Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Начальная школа в нашей стране давно уже перестала быть замкнутым звеном в системе образования. Естественно поэтому, что обучение математике в 1 - 4 классах должно рассматриваться лишь как начальная ступень в овладении школьным курсом математики в целом. Поэтому, работая в начальных классах, необходимо учитывать те общие задачи, которые преследует обучение математике в средней школе, и правильно оценивать роль начального обучения в решении этих задач.

Многие вопросы, относящиеся к программе математики для средней школы, должны быть усвоены уже в начальных классах в такой форме и так прочно, чтобы они стали достоянием учащихся на всю жизнь, другие же вводятся на начальной ступени обучения только в целях подготовки к основательному их рассмотрению в следующих классах или чтобы получить возможность повысить уровень осознанности в процессе формирования тех или иных умений и навыков.

Эти соображения необходимо учитывать, когда речь идёт о том, что в начальных классах школы дети должны прочно овладеть определённым, намеченным в программе кругом знаний, умений и навыков в области математики.

Одной из важнейших задач начального обучения всегда было и остаётся формирование прочных (во многих случаях доведённых до автоматизма) навыков вычислений.

К таким задачам относиться прочное усвоение таблицы умножения и деления.

В связи с этим очевидна актуальность темы.

Цель исследования: поиск эффективных путей формирования вычислительных навыков умножения и деления.

Объект исследования: совместная деятельность учителя и учащихся при формировании вычислительных навыков.

Предмет исследования: эффективные методические приёмы формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления у учащихся младших классов.

Гипотеза исследования: использование различных видов работы и умелое их сочетание в процессе обучения табличному умножению и делению способствуют наиболее эффективному формированию вычислительных навыков.

Цели и предмет исследования определили постановку следующих задач:

-изучить историческую, психолого-педагогическую и научно методическую литературу по теме исследования;

- проанализировать программу и учебник по теме исследования;

- определить методические пути повышения эффективности работы при формировании вычислительных навыков табличного умножения и деления;

- разработать систему упражнений по данной теме;

- разработка дидактического и наглядного материала;

- экспериментально проверить разработанную систему.

При решении поставленных задач нами были выбраны следующие методы исследования:

- изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы;

- анализ программы и учебника по теме исследования;

- педагогический эксперимент;

- статистическая обработка данных.

Новизна исследования заключается в подборе различных заданий современных методистов с опорой на программу Республики Казахстан.

Практическая значимость:

- разработка уровней сформированности вычислительных навыков табличного умножения и деления;

- разработка системы упражнений для формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления;

- определение истинности нашей гипотезы.

Экспериментальная база: 3 класс Усть-Каменогорской школы - детского сада №14 для детей с нарушением зрения.

1. ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ АРИФМЕТИКИ

Математика, как и все другие науки, возникла из потребностей практической деятельности людей. На очень ранней ступени развития у человека возникла необходимость подсчитывать количество добычи или урожая, измерять земельные участки, определять вместимость сосудов, вести счёт времени. Для удовлетворения этих практических потребностей возникли примитивные способы счёта и измерения, т.е. начала арифметики и геометрии.

При дальнейшем развитии общества усложнялась практическая деятельность человека, а вместе с ней росли потребности в усовершенствованных приёмах счёта и измерения.

1.1 Устные вычисления

Искусство письма является достоянием человека, стоящего на сравнительно высокой ступени развития. У народов, не достигших ещё такого развития, устный счёт и устное выполнение операций над числами играли большую роль, чем у того же народа на более высокой ступени культуры. Об этом свидетельствуют нам и памятники по истории математики. Ученику древнеегипетской школы делается внушение: «Когда ты считаешь в уме, не пророни ни слова!» Источник, в котором даётся эта фраза, относиться к эпохе около 1300г. до нашей эры.

Индийская национальная школа до сих пор культивирует устные вычисления в такой мере, что достигает результатов, которые приводят а удивление европейцев.

И у народов более высокой культуры устные вычисления занимают по методическим соображениям важное место при обучении. Так, например, Аристотель подчёркивает значение их в следующих словах (Топика VIII): «Подобно тому, как в геометрии необходимы упражнения в «началах», способность к устным вычислениям имеет громадное значение в обращении с числами для выполнения умножения прочих (по нашему нетабличных) чисел».

Комментатор Аристотеля Александр Афродизский (около 200г. н.э.) разъясняет: «Устными вычислениями называет Аристотель умножение чисел в пределах 10. Усвоение их устраняет необходимость заучивания больших соответственных чисел; так, из «дважды четыре» следует «20х2=40», «20х20=400» и «200х20=4000». Диофант (III и IV вв. н.э.) советует начинающим «крепко внедрить сложение, вычитание и умножение чисел».

Методические упражнения в своём учебнике, для устных вычислений, впервые даёт Тарталья (1499 - 1557гг.) в своём руководстве, представляющем энциклопедию теоретической и практической математики своего времени. Тарталья предпосылает в своём руководстве разделу об арифметических действиях целую серию упражнений на усвоение таблиц сложения, вычитания, умножения и деления, требуя, например заучивания таблицы умножения чисел до 40 на 40 и выполнения умножения чисел в этих пределах устно. В середине XVIII века для устных упражнений начинают выделять особые уроки в школе.

В «Арифметике» Магницкого (1703г.) нет специальных разделов упражнений для устных вычислений, но неоднократно подчёркивается значение усвоения таблиц результатов элементарных действий, над небольшими числами, что делалось, очевидно, для облегчения устных расчётов.

1.2 Арифметические таблицы

Для облегчения вычислений как устных, так и письменных, служили готовые таблицы результатов разных действий над числами. История таких таблиц имеет начало в очень глубокой древности.

По крайней мере 3000 лет до нашей эры у народов древнего Вавилона имелись в обращении разнообразные арифметические таблицы, известные теперь в большом количестве. Среди них имеются таблицы умножения в пределах 60, таблицы квадратов последовательных чисел, таблицы деления (выражения частных в шестидесятеричных дробях), таблицы для решения задач на процентные вычисления и т.п.

