Приёмы учебно-познавательной деятельности при решении стереометрических задач на построение

Перечислим обобщённые приёмы решения задач по геометрии в десятом классе:

1. Систематическая работа по построению чертежей, их обоснование и составление плана решения задачи по готовым чертежам.

2. Систематическая работа по составлению устных планов решения задач по готовым чертежам.

3. Решение задач на определение радиуса шара, вписанного в многоугольник, и шара, описанного вокруг многоугольника.

4. Обучение учащихся векторному решению геометрических задач, применяя общий план векторного решения задач.

5. Осуществление единого подхода при выводе формул объёмов многогранников и фигур вращения.

6. Осуществление единого подхода к определению и выводу формул площадей всех фигур вращения.

Таким образом, в опыте работы передовых учителей новизна в методах обучения математике проявляется в том, что основной акцент ставится не на запоминание школьником учебной информации, а её глубокое понимание, сознательное и активное усвоение, на формирование у школьников умения самостоятельно и творчески применять эту информацию в рамках учебной практики.

Именно эту мысль имел в виду один из известных специалистов по технической кибернетике А.А. Фельдбаум, говоря о том, что накопление знаний играет в процессе обучения немалую, но отнюдь не решающую роль. Человек может добыть многие конкретные факты, на базе которых совершенствовались его качества. Но если они достигли высокого уровня, то человек справится со сложнейшими задачами, а это означает, что он достиг высокого уровня культуры (мышления) [52].



Глава 3. Содержание и структура приёмов учебной деятельности в процессе решения задач на построение по теме «Прямая и плоскость»

Изучение темы «Прямая и плоскость» является начальным этапом обучения учащихся Х классов основам стереометрии.

При изучении предыдущего раздела геометрии (Планиметрия) у учащихся выработался определённый порядок привычных действий, называемых в физиологии динамическим стереотипом.

Приступая к изучению нового раздела геометрии, ученики встречаются с новым видом учебного материала - задачами на построение в пространстве. Для решения такой задачи, необходимо представить себе очертания и форму геометрической фигуры, данной в условии, уяснить взаимосвязь отдельных элементов фигуры между собой и общий вид предполагаемого решения. Это заставляет учеников приспосабливаться к новой форме изучения материала, т.е. вырабатывать новый динамический стереотип. Его динамичность заключается в постоянном изучении и совершенствовании. Если эти изменения происходят постепенно, то переход от одного динамического стереотипа к другому не вызывает никаких трудностей. В описываемом процессе происходит довольно резкая смена динамических стереотипов, что и составляет физиологическую суть трудностей, возникающих у учеников, особенно в начальной стадии изучения темы.

Используемые в настоящее время учебные пособия и учебники не в полной мере отвечают требованиям обучения учащихся решению задач на построение в пространстве. Они больше пригодны для контроля знаний и содержат недостаточное количество задач по указанной теме.

С целью облегчения процесса обучения на кафедре методики преподавания математики и математического анализа Приднестровского Государственного Университета разработаны методики основы формирования приёмов учебной деятельности учащихся в процессе решения задач на построение на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, а так же построена система задач, обладающая свойством структурной полноты.

В этой главе рассмотрим приёмы учебно-познавательной деятельности учащихся при решении стереометрических задач на построение, выявленные среди приёмов умственной деятельности обучении математике, на основе современных психологических и дидактических теорий. Кроме этого использовались результаты, полученные в предыдущей главе: структура обобщённого приёма решения математических задач; общие приёмы учебной деятельности учащихся по решению задач с указанием адекватных им учебных действий; взаимосвязь этапов решения задачи с приёмами учебной деятельности; общие операционные составы приёмов принятия учебной задачи и поиска решения учебной задачи при решении учащимися математической задачи, структура приёма поиска решения учебной задачи.

Предварительно рассмотрим некоторые особенности геометрических задач на построение и приём соглашения, позволяющие рассматривать примеры решения указанных задач.

§1. Стереометрическая задача на построение

Задачи на построение являются традиционными задачами в курсе геометрии. Разработкой методов решения этих задач математики занимаются ещё с времён Древней Греции. Уже математики школы Пифагора (VI в. до н.э.) решили довольно сложную задачу построения правильного пятиугольника. Интерес к задачам на построение объясняется не только их красотой и оригинальностью методов решения, но и большой практической ценностью. Проектирование строительства, архитектура, конструирование различной техники основаны на геометрических построениях.

