Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления в начальной школе

О качестве знаний, умений и навыков, формируемых в рассмотренных образовательных системах, пойдёт речь в следующей главе.

табличный умножение дидактический замков



Глава 3. Характеристика качества вычислительных навыков табличного умножения и деления, сформированных в различных условиях

3.1 Понятие полноценного вычислительного навыка

Вычислительный навык -- это высокая степень овладения вычислительными приемами. Приобрести вычислительные навыки -- значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро [31; 16-18].

Полноценным вычислительным навыком методисты называют вычислительный навык, качество которого соответствует требованиям учебной программы на данном этапе развития школы [32; 23].

По мнению М.А. Бантовой, Н.П. Фаустовой и др., полноценный вычислительный навык характеризуется следующими свойствами:

- правильностью;

- осознанностью;

- рациональностью;

- обобщенностью:

- автоматизмом;

- прочностью [3; 3].

Правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия над числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие вычислительный прием.

Для определения сформированности правильности используют коэффициент правильности - К_прав., который равен отношению числа правильно выполненных заданий к числу всех заданий, предложенных для выполнения

Осознанность - ученик актуально осознает теоретическую основу вычислительного приёма, что проявляется в обосновании учеником каждой операции приёма.

Рациональность - ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к нахождению результата арифметического действия. Естественно, это свойство может проявляться только тогда, когда для данного случая существуют различные вычислительные приёмы. Ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приёмов и выбрать наиболее рациональный [32; 23-24].

Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью.

Обобщённость - ученик может применить, приём вычисления к большому числу случаев, т.е. он способен перенести приём вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как рациональность, тесно связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет одна и та же теоретическая основа.

Автоматизм - ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом плане, но всегда может вернуться к объяснению всей системы операций.

Программа предусматривает разную степень автоматизма вычислительного навыка. Высокая степень автоматизма должна быть достигнута по отношению к табличным случаям. Это проявляется в том, что ученик сразу же соотносит с двумя данными числами третье число, которое является результатом арифметического действия, не выполняя отдельных операций. По отношению к другим случаям уровень автоматизма ниже: ученик предельно быстро выделяет и выполняет систему операций, составляющая данный вычислительный приём, не объясняя, почему именно её выбрал и как выполняет каждую операцию [32; 24-25].

Прочность - ученик сохраняет сформированный вычислительный навык на длительное время. Прочность навыка естественно рассматривать, по крайней мере, в трех аспектах: как сохраняемость автоматизма, как сохраняемость осознанности, как сохраняемость правильности.

Для определения прочности правильности используют К_проч., который равен отношению коэффициента правильности, полученного через некоторый промежуток, времени после прекращения функционирования вычислительного навыка (например, время школьных каникул), к коэффициенту правильности, полученному в период его функционирования. Чем ближе значение полученного коэффициента к 1, тем большей прочностью обладает правильность. Аналогично можно выявить прочность остальных свойств вычислительного навыка [32; 25].

Все указанные свойства навыка должны быть заложены и в учебном действии, направленном на нахождение результата табличного умножения и деления.

3.2 Качество вычислительного навыка табличного умножения и деления

Рассмотрев теорию формирования у младших школьников навыков табличного умножения и деления в различных системах обучения, мы решили провести констатирующий эксперимент, с целью определения качества вычислительного навыка у детей. Для этого мы провели внеплановые контрольные работы по традиционной и развивающей системам обучения на базе 3-их классов Горшеченской СОШ Курской области (3 «А» класс занимается по традиционной системе, 3 «Б» по системе Л.В. Занкова). Контрольные срезы проводились в конце 1 полугодия, когда основные вычислительные навыки табличного умножения и деления были сформированы, и включали в себя письменные работы и устный опрос.

Письменные задания состояли из 16 примеров на табличное умножение и деление. Время на их выполнение фиксировалось, что позволило выявить уровень сформированности таких свойств вычислительных навыков как правильность и автоматизм.

В содержании письменного опроса были включены следующие примеры:

5*6 3*7 56 : 7 16 : 4

9*2 2*9 49 : 7 18: 3

7*5 6*9 8: 2 18 : 2

7*4 6*5 9 : 3 10 : 2

В содержание устного опроса были включены следующие задания:

1) Рассмотри суммы:

2+2+2

4 + 7 + 4 + 4

3 + 3 + 6 + 3

9 + 9 +18 + 18

3 + 2 + 3 + 1 + 3

7 + 7 + 7

- Какие из них можно заменить умножением?

