Богато статистическим материалом учебное пособие Е.А. Бунимовича, В.А. Булычева «Вероятность и статистика. 5-9 классы» [5, с.126].

Начинается учебное пособие с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятностей. Затем, опираясь на эксперимент, вводится понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После этого идет пункт с названием «Куда стремятся частоты?», где вводятся статистическое определение вероятности, а затем и классическое.

В последнем пункте «Сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?» рассматривается вопрос статистического оценивания и прогнозирования.

Считаем, что в данном пособии удачным является введение понятия вероятности. Последовательность изложения вопросов по данной линии вполне логична.

Последний пункт имеет практическое значение, так как показывает практическую пользу подсчета вероятности. Пособие содержит ряд интересных задач, непосредственно связанных с реальной жизнью.

На основе всего рассмотренного и изученного материала по данной теме, можно сделать некоторые выводы и дать рекомендации по реализации статистической линии в школе

2.2 Анализ учебно-методических комплексов для изучения элементов статистики в курсе средней школы

Уже несколько лет в различных регионах России учащиеся основной школы работают по учебным комплектам «Математика 5-6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева. В этих учебниках последовательно с 5 по 9 класс вводится вероятностно-статистическая линия. Перечисленные книги написаны живым языком с постоянной опорой на здравый смысл и на жизненный опыт учащихся. В 5 классе рассматриваются случайные, достоверные, невозможные события, а в 6-ом классе - эксперимент со случайными исходами, частота и вероятность события, школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее. Для решения комбинаторных задач вводится дерево возможных вариантов, правило умножения (в 5-6 классах). В 5-6 классах начинается формирование умений работать с информацией, представленной в форме таблиц и диаграмм.

В курсе 7-8 классов рассматриваются наиболее простые примеры дискретных пространств элементарных событий. В этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы. В основе статистического определения вероятности лежит закон больших чисел, который в курсе приводится, как факт, подтвержденный многочисленными опытами и наблюдениями.

Важнейшей методической особенностью данных учебников является возможность реализации уровневой дифференциации, за счет широкого диапазона в уровне сложности задач, распределенных в группы А и Б, разнообразного материала, позволяющего выйти за рамки обязательного содержания. Методические особенности комплекта: мотивированное и доступное изложение материала, создание условий для формирования навыков исследовательской деятельности, для развития самостоятельности мышления.

Элементы комбинаторики, статистики включены в учебники под ред. А.Г. Мордковича (Математика 5-6 класс), а к курсу алгебры для 7-9 классов подготовлен специальный вкладыш «События. Вероятность. Статистика» (авторы А.Г. Мордкович, П.В. Семенов). В первой части каждого параграфа на большом количестве конкретных примеров изложены начальные положения, идеи и методы комбинаторики (правило умножения, перестановки, размещения, сочетания) и статистики (многоугольники распределения данных, кривая нормального распределения, числовые характеристики выборки). Теоремы и определения формулируются только после того, как из рассмотрения практических вопросов становится ясной необходимость их введения. Во второй части каждого параграфа собраны упражнения для классных, домашних, самостоятельных и контрольных работ.

В «Учебниках-собеседниках» для 5-6 классов (авторы Л.Н. Шеврин и др.) стохастическая линия так же внедряется в учебный процесс. В начале 5-ого класса идет разговор о таблицах. В конце 5-го класса, где два последних параграфа посвящены достоверным, невозможным и случайным событиям, совместным и несовместным событиям, сравнению шансов наступления событий и первому знакомству с комбинаторными задачами, с деревом вариантов. Далее, в 6-м классе комбинаторные задачи включаются в систему упражнений по другим темам (например, при изучении числовых промежутков), вводится правило умножения, действия над событиями, осуществляется первое знакомство с понятием вероятности и с подсчетом вероятности, вводится вероятность суммы событий, вероятность произведения событий, понятие случайной величины и ее среднего значения.

В учебниках «Математика 5», «Математика 6» (авторы: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд) имеется достаточное количество прикладных и математических задач на составление комбинаций из нескольких элементов; числовых ребусов; задач на перебор элементов заданного множества, на выявление общего признака некоторого множества чисел, фигур.

Авторы пособия «Элементы статистики и теории вероятностей» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк в 7-8 рассматривают статистические характеристики, статистические исследования. Параграф об элементах комбинаторики помещен в курс 9 класса и содержит гораздо больше и теоретических сведений (вводятся соединения), и практических упражнений, чем соответствующий материал по комбинаторике в УМК под ред. Г.В. Дорофеева. Учебники «Арифметика» для 5-6 классов и «Алгебра» для 7-9 классов С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина содержат элементы комбинаторики, статистики. В 5-ом классе рассматриваются комбинаторные задачи на существование и построение комбинаций, удовлетворяющих заданному свойству, а в 6-ом классе - задачи на перебор всех возможных вариантов, вводится понятие вероятности события, начинается формирование умений работать с информацией, представленной в форме графиков и диаграмм.

Вопросам комбинаторики, статистики в учебниках алгебры для учащихся 7 - 9 классов авторского коллектива Ш.А. Алимова и других уделено мало внимания. Чтобы школьники, обучаясь по этим учебникам, приобрели вероятностно-статистическую грамотность, было выпущено пособие для учащихся «Алгебра, 7-9: Элементы статистики и вероятность» (авторы М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова).