Вычислениями занимались не только те, «кому на сиё должность есть», т.е. те, кто этим себе зарабатывали хлеб, но и знать, вплоть до короля Ашурбанипала (668 - 626 гг. до н.э.), который заявляет: «Я совершаю запутаннейшие деления и умножения, которые едва выполнимы; я считаю хитроумные таблички на тёмном шумерском языке, которые трудно передаваемы на разговорном наречии». Иероглифы мёртвого и забытого уже населением шумерского языка, обозначавшие арифметические операции, употреблялись среди числовых и текстовых символов разговорного языка и составляли первые математические символы, содействуя зарождению в Вавилоне символической математики задолго до её возникновения в других странах.

В учебнике арифметики армянского математика Анании из Ширака (VII век н.э.) в начале книги даются таблицы сложения, вычитания, умножения и деления чисел. Это самые древние, дошедшие до нас, таблицы этого рода в руководстве.

1.3 Таблицы умножения

Таблицы умножения, которая была у шумеров, мы у египтян не находим. Умножение чисел они делали устно, удвоением. Греки и римляне имели такие таблицы, хотя греческие таблицы умножения до нас не дошли. Это объясняется тем, что они считались элементарными пособиями, которые каждый должен был усваивать в школе, и которым не было места в дошедших до нас научных трактатах.

Только около 100г. н.э. Никомах Геразский считает возможным и нужным поместить таблицу умножения в своём «Введении в арифметику», но делает он это не в учебных целях, а для того, чтобы воспользоваться числовыми последовательностями для своих теоретических рассуждений. Замечания по поводу этой таблицы профессора М.Я.Выгодского в книге «Арифметика и алгебра в древнем мире» [I-11,с.15] не мешают эту таблицу называть таблицей умножения, так как всякая таблица умножения, помимо своей прямой задачи, может быть использована и в других целях, в том числе и тех, в которых использует таблицу Никомах.

Никомах свою таблицу располагает, идущую до 10x10, в виде квадрата, в первой строке и в первом столбце которого расположены записи чисел 1,2,3,4,5,…,10, а в клетках скрещивания строк и столбцов произведения. В таком же виде даёт таблицу умножения Боэций (480 - 520 г.г.). Однако многие последующие авторы до XV века располагают таблицу ещё строками, загромождая её словами: «один раз», «дважды», «трижды» и так далее.

Древнейшие европейские рукописные руководства по арифметике дают таблицу умножения иногда и без словесных добавлений в форме прямоугольника, как это делается и в настоящее время на обложках наших ученических тетрадей: числа от 1 до 10 умножаются по порядку на 1, на 2, на 3 и так далее до умножения на 10. Каждое произведение при этом, получается по два раза: например, в одной строке 7x8=56, в следующей строке 8x7=56.

Такая таблица в школе часто называется пифагоровой. Последнее название объясняется следующим образом. Анонимная рукопись геометрии XII века, ошибочно приписывается Боэцию, содержала изображение счётной доски (абака), называя её «пифагоровым столиком». Печатное издание этой рукописи (1496г.) сохранило это название, но заменило абак таблицей умножения. Отсюда название «пифагорова таблица» переписывалось в других руководствах, принято школой при изучении арифметики, где и держится до сих пор. Никакого отношения Пифагор к этой форме таблицы умножения не имеет, хотя он, конечно, мог писать таблицу умножения в таком виде. Стараясь избежать без надобности повторения произведений, последующие авторы придавали таблице треугольную форму. Первый случай построения таблицы умножения в виде треугольника встречается в рукописи 1168 года; затем такую таблицу приводят Шюке (1484г.) и Видман (1489г.).

В таблицу умножения у Шюке в первом столбце, вне рамки треугольника, расположены множители. Верхняя строка каждой полосы содержит множимые; под каждым из них записано произведение. Так, например, вторая полоса даёт 2x2=4, 2x3=6 и так далее; третья полоса: 3x3=9, 3x4=12 и так далее; четвёртая полоса: 4х4=16; пятая полоса: 5х5=25; шестая полоса 6х6=36. Таким образом, каждая полоса сокращается по сравнению с предыдущей на одно умножении.

Таблица умножения Шюке

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

2 3 4 5 6 7 8 9 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 0

3 4 5 6 7 8 9 0

3 9 12 15 18 21 24 27 0

4 5 6 7 8 9 0

4 16 20 24 28 32 36 0

5 6 7 8 9 0

5 25 30 35 40 45 0

6 7 8 9 0

6 36 42 48 54 0

7 8 9 0

7 49 56 63 0

8 9 0

8 64 72 0

9 0

9 81 0

0

0 0

У Видмана таблице придана более компактная форма, чем у Шюке. Пусть надо найти 4x7. По столбцу, над которым расположен на правом краю вне сетки фигуры меньший сомножитель 4, спускаемся до строки, в левом конце которой находим больший сомножитель 7. Искомое произведение найдётся в клетке, в которой встречаются столбец и строка, соответствующие сомножителям.

Таблица умножения у Видмана (1489г.)

1 2

2 4 3

3 6 9 4

4 8 12 16 5

5 10 15 20 25 6

6 12 18 24 30 36 7

7 14 21 28 35 42 49 8

8 16 24 32 40 48 56 64 9

9 18 27 36 45 54 63 72 81

В разных других старых руководствах по арифметике можно найти ещё иные способы оформления таблицы умножения. Поскольку этим занимались упорно на протяжении столетий, можно сделать заключение, что усвоение таблицы умножения составляло для человека большой труд.

Л.Магницкий в своей «Арифметике» даёт таблицу умножения в более целесообразной простой форме:

Таблица умножения Магницкого

2 4

3 6 3 9

4 8 4 12

5 10 5 15

2 - жды 6 есть 12 3 -жды 6 есть 18

7 14 7 21

8 16 8 24

9 18 9 27

10 20 10 30

и так далее. Каждый следующий столбик таблицы сокращается на одну строку по сравнению с предыдущим, так что в последнем столбике остаются лишь строки:

9 81

9 - тью есть

10 90

Таблица сопровождается стихами:

Аще кто не твердит

Таблицы и гордит,

Не может познати

Числом, что множати

И во всей науки

Небосвод от муки,

Колико не учит

Туне ся удручит,

И в пользу не будет,

Ащё ю забудет.