Обычно задача на построение ставится как требование из заданных элементов в соответствии с какими-то условиями, с помощью определённых инструментов построить названную геометрическую фигуру или же совокупность удовлетворяющих указанным свойствам [54, с.106].

Таким образом, в каждой задаче на построение требуется построить фигуру F-искомую - по другой фигуре f-данной, к которой она должна находиться в определённом отношении.

При решении конструктивных задач на плоскости мы при помощи чертёжных инструментов проводим простейшие построения, которые постепенно расширяют данную фигуру f, добавляя к ней прямые и окружности, пока не получится фигура, содержащая фигуру F.

Геометрические построения в пространстве более трудны, чем геометрические построения на плоскости. Стереометрические задачи на построение решаются двумя различными методами: в воображении и при помощи выполняемых чертёжными инструментами построений на проекционном чертеже, развёртке геометрического тела или на каком либо его сечении.

В первом случае мы ограничиваемся воображаемым построением прямых, плоскостей, сфер, мысленно определяем их взаимное расположение и находим точки и линии их пересечения, т.к. в действительности не существует реальных инструментов, при помощи которых можно было бы строить сферы, плоскости и прямые в пространстве.

Геометрические построения на проекционном чертеже обладают «эффективностью», т.е. задачи с различными пространственными фигурами решаются на таком чертеже почти так же, как это должно было бы осуществляться в самом пространстве с выполнением необходимых операций и фактическим построением искомых элементов. Во многих случаях при этом чертёж должен быть полным и метрическим.

Любая задача на плоскости в стереометрии может быть решена на проекционном чертеже, но в начале она должна быть решена мысленно, т.е. решающему задачу должно быть ясно, что и как надо сделать, какие геометриические образы использовать, какие операции необходимо проделать, каким преобразованиям следует подвергнуть фигуру, чтобы решить задачу, а затем уже это решение перенести на чертёж.

При решении планиметрических задач на построение пользуются схемой решения состоящих из четырех этапов:

1) анализа;

2) построения;

3) доказательства;

4) исследования.

Этой же схемой можно придерживаться и при решении стереометрических задач на построение.

Рассмотрим цели каждого этапа выше указанной системы.

1. Анализ. Это самая важная часть решения, т.к. целью её является разыскивание цели построений, способных привести от данной фигуры к искомой.

Сначала строим искомую фигуру произвольно, а данную - в том отношении к искомой, которое указано в задаче. После этого ищем цепь построений, приводящих от данной фигуры к искомой. Для этого, прежде всего смотрим, нельзя ли, пользуясь уже известными нам решениями более простых задач построить по данной фигуре хотя бы часть искомой им, вообще, такую фигуру, от которой легче перейти к искомой. Указанным способом мы пытаемся свести решения данной задачи к решению более простых. Если этого сделать не удаётся или же решение задач, к которым мы свели данную задачу, нам неизвестно, то можно обратиться к свойствам различных геометрических преобразований - стереометрии, гомотетии и т.д., применение этих свойств называется, методом симметрии, методом гомотетии и т.д. (методы решения геометрических задач на построение рассмотрим ниже).

Таким образом, анализ на построение включает следующие этапы процесса решения математических задач: «анализ задачи» и «поиск способа решения».

Заметим так же, что для анализа выбирается фигура F возможно более общего вида. Вследствие этого найденное построение может оказаться непригодным при более частном виде фигуры F, но этот вопрос удобнее рассматривать при исследовании задачи. Однако, сказанное означает, что в ряде случаев анализ (поиск решения) содержит и этап - «исследование задачи» или «анализ решения».

2. Построение. В этой части результаты анализа приводятся в порядок, т.е. указывают последовательность гласных операций, которые необходимо выполнить для построения искомой фигуры. Этого будет достаточно, если задача решается в воображении. Если она решается на проекционном чертеже, то решение должно быть оформлено графически при помощи чертёжных инструментов.

Итак, этап «построение» при решении геометрической задачи на построение включает этапы: «план решения» и «осуществление решения» (если задача решается на проекционном чертеже) процесса решения математических задач.