В учебном пособии «Вероятность и статистика. 5-9 кл.» (авторы Е.А.Бунимович, В.А.Булычев) система изложения близка к той, которая используется в учебниках под ред. Г.В. Дорофеева. В книге содержится дополнительный теоретический материал и соответствующие ему блоки задач, которые могут оказаться полезными для проведения занятий в профильных классах, математических кружках, на факультативах. Отдельные главы пособия могут быть успешно использованы при изучении вероятностно-статистического материала и в 10-11 классах. Задачи поделены на две группы: первая группа - типовые задачи, необходимые для усвоения основных теоретических положений, вторая - более сложные задачи, в которых развиваются идеи и методы теоретической части.

Предлагаемые в «Сборнике задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы» (авторы С.А. Шестаков, И.Р. Высоцкий, Л.И. Звавич) материалы могут быть использованы учителями общеобразовательных школ и математических классов для организации и проведения обобщающего повторения вне зависимости от учебников и сборников задач, по которым они работают. Такая универсальность базируется на выделении основных содержательных линий, соответствующих стандарту математического образования, и отнесении каждой задачи к одной из этих линий.

Классификация задач из данного сборника, относящихся к вероятностно-статистической линии: статистическое определение вероятности, статистические характеристики, классическое определение вероятности, геометрическое определение вероятности, теорема сложения вероятностей, теорема умножения вероятностей, анализ табличных данных.

2.3 Методические особенности развития информационной компетентности учащихся в процессе изучения элементов статистики

Специфика стохастической линии требует от учителя умений так организовать математическую деятельность школьников, чтобы изучение понятий и методов происходило в форме открытия новых инструментов познания окружающего мира. При обучении статистике создается благоприятная почва для эвристической деятельности учащихся. У педагогов появляется возможность использования новых, непривычных для уроков математики, подходов к обучению. Учитель, определяя уровень усвоения учениками тех или иных стохастических умений, может столкнуться со следующей трудностью: при решении задач учащемуся чаще приходится опираться на свой здравый смысл, а не действовать строго по алгоритму, поэтому ответы разных учащихся на один и тот же вопрос могут звучать по-разному. В данном случае задачей учителя является оценка «права на ошибку» учащегося, поскольку сама такая оценка носит вероятностный характер.

Следует учитывать, что дети с опережающими темпами общего развития раньше начинают самостоятельно осуществлять деятельность, связанную с проведением статистических экспериментов и исследований, организуют других ребят, раньше переходят от использования эмпирических характеристик к построению вероятностных моделей. Поэтому особое значение имеет разграничение уровня умений и навыков самостоятельного получения выводов об изучаемых явлениях.

Приступая к обучению школьников статистике, учитель должен себе ясно представлять, чем обусловлена необходимость введения в школу новой содержательно-методической линии. Осознание учителем целей обучения статистике в школе, видение их соотношений с общими целями обучения математике и места статистики в ряду других тем, знание итоговых требований к стохастической подготовке учащихся составляют важнейший общезначимый компонент методической готовности учителя математики к реализации новой линии.

Статистическая составляющая заключается в сборе и анализе статистических данных, в ходе которых предусматривается ознакомление учащихся с простейшими способами регистрации и представления статистической информации, с возможностями ее использования для получения выводов об изучаемых явлениях и обеспечивает переход от реального мира к вероятностным моделям, связь их с реальной действительностью.

Целью изучения элементов математической статистики в средней школе является формирование умений проводить несложные опросы, наблюдения с целью сбора количественной информации и ее оформления в виде таблиц, графиков, диаграмм; умений интерпретировать таблицы, схемы, графики, диаграммы. К основным средствам формирования статистических представлений относят статистическое наблюдение и изображение получаемых сведений с помощью геометрических образов [8]. Статистическое наблюдение позволяет получить исходную информацию о некотором явлении или процессе. Графическое изображение полученных в результате наблюдений статистических сведений привлекает внимание, производит яркое и живое впечатление, становится более доходчивым и запоминающимся. Одним из средств систематизации и обобщения полученных в наблюдениях статистических данных являются таблицы. Использование табличной формы позволяет расположить данные компактно, наглядно и рационально, за счёт чего облегчается их анализ, вскрываются те или иные характерные особенности изучаемых явлений: сходство и различие, взаимосвязь признаков и т. п. При работе с таблицами в начальной школе следует отметить, что в самом простом случае таблица делится на строки и столбцы.

Основными задачами на этом этапе являются выработка умений и навыков:

извлекать информацию из таблиц и диаграмм, выполнять вычисления по табличным данным, сравнивать величины, находить наибольшие и наименьшие значения;

выполнять сбор информации в несложных случаях, организовывать информацию в виде таблиц и диаграмм, в том числе с помощью компьютерных программ;

приводить примеры случайных событий, достоверных и невозможных событий;

сравнивать шансы наступления событий;

строить речевые конструкции с использованием сочетаний «более вероятно», «маловероятно» и т.п.;

выполнять перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций, выделять комбинации, отвечающие заданным условиям.

Рассмотрим примеры, показывающие, что элементы стохастики вполне могут вписываться в канву привычной всем математики.

Так, изучение в пятом классе натуральных чисел учащиеся могут совместить с анализом результатов случайных экспериментов. Приведем лишь одну из задач такого характера.

Тема «Меньше или больше» дает благодатные возможности для сравнения числовых данных статистических исследований и случайных экспериментов, в том числе и с использованием координатного луча.

С понятиями «больше» и «меньше» вполне естественно увязывается разговор о «более возможных», «менее возможных», «маловероятных», «очень вероятных», о «равновозможных» событиях. В этой теме уместно познакомить детей с понятиями моды и медианы. Рассматривая разность между наибольшим и наименьшим значениями статистических данных, они приходят к понятию размах.