1.4 Законы арифметических действий

Если содержание курса арифметики в разных странах в разные времена было весьма различно, то применение при вычислениях некоторых законов арифметических действий с древности принимается, как очевидное. Переместительный или коммутативный закон, как свойство сложения и умножения чисел известно с древности. Евклид в 16-м приложении VII книги «Начал» доказывает равенство aхb=bхa, притом совсем без геометрического облачения его, столь обычного для него в первых книгах. Термин коммутативный ввёл Сервуа (1814г.).

Сочетательный или ассоциативный закон сложения и умножения применялся также всеми. Для сложения доказательство его в целях строгого обоснования арифметики вводит Грассман в своём «Учебнике арифметики» (1861г.), представляющем первую попытку научного изложения оснований школьной арифметики. Термин ассоциативный был введён Гамильтоном (1853г.).

Распределительный или дистрибутивный закон умножения доказывает геометрическим методом Евклид в своих «Началах» (книга II) в форме ab+ac+ad…=a(b+c+d+…). Словами Евклид формулирует его так: «Если даны две прямые линии (два отрезка) и одна из них разделена на произвольное число частей, то прямоугольник, построенный на обеих линиях, равен (равновелик) прямоугольникам из неразделённой прямой и отдельных частей другой». Далее Евклид доказывает отдельно, что (a+b)хa=a2 +ab.

1.5 Арифметические символы

До конца XVI века руководства по арифметике не применяют систематически каких-нибудь символов и авторы их не дают себе отчёта в значении их. Заслугой Лейбница является пропаганда этого понимания. Создание международных научных журналов в XVII и XVIII веках выдвинуло вопрос о создании общих интернациональных символов.

Знаки + и - появляются как бы случайно у Видмана (1489г.), Стифеля (1545г.), Ризе (1551г.), производя впечатление, что они не «аборигены» (уроженцы) математика, а «пришельцы из других областей». Первой печатной книгой, содержащей изложение приёмов вычислений с применением знаков + и - , является руководство Грамматеуса (1518г.).

Буквы M и D (Multiplicatio, Divisio) для обозначения умножения и деления употребляет Стевин (1548 - 1620гг.) и некоторые другие авторы. Знак умножения x ввёл Аутрид (1631г.), возможно, по аналогии со знаком + . Запись умножения буквенных выражений без всякого знака между ними была уже у первых авторов алгебры и естественна при употреблении числовых коэффициентов. Точка в качестве знака умножения появляется у Региомонтана (1436 - 1476гг.), затем у Харриота (1631г.). Сознательно и, подчёркивая значение точки, как знака умножения, что делает Лейбниц (1693г.).

Горизонтальная чёрточка в качестве знака деления имеется у Леонардо Пизанского (XIII в.) и позаимствована им от арабов. Знак деления (:) впервые встречается у Джонсона (1633г.). Пелль (1610 - 1685гг.) вводит знак деления : , употребляемый до сих пор нередко в Англии и Америке.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ ТАБЛИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Усвоение детьми теоретических знаний, в которых раскрывается сам процесс их происхождения, вот смысл специально организуемой развёрнутой учебной деятельности. Это формирует и развивает у младших школьников навыки теоретического мышления, позволяющего решать определённые задачи, ориентируясь на общий принцип их построения. Выделение этого принципа помогает детям овладевать общим способом решения при относительном безошибочном движении мысли от общего к частно-конкретному. Таким образом, усвоение теоретических знаний по средством учебной деятельности - это , прежде всего прослеживание детьми процесса происхождения научных понятий, овладение способами решения отдельных задач.

Для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение. Уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными ролями натурального числа. Отвечая на вопрос: «Сколько деревьев изображено на рисунке?», они имеют дело с числом как количественной характеристикой множества предметов. Производя счёт предметов, они оперируют натуральным порядковым числом. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает в новой роли - значение величины при выбранной единицы как меры величины. Много внимания уделяется в начальном курсе математики ещё одной роли числа - как компоненту вычислений.

Таким образом, натуральное число многолико и все его стороны должны быть поняты уже учащимися начальных классов. Поэтому важной задачей учителя является овладение теми теориями натурального числа, в которых отражается различная роль натурального числа, в практической деятельности.

2.1 Аксиоматический подход к определению понятий произведения и частного

В математике к определению вычислительных навыков сложения, вычитания, умножения и деления существует два подхода.

Первый подход, рассматривающий вычислительные навыки - это аксиоматический. Его разработал Пиано в XIX веке.

Рассмотрим определение умножения натуральных чисел.

По правилам построения аксиоматической теории определение умножения натуральных чисел можно ввести, опираясь на основные понятия и определения сложения.

Прежде чем это сделать, заметим, что если любое натуральное число a умножить на 1, то получим a, то есть имеет место равенство ах1=а, ели известно, что 6х8=48, то для нахождения произведения 6х9 достаточно к 48 прибавить 6, так как 6х9=6х(8+1)=6х8+6=48+6=54. Таким образом произведение ах(b+1) можно найти, если известно произведение числа а и числа, за которым непосредственно следует b+1: aх(b+1)=aхb+а

Используя введённую символику получаем: aхb'=aхb+a, то есть произведение любого натурального числа а и числа b', непосредственно следующего за b, равно сумме произведения чисел a и b и числа а.

Эти закономерности положены в основу определения умножения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нём используется определение алгебраической операции.

Рассмотрим определение:

Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определённая на множестве N натуральных чисел и обладающая свойствами:

1) (VaN) ах1=а

2) (Va, bN) aхb'=aхb+a

Число aхb называется произведением числа aхb, а сами числа a и b - множителями.