- Почему?

2) Рассмотри произведения:

7 * 3

2 * 5

25* 2

?*4

- Что показывает в них каждое число?

- Замени произведение суммой.

3) Чем похожи выражения? Чем отличаются?

1*2+1

2*2+2

3*2+3

4*2+4

5*2+5

Можно ли каждое выражение заменить произведением двух чисел? Объясни ответ.

Для оценки качества вычислительных навыков мы воспользовались исследованиями М.А. Бантовой и Ф.В. Варегиной, которые, как говорилось выше, выделили свойства полноценного вычислительного навыка: правильность, осознанность, рациональность, обобщённость, автоматизм, прочность.

Для оценки правильности авторы ввели коэффициент правильности, который равен отношению правильно решённых примеров к их общему числу:

К_прав = n \ N,

где n - количество правильно решённых примеров, N - количество всех примеров, предложенных для решения.

Опытным путём были установлены уровни сформированности правильности навыка: высокий уровень - коэффициент правильности не менее 0,98 (ученик выполнил работу без ошибок или допустил одну ошибку); средний уровень - коэффициент правильности 0,84 - 0, 95 (допустил 2 - 3 ошибки); низкий уровень - коэффициент правильности 0,78 - 0,82 (допустил более трёх ошибок).

Автоматизм характеризуется временем, в среднем затраченным на нахождение одного результата. Опытным путём было установлено, что навык обладает высоким уровнем автоматизма, если ученик находит результат одного примера в среднем не более чем за 5 секунд; средним - от 8 до 16 секунд; низким - более 16 секунд.

Результаты контрольной работы показали:

а) в традиционной образовательной системе высоким уровнем сформированности правильности вычислительного навыка обладают 74% детей (14 человек), средним - 16% (3 человека), низким - 10% детей (2 человека);

в системе Л.В. Занкова - высокий уровень у 82% детей (14 человек), средний - у 18% детей (3 человека);

б) в традиционной образовательной системе высоким уровнем сформированности автоматизма вычислительных навыков табличного умножения и деления обладают 63% детей (12 человек), средним - 32% детей (6 человек), низким - 5% детей (1 человек);

В системе Л.В. Занкова - высокий уровень автоматизма у 59 % детей (10 человек), средний - 35 % (6 человек), низкий - 6 % детей (1 человек).

Результаты среза наглядно можно представить в виде таблиц №1 и №2.

Таблица 1

Характеристика правильности вычислительных навыков

Образовательная система	Высокий уровень	Средний уровень	Низкий уровень
Традиционная система	74%	16 %	10 %
Система Л.В. Занкова	82%	18%	0%

Таблица 2

Характеристика автоматизма вычислительных навыков

Образовательная система	Высокий уровень	Средний уровень	Низкий уровень
Традиционная система	63 %	32 %	5 %
Система Л.В. Занкова	59 %	35 %	6 %

По таблицам нетрудно заметить, что правильность вычислительных навыков находится на более высоком уровне у детей, обучающихся по развивающей системе Л.В. Занкова, а уровень автоматизма вычислительного навыка несколько выше у детей, обучающихся в традиционной системе.

Устный опрос показал, что подавляющее большинство детей, обучающихся в системе Л.В. Занкова, справились с предложенными заданиями. Учащиеся традиционной школы, участвующие в эксперименте, испытывали трудности при выполнении заданий, требующих от них применения знаний в измененных условиях. Так при выполнении задания №1 они смогли увидеть возможную замену сложения умножением в случаях 3+3+6+3, 9+9+18+18, 3+2+3+1+3 только после наводящего вопроса учителя:

- Как изменить слагаемые так, чтобы сложение можно было заменить умножением, а значение выражения осталось бы тем же?

При выполнении задания №2 некоторые дети не стали записывать сумму, соответствующую выражению ?*4. При выполнении задания №3 даже после оказания помощи со стороны учителя многие дети испытывали затруднения. Результаты устного опроса представлены в таблице №3.