Задача 1. В известном мультфильме рассказывается, как «корову на рынке старик продавал». Представьте, что старик, торгуясь, привел следующие данные о суточных удоях его Буренки:

9; 3; 1; 6; 4; 8; 5; 12; 7; 10; 2; 14 литров,

а помогавший ему паренек:

10; 11; 9; 10; 9; 12; 10; 11; 10; 12; 9; 12 литров.

С помощью какого показателя паренек мог заинтересовать покупателей и убедить старика, что «такая скотина нужна самому»? Укажите этот показатель для каждой совокупности сведений.

Решая эту задачу, учащиеся выясняют, что сведения, приведенные стариком, имеют больший разброс: размах равен

14 - 1 = 13 (л),

а сведения паренька убеждают в стабильности надоев от Буренки: размах равен

12 - 9 = 3(л).

Кроме того, во втором случае большинство чисел превышают многие числа первой совокупности.

Числовые и буквенные выражения пятиклассники могут записывать при нахождении количества наблюдений, не указанного в статистической таблице. Например, если из 25 вращений трехцветной вертушки стрелка останавливалась на красном 7 раз, а на синем 10 раз, то на зеленом

25 - (7 + 10) раз.

Задача 2. Учитель биологии поручил ребятам измерить длину 10 листьев березы. Выполняя это задание, Лена заполнила таблицу 1. Составьте таблицу частот. Выразите частоты в процентах. Постройте по полученным данным круговую диаграмму. Найдите среднее арифметическое этих данных.

Номер опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Длина листа, см	4,5	3,5	3,8	4,5	3,5	4,0	4,5	4,8	4,5	4,8

Нахождение дроби от числа и числа по его дроби естественным образом вписывается в решение разного рода стохастических задач.

Формирование представлений о случайных ошибках измерений можно начинать исподволь уже при ознакомлении с понятиями положительного и отрицательного числа.

Задача 3. Герои известного мультфильма измеряли «рост» Удава. Получилось 38 попугаев и одно попугайское крылышко. Если бы Удав свернулся в кольцо, то чему бы примерно был равен диаметр такого кольца?

Ученикам в качестве домашнего задания поручается провести измерения круглых предметов (кружки, вазы и т.п.) с помощью нити. Составив таблицу объединенных сведений, собранных всеми учениками класса, вычисляют среднее арифметическое частных от деления длины окружности на длину ее диаметра. Если, например, округляя до сотых, получилось 3,13, то тогда есть основания сказать, что длина окружности больше ее диаметра в «три с лишним» раза. Если посчитать примерно попугайское крылышко как Попугая, то диаметр кольца, в которое свернулся Удав, примерно равен

(двенадцать попугаев и два попугайских крылышка).

Ознакомление с координатной плоскостью также полезно сопровождать решением задач статистического характера. Первое знакомство с графиками вполне можно использовать в целях формирования вероятностной интуиции, приобщения учащихся к установлению статистических закономерностей. Так, следующая задача связана с простейшим вероятностным прогнозированием.

Задача 4. Найдите квитанции по оплате расходов электроэнергии вашей семьей. Постройте график расхода электроэнергии за несколько последних месяцев. Какой расход электроэнергии вы ожидаете в будущем? Изобразите «предполагаемую» часть графика.

После построения учащимися линейного графика рекомендуется обсудить с ними несколько вариантов изображения еще одного звена -- в «будущее». Из нескольких предполагаемых вариантов выбирается наиболее «вероятный», то есть тот, который в наибольшей степени соответствует общей картине, а значит, имеет больше шансов отразить истинное состояние расхода электроэнергии в будущем месяце.

Понятие функциональной зависимости будет лучше осознаваться учащимися в сопоставлении со стохастическими зависимостями.

Остановимся подробнее на особенностях предлагаемых подходов к изучению элементов статистики в курсе алгебры 7 и 8 классов.

В 7 классе учащиеся знакомятся с такими простейшими статистическими характеристиками, как среднее арифметическое, мода, медиана, размах. Их содержательный смысл разъясняется на примерах. Учащиеся должны знать соответствующие определения, научиться находить эти характеристики в несложных случаях, понимать их практический смысл в конкретных ситуациях. На изучение этого материала рекомендуется выделить 4 урока.

Среднее арифметическое ряда данных является одним из основных статистических показателей. Оно используется в статистике наряду с такими средними величинами, как средняя квадратичная, средняя гармоническая. Учащиеся должны понимать, что вычисление среднего арифметического позволяет переходить от частных случаев к некоторому обобщению. Эта мысль иллюстрируется на примере изучения затраты времени на приготовление домашних заданий по алгебре группой учащихся. Важно подчеркнуть, что нахождение среднего арифметического позволяет проследить, как варьируется нагрузка учащихся домашними заданиями по алгебре в течение недели, сравнивать нагрузку домашними заданиями в один и тот же день по различным учебным дисциплинам.

Необходимо сразу сделать оговорку, что рассмотренный в учебнике пример является условным. В нем говорится о группе в 12 человек. Такое количество участников эксперимента для серьезных выводов явно недостаточно.

Можно рассказать учащимся о других возможностях использования среднего арифметического, например, для сравнения фермерских хозяйств по средней урожайности пшеницы, туристических фирм по среднегодовым доходам и т.п.

Следует обратить внимание учащихся на то, что среднее арифметическое является абстрактной обобщающей величиной. В связи с этим даже в тех случаях, когда ряд данных состоит из натуральных чисел, среднее арифметическое может выражаться дробным числом. У учащихся не должно возникать недоумение при употреблении таких оборотов речи: «в среднем учащиеся допустили в диктанте по 3,4 ошибки», «в среднем на каждый двор в поселке приходится по 1,3 коровы» и т.п.

