Размещено на http://allbest.ru

Моделі оптимізації та розвитку електроенергетичних систем

ВСТУП

Ці методичні вказівки складено для проведення розрахунково-графічної роботи з дисципліни “ Моделі оптимізації та розвитку електроенергетичних систем ” для спеціальності 7.090602 - “Електричні системи і мережі”.

Предметом вивчення дисципліни “Моделі оптимізації та розвитку електроенергетичних систем” є великі системи в електроенергетиці, якими являються енергосистеми. Системний наліз цих об'єктів за допомогою математичного моделювання дозволяє вирішувати широке коло спеціальних електроенергетичних задач, зокрема задач прогнозування навантажень при розвитку енергосистем, вибору оптимальних місць для розміщення електростанцій та розвитку електричних мереж, які є дуже актуальними для народного господарства країни.

Курс “Моделі оптимізації та розвитку електроенергетичних систем” повинен забезпечувати цілеспрямовану професійну підготовку майбутнього фахівця, розвиток усіх його творчих здібностей, уміння формулювати і досліджувати на належному науковому рівні технічні задачі цієї дисципліни.

Мета вивчення дисципліни полягає в отриманні студентами навичок застосовування методів системного аналізу і математичного програмування при рішенні спеціальних електроенергетичних задач.

Контрольні завдання містять низку оптимізаційних задач, розв'язок яких дасть змогу студентам, що вивчають курс, перевірити та дослідити теорію, яку подано в навчальних посібниках та конспекті лекцій.

Варіант контрольного завдання вказується викладачем.

1. ЗАГАЛЬНІ ПИТАННЯ ОПТИМІЗАЦІЙНИХ ЗАДАЧ

1.1 Задача оптимізації

Оптимізаційні задачі - це задачі прийняття рішень, яке полягає у виборі найкращого (в деякому розумінні) варіанту з деякої , можливо навіть нескінченної множини рішень.

В процесі оптимізації шукається такий варіант, при якому досягається максимум чи мінімум критерію, який характеризує якість керування.

Енергетична система, як і будь-яка інша фізична система, характеризується змінними керування, змінними стану, багатокритеріальністю задач оптимізації.

Для розв'язку задач та оцінки оптимізації параметрів режиму електричної системи її можливо представити у вигляді математичної моделі, яка складається з ряда характеризуючих систему складових:

1) параметрів системи (наприклад, при оптимізації втрат потужності - информація про конфигурацію мережі, активних та реактивних опорах ліній електропередач, трансформаторів);

2) зовнішні та внутрішні фактори (значення електричних навантажень в окремих пунктах мережі);

3) змінні керування (положення точок рормикання мережі);

4) змінні стану (характеристики режиму - струморозподіл та ін.);

5) критерій оптимальності або цільова функція (величина втрат потужності);

6) обмеження щодо змінних керування та змінних стану системи (рівні напруг, припустимі струми навантаження);

1.2 Основні принципи побудови цільової функції

При складанні моделі слід приділяти велику увагу вибору цільової функції згідно основних принципів її формування:

1) Принцип однозначності. Відповідно до цього принципу шукається мінімум чи максимум лише однієї цільової функції. При багатокритеріальній оптимізації загальна функція представляється у вигляді:

Якщо важність критеріїв різна - вводять вагові коефіцієнти б для приведення до одного критерія.

2) Принцип керованості, який полягає в тому, що цільова функція обовязково має бути виражена через змінні керування:

.

3) Принцип підходящої форми цільової функції - необхідно обирати функцію з явно вираженым екстремумом (опукла або вігнута функція). Небажані види цільових функцій: розривна, багатоекстремальна; неоднозначна - одному значенню змінної керування відповідає декілька значень цільової функції.

1.3 Вибір обмежень

Обмеження можуть бути жорсткими, які категорично забороняють перевищення того чи іншого рівня x_i ? R_i, x_i ? R_i та нежорсткими - такими, які не забороняють перевищення того чи іншого рівня, а лише погіршують значення цільової функціи. В такому випадку відповідно з погіршенням може бути накладений штраф. Нежорсткі обмеження часто носять назву штрафних функцій виду:

,

где K - коефіцієнт, M_i - константа.