Таблица 3

Результаты устного опроса

№ задания	Количество детей, выполнивших задание правильно
	традиционная система	система Л.В. Занкова
1.	14 %	76 %
2.	78 %	100 %
3.	5 %	82 %

Результаты эксперимента позволяют сделать следующие выводы: уровень сформированности вычислительных навыков достаточно высокий у детей, обучающихся и в традиционной системе, и в системе Л.В. Занкова. Но учащиеся традиционного класса испытывают затруднения в использовании имеющихся знаний в несколько изменённых условиях, имеют незначительный опыт монологической и диалогической речи.

Исправлению выявленных недостатков, на наш взгляд, будет способствовать специальная система заданий, которую мы предлагаем в следующем параграфе.

3.3 Система заданий, направленных на повышение качества вычислительного навыка

Как показала опытная работа, в традиционной системе обучения математике младших школьников для формирования вычислительных навыков используется система однотипных упражнений, в которых имеются повторяющиеся компоненты, преобладают действия по образцу или в условиях аналогичных тем, в которых изначально формировались знания. Такой подход не способствует формированию полноценных вычислительных навыков. Мы предлагаем использовать систему заданий, требующих от школьника активной мысли, творчества, самостоятельного получения нового вывода на основе наблюдений, анализа условий выполнения.

1. -Сравни выражения каждого столбика:

8:8 9:9 6:6

8:4 9:3 6:3

- Чем они похожи? Чем отличаются?

- Найди значения частных

- Сравни получившиеся в каждом столбике числа. Чем объяснить изменения значений частных?

- Сравни значения частных в первой строке. Почему все числа одинаковые?

2. -Рассмотри произведения:

28 23 26 29 24



- Расположите произведения в порядке возрастания их значений.

- Найди значения произведений. Сравни получившиеся числа. На сколько результат в каждой следующей строке больше, чем в предыдущей? От чего это зависит?

- Сделай так, чтобы результаты увеличивались на одно и то же число. Выполни задание двумя различными способами.

3. - Найди значения выражений:

4:2	32	62	8:2
22	6:2	12:2	42

- Сравни равенства в каждом столбике. Какая между ними связь?

- Запиши в каждом столбике еще 2 равенства, связанных с данными выражениями.

4. - Найди значения выражений:

19 26

33 43

- Сравни равенства каждого столбика. Что ты заметил? Почему значения произведений равны?

- Составь и запиши в каждый столбик еще одно произведение с таким же значением.

5. -Найдите лишнюю запись:

2 + 2

2 + 2 + 2

2 + 2 + 2 + 2

2 + 2 + 3 + 2 + 2

Найдите значение каждого выражения наиболее удобным способом.

6. -Среди данных выражений найдите такие, в которых слагаемое 3 берется несколько раз (какое-то число берется слагаемым 3 раза):

22, 73, 62, 16, 35, 32, 73, 34, 31.

7. Среди данных выражений найдите такие, в которых делитель равен 3:

6 : 3, 3 : 1, 32, 15 : 3, 34.

8. Составьте произведение, в котором второй множитель равен 5. Найдите значение произведения.

9. Как называют число 4 в выражении 54? Как называют число 5? Найдите значение выражения. Составьте пример, в котором произведение равно тому же числу, а множители - другие.

10. Замените, где возможно, сложение умножением и вычислите результаты:

5+5+5+5; 42+42; 13+31+9; 1+1+1+1+1; 0+0+0+0+0; 0+0+0+0+4; 5+6+3; 4+6+8; 19+19+2.

11. Не вычисляя, вставьте в «окошки» знаки , , =, чтобы получились верные записи:

201 4 ? 201 + 201+ 201

9 5 ? 9 + 9 + 9 + 9

8 6 ? 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

84 3 ? 84 + 84 + 84

6 7 ? 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6

12. Не вычисляя, вставьте числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:

3 + 3 + 3 + 3 + ? = 3 612 + 12 + 12 - 7 = ? 3 - 7

15 + 15 + 15 + 15 = 15 ? 6 3 + 24 + 24 = 24 ?

? 4 = 100 +100 + … + 100 4 + 4 + 4 + ? + ? + ? + ? = 4 7

13. Найдите «лишнее» выражение в каждом столбике:

104 + 104 + 104 + 104240 + 240 + 240

208 + 208 + 208 + 208160 + 160 + 160

306 + 306 + 306170 + 170

120 + 120 + 120 + 120107 + 107 + 107

14. Какие числа можно вставить в «окошки», чтобы получились верные записи:

? 9 9 ? 9 8 + ? 8 9 + ?