Используя определение умножения и таблицу сложения, можно составить таблицу умножения однозначных чисел. Составляется она поэтапно: сначала рассматриваются случаи умножения на единицу, затем - единицы на число, число 2 на число 2, 3 и так далее.

1) 1х1=1, 2х1=2, 3х1=3

2) 1х2=1х1'=1х1+1=1+1=2

3) 2х2'=2х1+2=2+2=4

Примеры заданий из учебников:

1 Вычисли значение произведения 4хd, если d=5, d=6

2 Реши второй пример пары, пользуясь первым:

2х5=10 9х4=36 7х6=42

2х6=? 9х5=? 7х7=?

Рассмотрим аксиоматический подход к определению деления натурального числа.

Частным натуральных чисел a и b называется натуральное число с = а/b, удовлетворяющее условию bхс = а.

Действие, с помощью которого находиться частное чисел а и b, называется делением, число а - делимым, число b - делителем.

Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы bа.

Определение деления как операции, обратной умножению, в общем виде не даётся, хотя связь деления с умножением рассматривается при изучении темы «Нахождение неизвестного множителя». На этом этапе происходит обобщение двух смыслов частного, имеющих место при его теоретико-множественной трактовке. Выполняя деление, например, 15 на 3, учащиеся должны подобрать такое число при умножении которого на делитель получиться делимое; таким числом будет 5, так как 5х3=15, значит 15/3=5.

2.2 Теоретико-множественный подход к определению понятий произведения и частного

В начальном курсе математики действия: сложение, вычитание, умножение и деление целых неотрицательных чисел вводиться на основе практических упражнений, связанных с объединением двух (нескольких) множеств предметов (теоретико - множественная терминология и символика при этом не используется).

Рассмотрим понятия действий над целыми неотрицательными числами.

Умножение.

Понятие произведения целых неотрицательных чисел может быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе которого лежит понятие суммы.

Определение.

Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число ахb, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) aхb=a+a+…+a при b>1

b слагаемых

2) ах1=а при b=1

3) ах0=0 при b=0

Теоретико - множественный смысл этого определения следующий. Если множества А1, А2,…, Аb имеют по а элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то объединение содержит ахb элементов. Следовательно, произведение ахb - это число элементов в объединении в попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов. Равенства ах1=а и ах0=0 принимаются по условию.

Действие, при помощи которого находят произведение чисел а и b, называют умножением; числа, которые умножают, называют множителями.

Произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.

С данным определением учащиеся знакомятся в начальных классах. Смысл его раскрывается при решении простых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?» Почему она решается при помощи умножения? Потому, что в ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находиться умножением: 4х6=24 (пуговицы).

Нами определено произведение двух чисел. А как определить произведение нескольких множителей? Рассмотрим.

Пусть произведение двух множителей определено и определено произведение и множителей. Тогда произведение, состоящее из п+1 множителя, т.е. произведение а1ха2х…хапхап+1 равно (а1ха2х…хап)хап+1.

Например, чтобы найти произведение 2х7х5х9 согласно этому определению, надо выполнить последовательно следующие преобразования: 2х7х5х9=(2х7х5)х9=((2х7)5х)х9=(14х5)х9=70х9=630

Деление.

В общем виде частное целого неотрицательного числа а и натурального числа b определяется следующим образом.

Определение.

Пусть а=п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества.

Если b-число подмножеств в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число элементов каждого подмножества.

Если b-число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число подмножеств в этом разбиении.

Действие, при помощи которого находят частное а : b, называется делением, число а -делимым, b - делителем.

Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия деления, мы обращаемся к умножению. Почему? Очевидно, потому, что действия деления и умножения взаимосвязаны. Но какова эта связь?

Пусть а=п(А) и множество А разбито на b попарно непересекающихся равномощных подмножества А1, А2,…, Аb. Тогда с=а:b есть число элементов в каждом таком подмножестве, т.е. с=а:b=п(А1)=п(А2)=…=п(Аb).Так как по условию А=А1 А2 Аb, то п(А)=п(А1 А2 Аb). Но подмножества А1, А2,…,Аb попарно не пересекаются, значит, по определению суммы п(А1 А2 Аb)=п(А1)+п(А2)+…+п(Аb)=с+с+…+с.

Согласно определению произведения сумма b слагаемых, каждое из которых равно с, есть произведение схb. Таким образом, установлено, что а=схb, т.е. частным чисел а и b является такое число с. Произведение которого и числа b равно а. К такому же выводу мы придём, если частное с=а:b будет числом подмножеств в разбиении множества А.

Таким образом, получаем второе определение частного.

Определение.

Частное целого неотрицательного числа b называется такое целое число (неотрицательное) с=а:b, произведение которого и числа b равно а.

Можно показать и наличие обратной связи, т.е. что из второго определения частного вытекает первое:

а:b=сa=cхb.

Итак, во втором случае частное определено через произведение. Поэтому говорят, что деление есть действие, обратное умножению.

Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b<а.

2.3 Психолого-педагогические основы формирования вычислительных навыков

В настоящее время наблюдается усиленный интерес учителей математики к психолого - педагогическим проблемам, к психологическим занятиям. Этот интерес обусловлен тем, что учителя в своей повседневной практической деятельности встречаются с такими проблемами, которые можно решить лишь на основе педагогических знаний.

Известный советский психолог А.Н.Леонтьев обоснованно считал, что «жизненный правдивый подход к воспитанию - это такой подход к отдельным воспитательным задачам, который исходит из требований к человеку, каким должен быть человек в жизни и чем он должен быть для этого вооружения, какими должны быть его знания, его мышление, его чувства и так далее.»

Одной из первоочередных и важных задач школьного курса математики является задача развития мышления учащихся. Обучение математике в формировании мышления играет первостепенную роль. Тем более, что в данное время выдвигается задача формирования у учащихся научно-теоретического мышления, в формировании которого роль математики очень значительна. Поэтому поводу Давыдов пишет: «Решение конкретных задач современного школьного образования, в конечном счёте связано с изменением типа мышления, проектируемого целями, содержанием и методами обучения. Всю систему обучения необходимо переориентировать с формирования у детей рассудочно - эмпирического мышления, на развитие у них современного научно - теоретического мышления».