3. Доказательство. Из рассуждений, приводимых при анализе, следует, что искомая фигура, если она имеет достаточно общий вид, может быть получена из данной, связанной с нею условием задачи, с помощью найденного построения. Но, в некоторых случаях, одно и тоже построение может привести к нескольким фигурам F. В большинстве случаев все эти фигуры удовлетворяют условию задачи. Но возможны и исключения вследствие того, что при анализе условие задачи принимается во внимание не полностью. Таким образом, доказать - это значит проверить, что найденное построение приводит только к фигурам, удовлетворяющим условию задачи. В том случае, когда построение приводит только к одной фигуре F, необходимость в доказательстве отпадает.

Этапу доказательство соответствует этап «проверка» процесса решения математических задач.

4. Исследование. До сих пор только искомая фигура F предполагалась заданной произвольно, а данная фигура f должна была находиться к искомой в отношении, указанном в задаче. Но если задать произвольную фигуру f, то может случиться, что не существует фигуры F, связанной с ней условием задачи. Далее, может случиться, что в зависимости от выбора данной фигуры f меняется число решений задачи. Сюда можно включить и случай невозможности решения, когда число решений равно нулю. Выяснение числа решений в зависимости от выбора данных составляет основную цель исследования задачи. На этот вопрос даёт ответ изучение найденного построения. Например, решение не возможно тогда и только тогда, когда найденное построение не выполнимо. В самом деле, из анализа видно, что в том случае, когда искомая фигура F существует, она всегда может быть получена из данной фигуры f с помощью найденного построения.

Таким образом, производя исследование, необходимо их конфигурации рассматривать в их логической последовательности. Результаты исследования целесообразно оформлять в виде таблицы.

Этапу «исследование» - соответствует этап «исследование задачи» процесса решения математических задач.

Из рассуждений, проведённых выше, следует, что взаимосвязь этапов решения задачи на построение с этапами решения произвольной математической задачи можно изобразить следующей схемой:

§2. Методы решения геометрических задач на построение

Для решения геометрических задач на построение существуют следующие методы: метод геометрических мест, метод параллельного перенесения, метод симметрии, метод обратности и алгебраический метод. Все перечисленные методы основываются:

1) на геометрических местах точек;

2) на геометрических соответствиях

3) на применении алгебры.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Схема 14

Таблица 2

№	Название метода.	Основы метода.
1 2 3 4	Метод геометрических мест. Метод параллельного перенесения Метод симметрии. Метод спрямления.	Геометрические места точек.
5 6	Метод подобия. Метод обратности.	Геометрические соответствия.
7	Алгебраический метод.	Алгебраические выражения геометрических соответствий.

Изложим краткую суть каждого из перечисленных методов.

Метод геометрических мест основан на понятии о геометрическом месте точек.

Геометрическим местом точек называется такой геометрический образ, все точки которого обладают определённым свойством, каким не обладают точки, не принадлежащие этому геометрическому образу.

В курсе геометрии средней школы основными геометрическими местами являются следующие:

В планиметрии:

1) прямая (одна прямая, пересекающиеся прямые, параллельные прямые, определённый отрезок прямой);

2) окружность (одна окружность, две концентрические окружности; дуга сегмента, вмещающего данный угол).

В стереометрии:

1) прямая в пространстве (параллельные прямые);

2) плоскость (параллельные плоскости);

3) боковая поверхность круглого цилиндра;

4) боковая поверхность круглого конуса;

5) шаровая поверхность.

Метод геометрических мест состоит в следующем: предложенную геометрическую задачу на построение, прежде всего, сводят к отысканию одной или нескольких точек, каждая из которых должна удовлетворять определённым условиям.