Наряду со средним арифметическим широкое применение в статистике находят такие характеристики, как мода и медиана. Их называют структурными средними, так как значения этих характеристик определяются общей структурой ряда данных. Модой называют число, наиболее часто встречающееся в ряду данных. Ряд данных может иметь или не иметь моду. Приводится также пример ряда, имеющего более одной моды. Так, в ряду данных 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 каждое из чисел 47 и 52 встречается два раза, а остальные числа - менее двух раз. В таких случаях условились считать, что ряд имеет две моды: 47 и 52. Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Находить в этом случае среднее арифметическое не имеет смысла. Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели, цены на товар данного вида, распространенной на рынке, и т.п.

Заметим, что среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих чисел, а мода, если она существует, обязательно совпадет с двумя или более числами ряда. Кроме того, в отличие от среднего арифметического понятие «мода» относится не только к числовым данным. Например, проведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающий, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из развлекательных телевизионных программ они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встречаются чаше всего. Этим и объясняется само название «мода».

Медиана определяется сначала для упорядоченного ряда данных. При этом различают два случая -- когда число членов ряда нечетное и когда оно четное. Если упорядоченный ряд содержит нечетное число членов, то медианой называется число, записанное в середине ряда. Если упорядоченный ряд содержит четное число членов, то за медиану принимается среднее арифметическое двух чисел, записанных в середине ряда. За медиану произвольного ряда данных принимают число, равное медиане соответствующего упорядоченного ряда.

Понятие «медиана» разъяснятся на доступных учащимся примерах.

Пример 1. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир.

Номер квартиры	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Расход электроэнергии в кВтч	85	64	78	93	72	91	72	75	82

Составим из полученных данных упорядоченный ряд:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.

В нем девять чисел. В середине ряда расположено число 78: слева от него записаны четыре числа и справа тоже четыре числа. Говорят, что число 78 является срединным числом, или, иначе, медианой рассматриваемого упорядоченного ряда чисел (от лат. mediana, что означает «среднее»). Это число считают также медианой исходного ряда данных

Пример 2. При сборе данных о расходе электроэнергии к указанным девяти квартирам добавили еще десятую. Получили таблицу.

Номер квартиры	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Расход электроэнергии в кВтч	85	64	78	93	72	91	72	75	82	83

Представим полученные данные в виде упорядоченного ряда чисел:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 83, 85, 91, 93.

В этом числовом ряду четное число членов и имеются два числа, расположенные в середине ряда: 78 и 82. Найдем среднее арифметическое этих чисел:



Число 80, не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности группы. Слева от него находятся пять членов ряда, и справа тоже пять членов ряда:

80 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93.

Говорят, что в этом случае медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице 4, является число 80.

Медиана позволяет уточнить информацию о ряде данных, которую дает среднее арифметическое. В связи с этим сведения о среднем арифметическом некоторого ряда данных часто дополняют указанием медианы этого ряда.

В учебнике приведен такой пример. Рассматривается ряд, в котором указаны данные о числе акций, приобретенных сотрудниками отдела:

2, 2, 2, 2, 2, ,, 100.

12 16

Среднее арифметическое этого ряда равно

Медиана равна среднему арифметическому семнадцатого и восемнадцатого членов ряда, т.е. равна



Мы видим, что в данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, так как все сотрудники отдела, кроме одного, приобрели не более четырех акций.

Учащиеся должны понимать, что в зависимости от того, какие особенности полученного ряда данных интересуют исследователя, он находит ту или иную из рассмотренных характеристик -- среднее арифметическое, моду или медиану, либо две из них, либо даже все три.

Кроме указанных средних величин рассматривается еще один показатель, используемый в статистике -- размах ряда. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Упражнения параграфа можно разделить на две группы. Первую группу составляют задания на отыскание рассматриваемых характеристик и истолкование их практического смысла. Ко второй группе относятся задания, которые требуют не только знания определений изучаемых статистических характеристик, но и умений проводить необходимые рассуждения, использовать ранее введенный алгебраический аппарат.

Приведем примеры заданий, относящихся ко второй группе.

Пример 3. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

Решение: Так как среднее арифметическое ряда чисел равно 15, а число его членов равно 10, то сумма членов равна

После приписывания числа 37 сумма стала равна

а число членов ряда оказалось равным 11. Значит, среднее арифметическое нового ряда равно

Пример 4. В ряду чисел 3, 8, 15, 30, __ , 24 пропущено одно число. Найдите его, если:

а) среднее арифметическое ряда равно 18;

б) размах ряда равен 40;

в) мода ряда равна 24.

Решение:

а) Пусть -- искомое число. Тогда

б) Так как наименьшее число равно 3, а размах ряда равен 40, то наибольшее число равно 40 + 3, т.е. пропущено число 43.

в) Так как мода ряда равна 24, а все оставшиеся в ряду числа различны, то пропущенным является число 24.

Пример 5. Известно, что ряд данных состоит из натуральных чисел. Может ли для этого ряда быть дробным числом:

а) среднее арифметическое;

б) размах;

в) мода;

г) медиана;

Решение:

а) Может, так как частное от деления суммы натуральных чисел на натуральное число может быть дробным числом.

б) Нет, так как разность двух натуральных чисел не может быть дробным числом.

в) Нет, так как мода выражается числом, которое встречается в ряду данных.

г) Да, может, в случае, если в ряду данных четное число членов.

В 8 классе рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации. На изучение этого материала отводится 5 уроков.