С помощью мышления человек познаёт окружающий мир. Мышление позволяет человеку выявить в познаваемых объекта не только отдельные свойства и стороны, что возможно установить с помощью чувств, но и отношения из аксиомерности связей и отношений между этими свойствами и сторонами. Тем самым человек с помощью мышления познаёт общие свойства и отношения, выявляет среди этих свойств существенные определяющие характер объектов. Это позволяет предвидеть результаты наблюдаемых событий, явлений и своих собственных действий. Вся эта работа выполняется с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения, конкретизации.

Преподавание математики в младших классах включает ознакомление детей со смыслом и правилами выполнения четырёх арифметических действий, а именно умножения и деления.

Возможности и особенности усвоения младшими школьниками какого-либо материала, обычно изучаемого в старших классах, конечно, нельзя отождествлять с общими психологическими характеристиками умственной деятельности старшеклассников. Психологический склад тех и других и особенности самого процесса усвоения одного и того же материала у них различны.

Одна из задач психологического анализа человеческих действий состоит в выяснении их строения. При этом устанавливается, с одной стороны, содержание той ситуации, внутри которой возникает необходимость в определённом преобразовании некоторого положения вещей, с другой - состав операций, реализующих это действие, их ориентировочная основа и средства выполнения.

Успешность осуществления математической деятельности школьника, связана с формированием вычислительных навыков сложения и вычитания, умножения и деления (табличного) является производным определённого сочетания качеств, а именно:

1) активного положительного отношения к математике, интереса к ней, склонность заниматься ею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлечённость;

2) ряда черт, прежде всего трудолюбия, самостоятельности, а так же устойчивых интеллектуальных чувств;

3) наличия во время осуществления деятельности благоприятных для выполнения психических состояний;

4) определённого фонда знаний, умений, навыков в темах «Сложение и вычитание в пределах ста» и «Табличное умножение и деление». Если человек, например, не имеет минимум знаний, умений, навыков по сложению, вычитанию, умножению и делению, он не сможет выполнить данные вычисления, хотя обладает большими математическими способностями;

5) определённых индивидуально-психологических особенностей в умственной сфере, отвечающих требованиям данной деятельности.

Известный советский психолог Л.П. Блонский справедливо указывал, что пустая голова не рассуждает, но, чем больше знаний имеет эта голова, тем более способна она рассуждать. Речь идёт о том, чтобы сам процесс приобретения знаний был активным, творческим и не сводился к простому усвоению информации, исходящей от учителя, чтобы у учащихся самых начальных этапов обучения формировалась способность к самостоятельному приобретению знаний.

Основой обучения должно быть не запоминание учениками информации (хотя это тоже важная задача), которой их в изобилии снабжает учитель, а активное участие самих школьников, в процессе приобретения информации, их самостоятельное мышление, постепенное формирование способности самостоятельно приобретать знания.

Известный советский психолог Л.Г. Выготский сформулировал положение о двух уровнях умственного развития ребёнка. Первый уровень, уровень актуального развития, как его назвал Выготский, - это наличный уровень подготовленности ученика. Он характеризуется тем, какие задания ученик может выполнить вполне самостоятельно. Второй, более высокий уровень, названный Выготским зоной ближайшего развития, означает то, чего ребёнок не может выполнить самостоятельно, но с чем он справляется при небольшой помощи со стороны (наводящие вопросы, подсказки, общие указания и так далее). Подчёркивая ведущую роль обучения для умственного развития, Л.Г. Выготский считал, что обучение должно ориентироваться на зону ближайшего развития, то есть чуть превосходить наличные возможности учащегося.

Активная самостоятельная работа мысли начинается тогда, когда перед человеком возникает проблема, вопрос. Поэтому учителя должны стараться так проводить занятия, чтобы перед школьниками чаще возникали хотя бы несложные проблемы и побуждать детей к попыткам самостоятельно решать проблемы.

2.4 Анализ программы и учебника по теме исследования

таблица навык умножение вычислительный

Математика в начальных классах является органической частью курса математики основной школы. Этим обусловлена необходимость достижения следующих целей в обучении математике в начальной школе:

- овладение знаниями, умениями и навыками в объёме и уровне, предусмотренными программой;

- формирование личности ребёнка, через содержание курса математики, познавательной и коммуникативной деятельности, а так же готовности к самостоятельному добыванию знаний, труду, к усвоению культурно-исторических ценностей своего народа, нации, в сочетании с достоянием общечеловеческой культуры;

- развитие математического стиля мышления, интеллектуальных и эмоционально-волевых качеств школьников;

- осуществление всесторонней подготовки к обучению в основной школе и использованию математических знаний в жизни.

Из этих целей возникают следующие задачи обучения математике:

-способность становлению личности ребёнка, развитию мышления, формированию интеллектуальной и эмоционально-волевой активности школьников;

- содействовать формированию представлений о математике как науке, обобщающей реально существующие явления и способствующей познанию окружающей действительности;

- сформировать знания, умения и навыки, необходимые ученику в жизни для продолжения обучения в следующем звене школы.

Эти цели и задачи, определённые в соответствии с социальным заказом общества, на современном этапе его развития предполагает разработку нового содержания образования и определения адекватных ему методов и приёмов, средств и организационных форм обучения.

Содержание математического образования неоднородно и относиться к двум разным уровням: обязательному и возможному. К обязательному уровню относится материал, подлежащий прочному усвоению в пределах начальной школы, в частности - освоение детьми табличного умножения и деления.

При обучении приёмам вычислений одновременно рассматриваются действия умножения и деления как взаимообратные действия. Поэтому предусматриваются одновременное обучение выполнению действия и его проверки с помощью использования обратного ему действия, что свидетельствует об укреплении единицы знаний на основе связи между арифметическими действиями.