2. МЕТОДИ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ

2.1. Прямой класичний метод

Якщо задача розв'язується без врахування обмежень, а цільова функція має похудну, то можливо застосувати метод прямого диференціювання.

В точці екстремуму цільової функції F(x₁,x₂, … ,x_n) перші похідні дорівнюють нулю

.

Розв'язок системи з n рівнянь з n невідомими буде розв'язком задачі.

Метод не дає однозначного розв'язку - при отриманні результату невідомо, що знайдено - максимум чи мінімум. Необхідно проводити додаткові дослідження, які полягають в пошуку та аналізу других похідних:

; ; … ; .

Якщо значення других похідних додатні, то в даній точці досягається мінімум цільової функції та навпаки.

На практиці можливі наступні випадки:

а) оптимальнє значення знаходиться в області допустимих значень, причому існує лише одне положення екстремуму. В цьому випадку оптимум знаходиться однозначно.

б) екстремальне значення знаходиться за межами області допустимих значень. Оптимум слід шукати на межі області допустимих значень (ОДЗ).

в) В ОДЗ існує локальний екстремум. Необхідно сопоставити значення цільової функції в точці екстремуму та на межах ОДЗ.

г) Існує декілька екстремальних значень. Необхідно проводити аналіз для кожної точки та на межі ОДЗ.

2.2 Метод невизначених множників Лагранжа

Розв'язок завдання оптимізації прямим класичним методом, відносно нескладний, однак має суттєвий недолік - метод не враховує обмежень. Але на практиці такі задачі зустрічаються дуже рідко.

Наприклад при врахуванні такого показника якості електроенергії, як відхилення напруги на шинах споживачів V = ± 5% за умови надбавки на початку ЛЕП 10 кВ E_П = 2,5%, а на трансформаторах ТП - відповідно E_Т1 = 2,5% та E_Т2 = 5,0%; втрати напруги в мережі 0,38 кВ ?U_Н = 5%, розрахунки показують, що в попередній задачі відхилення напруги у віддалених точках мережі виходять за допустимі межі як до так і після оптимізації без врахування обмежень. Так, у віддаленій точці мережі 0,38 кВ другої ТП після оптимізації прямим класичним методом напруга знаходиться в допустимих межах, а у віддаленій точці мережі 0,38 кВ першої ТП до оптимізації V_уд1 = ?8,52%, а після оптимізації .

Виконати розрахунок з врахуванням обмежень в данному випадку можливо, використавши метод невизначених множників Лагранжа.

Завдання полягає в знаходженні вектору змінних керування x, що забезпечують досягнення екстремуму цільової функції F(x) та и задовольняють обмеженням:

,

,

………………………

,

причому обмеження представляються у вигляді рівності.

Для розв'язку завдання необхідно сформулювати функцію Лагранжа:

,

де л_i - невизначені множники Лагранжа, i = 1, 2, … , m.

Для знаходження екстремуму необхідно визначити перші похідні функції Лагранжа по x и л та прирівняти їх до нуля:

,

.

Отримуємо n + m рівнянь з n + m невідомими. Розв'язок системи рівнянь дозволяє знайти вектор, який нас цікавить.

Особливості використання методу невизначених множників Лагранжа:

1. Метод може бути застосований, якщо цільова функція має похідну. Якщо функція лінійна, застосувати метод неможливо, оскільки перші похідні є константами.

2. Якщо цільова функція чи обмеження дискретні, застосовання цього методу неможливе.

3. Практична можливість аналітичного диференціювання функції та алгоритмізація процесів обчислення похідних. Принципова можливість знаходження других похідних.

4. Розв'язок реальних задач пов'язаний з великою розмірністю, що додатково ускладнює розвязок систем рівнянь великого порядку.

5. Задача оптимізації может мати розв'язок, за умови (n ? m) > 0, тобто, коли кількість змінних більша за кількість обмежень.