Если требуется найти точку, которая удовлетворяла бы двум определённым требованиям или условиям I и II, то эту задачу разбивают на две подзадачи: 1) найти точку, удовлетворяющую условию I и 2) найти точку, удовлетворяющую условию II. Бесконечное число точек, являющихся решением 1-й подзадачи, представит собою некоторое вполне определённое геометрическое место точек (прямую или окружность, или отрезок прямой, или другую окружность и т.д.). Обозначим это геометрическое место точек буквой G₁. Равным образом, бесконечное число точек, являющихся решением 2-й подзадачи, также образует геометрическое место точек, которое обозначим буквой G₂. Затем выясним, пересекаются ли найденные геометрические месс-та G₁ и G₂. Если G₁ и G₂ не пересекаются и не касаются друг друга, то искомая тачка не существует, и, значит, задача не имеет ни одного решения. Если геометрические места G₁ и G₂ касаются одно другого в одной или нескольких точках, то каждая из них является искомой. Равным образом, если G₁ и G₂ пересекаются в одной или в нескольких точках, то каждая из них является искомой.

Вопрос о числе общих точек двух геометрических образов можно решить с помощью таблицы 3, которая может быть дополнена различными сочетаниями пространственных геометрических мест.

Метод параллельного перенесения состоит в том, что в наброске предполагаемого решения геометрической задачи на построение производят параллельное перенесение фигуры или отрезков, входящих в искомую фигу-ру, чтобы обнаружить зависимости, позволяющие выполнить требуемое по-строение.

Смотря по тому, что именно подвергалось параллельному перенесению, в результате можем получить либо новое расположение линий, которое делает очевидным, как надо выполнить требуемое построение либо новое

Таблица 3

	Геометрическое место	Геометрическое место	Конфигурация геометрических мест	Число общих точек геометрических мест
На плоскости	прямая прямая прямая	прямая прямая прямая	параллельны пересекаются совпадают	0 1 ?
	прямая прямая прямая	окружность окружность окружность	не пересекаются и не касаются касаются пересекаются	0 1 2
	окружность окружность окружность окружность	окружность окружность окружность окружность	не пресекаются касаются пересекаются совпадают	0 1 2 ?
	прямая прямая прямая	дуга окружности дуга окружности дуга окружности	не пересекаются и не касаются касаются пересекаются	0 1 2
	дуга окружности дуга окружности дуга окружности дуга окружности	окружность окружность окружность окружность	не пересекаются и не касаются касаются совпадают пересекаются	0 1 ? 1 или 2
	дуга окружности дуга окружности дуга окружности дуга окружности	дуга окружности дуга окружности дуга окружности дуга окружности	не пересекаются и не касаются касаются пересекаются совпадают (полностью или частично)	0 1 1 или 2 ?
	прямая прямая прямая	прямая прямая прямая	Скрещиваются или параллельны пересекаются совпадают	0 1 ?
	прямая прямая прямая	плоскость плоскость плоскость	параллельны пересекаются совпадают	0 1 ?
	плоскость плоскость плоскость	плоскость плоскость плоскость	параллельны пересекаются совпадают	0 ? ?

расположение фигур, позволяющее установить путь к решению, либо новую фигуру, которая является частью искомой фигуры, конструктивно с нею связана, легко может быть построена.

Метод симметрии состоит в том, что для точек, линий и фигур, имеющиеся в чертеже предполагаемого решения геометрической задачи на пост-роение, вводят их симметричные геометрические образы и, рассматривая их связи с начальным чертежом, определяют зависимости позволяющие выполнить требуемое построение.

В геометрии различают два вида симметрии: относительно точки и относительно прямой. При решении геометрических задач на построение, определяемых программой средней школы, большей частью приходится иметь дело с симметрией относительно оси.

Применяя метод симметрии, следует за ось симметрии принимать такую прямую, которая либо дана, либо легко может быть построена. В несложных задачах, решаемых методом симметрии, лишь только перегнём чертёж по целесообразно выбранной оси симметрии, как становится очевидным тот приём, каким может быть получено требуемое построение. В более сложных задачах, решаемых методом симметрии, требуемое построение находится следующим образом:

1) во вспомогательном чертеже, сделанном в предположении, что задача решена, строят симметричную фигуру (линию, точку);

2) временно изменяют условие предложенной задачи, а именно: тем требованиям, какие относятся к данной фигуре (линии, точке), подчиняют симметричную ей фигуру (линию, точку) и решают эту вспомогательную задачу;

3) когда выполнено построение, представляющее собою решение вспомогательной задачи, посредством каких операций можно получить решение предложенной задачи.

В пространстве рассматривают третий вид симметрии относительно плоскости.