Прежде чем познакомить детей непосредственно с таблицей умножения и деления, программой предусмотрен предварительный этап: во втором классе учитель знакомит учеников с нахождением сумм одинаковых слагаемых и обратными им действиями, которые выполняются с опорой на наглядность. «Прибавление» и «убавление» два раза из 2, два раза из 3, два раза из 4, два раза из 5, два раза из 6, два раза из 7, два раза из 8, два раза из 9, три раза из 3, три раза из 4, три раза из5, три раза из 6 выполняется в процессе конкретных действий или руководствуясь иллюстрациями. Например, 2 ёлочки дважды изображены на рисунке.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 Ёлочки

В этом случае делаем записи, отвечая на вопросы: «Сколько игрушек на рисунке?» - 2+2, а «По скольку игрушек можно разделить на двоих ребят?» - 4-2-2, и «Сколько ребят получат по две игрушки?» - 4-2-2. Первый пример показывает, что мы взяли 2 раза по 2, а последние два, что в 4 есть 2 по 2 раза.

В начале I четверти третьего класса на протяжении 22 учебных часов на уроках математики учитель знакомит учеников со смыслом и названием действий умножения и деления и их обозначениями (знаки «х» и «:»). С тем, что умножение и деление (как сложение и вычитание) - взаимообратные действия. Учитель учит детей составлять, читать, записывать и находить значения числового выражения, содержащего одно действие (умножение и деление), знакомит с понятиями: множители, делимое, делитель, произведение и частное, значение произведения и частного, со свойствами умножения.

И только затем, на протяжении 55 учебных часов (конец I и всю II четверти) в теме «Табличное умножение и деление» стабилизируются и закрепляются освоенные учениками знания и навыки об арифметических действиях, о решении задач, относящихся к элементам геометрии и алгебры, эти знания будут более развиты и поднимутся на высшую ступень; осуществится составление и освоение таблицы умножения, а также её использование в соответствующих случаях деления; т.е. системное изучение таблицы умножения и деления.

Основная проблема этой темы - изучить табличное умножение и деление, так как знание наизусть таблицы умножения и достаточное упражнение в использовании её в аналогичных случаях деления является первоусловием в плодотворном усвоении дальнейших вопросов.

Сначала ученики для того, чтобы разобраться в табличном умножении и делении знакомятся с основными видами наглядности, используемой для нахождения соответствующих результатов. А у состоящего из 100 клеток, т.е. из 100 маленьких квадратов большого квадрата будет закрашена или заштрихована некоторая часть.

Нахождение разными способами площади прямого четырёхугольника вне контура и, наоборот, в процессе деления этого прямого четырёхугольника на ряды и столбики составляются взаимозависимые четыре равенства. К примеру. Пусть в полоске первого ряда этого прямого четырёхугольника будет 3 квадрата, а есть два ряда таких полосок. Значит, в полоске первого столбика будет 2 квадрата, если 3 таких столбика. Поэтому

3+3=6, то есть 3х2=6

2+2+2=6, то есть 2х3=6

6-3-3=0, то есть 6:3=2

6-2-2-2=0, то есть 6:2=3

Рисунок 2 Основная наглядность к таблице умножения и деления

Результат 36 произведений таблицы умножения (начиная с примера 2х2, заканчивая примером 9х9) можно определить при помощи вышеприведённого способа. Встаёт вполне закономерный в этом случае вопрос: «Почему 36, а не 64 произведения таблицы умножения изучают дети?» Всё очень просто: ещё с первого класса ученики знают переместительный закон сложения, в третьем классе - переместительное свойство (в начале I четверти) дети учатся применять при умножении чисел, а зная, что 2х3=6 и 3х2=6, от перемены мест множителей, значение произведения не меняется, дети легко справляются с заданиями. Например, изучая таблицу умножения на 6 дети учат, что 7х6=42, тогда при изучении таблицы умножения на 7, случай 6х7=42 они не рассматривают досконально, а только вспоминают, что 7х6=42 и применяют переместительное свойство умножения, из чего следует, что 6х7=42.

Следует отметить, что составляя и изучая таблицу умножения дети должны узнать, что второй множитель всегда остаётся неизменным. Таким образом, таблица умножения, изучаемая в 3 классе выглядит вот так

2х2=4

3х2=6 3х3=9

4х2=8 4х3=12 4х4=16

5х2=10 5х3=15 5х4=20 5х5=25

6х2=12 6х3=18 6х4=24 6х5=30 6х6=36

7х2=14 7х3=21 7х4=32 7х5=35 7х6=42 7х7=49

8х2=16 8х3=24 8х4=32 8х5=40 8х6=48 8х7=56 8х8=64

9х2=18 9х3=27 9х4=36 9х5=45 9х6=54 9х7=62 9х8=72 9х9=81

Для лучшего усвоения детьми действий умножения и деления, учитель использует разнообразные виды работ: решение задач, задания на сравнения, ведётся работа по закреплению понятий «увеличь на…», «увеличь в…», «на сколько больше (меньше)…», «во сколько раз меньше (больше)…».

Задача. Костя купил две банки молока по 3 литра. Сколько всего литров молока он купил? Составь задачи обратные данной и реши их.

Для решения этих задач нужно составить таблицу.

молоко в 1 банке	количество банок	молоко во всех банках
3 литра	2	?
?	2	6 литров
3 литра	?	6 литров

3х2=6 (литров)

6:2=3 (литра)

6:3=2 (банки)

Составление и решение подобных задач способствуют закреплению у детей понятия, что:

1) умножение проверяется делением;

2) деление - действие противоположное умножению.

Задание на сравнение:

2+2+2… 3х2 2х4 …4х2 2+2+2+2 … 4х2

5+5+5 …5х3 5х4 …4х5 2+2+2+2 …2х4

9+9+9 … 9х3 9х5… 5х9 4+4+4+4 …4х4

Аналогичные задания помогают детям понять смысл умножения, и усвоить переместительное свойство умножения.