Якщо n = m, задача оптимізації практично неможлива та розвязується лише за обмеженнями.

Якщо n < m, задачу практично неможливо розв'язати, оскільки немає жодної точки в просторі стану, яка задовольняє всім обмеженням.

2.3 Методи лінійного програмування

В дуже великому колі технічних задач показник якості виражається лінійно через параметри керування, а умови, яким мають задовольняти параметри системи, записуються у вигляді лінійних рівнянь або (та) нерівностей. Пошук екстремуму лінійного показника якості за умови, що змінні, які підлягають визначенню, задовольняють лінійним обмеженням, складає предмет лінійного програмування.

Основна задача лінійного програмування (ОЗЛП) формулюється наступним чином.

Потрібно знайти значення додатних змінних x₁ ? 0, x₂ ? 0, … , x_n ? 0, які задовольняють систему m лінійних рівнянь:

,

,

…………………………………… (1)

,

та при вказаних умовах лінійна функція приймала би максимум або мінімум:

. (2)

ОДЗ ОЗЛП зветься сукупність невідємних змінних x₁ ? 0, x₂ ? 0, … , x_n ? 0, які задовольняють систему обмежень (1).

ОЗЛП не обовязковоповинна мати розвязок. Рівняння обмежень можуть бути антагоністичними одне одному, мати розвязки у відємній області, лінійна функція може не бути обмежена знизу.

Система обмежень може бути задана у вигляді нерівностей:

,

,

…………………………………… (3)

.

Щоб перейти до ОЗЛП, необхідно ввести додаткові змінні в кожне рівняння, щоб вони перетворили дану нерівність в рівність:

,

,

…………………………………………… (4)

.

Це збільшує розмірність задачі. Чим більше нерівностей в вихідній системі рівнянь, тим більше розмірність задачі.

Виразимо додаткові змінні через змінні x₁, x₂, … , x_n:

,

,

…………………………………………… (5)

.

Задача полягає в тому, щоб знайти невід'ємні значення n + m змінних x₁, x₂, … , x_n, x_n+1, x_n+2, … , x_n+m, які задовольняють систему m рівнянь та обертають в мінімум чи максимум лінійну форму виду (2).

2.4 Загальна характеристика методів нелінійного програмування

Загальна відмінність методів нелінійного програмування втому, що цільова функція їх задач нелінійна. Обмеження можуть бути як лінійними, так і нелінійними. Задача нелінійного програмування може бути сформульована наступним чином. Потрібно мінімізувати цільову функцію ц(x₁, x₂, … , x_n) при наявності лінійних та нелінійних обмежень в вигляді рівностей r_j(x) = 0; або нерівностей q_i(x) < > 0.

Екстремум цільової функції може знаходитися всередині області допустимих значень, на границях ОДЗ, не входити в ОДЗ. Може бути декілька екстремумів. Методи нелінійного програмування різноманітні, під час вибору підходящого методу слід врахувати такі фактори, як надійність знаходження оптимального значення, швидкість його досягання, зручність підготовки вихідних даних, можливість врахувати обмеження, наявність готових алгоритмів та програмної реалізації методу на ЕОМ.

Методи нелінійного програмування класифікуються:

- за видом цільової функції (опукла, вігнутая, квадратична);

- за характером змінних керування (безперервні, дискретні, ймовірнісний характер …);

- за особливостями способу розв'язку (аналітичні або чисельні, використовуються похідні, або ні, з оптимізацією кроку, або без неї, детермінований або випадковий пошук).

Приклад 1

Для схеми, наведеної на рисунку 4, вибрати оптимальну потужність конденсаторних батарей (КБ), яка забезпечить мінімум річних приведених витрат. Прийняти вартість компенсації 1 кВАр на стороні НН ТП K₀, 11 грн/кВАр, сумарні щорічні відрахування для КБ E = 0,22, вартість 1 кВт втрат прийняти C₀ = 70 грн/кВт.год.

Рисунок 1

Втрати враховувати в лініях, трансформаторах та конденсаторах, питомі втрати в конденсаторах ?P_уд = 0,0045 кВт/кВАр.