Метод спрямления состоит в том, что, с целью открыть зависимости для решения данной геометрической задачи на построение, в чертеже предполагаемого решения некоторые отрезки перекладывают так, чтобы вместо ломанной линии получится отрезок, равный сумме или разности её звеньев, и вместе с тем образовалась фигура, которая конструктивно связана с данной и легко может быть построена.

Применение этого метода состоит из следующих операций:

1) если в условии задачи дана сумма (S) определённых отрезков, то на схематическом чертеже, представляющем собою предполагаемое решение, продолжают определённые отрезки, на полученной прямой откладывают примыкающие к этому отрезку другие отрезки и получают отрезок, равный S. Если же в условии задачи дана разность (d) двух определённых отрезков, то на схематическом чертеже, на большем из этих отрезков, откладывают меньший так, чтобы получить отрезок, равный d;

2) найденный таким образом отрезок, равный сумме или разности определённых отрезков, приводят посредством вспомогательных линий в связи со схематическим чертежом и получают новый, более сложный, схематический чертёж;

3) выясняют, посредством каких операций можно построить этот новый схематический чертёж, но строят его так, чтобы входящие в него линии имели длину, указанную в условии задачи;

4) когда новый вспомогательный чертёж построен, то остаётся выяснить, что надо сделать, чтобы получить требуемое в задаче построения.

Метод подобия состоит в следующем: если данные геометрической за-дачи на построение таковы, что, отбросив одно из них, можно построить множество фигур, подобных искомой, то сначала строят какую-нибудь из этих фигур, а затем, принимая во внимание отброшенное данное, строят искомую фигуру.

Метод подобия основан на такой конструктивной связи между искомой фигурой и той, которая дана или которую легко построить, которая состоит в том, что искомая фигура подобна вспомогательной, причём известные величины двух сходных отрезков этих фигур.

Метод обратности заключается в том, что в некоторых случаях сначала так изменяют условие предложенной геометрической задачи на построение, чтобы искомые стали данными, а данные исходными, а затем решив эту обратную задачу, определяют те зависимости, посредством которых можно решить предложенную задачу.

Алгебраический метод решения геометрических задач на построение состоит в следующем:

1) неизвестные величины, фигурирующие в условии задачи, обозначают буквами x, y, z и т. д.;

2) составляют уравнения, связывающие эти неизвестные с данными в задаче величинами a, b, c, …;

3) решают составные уравнения;

4) исследуют полученные ответы;

5) выполняют требуемое построение.

Для выполнения построений необходимо уметь строить отрезки, которые определяются следующими формулами:

1. , где n целое число;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

§3. Основные соглашения и задачи

Во всякой геометрической задаче на построение требуется по каким-либо данным найти некоторые геометрические элементы, удовлетворяющие тем или иным условиям. Однако содержание планиметрической задачи на построение не исчерпывается указанием данных и формулировкой того, что требуется найти. Столь же важное значение имеет и указание на те средства, с помощью которых задача должна быть решена, на те инструменты, при помощи которых построение должно быть выполнено. В зависимости от того, какие инструменты имеются ввиду, смысл одной и той же задачи коренным образом меняется. Например, задача «разделить на три равные части угол 1200» решается непосредственно с помощью транспортира, но не разрешима с помощью циркуля и линейки.

В пространстве вопрос о допустимых средствах решения представляется менее определённым и поэтому более сложным. Это объясняется тем, что фактически не существует таких инструментов, которые в пространстве играли бы ту же роль, какую на плоскости играют линейка и циркуль. В пространстве приходится в процессе решения задачи строить по тем или иным данным плоскости, линии пересечения плоскостей и производить различные планиметрические построения в построенных плоскостях. Очевидно, что такие построения нельзя выполнить с циркулем и линейкой. Начертательная геометрия даёт способы построения указанных фигур, но это выходит за рамки элементарной геометрии. Поэтому, мы, чтобы иметь определённое указание на допустимые средства решения, примем следующие определения.

Под пространственным решением стереометрической задачи на построение мы будем понимать сведение её к конечному числу некоторых простых задач, которые считаются непосредственно разрешимыми.

За непосредственно разрешимые задачи примем следующие:

Задача I. Провести плоскость через три известные точки, не лежащие на одной прямой.

Задача II. Определить линию пересечения двух известных плоскостей.