Сравни

Рисунок 3 Задание на сравнение

Вопросы к ученикам: сколько треугольников? Сколько квадратов? Сколько раз взято по 2 квадрата? На сколько равных частей надо разделить круг, чтобы в каждой части было по 2 треугольника? Сколько раз по 2 содержится в 6? Значит, во сколько раз квадратов меньше, чем треугольников?

Сколько квадратов? А треугольников? Сколько раз взято по 2 квадрата? Сколько раз надо взять по 2, чтобы получить количество треугольников? Сколько раз надо взять по2, чтобы получить 6? Значит, во сколько раз треугольников больше, чем квадратов?

Подобные задания помогают детям усвоить смысл понятий «во сколько раз больше…, чем…», «во сколько раз меньше…, чем…». Что также способствует лучшему усвоению понятий, действий умножения и деления.

Кроме того, упражнения следующего характера, помогают развитию познавательных способностей учащихся в области умножения и деления.

Запиши выражения и вычисли их значения:

увеличь 5 на 2; увеличь 5 в 2 раза;

увеличь 2 на 5; увеличь 2 в 5 раз;

увеличь 3 на 2 единицы; увеличь 3 в 2 раза;

Следующим этапом в изучении детьми табличного умножения и деления идёт: ознакомление детей со способами умножения двух-, трёхзначных чисел, оканчивающихся на 0, на однозначные числа.

Под руководством учителя, с помощью полосок с квадратами ученики раскрывают значение действия 10х3, 30:3.

Рисунок 4 Наглядность к изучению умножения и деления

Что значит 10х3? 10+10+10=30

Почему произведение заменили суммой? Как получили равенство 1 дес.- 3=3 дес.? Тогда, 10х3=30, потому что если по 10 взять 3 раза, получиться 30. 3х10=30.

Что означает 30:3? 3 дес.:3=1дес. Почему частное заменили записью 3дес.:3. Как получилось равенство 3дес.:3=1дес.? Тогда, 30:3=10, потому что 3х10=30, а если по 3 взять 10 раз, то получиться 30. 30:10=3, потому что 10х3=30.

Аналогично разбираются случаи 100х3=300 и 300:3=100. Работа ведётся под руководством учителя.

На закрепление даются задания аналогичные следующим:

1 10х5 100х5 10х8 100х8

5х10 5х100 ….. …..

50:5 500:5 ….. …..

50:10 500:100 ….. …..

2 Найди значения произведений: 9х1; 90х1; 10х4; 100х4. Используя множители, запиши другие произведения и найди их значения. Используя множители и значения произведения, запиши частные и найди их значения.

3 Найди значения частных: 9:1; 9:9; 90:1; 90:90; 40:4; 40:10; 400:4; 400:100. Используя делители и значения частных, запиши произведения и найди их значения.

После того, как дети усвоили смысл действий умножения и деления, понятий «увеличь (уменьши) на…», «увеличь (уменьши) в…», умножение и деление на 1 и на 10, учитель учит детей составлять таблицу умножения и деления, начиная с рассмотрения случаев умножения и деления на число 2, обращая внимание учеников на то, что в таблицах умножения и деления на 2, 3, 4,..,9 второй множитель постоянен, т.е. изменяется значение первого множителя.

Под руководством учителя проводиться работа с рисунком и текстом. Используя рисунки квадратов, результаты умножения (деления) находятся действием сложения.

2х2=2+2 2х2=4

3х2=3+3 3х2=6

4х2=4+4 4х2=8

5х2=5+5 5х2=10

Ученики на своих квадратах показывают произведение чисел 2и2 (2 ряда по 2 квадрата в каждом). Сколько всего квадратов? (4) Как узнали? (2+2) Запишите эту сумму в виде выражения (2х2). Вычислите следующее произведение 3х2. Дети показывают на своих квадратах (два ряда по 3 квадрата). Сколько всего квадратов? (6). Как узнали? (3+3). По аналогии с этим ведётся разбор случаев 4х2, 5х2. Рассмотренная таблица читается по-разному, например: если 3 умножить на 2, то получиться 6; если по 3 взять 2 раза, то получится 6; произведение чисел 3 и 2 равно 6; дважды три - шесть (необходимо объяснить значение слова «дважды», это значит, - два раза).

Используя полученные ранее детьми знания, учитель даёт задания на закрепление:

1) 2х2 3х2 4х2 5х2

20х2 30х2 40х2 50х2

200х2 300х2 400х2 500х2

2) 2х3 2х4 2х2 2х5

2х30 2х40 2х20 2х50

2х300 2х400 2х200 2х500

3) 6:2 8:2 4:2 10:2

60:2 80:2 40:2 100:2

600:2 800:2 400:2 1000:2

6:3 8:4 40:4 10:5

Аналогично даётся выполнить следующие вычисления:

4смх2 2смх2 3смх2 1смх2

40смх2 20смх2 30смх2 10смх2

400смх2 200смх2 300смх2 100смх2

На следующем уроке под руководством учителя продолжается составление таблицы умножения чисел 6, 7, 8, 9 на 2 (аналогично предыдущему уроку) с использованием наглядности.

6х2=6+6 6х6=12

7х2=7+7 7х2=14

8х2=8+8 8х2=16

9х2=9+9 9х2=18

На закрепление и усвоение таблицы умножения и деления на 2 программой РК отводиться 9 часов. Для чего детям предлагаются задания: на сравнение, решение уравнений, решение и составление обратных задач, геометрический материал, составление задач используя таблицы, заполнение таблиц.

Например:

1 Начерти отрезок на 2см короче и в два раза короче данного.

___________________________

2 Найди значения выражений:

14:7 7х2 2х7 14:2

Запиши использованные тобой при этом равенства из таблицы умножения.