Изучение элементов статистики в 8 классе рекомендуется начать с повторения сведений об основных статистических характеристиках, полученных учащимися в 7 классе.

В данной теме учащиеся впервые встречаются с представлением результатов исследования в виде таблицы частот или относительных частот. Восьмиклассники должны научиться находить по таблице частот такие статистические характеристики, как среднее арифметическое, мода, размах. При выполнении соответствующих упражнений основное внимание следует уделить практическому смыслу этих статистических характеристик. Что касается нахождения медианы ряда данных, заданного таблицей частот, то в силу сложности этой задачи соответствующие упражнения не предлагаются. Достаточно ограничиться разбором приведенного в учебнике авторского примера.

Приведем два типичных задания, предложенных в начале параграфа.

Пример 6. В ходе опроса 34 учащихся школы было выяснено, сколько времени (с точностью до 0,5 ч,) в неделю они затрачивают на занятия в кружках и спортивных секциях. Получили следующие данные:

5, 1,5, 0, 2,5, 1, 0, 0, 2, 2,5, 3,5, 4, 5, 3,5, 2,5, 0, 1,5, 4,5, 3, 3, 5, 3,5, 4, 3,5, 3, 2,5, 2, 1, 2, 2, 4,5, 4, 3,5, 2, 5.

Представьте этот ряд данных в виде таблицы частот. Найдите, сколько времени в среднем тратят учащиеся на занятия в кружках и спортивных секциях.

Пример 7. При изучении качества продукции, выпущенной цехом, определяли число бракованных деталей в каждом из 50 произвольным образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей. Результаты проверки записали в виде таблицы .

Число бракованных деталей	0	1	2	3	4
Число ящиков	8	22	13	5	2

Найдите среднее арифметическое, размах и моду полученного ряда данных. Объясните практический смысл этих статистических характеристик.

Новым для учащихся понятием является понятие интервального ряда. Они должны уметь представлять ряд данных в виде интервального ряда, находить по данному интервальному ряду среднее значение величины, заменяя предварительно каждый интервал его серединой.

В заключение рассматривается вопрос об организации статистического исследования. Вводятся понятия «сплошное исследование» и «выборочное исследование»

Необходимо обратить внимание учащихся на причины, по которым сплошное исследование заменяется выборочным. Во-первых, проведение сплошного исследования часто требует больших организационных усилий и финансовых затрат. Так, перепись населения страны, которая является ярким примером сплошного исследования, связана с подготовкой разнообразной документации, выделением и инструктажем переписчиков, сбором информации, обработкой собранных сведений. Кроме того, в ряде случаев осуществить сплошное исследование просто невозможно, так как это привело бы к порче или уничтожению продукции. Например, при исследовании продолжительности горения партии электроламп, выпущенных заводом, невозможно проверить всю партию, так как это просто привело бы к ее уничтожению. При выборочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, называемой генеральной совокупностью, выбирается определенная ее часть, т.е. составляется выборочная совокупность (выборка), которая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть представительной, или, как говорят, репрезентативной, т.е. отражающей характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.

Изложение этого материала рекомендуется вести в форме живой беседы с учащимися. Не следует требовать от них какого-либо заучивания, воспроизведения текста и т.п.

Полезно организовать обсуждение с учащимися вопросов, предлагаемых в в следующих примерах.

Пример 8. Является ли выборка представительной, если при изучении времени, которое затрачиваются на выполнение уроков восьмиклассники:

а) опрашивали только девочек;

б) опрос проводили только по четвергам;

в) опрашивали только учащихся гимназий и лицеев?

Пример 9. В ходе опроса предстоит определить, строительству каких культурных и спортивных сооружений отдают предпочтение жители района. Какие категории жителей должны быть включены, на ваш взгляд, в составляемую выборку?

В курсе алгебры 8 класса рассматривается также вопрос о наглядном представления статистической информации. Этот материал имеет важное общеобразовательное значение, так как с различными видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований постоянно приходится встречаться в газетах и журналах. Со столбчатыми и круговыми диаграммами учащиеся уже встречались в младших классах. Новыми для них являются понятия «полигон» и «гистограмма».

Полигоны часто используют для иллюстрации динамики изменения статистических данных со временем. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами -- соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которую называют полигоном.

Пусть, например, получены следующие данные о производстве заводом приборов в первом полугодии 2009 г. по месяцам (таблица).

Таблица - Производство заводом приборов в первом полугодии 2009 г. по месяцам

Месяц	I	II	III	IV	V	VI
Число приборов (тыс. шт.)	2.3	2.2	2.5	2.6	2.8	1.9

Соответствующий полигон изображен на рисунке 1.

Важно обратить внимание учащихся на различие между полигоном и графиком функции. Полигон позволяет судить о значениях величины в определенных точках и характере их изменения. Однако по нему нельзя найти значения этой величины в промежуточных точках.

Полигоны используют также для наглядного изображения распределения данных, полученных в результате статистического исследования. Если данные представлены в виде таблицы частот или относительных частот, то для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат статистические данные, а ординатами - их частоты или относительные частоты. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают полигон распределения данных.

Рисунок 1 - Изображения интервального ряда



Для изображения интервального ряда используется гистограмма. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота -- частоте или относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.

Учащиеся должны уметь иллюстрировать результаты статистических исследований с помощью столбчатых и круговых диаграмм, полигонов, гистограмм, а также решать обратную задачу -- извлекать информацию из соответствующих рисунков и чертежей. Формированию этих умений способствуют представленные в пособии задания. Приведем для примера некоторые из них.

