30. Широков П. А. Памяти Лобачевского посвящается. Изд. Казанского университета, 1992

31. Всесоюзная научная конференция по неевклидовой геометрии ”150 лет геометрии Лобачевского”. Пленарные доклады. Москва, 1977

32. Смилга В.П. В погоне за красотой./. Н-п издание. - М.: Молодая гвардия, 1968. - 200 стр. с илл.

33. Колесников М. Лобачевский./. Серия «Жизнь замечательных людей». - М.: Молодая гвардия, 1965. - 320 стр. с илл.

34. Математика XIX века, «Наука», М., 1981

35. Юшкевич А.П., История математики в России, «Наука», М., 1968

36. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, «Наука», М.,1971.

37. Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, «Белка», М., 1993

38. Клайн М., Математика. Утрата определенности, «Мир», М., 1984

39. Г.И. Глейзер. История математики в школе IX - X классы. Пособие для учителей. Москва, «Просвещение» 1983г.

40. Даан Дальмедино А., Пейффер И. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. Перевод с французского. М: Мир.1986г.

41. Б.Л. Лаптев. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г.

42. И.М. Яглам. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. Серия «Библиотека математического кружка» М: 1963г.

43. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. -М.: Наука, 1990.

44. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 8-9 классов. -М.: Просвещение, 1991.

45. Бакальман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию “в целом”. -М.: Наука, 1973.

46. Бердон А. Геометрия дискретных групп. -М.: Наука, 1986.

47. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.I. Ч.II. -СПб.: Специальная литература, 1997.

48. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. -М.: Наука, 1986.

49. Андриевская М. Г., Аналитическая геометрия в пространстве Лобачевского, К., 1963.

50. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т.1. -М.: Наука, 1989.

51. Лобачевский Н.И. Избранные труды по геометрии. -М.: Изд-во АН СССР, 1956.

52. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. -М.: Наука, 1966.

53. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитии ее идей. -М.: Гостехиздат, 1956.

54. Погорелов А.В. Геометрия. -М.: Наука, 1984.

55. Погорелов А.В. Основания геометрии. -М.: Наука, 1968.

56. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. -М.: Изд-во МГУ, 1990.

57. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. -М.: Изд-во МК НМУ, 1995.

58. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. -М.: Наука, 1967.

59. Скотт П. Геометрия на трехмерных многообразиях. -М.: Мир, 1986.

60. Форд Л.Р. Автоморфные функции. -ОНТИ, 1936.

61. Франгулов С.А., Совертков П.И. Геометрия Лобачевского. -СПб., 1992.

62. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956;

63. Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950;

64. Делоне Б. Н., Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, М., 1956;

65. Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969;

66. Нут Ю. Ю., Геометрия Лобачевского в аналитическом изложении, М., 1961;

67. В.С. Антонов «Энциклопедия по истории России XIX века».

68. А.М. Прохоров «Энциклопедический словарь».

69. Я.К.Голованов. "Этюды об ученых", М., 1976

70. Николай Иванович Лобачевский. П.Александров, "Квант", 1976, № 2.

71. Николай Иванович Лобачевский. Ю.Соловьев, "Квант", 1992, № 11.

72. Норден А. П. Об изложении основных теорем геометрии Лобачевского. В сб.: Сто двадцать пять лет неевклидовой геометрии Лобачевского. -- М. -- Л.: Гостехиздат. 1952.

73. Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. -- М.: Гостехиздат, 1953.

74. Норден А.П. Гаусс и Лобачевский. - Историко - математические исследования, 1956, вып. 9. - С.145 - 168.

75. Лаптев Б.Л. Великий русский математик (к 175-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского). - Вестник высшей школы, 1967, 12. - С.62 - 70.

76. Лаптев Б.Л. Что читал Лобачевский? - Казань. Изд-во Казан. ун-та, 1979. - 126 с.

77. Н.И. Лобачевский. К 200-летию. (Авторы: Вишневский В.В., Писарева С.В.). - Казань. Изд-во Казан. ун-та, 1992.

78. Андреев М.К. О Лобачевском как библиотекаре Казанского университета Природа. - 1949. - № 4. - С. 56 - 58.

79. Гнеденко Б.В. М.В.Остроградский. М., 1952.

80. Михаил Васильевич Остроградский. Педагогическое наследие. Документы о жизни и деятельности / Под ред. И.Б.Погребысского и А.П. Юшкевича. М., 1961.

81. Отрадных Ф.П. Михаил Васильевич Остроградский. Л., 1953.

82. Шевченко Т.Г. Полное собрание сочинений. Киев, 1949. Т.2.

83. Михаил Васильевич Остроградский. Празднование столетия дня его рождения Полтавским кружком любителей физико-математических наук / Ред. и сост. П.И.Трипольский. Полтава, 1902.

84. Воспоминания Н.П.Петрова об Остроградском // Вестник Военно-инженерной академии имени В.В.Куйбышева М., 1945. Вып.43.

85. "Лекции алгебраического и трансцендентного анализа", читанные в морском кадетском корпусе академиком Остроградским Сост. и изд. С. Бурачек и С.Зеленый. СПб., 1837.

86. Сомов O.(И.) Очерк жизни и ученой деятельности М.В.Остроградского Записки Императорской академии наук. СПб., 1863. Т.III. Кн.1. С.1-26.

87. История отечественной математики в 4-х томах / Отв. ред. И.З. Штокало. Киев, 1966-1970.