5 9 ? (15 - 7) 9 7 ? 9 + 9

15. По какому правилу составлены равенства?

2 9 = 9 + 9; 3 9 = 9 + 9 + 9; 4 9 = 9 + 9 + 9+ 9; 5 9 = 9 + 9 + 9+ 9+ 9.

Пользуясь этим правилом, запишите значения выражений:

6 9 = , 7 9 = , 8 9 = .

16. Можно ли, не вычисляя значений следующих выражений, ответить на вопрос: какие равенства верные, а какие - неверные?

9 7 - 9 = 9 5 + 9; 9 8 + 9 = 9 9; 9 6 + 6 = 9 7; 9 3 - 3 = 9 2;

9 3 - 9 = 9 2.

17. Решите примеры различными способами:

7 3 + 4 7; 8 6 + 2 6.

18. Не выполняя вычислений, найдите в каждом столбике «лишнее» выражение:

9 58 46 4

9 6 - 68 5 - 46 3 + 3

9 4 + 98 3 + 86 6 - 6

9 6 - 98 5 - 56 5 - 6

19. Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике будут одинаковыми:

9 7 + 99 7 + 18

9 (4 + 3) + 99 6 + 27

9 6 + 189 9

9 5 + 279 (17 - 8)

9 (5 + 3) (15 - 6) 9

9 89 5 + 9 + 9+ 9 + 9

20. Для каждого выражения слева выберите такое выражение справа, которое имеет то же самое значение. Запишите полученные равенства:

(13 + 9) 434 + 34 + 34 + 34 + 34 + 34 + 34

(54 - 20) 758 + 58 + 58

(90 - 32) 332 + 32 + 32 + 32

(30 - 7) 423 + 23 + 23 + 23

(36 - 7) 529 + 29 + 29 + 29 + 29

21. Проверьте вычисления и объясните, как нужно правильно вычислять:

8 3 = 27; 24 : 4 = 8.



Заключение

В данной работе мы попытались показать важность изучения табличного умножения и деления в различных системах обучения. Практическая направленность нашего исследования состоит в том, чтобы обогатить процесс формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления у младших школьников в условиях традиционного обучения специальными учебными заданиями.

Проведённое исследование позволило сделать некоторые выводы. Так, на основе анализа научно-методической литературы, программ и учебников математики для начальных классов, собственно-педагогического опыта установлено, что табличное умножение и деление чисел является одной из центральных тем начального курса математики.

Конкретный смысл действий умножения и деления раскрывается в начальном курсе математики на основе практических упражнений, связанных соответственно с объединением равночисленных множеств, не имеющих общих элементов, и разбиением данного множества на ряд равночисленных подмножеств.

После знакомства детей с самими действиями и некоторыми теоретическими вопросами последовательно рассматриваются различные приёмы вычислений, создающие возможность формирования полноценных вычислительных навыков. В этом процессе методисты выделяют три этапа: подготовительный, этап ознакомления с новым вычислительным приёмом и этап закрепления знаний вычислительного приёма и формирования вычислительного навыка.

Рассмотрев методику формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления в традиционной системе обучения, мы увидели, что в ней представлено три вычислительных приёма на основе знания:

1) конкретного смысла умножения (2х3 и др.);

2) переместительного свойства умножения (3х2 и др.);

3) связи между компонентами и результатом действия умножения (6:2, 6:3 и др.).

Основное внимание в традиционном курсе математики сосредоточено на выработке у учащихся вычислительных навыков путём заучивания таблиц, многократных повторений выполнения действий. Задания развивающего характера по данной теме представлены в малом количестве.

Анализ методики изучения табличного умножения и деления в системе Л.В. Занкова показал, что и для данного курса характерно изучение тех же основных вопросов темы, но изменена последовательность их введения. Методика же направлена на интеллектуальное развитие ребёнка. Кроме того, по сравнению с традиционным подходом в методике изучения табличного умножения и деления можно выделить некоторые особенности:

1. Таблицы умножения составляются по второму постоянному множителю, что позволяет активно использовать ранее приобретенные знания при изучении нового материала и открывать в них новые неизвестные стороны.