Задача III. В известной плоскости решить любую задачу, разрешимую «с помощью циркуля и линейки». Решить задачу на построение в плоскости с помощью циркуля и линейки - значит, свести её к выполнению точно определённого числа следующих построений:

а) провести прямые линии через две известные точки;

b) определение точки пересечения двух известных прямых;

с) провести окружность с известным центром и известным радиусом;

d) определение точки пересечения известной окружности (частный случай - откладывание отрезка равного данному);

е) определение точек пересечения двух известных окружностей.

Задача IV. Выбрать произвольную точку, лежащую или не лежащую на известной прямой (в соответствии с аксиомой стереометрии), лежащую или не лежащую в известной плоскости (в соответствии с аксиомой стереометрии); выбрать произвольную прямую проходящую или не проходящую через известную точку, лежащую или не лежащую в известной плоскости; выбрать произвольную плоскость, проходящую или не проходящую через известную точку, проходящую или не проходящую через известную прямую.

В приведённых формулировках под «известными» понимаются те точки, прямые, окружности и плоскости, которые либо даны в самом условии задачи, либо уже определены на предыдущих этапах решения задачи, либо выбраны произвольно (в соответствии с аксиомами) в задачах II, III(b), III(d), III(e) предлагается оговорка «если эти прямые (точки) существуют».

Перечислим несколько самых простых задач на построение, которые легко сводятся к задачам I-IV, т.е. главным в решении задач является то, что отыскание искомой прямой или искомой плоскости сводятся к конечному числу задач I-IV.

Задача 1. Провести плоскость через прямую и не лежащую на ней точку, через две пересекающиеся прямые, через две параллельные прямые.

Задача 2. Построить точку пересечения данной прямой и данной плоскости.

Задача 3. Через данную точку, не лежащую на данной прямой провести прямую параллельную данной прямой.

Задача 4. Даны скрещивающиеся прямые, провести через одну из них плоскость параллельную другой.

Задача 5. Даны две скрещивающиеся прямые, провести через каждую из них по плоскости так, чтобы они были параллельны между собой.

Задача 6. Построить плоскость, проходящую через данную точку и параллельную двум данным прямым.

Из сказанного выше следует, что выполнение геометрического построения в пространстве основывается на возможности производить следующие семь элементарных операций.

Содержание элементарной операции.	В каких случаях операция выполнима.
1. Взять одну или несколько точек: а) на плоскости или вне её; б) на прямой или вне её; в) на окружности или вне её.	Всегда.
2. Провести прямую: а) произвольную; б) проходящую через данную точку; в) проходящую через две данные точки; г) на плоскости или вне её.	Всегда.
3. Провести плоскость: а) произвольную; б) через три точки, не лежащие на одной прямой; в) через прямую и не лежащую на ней точку; г) через две пересекающиеся прямые; д) через две параллельные прямые.	Всегда.
4. Определить точку пересечения: а) двух данных прямых; б) прямой и плоскости.	Если эта точка существует.
5. Определить линию пересечения двух данных плоскостей.	Если эта линия существует.
6. Описать окружность: а) из произвольной точки произвольным радиусом; б) из произвольной точки должным радиусом; в) из данной точки произвольным радиусом; г) из данной точки данным радиусом.	Всегда.
7. Найти точки пересечения данной лини с данной окружностью.	Если эти точки существуют.

Для оформления решения задач примем следующие соглашения:

1) для обозначения точек будем употреблять большие латинские буквы: A, B, C, D … и т.д.; для обозначения прямых - малые латинские буквы: a, b, c, d, … и т. д.; для обозначения плоскостей - греческие буквы: б, в, г, …;

2) точку A пересечением прямых a и b будем обозначать так: A = a?b; прямую a - пересечением плоскостей б и в будем обозначать так: a=б?в;

3) если точка A принадлежит плоскости б или прямой a, то вместо слова «принадлежит» будем писать значок ?: A?б, A?a;

4) если прямая a лежит в плоскости б, то будем писать: a?б;

5) кроме указанных сокращений будем использовать традиционные: a||b (прямая a параллельна прямой b), a

Размещено на http://www.allbest.ru/

б (прямая a перпендикулярна к плоскости б) и т.д.

Размещено на Allbest.ru