Розв'язок

Загальний вигляд цільової функції:

.

Після підстановки, отримаємо:

Визначимо частинні похідні та прирівняємо їх до нуля:

,

.

Отримали систему з двома невідомими, з якої оптимальна потужність КБ: Q_k1 = 299 кВАр, Q_k2 = 149 кВАр.

Ці значення забезпечують екстремум функції приведених затрат. Визначивши знак других похідних, впевнюємось, що приведені затрати оптимальні в даній точці (мінімальні).

Приклад 2

Розв'язати задачу вибору оптимальної потужності БК з врахуванням обмеження за відхиленням напруги за умовами прикладу 1.

Обмеження у вигляді рівності запишеться наступним чином:

,

де -8,52 - відхилення напруги у віддаленій точці мережі 0,38 кВ першої ТП, т.ч., після компенсації відхилення напруги у віддаленій точці мережі 0,38 кВ першої ТП має дорівнювати ?5%.

3,52 - величина, на яку має підвищитись напруга після компенсації.

Для цих умов запишемо функцію Лагранджа:

В результаті диференціювання по Q_k1, Q_k2 та л та прирівнювання похідних до нуля отримуємо систему з трьох рівнянь з трьома невідомими:

,

,

.

Після розв'язку системи рівнянь отримуємо значення Q_k1 та Q_k2, які відповідають мінімуму цільової функції з врахуванням обмежень: Q_k1 = 244 кВАр, Q_k2 =171 кВАр.

Висновки.......

Приклад 3

Потрібно вибрати оптимальну схему електропостачання трьох споживачів, що відповідає мінімуму капіталовкладень. Споживачі отримують електроенергію від двох ТП. Схема та параметри вказані на рисунку 2. Прийняти, що капіталовкладення пропорційні довжині та перерізу лінії.

Рисунок 2

Дана задача може бути зведена до транспортної. Кількість вихідних пунктів m=2, пунктів споживання n=3.

, , таким чином ми маємо справу з відкритою моделлю. Зведемо її до закритої, вводячи фіктивний пункт П4, що споживає 50 кВА, відстань до якого до кожної ТП дорівнює нулю.

Рисунок 3

Цільова функція формується наступним чином:

,

.

Складається вихідний план.

	П-1	П-2	П-3	П-4
ТП-1	6 130	4 90	2	0 30	250
ТП-2	5	3	2 140	0 20	160
	130	90	140	50

Значення цільової функції:

L = 130•6 + 90•4 +20•0 + 140•2 + 30•0 = 1420

Обираємо прямокутний контур з однією вільною чарункою (помічений пунктиром), визначаємо та порівнюємо суми тарифів діагоналей. Отримуємо (2 + 0) = (2 + 0), т.ч. можна загружати чарунку ТП-1 - П-3.

Складаємо новий допустимий план, для котрого L = 1420 - цільова функція не змінилася, оскільки суми тарифів діагоналей були однакові.

	П-1	П-2	П-3	П-4
ТП-1	6 130	4 90	2 30	0	250
ТП-2	5	3	2 110	0 50	160
	140	90	140	50

Для прямокутного контуру, відміченого в таблиці пунктиром сума тарифів діагоналі з вільною чарункою (3 + 2) менше за суму тарифів другої діагоналі. Складаємо новий допустимий план.

	П-1	П-2	П-3	П-4
ТП-1	6 130	4	2 120	0	250
ТП-2	5	3 90	2 20	0 50	160
	130	90	140	50

Значення цільової функції L = 1330.

Таким же чином визначаємо наступні розвязки та відповідні їм значення цільової функції:

	П-1	П-2	П-3	П-4
ТП-1	6 110	4	2 140	0	250
ТП-2	5 20	3 90	2	0 50	160
	130	90	140	50

L = 1310.