Пример 10. Изучая профессиональный состав рабочих механического цеха, составили таблицу. Постройте столбчатую диаграмму, характеризующую профессиональный состав рабочих этого цеха.

Таблица - Профессиональный состав рабочих механического цеха

Профессия	Число рабочих
Наладчик	4
Револьверщик	2
Сверловщик	1
Слесарь	8
Строгальщик	3
Токарь	12
Фрезеровщик	5

Пример 11. В таблице показано распределение сотрудников отдела по стажу работы:



Таблица - Распределение сотрудников отдела по стажу работы

Стаж работы, лет	3 и менее	4	5	6	7 и более
Относительная частота, %	8	12	16	24	40

Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение сотрудников отдела по стажу работы.

Пример 12. В таблице показано, сколько курток изготовила мастерская за каждый квартал 2009 и 2010 гг.:

Таблица - Сколько курток изготовила мастерская за каждый квартал 2009 и 2010 гг.:

Год	2009	2010
Квартал	I	II	III	IV	I	II	III	IV
Число курток	780	625	645	810	850	760	720	910

Постройте полигон, иллюстрирующий выработку мастерской в 2009 и в 2010 гг. (по кварталам). Пользуясь построенным полигоном,

а) охарактеризуйте динамику изменения производства курток в 2009 и 2010 гг. (по кварталам);

б) укажите два квартала, следующие друг за другом, когда произошло наибольшее увеличение выработки.

Пример 13. В оздоровительном лагере были получены следующие данные о весе 28 мальчиков (с точностью до 0,1 кг):

21.8	29.1	30.2	20.0	23.8	24.5	24.0
20.8	22.0	20.8	22.0	25.0	25.5	28.2
22.5	21.0	24.5	24.8	24.6	24.3	26.0
26.8	23.2	27.0	22.0	23.0	22.8	23.2

Используя эти данные, заполните таблицы (перечертив их в тетрадь).



Таблица

Вес, кг	Частота	Вес, кг	Частота
20 - 22		20 - 23
22 - 24		23 - 26
24 - 26		26 - 29
26 - 28
8 - 30

По данным таблиц постройте на разных рисунках в одном и том же масштабе две гистограммы. Что общего у этих гистограмм и чем они различаются?

Построенные гистограммы различаются числом прямоугольников и длиной их оснований. Одинаковой у них является сумма высот прямоугольников. Она равна сумме частот данных, представленных в таблице, т.е. в каждом случае она равна общей численности совокупности, а именно равна 28.

Пример 14. Затрудняясь в решении квадратных уравнений, восьмиклассник Максим пришел за помощью к десятикласснику Кириллу. В это время к Максиму обратилась трехлетняя племянница Кирилла Даша: угадать количество красных яблок, которые она положила в корзину. При этом она сообщила ему лишь то, что кроме красных в корзине находятся только 2 зеленых яблока. Зная ответ, Кирилл дополнительно подсказал, что вероятность вынуть из корзины 2 зеленых яблока подряд (без возвращения) равна 0,1. Сколько красных яблок в корзине у Даши?

Пример 15. Руководитель бального кружка набирает группу из 11 школьников с таким расчетом, чтобы можно было образовать 30 всевозможных разнополых танцевальных пар. Из скольких мальчиков и скольких девочек должен состоять кружок?

Ответ на вопрос учащиеся получат, решив систему уравнений, в которой х -- число мальчиков, у -- число девочек:



Стохастическое разнообразие может быть внесено и в тему «Рациональные дроби»

Пример 16. Найдите значение дроби

если - частота посещений кафе «Сладкоежка» взрослыми, - частота заказов мороженого в задаче 5 предыдущего пункта.

Эмпирический аспект проникает и в геометрию. Статистическим методом ученики могут прийти к выдвижению некоторых гипотез: о соотношении стороны треугольника и суммы двух других его сторон, о сумме углов любого треугольника и др. И только потом убедиться в справедливости утверждений путем логических рассуждений.

Пример 17. Баба-яга решила переселиться в высотное здание с основанием треугольной формы. Она разрешила Лешему, Кикиморе и Дикому Коту сделать одноэтажные пристройки с квадратными основаниями вдоль ребер треугольника. Того из них, у кого жилплощадь окажется больше общей жилплощади двух других, она обещает назначить Первым советником. Дикому Коту очень хочется стать Первым советником. Каким должен быть треугольник, чтобы он смог добиться желаемого?

Решая задачу, учащиеся начертят в тетради остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Затем измерят длины сторон каждого треугольника: . Возведя в квадрат числа , заполнят таблицу.



Таблица

Треугольник
Остроугольный
Прямоугольный
Тупоугольный

Осуществив перебор возможных вариантов, ребята запишут неравенства и равенства:

и т.д.,

выяснят затем, какие из них верные (истинные), а какие неверные (ложные).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Несмотря на погрешности измерений, учащихся приходят к выводу, что Дикому Коту повезет, если основание нового жилища Бабы-яги будет тупоугольным треугольником. Тогда он будет добиваться, чтобы его пристройка прилегала к той стене, которая будет против тупого угла.

Учащиеся получат экспериментальное доказательство теоремы Пифагора, а также соотношений между квадратом стороны и суммой квадратов двух других его сторон. Позже данные утверждения доказываются путем логических рассуждений.

Таким образом, статистико-вероятностное содержание органично переплетается внутри «обычных» тем математики, способствуя их закреплению. Открываются резервы поиска учебного времени для новой линии. Уже не за счет повторения пройденного материала, а путем реализации потенциала внутрипредметных связей.