3 Заполни таблицу:

Множитель	3	30		4	40		0
Множитель	2	2	2		2	2	2	20
Значение произведения			600	8	80	800		0

4 Реши уравнения:

Хх2=14 14:Х=7 Х:2=7 2хХ=12

5 Сравни:

4х2 … 4х3 6х2 … 3х6 8х2 … 8х3

2х4 … 4х2 2х6 … 2х5 2х8 … 8х2

16:2 … 16:4 12:3 … 12:2 14:2 … 14:7

16:8 … 4:2 12:3 … 8:2 12:2 … 16:2

6 Используя таблицу, составь задачи. Запиши решения в виде выражений и реши их.

Масса одной коробки	Количество коробок	Масса всех коробок
2 кг	2	?
Одинаковые	3	?
	4	?
	Х	?

Следующие 6 часов программой отводятся на составление, заучивание и закрепление таблицы на 3. Под руководством учителя организовывается работа с квадратами и объясняющими записями. Рассмотрение табличных случаев умножения и деления на 3 проводится аналогично числу 2. Здесь же учитель объясняет, почему рассмотрение таблицы начинается со случая 3х3 (используется переместительное свойство).

3х3=3х2+3 3х3=9

4х3=4х2+4 4х3=12

5х3=5х2+5 5х3=15

6х3=6х2+6 6х3=18

7х3=7х2+7 7х3=21

8х3=8х2+8 8х3=24

9х3=9х2+9 9х3=27

При составлении таблицы на 3 учитель опирается на твёрдое знание детьми таблицы умножения на 2, объясняя, что в записи 3х2+3 число 3 сначала взято дважды, а потом ещё один раз, значит, всего взято три 3, т.е. 3х3. Если знать, что дважды 3 будет 6, то при прибавлении ещё одной 3 будет 9, значит, 3х3=9.

Кроме того, следует отметить, что каждый табличный случай рассматривается сразу до чисел в пределах тысячи.

1) 3х3 6х3 8х3 9х3

30х3 60х3 80х3 90х3

300х3 600х3 800х3 900х3

2) 21:3 24:3 27:3 30:3

210:3 240:3 270:3 300:3

21:7 240:8 270:9 3:1

При изучении таблицы умножения и деления на 3, учитель учит детей выполнять действия деления с остатком в процессе решения задачи.

Задача. Ребята поделили 10 книг между собой по 3 книги каждому. Сколько ребят получили книги? Сколько осталось лишних книг?

При разборе задачи, краткая запись заменяется рисунком, что поможет детям лучше усвоить смысл деления с остатком.

Рисунок 5 Условие к задаче

10:3=3 (ост. 1)

Данные задания помогают детям лучше освоить таблицу умножения, т.к. чтобы выполнить деление с остатком необходимо хорошо знать таблицу умножения и деления.

Остальные случаи табличного умножения и деления разбираются аналогично вышеописанным случаям с использованием квадратов, в качестве наглядного материала, и с учётом того, что случаи дублирующие - в следующей таблице не записываются, поэтому таблица умножения чисел на 9 выглядит так 9х9=81 (страница 27).

С 37 урока (в теме «Табличное умножение и деление») вводиться понятие см2, площадь и её измерение. Детям даётся понятие: чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо умножить длину на ширину, взятые в одинаковых единицах измерения. Ученики, хорошо зная таблицу умножения и деления, отлично справляются с нахождением площади фигур.

Таким образом, за 55 часов, отведённых программой на изучение темы «Табличное умножение и деление» дети успевают понять и выучить наизусть всю таблицу умножения и деления, чему способствуют разнообразные задания на закрепление.

2.5 Анализ научно-методической литературы

Общеизвестно, что наряду с формированием основных математических понятий, изучение свойств чисел и законов арифметических действий важнейшее место в начальном обучении всегда занимало формирование у детей вычислительных навыков.

Из курса математики нам известно, что если а и b целые неотрицательные числа, то:

1) aхb=a+a+…+a при b>1

b слагаемых

2) ах1=а при b=1

3) ах0=0 при b=0.

«Теоретико-множественная трактовка этого определения лежит в основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения» - считает Н.Б.Истомина. Эта трактовка легко переводиться на язык предметных действий и позволяет для изучения нового понятия активно использовать ранее изученный материал. По мнению Н.Б.Истоминой, для осознания необходимости введения нового действия модно использовать различные реальные ситуации. Например: учащимся предлагается подсчитать количество кафельных плиток, необходимых для выкладки стены на кухне. Стена имеет форму прямоугольника, разбитого на квадраты (это может быть клетчатая часть доски). Они, естественно, начинают действовать способом поединичного счёта клеток, но скоро обнаруживают трудоёмкость такой работы. Подчеркнув это, учитель ставит задачу найти наиболее простой путь поиска ответа. Конечно, сами учащиеся могут и не догадаться о рациональном способе действия, но тем не менее при этом будут созданы благоприятные психологические условия для его принятия.

Аналогичный пример: учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные участки (квадраты).

Рисунок 6 Наглядность к изучению умножения и деления

Нужно определить, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле. Достаточно посчитать число квадратов в дном ряду (их 11) и повторить это число слагаемым 4 раза (11+11+11+11). После этого учитель вводит новую запись 11х4=44 и предлагает учащимся сопоставить эти две записи. Выясняется: что обозначает во втором равенстве первый множитель (какие слагаемые складываются) и второй множитель (сколько таких слагаемых). Это помогает детям лучше усвоить чтение выражений вида: 11х4; 7х6; 28х4; 57х3 (57 взять 3 раза, 57 повторить 3 раза, 57 умножить на 3).

Для усвоения смысла умножения - считает Н.Б.Истомина - полезно использовать приёмы сравнения, выбора, преобразования и конструирования, предлагая различные виды заданий:

а) на соотнесение рисунка и математической запаси:

Прочитай записанные под рисунками выражения и догадайся, что обозначают в каждом произведении первый и второй множители:

4х3

3х4 2х7 5х6

7х2 6х5

Рисунок 6 Соотнесение рисунка и записи

б) на преобразование рисунка в соответствии с математической записью:

Какие изменения нужно ввести в другие рисунки, чтобы они соответствовали записи 2х6?

в) на выбор записи, соответствующий данному рисунку;