	П-1	П-2	П-3	П-4
ТП-1	6 60	4	2 140	0 50	250
ТП-2	5 70	3 90	2	0	160
	130	90	140	50

Отриманий план є оптимальним розв'язком, щро підтверджується перевіркою за умовою необхідності завантаження вільних чарунок:

1 контур (6 + 0) (5 + 0) неможливо перерозподілити,

2 контур (6 + 2) (5 + 2) неможливо перерозподілити,

3 контур (6 + 3) (5 + 4) перерозподілення не має сенсу, оскільки не виникне покращення цільової функції.

Значення цільової функції при оптимальному варианті розподілу навантажень:

L = 70•5 +60•6 + 90•3 + 140•2 + 50•0 = 1260.

Оптимальна система електропостачання матиме вигляд (рисунок 9)

.

Рисунок 4

Приклад 3

Для даної задачі запишемо цільову функцію:

Якщо в кожній точці простору при русі по будь-якій координаті x_i можна розв'язати систему рівнянь виду:

,

то на кожному кроці можливо знайти його оптимальну довжину.

Продиференціюємо за Q₂ цільову функцію прикладу 5:

Після перетворення отримаємо:

.

Аналогічно знаходиться та після перетворення виходить:

.

Таким чином маємо систему рівнянь:

Алгоритм розв'язку

1) В якості початкового наближення обирається точка на початку координат

x₀ (0,0)

Q₂ = 0, Q₃ = 0.

2) Визначається перший оптимальний крок зміною координати Q₂ при незмінній Q₃ = 0. Для цього в перше рівняння системи (15) підставляємо значення координати Q₃ = 0. Отримали Q₂ = 26,5. Таким чином після першого кроку влучаємо в точку з координатами Q₂ = 26,5; Q₃ = 0.

3) Розв'язуємо систему відносно Q₃ при Q₂ = 26,5 = const. Для цього в друге рівняння системи (15) підставляємо значення Q₂ = 26,5. Отримали Q₃ = 8,6, тобто наступне наближення знаходиться в точці з координатами Q₂ = 26,5; Q₃ = 8,6.

Продовжуючи обчислення за даною схемою, отримуємо точки

x₃ (23,9; 8,6),

x₄ (23,9; 9,1),

x₅ (23,8; 9,1).

Ознакою зупинки розрахунку є досягнення наперед заданої похибки розрахунку е.

3.КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ

Завдання 1

Вибрати оптимальну потужність батарей конденсаторів в розподільчій електричній мережі для забезпечення мінімальних приведених витрат. Прийняти вартість компенсації 1 кВАр на стороні нижчої напруги ТП К₀=11 грн/кВАр., сумарні щорічні відрахування для батарей конденсаторів Е=0,22, вартість 1 кВт втрат приймається С₀=70 грн/кВт.год. ЛЕП виконані проводом АС-35.

Втрати враховувати в лініях, трансформаторах та конденсаторах. Питомі втрати в конденсаторах ДР_УД = 0,0045кВт/кВАр.

Варіант завдання обирається за допомогою таблиці 1 та рисунків 5-7. Параметри елементів мережі та розрахункові навантаження визначаються: для варіантів 1-9 - за рисунком 5, для варіантів 10-18 - за рисунком 6, та для варіантів 19-27 - за рисунком 7.

В таблиці 1 вказані: номера ТП, в яких пропонується встановити батареї конденсаторів згідно варіанта (на інших ТП конденсатори не встановлюються); виключені ТП - вважати, що в даних точках ТП відсутні,; номер ТП, в якому за допомогою батареї конденсаторів необхідно підвищити рівень напруги на величину ДU, вказану в сусідньому рядку.

Задачу треба розв'язати класичним методом, а також методом Лагранжа. В останньому врахувати необхідність підвищення напруги на шинах низької напруги заданого ТП.