При изучении элементов статистики важно обратить внимание учащихся на важность числовых характеристик статистического ряда. Учащимся предлогам ответить а вопросы:

- Почему для описания статистического ряда недостаточно такой характеристики, как среднее значениие?

- Для чего нужны такие числовые характеристики, как мода и медиана?

- Почему официальные данные по средним зарплатам бюджетников не вызывает доверия у населения?

Ответить на такие вопросы позволяют беседы в процессе решения следующих задач.

Задача 1. Пусть 6 вкладчиков внесли свои средства на счета в банке. Информация по вкладам в рублях представлена в таблице:

№1	№2	№3	№4	№5	№6
10000	20000	16000	20000	15000	9000

Находим среднеарифметическое величин вкладов:

Тогда величина среднего вклада равна 15000 рублей.

Однако, одного понятия среднего значения недостаточно. Оно не очень информативное. Покажем это на примере.

Задача 2. В банк пришел еще один вкладчик и положил на свой счет 120000 рублей:

№1	№2	№3	№4	№5	№6	№7
10000	20000	16000	20000	15000	9000	120000

Если снова посчитать величину среднего вклада, то получим 35000 рублей. Тогда средний вклад сразу значительно повысился.

Именно поэтому многих удивляют размеры средних зарплат, о которых официально говориться в средствах массовой информации.

Задача 3. Владелец одного частного предприятия уволил большую часть рабочих, а оставшимся снизил зарплату на 20% . После этого он заявил, что средний заработок рабочих на его предприятии повысился. Так ли это? (Данные о зарплатах представлены в таблице).

	Заработок до увольнения	Заработок после увольнения
	1000 р.	400 р.	800 р.	320 р.
Число рабочих	200	800	200	120

Средние характеристики: мода, медиана и среднее арифметическое после увольнения части рабочих больше, чем до увольнения. Но в данном случае, если внимательно посмотреть на таблицу, то можно заметить, что жизнь рабочих не улучшилась, а только ухудшилась, не говоря уже о тех, кто вообще потерял работу. Видимость повышения зарплаты создается из-за увольнения значительной части низкооплачиваемых рабочих. Здесь итоги решения математической задачи противоречат здравому смыслу. Математическая модель, как видно из данного примера, не всегда адекватна практической ситуации.

Такие явления мы с вами часто наблюдаем в нашей жизни, когда с экранов телевизоров правительство заявляет о повышении средней зарплаты учителям, врачам, военнослужащим.

Задача 4. Обманчивое впечатление, например, может возникать из-за неполноты статистической информации. Например, рассматривая сведения о числе женщин, занятых в промышленности и в системе образования, можно прийти к выводу, что женский труд преобладает в промышленности:

Где работают	В промышленности	В образовании
Число женщин	129483	41769

Однако мнение меняется, после того, как дополнительно становится известным, сколько вообще человек занято в образовании и в промышленности.

Где работают	В промышленности	В образовании
Число женщин	129483	41769
Число всех работающих	264251	57218

В результате получается, что число женщин составляет примерно 73% от всех работников образования, и только примерно 49% от всех работников занятых в промышленности.

Задача 5. Неправильное толкование данных статистики возникает из-за неправильных критериев оценивания результатов.

Каждая из двух фирм по изготовлению обуви послала в некоторую африканскую страну своего агента для выяснения возможности продажи своей продукции. Агент первой фирмы сообщил: «прекрасный рынок для обуви - здесь 90% жителей не носят ботинок». Агент второй фирмы сообщил: «Для обуви здесь нет рынка - 90% жителей не носят ботинок».

Агент первой фирмы подумал, что жители не могут приобрести обувь из-за отсутствия ее в продаже, а агент второй фирмы решил, что обувь жителям этой страны не нужна.

Кто из них прав? Ответ на этот вопрос позволит дать не количественное, а качественное исследование.

Вывод по второй главе

Сегодня всё больше учителей преодолевают ограниченный взгляд на компьютер лишь как на некоторое техническое средство обучения, предназначенное для демонстрации отдельных слайдов, текстов и готовых программ. Всё шире входит в практику создание собственных образовательных электронных ресурсов. Это требует высокого уровня владения педагогами ИКТ и больших временных затрат.

Умения и навыки, формирующиеся при использовании ИКТ в современных условиях принимают общеобразовательный и обще интеллектуальный характер и могут быть перенесены на изучение учебных предметов с целью создания целостного информационного пространства знаний учащихся. Это послужит достижению информационной компетентности учащихся.

Таким образом, организовав грамотно и вдумчиво деятельность на уроке (серии уроков), разнообразив школьную деятельность совместно с администрацией школы, на уроках математики при изучении учащимися «Статистики», может способствовать более целенаправленному формированию ИК школьников, познакомить их с новыми возможностями использования компьютера для работы с информацией.

В своих исследованиях, мы доказали, что уровень ИКТ становится выше, если повышается уровень знаний школьников 5-8 классов при изучении статистики.

Сегодня учитель и учащиеся проходят общий путь становления информационной компетентности, становятся партнёрами, что, в свою очередь находит отражение в преемственности поколений в образовательном, культурном и информационном плане.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Требования формирования и развития информационной компетентности учащихся становится реальностью современного школьного образования. Поэтому при подготовке к урокам учитель должен учитывать данное требование. В дипломной работы мы исследовали педагогическую проблему развития информационной компетентности учащихся средней школы и рассмотрели возможности развития информационной компетентности учащихся при изучении статистики. Для этого были рассмотрены основные понятия, существующие в школе, проанализированы школьные учебники с точки зрения элементов статистики. На основе полученной информации были рассмотрены методические особенности изучения элементов статистики с точки зрения развития информационной компетентности учащихся. Таким образом, поставленные в начале исследования задачи решены и, следовательно, цель достигнута. В перспективе можно разработать дополнительные задачи для более активного развития информационной компетентности учащихся. Материал может быть полезен начинающим практику учителям.