2. Большинство вопросов теории изучаются после составления сводной таблицы или параллельно с ней, что дает возможность постепенно вычеркивать равенства, которые не надо запоминать.

3. В процесс составления таблицы умножения и деления вовлечена не только интеллектуальная сфера школьников, но и эмоции.

Образовательная система Л.В. Занкова ориентирована не только на усвоение детьми определённой суммы знаний, но и на развитие личности учащихся, его познавательных и творческих способностей.

Отсюда следует, что основные задачи изучения исследуемой нами темы в различных системах обучения одинаковы, но различны пути их реализации. Именно это отличие оказывает, на наш взгляд, первостепенное влияние на качество формируемых знаний, умений, навыков, уровень развития младших школьников.

Задаваться вопросом о том, какая из образовательных систем - традиционная или развивающая «лучше» бессмысленно. Можно только сравнивать результаты, полученные при той или иной системе обучения. Сделанный вывод нашёл своё подтверждение в результатах констатирующего эксперимента, который был проведён в МОУ Горшеченская СОШ № 1. Данный эксперимент включал письменную работу и устный опрос учащихся.

Результаты исследования показали, что уровень усвоения темы «Табличное умножение и деление» достаточно высокий у детей, обучающихся и по традиционной, и по развивающей системе Л.В. Занкова. Но учащиеся традиционного класса испытывают затруднения в использовании имеющихся знаний в несколько изменённых условиях, имеют незначительный опыт монологической и диалогической речи.

На наш взгляд, приведённая в практической части система специальных заданий поможет исправить выявленные недостатки при их систематическом использовании.

Таким образом, считаем, что в теоретической и практической части нашего научного исследования реализованы цели и задачи, подтверждена гипотеза. Мы убедились в том, что формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления является неотъемлемой и важной частью начального курса методики математики в любой дидактической системе.

Безусловно, раскрытая нами тема не решает все проблемы методики формирования вычислительных навыков табличного умножения и деления у младшего школьника, остаётся ещё ряд вопросов, требующих специального изучения.



Список литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. Под редакцией Моро М.И. Пышкало А.М.. [Текст]/ М.И.Моро, А.М. Пышкало. -М.: Просвещение, 1980

2. Аргинская, И.И., Дмитриева, Н.Я., Полякова А.В. и др. Обучаем по системе Л.В. Занкова: 2 класс. Книга для учителя. [Текст]/ И.И. Аргинская, Н.Я. Дмитриева, А.В. Полякова.- М.: Просвещение, 1993.

3. Бантова, М.А., Бельтюкова, Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах [Текст]/ М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. -М.: Просвещение, 1984.

4. Беденко, М.Н. Школа джинов: Табличное умножение и деление; рабочая тетрадь: 3 класс [Текст]/ М.Н. Беденко. М.- 2007.

5. Белошистая, А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций. [Текст]/ А.В. Белошистая.- М.: ВЛАДОС, 2007.

6. Бененсон, Е.П. Математика: «Игровой материал: табличное умножение и деление; особые случаи умножения и деления» [Текст]/ Е.П. Бененсон. - Самара: Изд-во «Учебная литература», 2004 .

7. Дрозд, В.Л., Столяр, А.А. Методика начального обучения математике. [Текст]/ В.Л. Дрозд, А.А. Столяр. - Минск: Высшая школа, 1988.

8. Зайцева, С.А. Методика обучения математике в начальной школе. [Текст]/ С.А. Зайцева. - М.: ВЛАДОС, 2008.

9. Занков, Л.В. Избранные педагогические труды. [Текст]/ Л.В. Занков.- М.: Педагогика, 1990.

10. Истомина, Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в нач. кл. [Текст]/ Н.Б. Истомина. - М.: Просвещение, 1985.

11. Истомина, Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в нач. кл. [Текст]/ Н.Б. Истомина. - М.: Просвещение, 1985.

12. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. Учебнле пособие для студентов факульт. нач. кл. и учащихся пед. училищ. [Текст]/ Н.Б. Истомина.- М.: Линка - Пресс, 1990.

13. Истомина, Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 2 класс». [Текст]/ Н.Б. Истомина.- М.: Линка - Пресс, 1994.

14. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. [Текст]/ Н.Б. Истомина.- М.: Линка - Пресс, 1997.

15. Истомина, Н.Б. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах. [Текст]/ Н.Б. Истомина.- М.: Просвещение, 2004.

16. Математика: Учебник для 1 класса начальной школы. В двух частях. Часть первая. [Текст]/ М.И. Моро, С.И.Волкова, С.В. Степанова.- М.: Просвещение, 2007.

17. Математика: Учебник для 1 класса начальной школы. В двух частях. Часть вторая. [Текст]/ М.И. Моро, С.И.Волкова, С.В. Степанова.- М.: Просвещение, 2007.

18. Математика: Учебник для 2 класса трёхлетней начальной школы. [Текст]/М.И. Моро, М.А. Бантова.- М.: Просвещение, 1995.

19. Математика: Учебник для 2 класса четырёхлетней начальной школы и 1 класса трехлетней начальной школы. [Текст]/М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И.Волкова, С.В. Степанова. -М.: Просвещение, 1998.

20. Математика: Учебник для 3 класса четырёхлетней начальной школы. Часть 1[Текст]/ М.И. Моро, М.А. Бантова и др.- М.: Просвещение, 2003.

21. Математика: Учебник для 3 класса трёхлетней начальной школы и 4 класса четырехлетней начальной школы. [Текст]/ М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И. Волкова, С.В. Степанова. Под ред. Ю.М. Колягина. - М.: Просвещение, 1997.

22. Математика: Учебник для 4 класса четырёхлетней начальной школы. В двух частях. Часть первая. [Текст]/М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И.Волкова, С.В. Степанова.-М.: Просвещение, 2000.

23. Математика: Учебник для 4 класса четырёхлетней начальной школы. В двух частях. Часть вторая. [Текст]/М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.И.Волкова, С.В. Степанова.- М.: Просвещение, 2000.

24. Математика: Учеб для 1 кл. трехлет. нач. шк. - 2-е изд. [Текст]/ И.И.Аргинская.-М.: Просвещение, 1997.

25. Математика: Учеб для 2 кл. трехлет. нач. шк. [Текст]/ И.И. Аргинская. -М.:Просвещение, 1997.

26. Математика: Учеб для 3 кл. трехлет. Нач. шк. [Текст]/ И.И. Аргинская.- М.: Просвещение, 1997.

27. Математика в 3 классе: Пособие для учителя трехлет. нач. школы[Текст] /А.С. Пчелко, М.И. Моро, М.А. Бантова и др.- М.: Просвещение 1988.

28. Методика преподавания математики в начальной школе: вопросы частной методики: Учебн. пособие для студентов-заочников фак. подготовки учителей нач. классов. [Текст]/ Н.Б. Истомина, Е.И. Мишарева, Р.Н. Шикова, Г.Г. Шмырева.-М.: Просвещение, 1986.

29. Моро, М. И. Методика обучения математике в 1 - 3кл. Пособие для учителя. Изд. 2-е. [Текст]/ М.И. Моро, А.М. Пышкало. -М.: Просвещение, 1978.

30. Фаустова, Н.П. Долгошеева, Е.В., Сушкова Л.Н. Альтернативные системы обучения математике младших школьников. Учебное пособие. [Текст]/ Н.П. Фаустова, Е.В. Долгошеева, Л.Н. Сушкова. -Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2008.

31. Фаустова, Н.П. Методика обучения математике младших школьников (вопросы частной методики). Учебное пособие. [Текст]/ Н.П. Фаустова, Т.В. Меркулова. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2007.

32. Фаустова, Н.П. Формирование вычислительных навыков и умения решать арифметические задачи у младших школьников. Учебное пособие [Текст]/ Н.П. Фаустова - М.: Прометей, 2002.

33. Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. [Текст]/ Л.М. Фридман. - М.: Просвещение, 1983.

34. Эрдниев, П.М. Теория и методика обучения математике в начальной школе [Текст]/ П.М. Эрдниев.- М.: Педагогика, 1988.

35. Эрдниев, П.М. Укрупненные дидактические единицы на уроках математики: 3-4кл. Книга для учителя. [Текст]/ П.М. Эрдниев.- М.: Просвещение, 1995.

Размещено на Allbest.ru