Таблиця 1 - Варіанти завдання

№ Варіанта	№ ТП, де встановлюються батареї конденсаторів	Виключені ТП	Підвищити напругу
			№ ТП	ДU, %
1	11	21	1	4	7	2	5	6	1,5
2	12	22	2	4	6	3	7	4	1,8
3	13	23	3	6	7	1	5	7	2,0
4	14	24	2	3	6	1	5	3	1,7
5	15	25	2	5	6	1	4	7	1,5
6	16	26	4	6	7	2	3	4	1,4
7	17	27	1	5	7	3	6	5	1,5
8	18	28	2	4	7	3	5	2	1,2
9	19	29	3	4	6	2	7	6	1,8
10	20	30	4	5	7	3	6	5	2,0

Рисунок 5

Рисунок 6



Рисунок 7

Завдання 2(варіанти 11 - 20)

Для схеми мережі відповідно до варіанта необхідно обрати такі ємності батарей конденсаторів на сторонах 10 та 0,4 кВ кожної ТП, щоб при мінімальних капітальних витратах виконувалися наступні вимоги:

а) значення соs ц_У сумарного навантаження після компенсації має бути не менше за вказане в таблиці 2;

б) трансформатори ТП не повинні бути перевантажені;

в) сумарна потужність компенсуючих пристроїв не має перевищувати сумарне реактивне навантаження споживачів.

Вартість батарей конденсаторів на напруги 10 та 0,4 кВ складає відповідно = 4 грн/кВАр та = 11 грн/кВАр.

Рисунок 8

Таблиця 2 - Варіанти завдання

№ варіанта	Параметри трансформаторів та навантаження	Допустиме значення соs цУ
	ST1	P1	Q1	ST2	P2	Q2
11	630	490	520	400	320	300	0.90
12	630	500	500	630	510	480	0.95
13	400	300	320	400	280	350	0.90
14	400	250	340	250	150	240	0.85
15	250	180	220	250	210	190	0.95
16	250	200	180	160	140	110	0.90
17	160	130	130	160	120	140	0.85
18	160	150	150	250	220	260	0.90
19	1000	800	800	630	550	500	0.90
20	1000	750	850	1000	700	800	0.95

Завдання 3 (варіанти 1-10)

Потрібно вибрати оптимальну схему електропостачання споживачів, що відповідає мінімальним капіталовкладенням.

Умови вказані в таблиці 3, де вказано: номер варіанта; номер ТП, яку слід виключити зі схеми; номер споживача, якого слід видалити зі схеми.

Таким чином розв'язок задачі зводиться до розв'язку транспортної задачі з двома вихідними пунктами та чотирма пунктами споживання.

На схемах надані потужності трансформаторів ТП, повні потужності споживачів та відстані між ТП та споживачами.

Рисунок 9



Рисунок 10

Таблиця 3 - Варіанти завдання

№ варіанта	№ рисунку	№ виключеної ТП	№ відключеного споживача
1.	10	2	4
2.	9	3	3
3.	10	1	2
4.	9	2	1
5.	10	3	5
6.	9	1	4
7.	10	2	3
8.	9	3	2
9.	10	1	1
10.	9	2	5

Завдання 4 (Варіанти 21-30)

Визначити потужності батарей конденсаторів для мінімізації втрат потужності в мережі (рисунок 11) методом покоординатного спуску з оптимізацією кроку. Допустима похибка визначення ємності 1квар. Зі схеми виключаються вітки, задані в таблиці 4.



Рисунок .11

Таблиця 4 - Варіанти завдання

№ варіанта	№ виключених віток
21	1	2
22	3	1
23	1	4
24	2	3
25	4	3
26	2	1
27	1	4
28	4	3
29	3	2
30	2	1

ЛІТЕРАТУРА

модель оптимізація електроенергетичний

1. Электрические системы. Электрические расчеты, програмирование и оптимизация режимов. Под ред. В.А. Веникова. М.: Высшая школа, 1973.

2. АСУ и оптимизация режимов энергосистем: учеб. пособие для студентов вузов/ Арзамасцев Д.А., Бартоломей П.И., Холян А.М.; Под ред. Д.А. Арзамасцева. - М.: Высш. шк., 1983. - 208 с., ил.

3. Многоцелевая оптимизация режимов энергосистем/ В.Г. Дерзский. - К.: Наукова думка, 1992.

Размещено на Allbest.ru