Анализ известных подходов к изучению элементов комбинаторики и статистики и личный опыт позволяют сделать следующие выводы. Для успешного введения элементов статистики необходимо:

1. Начинать изучение материала в 5 классах (некоторые вопросы в начальной школе).

2. Дать законченное элементарное представление о комбинаторике и статистике и их тесной взаимосвязи. Подчеркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром.

3. Избегать излишнего математического формализма; иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами.

4. Использовать сквозные примеры и задачи при обсуждении разных тем. Подбирать примеры и задачи с учетом различных интересов и возрастных особенностей развития учащихся.

5. На протяжении всех лет обучения знакомить учащихся с вероятностно-статистическими подходами к анализу эмпирических данных, причем большую роль отводить задачам прикладного характера, анализу реальных ситуаций. Избегать утративших свою актуальность для общества примеров и задач.

6. Возможность повторения и закрепления на новом материале пройденного ранее.

7. В процессе обучения много времени отводить задачам, требующим от учащихся работы в малых группах, самостоятельного сбора данных, обобщения результатов работы групп, проведения самостоятельных исследований, работ практического характера, постановки экспериментов, проведения небольших лабораторных работ, подготовки долгосрочных заданий, дающих детям возможность ощутить себя первооткрывателями, так как все это диктуется своеобразием вероятностно-статистического материала, его тесной связью с практической деятельностью.

На мой взгляд, все это должно способствовать усвоению новых для учащихся понятий, росту интереса учащихся к математике в целом, формированию современного мировоззрения и умения ориентироваться в изменчивом информационном мире.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Багишова, О. Преподавание теории вероятностей и статистики в средней школе: трудно начать? / О. Багишова // Математика. - 2009. - №14. - С. 8-11.

2. Болотов, В.А. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы / В.А. Болотов // Математика в школе. - 2003. - №9. - С. 79-80.

3. Бродский, Я.В. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе / Я.В.Бродский // Математика. - 2004. - №31. - С.46-48.

4. Булычев, В.А. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей / В.А. Булычев, Е.А. Бунимович // Математика в школе. - 2003.- №4. - С.48-50.

5. Бунимович, Е.А. Вероятность и статистика 5-9 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений / Е.А. Бунимович, В.А.Булычев - М.: Дрофа, 2002. - 126 с.

6. Бунимович, Е.А. Методические указания к теме «Статистические исследования» / Е.А.Бунимович, С.Б.Суворова // Математика в школе. - 2003.- №3. - с.51-54.

7. Бунимович, Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики / Е.А. Бунимович // Математика в школе. - 2002. №3. - С.36-39.

8. Бунимович, Е.А. Основы статистики и вероятность. 5 - 11 кл. / Е.А. Бунимович. - М.: Дрофа, 2008. - 286 с.

9. Глотов, Н.В. Вероятность и статистика в школе: взгляд биолога / Н.В. Глотов, О.В. Глотова // Математика в школе.- 2002. - №4. - С.20-25.

10. Дорофеев, Г.В. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович; под ред. Г.В. Дорофеева; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, издательство «Просвещение». - М.: Просвещение, 2009. - 256 с.

11. Дорофеев, Г.В. Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович; под ред. Г.В. Дорофеева; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, издательство «Просвещение». - М.: Просвещение, 2010. - 288 с.

12. Дорофеев, Г.В. Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, издательство «Просвещение». - М.: Просвещение, 2009. - 302 с.

13. Дорофеев, Г.В. Математика: учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, издательство «Просвещение». - М.: Просвещение, 2008. - 312 с.

14. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2009. - 240 с.

15. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2010. - 271 с.

16. Макарычев, Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение. - 2003. - 68 с.

17. Макарычев, Ю.Н. Изучаем элементы статистики / Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк // Математика в школе. - 2004. - №5. - с.67-68

18. Маркова, В.И. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы / В.И. Маркова. - Киров, 2004. - 290 с.

19. Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2003. - 40 с.

20. Пиаже, Ж.Ж. Характер объяснения в психологии и психофизиологический параллелизм. Выпуск 11. Экспериментальная психология: пер. с франц. / П.Ф. Фресс, Ж.Ж. Пиаже. - М.: Прогресс, 1966. - 194 с.

21. Секей, Г.А Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике / Г.А. Секей. - М.: Мир,1990. - 218 с.

22. Селютин, В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике / В.Д. Селютин // Математика в школе. - 2003. - №4. - С.69-82.

23. Селютин, В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений / В.Д. Селютин // Математика в школе. - 2003. - №3. - С.69-76.

24. Ткачева, М.В. Анализ данных в учебнике Н.Я. Виленкина и других / М.В. Ткачева // Математика в школе. - 2003. - №5. - С.62-63.

25. Ткачева, М.В. О готовности учащихся к изучению стохастики / М.В. Ткачева, Е.Н. Василькова, Т.В. Чуваева // Математика в школе. - 2003. - №9. С.69-70.

26. Ткачева, М.В. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. - М.: Просвещение, 2004. - 214 с.

27. Ткачева, М.В. Элементы стохастики в курсе математики VII-IX классов основной школы / М.В.Ткачева, Н.Е. Федорова // Математика в школе. - 2003. - №3. - с.77-80.